Enoncé - CPGE Dupuy de Lôme

CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011 PC Physique
Devoir n˚6 - le 11 octobre - 4 heures
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Tout résultat non justifié, toute formule non encadrée ne sera pas prise en compte.
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Calculatrices autorisées.
I Électricité
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II Étude d’une bobine
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Figure 1 – spire
Z
O M
I
a
| |
Figure 2 – solénoïde
Z
L
a
A B
D C
Opérateurs pour les champs en un point M(r, θ, z), dans la base cylindrique associée :
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div−→ a(M) = 1
r
∂(r.ar)
∂r +1 r.∂aθ ∂θ +∂az ∂z
−→
rot−→ a(M)
1
r
∂az
∂θ −∂aθ ∂z
∂ar
∂z −
∂az
∂r
1
r
∂(r.aθ)
∂r −1 r
∂ar
∂θ
II.1 Champ magnétique en régime continu
II.1-1 Champ crée par une spire en tout point de son axe
On considère une spire de rayon aet d’axe OZ placée en z= 0, de centre O. Cette spire est parcourue
par un courant d’intensité I(voir figure 1).
II.1-1a Déterminer l’expression du champ magnétique en tout point M(z) sur l’axe de la spire, en
fonction de z,a,µ0et I. L’étude devra être rigoureuse.
II.1-1b Donner l’allure de B(z).
II.1-2 Champ crée par un solénoïde
On étudie un solénoïde (figure 2) parcouru par un courant Icomportant Nspires, de longueur totale
Let de rayon a. On négligera les effets de bord.
On admettra que le champ magnétique est nul à l’extérieur du solénoïde.
On utilisera la base B(−→ ur,−→ uθ,−→ uz) associées aux coordonnées cylindriques (r, θ, z).
II.1-2a Déterminer le nombre de spires par unité de longueur nen fonction de Net L.
II.1-2b Par des considérations de symétrie et d’invariance, justifier qu’en tout point M(r, θ, z), le
champ magnétique s’exprime −→ B(M) = B(r).−→ uz
II.1-2c Rappeler l’équation de Maxwell-Ampère dans le cas général puis donner son expression dans
le cas des régimes continus.
II.1-2d En déduire l’expression du théorème d’ampère
II.1-2e On choisit le contour proposé avec A(r, 0), B(r, h), C(R, h) et D(R, h). r < a < R.
Appliquer le théorème d’Ampère. Exprimer B(r) en fonction de n,µ0et Ipuis de N,L,µ0et I.
II.2 Étude en régime variable
On admet que dans le cadre de l’ARQS, on a en tout point à l’intérieur du solénoïde −→ B(M, t) =
µ0.n.i(t).−→ uz. Il n’existe pas de charges pour la distribution étudiée.
II.2-1 Justifier que l’on peut écrire le champ électrique sous la forme −→ E=E(r).−→ uθ.
II.2-2 Donner l’expression de l’équation de Maxwell-Faraday et vérifier qu’elle amène à l’expression
suivante du champ électrique : −→ E(M, t) = −µ0.r.n
2.di dt.−→
uθ
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