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ˆ
Ils vont généraliser agréablement les espaces normés en meme temps qu'ils
vont permettre l'utilisation des propriétés générales des espaces m
1.4 Les espaces métrisables et les espaces de Fréchet
étriques.
Introduisons tout d'abord une définition : un elc E est dit métrisable lorsque
ˆ
sa topologie peut etre définie par une distance. Il est alors nécessairement
séparé. Toutefois il faut prendre garde au fait suivant : la distance définissant
la topologie de E n'a rien de canonique et beaucoup d'autres distances sur E
ˆˆ
peuvent jourer le meme role ; c'est la raison pour laquelle on dit que l'espace
est "métrisable" et non pas "métrique".
La caractérisation la plus pratique est donnée par :
(1.4.1) THEOREME. Soit E un elc séparé. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
a) E est métrisable ;
b) E possède un système fondamental dénombrables de voisinages
de zéro disqués ; ˆ
c) la topologie de E peut etre définie par une suite crois
( )
n
sante
de semi-normes p ;
ˆ
d) la topologie de E peut etre définie par une distance invariante
par translation.
Preuve : Il est clair que dab. D'ailleurs dansÞÞ
( )
( )
n
n
b) on peut supposer
l'existence d'une suite fondamentale décroissante V de voisinages de
zéro disqués, de sorte que bc. Le point délicat est la preuve de cd.
Fixons donc la suite p de semi-normes,
ÞÞ
nn1
nn
n1
telle que pp. Et introduisons
la fonctionnelle sur E :
(x):2Inf(1,p(x))
On a alors :
- 0(x)1 ; (-x)(x) ;
- (x)0x0
- (xy)(x)(y)
La dernière inégalité étant une
+
¥-
=
£
d
d=
£d£d=d
d=Û=
d+£d+d
å
simple conséquence du fait que la fonction
(t):Inf(1,t), vérifie pour u0 et v0, l'inégalité (uv)(u)(v).
En posant donc d(x,y):(xy), on obtient là une distance d sur E, invariante
par transl
j=³³j+£j+j
=d-
( )
n
ation puisque d(xa,ya):d(x,y). Il faut maintenant voir que
ˆ
la topologie définie par d est la meme que celle définie par l'ensemble des
semi-normes p. Pour cela il suffit de comparer le système des
++=
n
N
N
d
p
p
d
Np
boules B(r)
relatives à la distance d et centrées à l'origine, au système des boules B(r).
r
Toute boule B(r), r1, contient une boule B(). En effet, soit N tel que
2
rr
2. Alors xB() impliqu
22
-
<
£Î
n
n
nnn
n1nN1
dn
pd
nn
r
e p(x) pour tout nN ; donc
2
rr
(x)222r
22
et par suite xB(r).
Toute boule B(r), r1, contient la boule B(2r). En effet, la condition
(x)2r implique Inf(1,p(x))r, do
¥¥
---
==+
-
-
££
d£+£+£
Î
<
d££
åå
n
np
nc aussi p(x)r, soit xB(r) £ÎW

n
ˆ
On peut définir la notion de suite convergente dans un elc quelconque. La
suite xE est dite convergente vers xE si et seulement si, pour tout
voisinage
ÎÎ
Le role des suites dans un elc métrisable
n
de zéro V, il existe un entier N tel que xV pour tout nN.
Dans un elc séparé, la limite est unique.
Toutefois cette notion est mal adaptée aux questions topologiques dans le
cas général, car les no
γ
tions d'adhérence et de continuité ne se traduisent
pas en termes de suites (il y faudrait les filtres !). Cependant, dans le cas
ˆ
d'un espace métrisable, de meme que dans le cas d'un espace normé, la
co
( )
n
nsidération des suites est suffisante : c'est une conséquence de l'existence
d'une base dénombrable (décroissante) V de voisinages de zéro. En effet :
(1.4.2) THEOREME. Soit E un elc métrisable.
nn
a) Pour qu'une application linéaire f:EF, de E dans un elc
quelconque F, soit continue il faut et il suffit que pour toute
suite x0 dans E on ait f(x)0 dans F.
®
®®
n
b) Pour qu'une partie AE soit fermée il faut et il suffit que
pour toute suite xA, convergente dans E vers un point x,
on ait xA.
REMARQUE. On prendra garde que
Ì
Î
Îces caractérisations ne sont pas valables
ˆ
pour le cas d'un elc non métrisable. Elles donnent donc un intéret considérable
à la notion d'elc métrisable, d'autant plus que la théorie des distributions,
objet de ce cours, fait un usage intensif de ces espaces.
Supposons E métrisable. Alors toutes les distances invariantes par translation
(donc déterminés par une "distance à l'ori
Espaces de Fréchet
gine" selon d(x,y):(xy)) et
définissant la topologie de E sont nécessairement équivalentes au sens de la
ˆ
théorie des espaces métriques, puisqu'elles donnent le meme système de
voisinages de zéro. I
d=d-
l s'ensuit que si E est complet pour l'une d'elles, il est
complet pour toutes les autres. On dira dans ce cas E est un elc métrisable
et complet, ou encore un espace de Fréchet.
Ex.1 Tout
Exemples
c
ntn
espace de Banach est un espace de Fréchet.
Ex.2 L'espace C(), muni de la suite croissante des semi-normes
f:Supf(t), est un espace de Fréchet.
Ex.3 Plus généralement soit X un espace
£
=
¡
( )
n
nc
localement compact, dénombrable à
l'infini, c'est-à-dire admettant une base dénombrable croissante de
compacts K (donc tout compact K de X est contenu dans l'un des
K). Alors C
c
() est un espace de Fréchet.
Ex.4 Soit un ouvert du plan complexe. C'est un espace localement compact
dénombrable à l'infini, donc C() est un espace de Fréchet.
Désignons par ()
WW
W
¡
H
c
l'espace des fonctions holomorphes sur et
munissons-le de la topologie de la convergence compacte sur , ce qui
en fait un sous-espace topologique de C(). Alors un théorème classiqu
W
W
W
n
e
de Weierstrass assure que toute fonction sur , limite uniforme sur
ˆ
tout compact d'une suite f de fonctions holomorphes, est elle-meme
holomorphe, autrement dit que () est f
W
WHc ermé dans C(). Il suit de
là qu'il est donc nécessairement semi-complet. D'où : W

() est un espace de Fréchet.
Ex.5 Soit l'espace des fonctions indéfiniment dérivables sur , muni de
la topologie de la convergence compacte pour les fonctions et chacune
de leurs dé
W
¡
H
E
( )
(k)
mtm
0km
n
rivées. Il admet un système fondamental dénombrable de
semi-normes :
f:Supf(t),
c'est donc un espace métrisable. Mais une suite de Cauchy f dans
converg
£
££
=
E(k)
nn
e uniformément sur tout compact, ainsi que chacune des
suites f, d'où il suit, par les théorèmes classiques de convergence
uniforme, qu'il existe f telle que ff dans . Ainsi :ήEE
[]
[]
[]
a,b
a,b
est un espace de Fréchet.
Ex.6 Soit le sous-espace de formé des fonctions f, nulles en
dehors de a,b. C'est évidemment un sous-espace fermé de . Donc :
est aussi un espace de F
Î
E
DEE
E
D
nn
réchet.
Ex.7 Soit E une suite d'espaces métrisables. Alors le produit E:E
est un elc métrisable. Par exemple un produit dénombrable d'espaces
normés est métrisable (et non normable
=Õ
{ }
( )
n
n
k
nkn
si les E sont non réduits à 0).
Ex.8 L'espace de toutes les suites : est métrisable, avec le jeu de
semi-normes :
:Max.
Il est d'ailleurs manifestement semi-comp
£
x=x
x=x
¥
¡
let. Donc :
est un espace de Fréchet.
¥
¡

C'est là un paragraphe important. On sait en effet que dans un espace
métrique X, le critère de Bolzano-Weierstrass est valable et s'énonce ainsi :
pour qu'une
La compacité dans un espace de Fréchet
()
j
nn
partie AX soit relativement compacte, il faut et il suffit que
toute suite xA possède une sous-suite x convergente dans X.
Ce critère appliqué à un espace de Fréchet va donner des résultats inté
Ì
Î
ressants.
Tout d'abord :
(1.4.4) LEMME. Soit E un elc séparé.
a) Pour toute partie finie P de E l'enveloppe disquée (P) est
compacte.
b) Pour toute partie compacte K
G
12p
p
ii
i1
de E et tout voisinage de zéro disqué
V, il existe une partie finie M de E telle que (K)MV.
Preuve : a) Soit x,x,...,x les éléments de P. Alors (P) est formée des
points x
=
GÌ+
G
l
åp
i
i1 p
pi
1i1
p
, où 1. Il existe donc une application continue surjective
de la boule unité A de l'espace muni de la norme :, dans la
partie (P) ; or A est un compact de , donc (P) est compact
=
=
l£
l=l
GG
å
å
¡
¡e.
b) Déjà, pour raison de compacité, il existe une partie finie P telle
VVV
que KP, d'où (K)(P) puisque (P) est un disque. Mais
222
d'après a) il existe aussi une partie finie M telle
Ì+GÌG+G+
V
que (P)M. Alors
2
VV
(K)MMV puisque V est disqué
22
REMARQUE. L'assertion b) ne permet pas de déduire la compacité relative
de (K). D'ailleurs ceci est faux en général, comme le montre l'ex.
GÌ+
GÌ++Ì+
G
W
9.
Toutefois, on a :
(1.4.5) THEOREME. Soit E un espace de Fréchet.
L'enveloppe disquée (K) de tout compact K de E est relativement
compacte.
Preuve : Avec le critère de Bolzano-
G
n
Weierstrass il suffit de prouver que
toute suite x(K) possède une sous-suite convergente, c'est-à-dire une
sous-suite de Cauchy, puisque E est un espace de Fréchet. Or le lemme
implique que pour tout
ÎG
Vpq
V
voisinage de zéro disqué V, il existe nécessairement
une partie infinie N de l'ensemble des entiers telle que xxV pour
tous p,qN.
Alors la preuve qui suit est intéressante car elle utilise pour
-Î
Î
¥
( )
n1
la première fois
ce qu'on appelle le "procédé diagonal". En effet fixons une base dénombrable
décroissante V de voisinages de zéro disqués dans E. Déjà il existe ,
une partie infinie de , telle que
p
¥
¥
( )
1
1pq1
n2
n
212pq2
,qxxV.
En recommençant avec la suite x, et avec le voisinage V on obtient
une parties infinies telle que
p,qxxV.
En poursuivant l'opération, on construit une suite de parties
Î
ÎÞ-Î
ÌÎÞ-Î
¥
¥
¥¥
¥
12 kpq
kk
infinies
......, telle que :
p,qxxV.
ÉÉÉÉ ÎÞ-Î ¥¥¥
¥

k
(1)(1)(1)
112 k
(2)(2)(2)
212 k
(k)
1
k
Construisons maintenant un tableau faisant apparaitre explicitement les
éléments des parties :
nn..........n..........
nn..........n..........
nn
<<<<
<<<<
<
¥
¥
¥
MMMM
¥
()
()
k
(k)(k)
2k
(k)
kk
ppm
k
n
..........n..........
et considérons la suite "diagonale" m:n.
Alors pk implique m de sorte que la sous-suite x de
la suite x initiale vérifie les conditions suivantes :
p
<<<
=
³ÎÌ
MMMM
¥¥
pq
mmk
,qkxxV
ce qui exprime bien que c'est une suite de Cauchy et termine la démonstration
Elles ont quelques propriétés assez spéciale que nous all
³Þ-Î
Les parties bornées dans un elc métrisable
W
nBB
ons maintenant étudier.
Tout d'abord remarquons que si B est un disque borné d'un elc séparé E et
si xE est une suite convergente vers zéro dans E (ce qui signifie qu'
il existe une suite numérique
Îennnn
B
0 telle que xB) alors x0 dans E,
tout voisinage disqué de zéro V dans E absorbe B (ou encore l'injection
canonique EE est continue). En général la réciproque est fausse. Il est
donc remarquable
®Îe®
®
n
qu'elle soit vraie dans le cas d'un espace métrisable. En effet :
(1.4.6) THEOREME. Soit E un elc métrisable et x0 une suite de E
convergente vers zéro. Alors il existe un disque borné B d
®
( )
( ) ( )
nB
n
n
e E tel
que x converge vers zéro dans l'espace normé E.
Preuve : Soit V une base dénombrable décroissante de voisinages de
zéro disqués dans E. La suite x est évidemment bornée donc il e
mnmmmm
m
nB
xiste
des scalaires 0 tels que xV pour tous n,m. Posons B:mV ;
alors B est un disque absorbé par tout V : il est donc borné. On va montrer
que x0 dans E en prouvant que, pour tout 0, i
l>Îl=Çl
®e>
nmm
1
m
n
mmmm
l existe un entier N
tel que nNxB. Soit V:mV ; on a là un voisinage de zéro
disqué, donc il existe N tel que nNxV. Remarquons maintenant que
1
pour m alors VmV, de sorte q
e
e
<e
ee
³ÞÎe=el
³ÞÎ
³lÌel
e
I
nmm
1
m
nmmn
m
ue xmV pour tout n.
Donc si nN on a bien xmV, c'est-à-dire précisément xB
On tire de là un résultat important :
(1.4.7) THEOREME. Dans un elc métrisable E tout disque bornivore
³e
e
Îl
³ÎlÎW
I
I
()
n
est un
voisinage de zéro. Autrement dit, avec les notations de l'ex.24,
tout elc métrisable est bornologique.
Preuve : Soit D un disque bornivore et V une base dénombrable
décroi
( )
nnnnn
ssante de voisinages de zéro disqués dans E. Alors il existe n tel que
DV : car sinon il existe une suite xV telle que xD. La suite x
converge vers zéro dans E, donc, avec (1.4.6), il existe un
ÉÎÏ
nnn
nnn
borné B et une
suite 0 tels que xB. Or D étant bornivore, il existe 0 tel
que BD, d'où xD et la contradiction est obtenue dès que 1
e®Îel>
ÌlÎelel£
W