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1.4 Les espaces métrisables et les espaces de Fréchet
ˆ temps qu'ils
Ils vont généraliser agréablement les espaces normés en meme
vont permettre l'utilisation des propriétés générales des espaces métriques.
Introduisons tout d'abord une définition : un elc E est dit métrisable lorsque
ˆ
sa topologie peut etre
définie par une distance. Il est alors nécessairement
séparé. Toutefois il faut prendre garde au fait suivant : la distance définissant
la topologie de E n'a rien de canonique et beaucoup d'autres distances sur E
ˆ
ˆ ; c'est la raison pour laquelle on dit que l'espace
peuvent jourer le meme
role
est "métrisable" et non pas "métrique".
La caractérisation la plus pratique est donnée par :
(1.4.1) THEOREME. Soit E un elc séparé. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
a) E est métrisable ;
b) E possède un système fondamental dénombrables de voisinages
de zéro disqués ;
ˆ
c) la topologie de E peut etre
définie par une suite croissante
de semi-normes ( pn ) ;
ˆ
d) la topologie de E peut etre
définie par une distance invariante
par translation.
Preuve : Il est clair que d Þ a Þ b. D'ailleurs dans b) on peut supposer
l'existence d'une suite fondamentale décroissante ( Vn ) de voisinages de
zéro disqués, de sorte que b Þ c. Le point délicat est la preuve de c Þ d.
Fixons donc la suite ( pn ) de semi-normes, telle que pn £ pn +1 . Et introduisons
la fonctionnelle d sur E :
d(x) :=
¥
å 2-n Inf (1,pn (x))
n =1
On a alors :
- 0 £ d(x) £ 1 ; d(-x) = d(x) ;
- d(x) = 0 Û x = 0
- d(x + y) £ d(x) + d(y)
La dernière inégalité étant une simple conséquence du fait que la fonction
j(t) := Inf(1, t), vérifie pour u ³ 0 et v ³ 0, l'inégalité j(u + v) £ j(u) + j(v).
En posant donc d(x, y) := d(x - y), on obtient là une distance d sur E, invariante
par translation puisque d(x + a, y + a) := d(x, y). Il faut maintenant voir que
ˆ
la topologie définie par d est la meme
que celle définie par l'ensemble des
semi-normes ( pn ) . Pour cela il suffit de comparer le système des boules Bd (r)
relatives à la distance d et centrées à l'origine, au système des boules Bpn (r).
r
Toute boule Bd (r), r < 1, contient une boule Bp ( ). En effet, soit N tel que
N 2
r
r
r
-N
2 £ . Alors x Î Bp ( ) implique pn (x) £ pour tout n £ N ; donc
N 2
2
2
¥
r ¥ -n
r
-n
d(x) £ å 2 + å 2 £ + 2-n £ r
2 n=1
2
n =N+1
et par suite x Î Bd (r).
Toute boule Bp (r), r < 1, contient la boule Bd (2 -n r). En effet, la condition
n
d(x) £ 2-n r implique Inf (1,pn (x)) £ r, donc aussi pn (x) £ r, soit x Î Bp (r) W
n
ˆ des suites dans un elc métrisable
Le role
On peut définir la notion de suite convergente dans un elc quelconque. La
suite xn Î E est dite convergente vers x Î E si et seulement si, pour tout
voisinage de zéro V, il existe un entier N tel que xn Î V pour tout n ³ N.
Dans un elc séparé, la limite est unique.
Toutefois cette notion est mal adaptée aux questions topologiques dans le
cas général, car les no tions d'adhérence et de continuité ne se traduisent
pas en termes de suites (il y faudrait les filtres !). Cependant, dans le cas
ˆ
d'un espace métrisable, de meme
que dans le cas d'un espace normé, la
considération des suites est suffisante : c'est une conséquence de l'existence
d'une base dénombrable (décroissante) ( Vn ) de voisinages de zéro. En effet :
(1.4.2) THEOREME. Soit E un elc métrisable.
a) Pour qu'une application linéaire f : E ® F, de E dans un elc
quelconque F, soit continue il faut et il suffit que pour toute
suite xn ® 0 dans E on ait f(xn ) ® 0 dans F.
b) Pour qu'une partie A Ì E soit fermée il faut et il suffit que
pour toute suite xn Î A, convergente dans E vers un point x,
on ait x Î A.
REMARQUE. On prendra garde que ces caractérisations ne sont pas valables
ˆ considérable
pour le cas d'un elc non métrisable. Elles donnent donc un intéret
à la notion d'elc métrisable, d'autant plus que la théorie des distributions,
objet de ce cours, fait un usage intensif de ces espaces.
Espaces de Fréchet
Supposons E métrisable. Alors toutes les distances invariantes par translation
(donc déterminés par une "distance à l'ori gine" d selon d(x, y) := d(x - y)) et
définissant la topologie de E sont nécessairement équivalentes au sens de la
ˆ
théorie des espaces métriques, puisqu'elles donnent le meme
système de
voisinages de zéro. Il s'ensuit que si E est complet pour l'une d'elles, il est
complet pour toutes les autres. On dira dans ce cas E est un elc métrisable
et complet, ou encore un espace de Fréchet.
Exemples
Ex.1 Tout espace de Banach est un espace de Fréchet.
Ex.2 L'espace Cc ( ¡), muni de la suite croissante des semi-normes
f n := Sup f(t) , est un espace de Fréchet.
t £n
Ex.3 Plus généralement soit X un espace localement compact, dénombrable à
l'infini, c'est-à-dire admettant une base dénombrable croissante de
compacts ( Kn ) (donc tout compact K de X est contenu dans l'un des
Kn ). Alors Cc ( ¡) est un espace de Fréchet.
Ex.4 Soit W un ouvert du plan complexe. C'est un espace localement compact
dénombrable à l'infini, donc Cc ( W) est un espace de Fréchet.
Désignons par H( W) l'espace des fonctions holomorphes sur W et
munissons-le de la topologie de la convergence compacte sur W, ce qui
en fait un sous-espace topologique de Cc ( W). Alors un théorème classiqu e
de Weierstrass assure que toute fonction sur W, limite uniforme sur
ˆ
tout compact d'une suite fn de fonctions holomorphes, est elle-meme
holomorphe, autrement dit que H( W) est f ermé dans Cc ( W). Il suit de
là qu'il est donc nécessairement semi-complet. D'où :
H(W) est un espace de Fréchet.
Ex.5 Soit E l'espace des fonctions indéfiniment dérivables sur ¡, muni de
la topologie de la convergence compacte pour les fonctions et chacune
de leurs dérivées. Il admet un système fondamental dénombrable de
semi-normes :
f m := Sup f(k) (t) ,
t £m
0£k £m
c'est donc un espace métrisable. Mais une suite de Cauchy ( fn ) dans
E converge uniformément sur tout compact, ainsi que chacune des
suites fn(k) , d'où il suit, par les théorèmes classiques de convergence
uniforme, qu'il existe f Î E telle que fn ® f dans E . Ainsi :
E est un espace de Fréchet.
Ex.6 Soit D [ a,b ] le sous-espace de E formé des fonctions f Î E , nulles en
dehors de [ a,b ] . C'est évidemment un sous-espace fermé de E . Donc :
D [ a,b ] est aussi un espace de Fréchet.
Ex.7 Soit En une suite d'espaces métrisables. Alors le produit E := Õ En
est un elc métrisable. Par exemple un produit dénombrable d'espaces
normés est métrisable (et non normable si les En sont non réduits à { 0 } ).
Ex.8 L'espace ¡ ¥ de toutes les suites x := ( xn
semi-normes :
x := Max xk .
n
k £n
)
est métrisable, avec le jeu de
Il est d'ailleurs manifestement semi-comp let. Donc :
¡ ¥ est un espace de Fréchet.
La compacité dans un espace de Fréchet
C'est là un paragraphe important. On sait en effet que dans un espace
métrique X, le critère de Bolzano-Weierstrass est valable et s'énonce ainsi :
pour qu'une partie A Ì X soit relativement compacte, il faut et il suffit que
toute suite xn Î A possède une sous-suite xnj convergente dans X.
( )
Ce critère appliqué à un espace de Fréchet va donner des résultats inté ressants.
Tout d'abord :
(1.4.4) LEMME. Soit E un elc séparé.
a) Pour toute partie finie P de E l'enveloppe disquée G(P) est
compacte.
b) Pour toute partie compacte K de E et tout voisinage de zéro disqué
V, il existe une partie finie M de E telle que G(K) Ì M + V.
Preuve : a) Soit x1 , x2 ,..., xp les éléments de P. Alors G(P) est formée des
points
p
p
i=1
i=1
å li xi , où å
li £ 1. Il existe donc une application continue surjective
p
de la boule unité A de l'espace ¡ muni de la norme
l
1
:=
p
å
i=1
li , dans la
partie G(P) ; or A est un compact de ¡p , donc G(P) est compacte.
b) Déjà, pour raison de compacité, il existe une partie finie P telle
V
V
V
que K Ì P + , d'où G(K) Ì G(P) +
puisque G(P) +
est un disque. Mais
2
2
2
V
d'après a) il existe aussi une partie finie M telle que G(P) Ì M + . Alors
2
V V
G(K) Ì M + + Ì M + V puisque V est disqué W
2 2
REMARQUE. L'assertion b) ne permet pas de déduire la compacité relative
de G(K). D'ailleurs ceci est faux en général, comme le montre l'ex. 9.
Toutefois, on a :
(1.4.5) THEOREME. Soit E un espace de Fréchet.
L'enveloppe disquée G(K) de tout compact K de E est relativement
compacte.
Preuve : Avec le critère de Bolzano-Weierstrass il suffit de prouver que
toute suite xn Î G(K) possède une sous-suite convergente, c'est-à-dire une
sous-suite de Cauchy, puisque E est un espace de Fréchet. Or le lemme
implique que pour tout voisinage de zéro disqué V, il existe nécessairement
une partie infinie NV de l'ensemble des entiers ¥ telle que xp - xq Î V pour
tous p, q Î NV .
Alors la preuve qui suit est intéressante car elle utilise pour la première fois
ce qu'on appelle le "procédé diagonal". En effet fixons une base dénombrable
décroissante ( Vn ) de voisinages de zéro disqués dans E. Déjà il existe ¥ 1 ,
une partie infinie de ¥, telle que
p, q Î ¥ 1 Þ xp - xq Î V1 .
En recommençant avec la suite ( xn )nÎ¥ , et avec le voisinage V2 on obtient
1
une parties infinies ¥ 2 Ì ¥ 1 telle que
p, q Î ¥ 2 Þ xp - xq Î V2 .
En poursuivant l'opération, on construit une suite de parties infinies
¥ 1 É ¥ 2 É ... É ¥ k É ..., telle que :
p, q Î ¥ k Þ xp - xq Î Vk .
Construisons maintenant un tableau faisant apparaitre explicitement les
éléments des parties ¥ k :
¥1
n1(1) < n2(1) < .......... < nk (1) < ..........
¥2
M
n1(2)
M
< n2(2)
M
< .......... < nk(2)
M
< ..........
¥k
n1(k)
< n2(k)
< .......... < nk(k)
< ..........
M
M
M
M
(k)
et considérons la suite "diagonale" mk := nk .
Alors p ³ k implique mp Î ¥ p Ì ¥ k de sorte que la sous-suite xmk de
la suite ( xn ) initiale vérifie les conditions suivantes :
p, q ³ k Þ xmp - xmq Î Vk
ce qui exprime bien que c'est une suite de Cauchy et termine la démonstration W
(
)
Les parties bornées dans un elc métrisable
Elles ont quelques propriétés assez spéciale que nous all ons maintenant étudier.
Tout d'abord remarquons que si B est un disque borné d'un elc séparé E et
si xn Î EB est une suite convergente vers zéro dans EB (ce qui signifie qu'
il existe une suite numérique en ® 0 telle que xn Î en B) alors xn ® 0 dans E,
tout voisinage disqué de zéro V dans E absorbe B (ou encore l'injection
canonique EB ® E est continue). En général la réciproque est fausse. Il est
donc remarquable qu'elle soit vraie dans le cas d'un espace métrisable. En effet :
(1.4.6) THEOREME. Soit E un elc métrisable et xn ® 0 une suite de E
convergente vers zéro. Alors il existe un disque borné B d e E tel
que ( xn ) converge vers zéro dans l'espace normé EB .
Preuve : Soit ( Vn ) une base dénombrable décroissante de voisinages de
zéro disqués dans E. La suite ( xn ) est évidemment bornée donc il e xiste
des scalaires l m > 0 tels que xn Î l mVm pour tous n, m. Posons B := Ç m l mVm ;
alors B est un disque absorbé par tout Vm : il est donc borné. On va montrer
que xn ® 0 dans EB en prouvant que, pour tout e > 0, i l existe un entier Ne
tel que n ³ Ne Þ xn Î eB. Soit V := e I m l mVm ; on a là un voisinage de zéro
m<
1
e
disqué, donc il existe Ne tel que n ³ Ne Þ xn Î V. Remarquons maintenant que
1
pour m ³ alors l mVm Ì e m l mVm , de sorte que xn Î I m l mVm pour tout n.
e
1
m³
e
Donc si n ³ Ne on a bien xn Î I m l mVm, c'est-à-dire précisément xn Î B W
m
On tire de là un résultat important :
(1.4.7) THEOREME. Dans un elc métrisable E tout disque bornivore est un
voisinage de zéro. Autrement dit, avec les notations de l'ex.24,
tout elc métrisable est bornologique.
Preuve : Soit D un disque bornivore et ( Vn ) une base dénombrable
décroissante de voisinages de zéro disqués dans E. Alors il existe n tel que
D É Vn : car sinon il existe une suite xn Î Vn telle que xn Ï D. La suite ( xn )
converge vers zéro dans E, donc, avec (1.4.6), il existe un borné B et une
suite en ® 0 tels que xn Î en B. Or D étant bornivore, il existe l > 0 tel
que B Ì lD, d'où xn Î en lD et la contradiction est obtenue dès que en l £ 1 W
(1.4.8) COROLLAIRE. Dans un espace de Fréchet tout disque complètement
bornivore est un voisinage de zéro. Autrement dit avec les notations
de l'ex.25, tout espace de Fréchet est ultrabornologique.
Preuve : Car il est facile de vérifier que dans un espace de Fréchet tout
disque borné fermé est complétant ; alors tout disque qui absorbe les
disques bornés complétants est bornivore, donc un voisinage de zéro. W
Exercices 26 à 36
Un certain nombre de propriétés fines des espaces de Banach se transportent
facilement aux espaces de Fréchet. On en trouvera quelques exemples dans
les exercices proposés.
EX.26 Soit X un espace localement compact. Montrer les équivalences :
a) Cc (X) normable Û X compact.
b) Cc (X) métrisable Û X dénombrable à l'infini.
EX.27 L'espace de Fréchet E n'est pas normable. On montrera que chacun
de ses voisinages de zéro contient une droite, ce qui revient à dire
qu'il n'existe aucune norme continue sur E.
EX.28 Soit W un ouvert connexe du plan complexe. Montrer que pour tout
compact infini K de W, la semi-norme, f K := Sup f(z) , qui est
zÎK
continue sur H(W), est une norme sur H(W). (On rappelle que les
zéros d'une fonction holomorphe non identiquement nulle sur un
ouvert connexe sont isolés).
EX.29 Soit E := Õ En un produit dénombrable d'elc métrisables ; E est don c
métrisable. Montrer que E est un espace de Fréchet si et seulement si
chaque En est un espace de Fréchet.
EX.30 Dans un espace de Fréchet tout disque absorbant fermé est un
voisinage de zéro.
EX.31 Soit E un elc séparé quelconque. On dit qu'une partie A de E est
semi-complète, lorsque toute suite de Cauchy de points de A converge
vers un point de A.
a) Montrer que tout disque borné et semi-complet de E est un disque
complétant.
b) En particulier dans un elc E séparé et semi-complet, tout disque
borné fermé est complétant.
EX.32 Soit E un elc métrisable. On suppose que E admet une base dénombrable
de (qu'on peut supposer croissante) de bornés Bn , c'est-à-dire que
tout borné de E est contenu dans l'un des Bn . Montrer que dans ces
conditions E est normable (théorème de Kolmogoroff).
On choisira une base dénombrable décroissante de voisinages de zéro
disqués Vn dans E et l'on montrera qu'il existe un entier n tel que
Vn Ì Bn .
(*) EX.33 (Théorème des isomorphismes de Banach)
Soit E,F deux espaces de Fréchet et f : E ® F une surjection
linéaire continue.
a) Montrer que pour tout voisin age de zéro disqué V dans E,
le disque fermé f(V) est un voisinage de zéro dans F.
(appliquer l'ex.30).
b) Prouver ensuite qu'on peut construire deux bases dénombrables
( Vn ) et ( Wn ) de voisinages de zéro disqués dans E et F
respectivement satisfaisant aux conditions :
1
1
Vn +1 Ì Vn ; Wn +1 Ì Wn ; f(Vn ) É Wn
2
2
c) En déduire par une démonstration à celle de l'ex.6 que
f(V1 ) É W2 , et plus généralement que f(Vp ) É Wp+1 .
d) Montrer ensuite que f transforme tout ouvert de E en ouvert
de F ("open mapping theorem").
e) Montrer enfin le théorème des isomorphismes de Banach :
THEOREME. Toute bijection linéaire continue entre deux espaces de Fréchet
est un isomorphisme.
EX.34 (Théorème du graphe fermé)
a) Soit f : E ® F une application linéaire. On appelle G le graphe de f ;
G est donc l'ensemble des points (x, y) de E ´ F tels que y = f(x).
Montrer que G est un sous-espace vectoriel du produit E ´ F.
b) On suppose de plus que f est continue. Montrer que G est un sousespace vectoriel fermé du produit E ´ F.
c) Réciproquement soit f : E ® F une application linéaire entre deux
espaces de Fréchet, dont le graphe G est supposé fermé. On
désigne respectivement par g : G ® E et h : G ® F les restrictions
à G des projections canoniques E ´ F ® E et E ´ F ® F.
- Montrer que G est un espace de Fréchet, quand on le munit de la
topologie induite par E ´ F.
- Montrer que H est continue, que g est une bijection linéaire continue
et que f se développe en f = h o g -1 .
En déduire avec le théorème des isomorphismes le théorème suivant,
dit du graphe fermé :
THEOREME. Pour qu'une application linéaire f : E ® F entre deux espaces
de Fréchet soit continue, il faut et il suffit que son graphe G soit fermé dans
le produit E ´ F.
d) Montrer que le théorème du graphe fermé reste valable lorsqu'on
suppose F espace de Fréchet et E ultrabornologique (ex.25).
On pourra remarquer que si f : E ® F est linéaire et si son graphe
est fermé, alors pour tout disque borné complétant A de E, l'
application fA : EA ® F, restriction de f à EA, a aussi son graphe
fermé et conclure avec c) et ex.25 d).
EX.35 Soit H := H(£) l'espace des fonctions entières (c'est-à-dire
holomorphes dans tout le plan complexe). Soit S l'espace des suites
a := ( an ) de nombres complexes telles que lim n an = 0, autrement
¥
å
dit telles que toutes les séries
n =0
an rn soient convergentes pour
r > 0 quelconque.
On munit S du système des semi-normes suivantes, (qui sont d'ailleurs
des normes) :
a
:=
r
¥
å
n =0
an rn
, r > 0.
a) Montrer que S est un espace de Fréchet.
b) Montrer que l'application S ® H, qui associe à toute a := ( an
la série entière
¥
)
å an zn , est une bijection continue.
n =0
c) En déduire, avec le théorème des isomorphismes de Banach, que
H et S sont isomorphes.
d) Ce résultat était-il prévisible, par exemple comme conséquence
des inégalités de Cauchy ?
On pourra montrer que pour tout r > 0 et tout r > r il existe une
constante M telle que
¥
å
n =0
¥
pour toute f :=
an rn £ M Sup
z <r
å anz
n =0
n
¥
å an zn
n =0
Î H.
e) Montrer que l'espace de Fréchet H n'est pas normable. On pourra
remarquer que pour tout compact K de £, que l'on peut supposer
n
z
contenu dans le disque z £ r, la suite des fonctions æç ö÷ est
è r ø
bornée par 1 sur K et n'est pas bornée au point z := 2r, et déduire
ˆ
de cette remarque qu'aucun voisinage de zéro dans H ne peut etre
borné.
(*) EX.36 (Aperçus sur l'espace D)
On désigne par Dn := D [ -n,+n ] le sous-espace fermé de E , formé
des fonctions nulles en dehors [ -n, +n ]. On a donc Dn Ì Dn+1, de
sorte que la réunion D := ÈDn est un sous-espace vectoriel de E :
c'est l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à support
compact (c'est-à-dire nulles en dehors d'un comp act).
Montrer que tout disque W de D qui coupe chaque Dn suivant un
voisinage de 0 dans Dn est absorbant. On va donc placer sur D,
non pas la topologie indui te par celle de E , mais la topologie
définie par la famille (filtrante décroissante) de ces disques W
(topologie dite limite inductive).
ˆ
a) Montrer que les i njections Dn ® D sont continues, de meme
que l'injection D ® E .
b) Montrer qu'une application linéaire u de D dans un elc
quelconque F est continue si e t seulement si ses restrictions
aux espaces Dn sont continues.
c) Pour tout entier k et tout entier n, on pose :
Vkn := f | f Î Dn et f(j) £ 1 pour tout j £ k
{
Wk := U
n
Vkn
{
(j)
= f | f Î D et f
}
£ 1 pour tout j £ k
}
Montrer que Wk est un voisinage de zéro dans D et en déduire
que D induit sur chaque Dn exactement sa propre topo logie.
d) Soit f une fonction de D, n'appartenant pas à un espace Dn .
Montrer qu'il existe une constante l > 0 telle que l'ensemble
f + lW0 soit disjoin t de Dn . En déduire que chaque Dn est un
sous-espace (topologique) fermé dans D.
e) Soit fn Î D une suite telle que fn Ï Dn pour tout n. Montrer
qu'il existe une suite croissante d'entiers mn tels que fn Î Dmn
pour tout n, et une suite de points tn tels que n < tn < mn et
1
fn (tn ) ¹ 0. On pose alors bn := Inf fj (tj ) (la sui te bn est
j£n 2
donc décroissante), puis
W := { f | f Î D et f(t) £ bn si n £ tn £ mn }
Montrer que W est un disque contenant tous les disques bnV0n .
En déduire que W est un voisinage de zéro dans D tel que
fn Ï W pour tout n.
Montrer que la suite ( fn ) ne peut pas converger vers zéro
dans D.
f) Déduire de e) que tout borné B de D est contenu (et borné)
dans l'un des espaces Dn . (Supposant B Ë Dn pour tout n, on
1
construit une suite fn Î B telle que fn Ï Dn ; la première
n
condition implique fn ® 0 dans D et la seconde condition
implique exactement le contraire d'après e)).
g) Montrer que D est ultrabornologique et semi-complet.
h) On veut montrer ici que D est partout dense dans E ce qui,
avec le peu de moyens dont nous disposons, va nécessiter
quelques détours.
- Montrer d'abord que la fonction y définie par
ì
æ 1 ö
ï exp ç - ÷ si x > 0
y(x) := í
è x ø
ï
0
si x £ 0
î
est un élément de E .
- Montrer ensuite que la fonction j(x) := y(x) y(1 - x) est
1
x
1
élément de D. On pose A := ò j(t) dt puis F(x) := ò j(t) dt
A0
0
pour tout x. Démontrer que F Î E et que F(x) = 0 si x < 0
et F(x) = 1 si x ³ 1.
- Soit f Î E une fonction fixée. On considère deux intervalles
quelconques compacts [ a,b ] et [ a, b ] tels que a < a et b > b.
Montrer que la fonction g définie par
x-a ö æ b-x ö
g(x) := f(x) F æç
÷Fç
÷
è a - a ø è b -b ø
est un élément de D tel que :
· g(x) = f(x) pour tout x Î [ a,b ]
· g(x) = 0 en dehors de [ a, b ] .
- Déduire de tout cela la densité de D dans E .
i) Poursuivre en montrant que la topologie de D n'est pas métrisable,
ce qui implique qu'elle est strictement plus fine que celle induite
par E . (Supposant D métrisable, soit ( Vn ) une base dénombrable
décroissante de voisinages de zéro disqués de D ; montrer alors
qu'il existe un entier n tel que Vn Ì Dn , ce qui e ntraine Dn = D
puisque Vn est absorbant).
j) Terminer enfin en prouvant que dans l'espace non métrisable D
la propriété décrite par le théorème (1.4.6) reste valable.