Méthodes Numériques.

M´ethodes Num´eriques.
Licence 3`eme ann´ee, UFR 27
D. PENNEQUIN1
Ann´ee Universitaire 2015-2016
1UFR Math´ematiques et Informatique, Universit´e Paris 1, 90 rue de Tolbiac, 75647
Paris CEDEX, France. E-mail : p[email protected]

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Table des Mati`eres
1 Initiation `a SCILAB (version 5). 5
1.1 Introduction. ............................. 5
1.2 Premi`eres op´erations sur les r´eels et complexes. . . . . . . . . . . 7
1.3 Affectations et d´esaffectations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Fichiers de donn´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Editeur et fichiers scripts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Cr´eation d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Calcul vectoriel et matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1 Saisie. ............................. 13
1.6.2 Premi`eres op´erations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.3 Extraction de sous matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.4 Op´eration ´el´ement par ´el´ement (ou vectorisation). . . . . . 15
1.6.5 Fonctions compl´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.6 Valeurs propres et exponentielle de Matrice. . . . . . . . . 19
1.7 Courbesduplan. ........................... 20
1.8 Bool´eens et op´erateurs relationnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Boucles et structures conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.1 Bouclesfor. .......................... 23
1.9.2 Instruction while. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.3 Conditionif........................... 25
1.9.4 Testsd’arrˆets.......................... 25
1.9.5 Une application aux math´ematiques financi`eres. . . . . . . 26
1.10 Polynˆomes et fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.11Gestiondutemps............................ 28
2 Gestion des erreurs. 29
2.1 Erreurs. ................................ 29
2.1.1 Repr´esentation des nombres r´eels. . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Erreurs absolues et relatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 R`egles de calculs sur les erreurs. . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.4 Exercices. ........................... 32
2.2 Propagation des erreurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Erreurs dans les syst`emes lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Normes vectorielles et matricielles. . . . . . . . . . . . . . 34
3

4TABLE DES MATI ` ERES
2.3.2 Effets des incertitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Calcul Scientifique. 39
3.1 Interpolation. ............................. 39
3.1.1 Conditions en un seul point. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Conditions en plusieurs points avec αi= 0 pour tout i. . . 41
3.2 MoindresCarr´es. ........................... 42
3.2.1 Unexemple........................... 42
3.2.2 Lath´eorie............................ 43
3.2.3 Interpr´etation g´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.4 Solution Scilab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Calculdes´eries............................. 44
3.3.1 Th´eorie. ............................ 44
3.3.2 Exemples. ........................... 46
3.3.3 Un exemple d’acc´el´eration de convergence. . . . . . . . . . 46
3.3.4 Limites du calcul num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Racines et extrema de fonctions d’une variable. . . . . . . . . . . 47
3.4.1 M´ethode de dichotomie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.2 M´ethode issue du th´eor`eme du point fixe. . . . . . . . . . . 48
3.4.3 M´ethode de la s´ecante et m´ethode de Newton. . . . . . . . 49
3.4.4 It´eration des m´ethodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.5 M´ethode de Newton et point fixe. . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.6 Convergence des m´ethodes de la s´ecante et de Newton. . . 51
3.4.7 Un exercice conclusif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Calcul approch´ee de d´eriv´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1 Introduction. ......................... 53
3.5.2 G´en´eralit´es sur les m´ethodes. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Retour sur les exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.4 Fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Calcul d’int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.1 Introduction. ......................... 55
3.6.2 G´en´eralit´es sur les m´ethodes ´el´ementaires. . . . . . . . . . 56
3.6.3 Exemples classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.4 M´ethodes compos´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.5 Calcul d’int´egrales : m´ethodes de Gauss. . . . . . . . . . . 62
3.7 R´esolution d’Equations Diff´erentielles du premier ordre. . . . . . . 66
3.7.1 La fonction ode deSCILAB.................. 66
3.7.2 M´ethode d’Euler (explicite). . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8 R´esolution d’Equations Diff´erentielles du second ordre. . . . . . . 67
3.8.1 Probl`emes de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8.2 Probl`emes aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.9 Etude des syst`emes 2 ×2autonomes................. 69
3.10 R´esolution d’EDP : m´ethode des diff´erences finies. . . . . . . . . . 69

TABLE DES MATI ` ERES 5
4 Probabilit´es et Statistiques. 71
4.1 Introduction.............................. 71
4.2 Nombres pseudo-al´eatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.1 Un syst`eme chaotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.2 Nombres pseudo-al´eatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Lesloisusuelles............................. 73
4.3.1 Loisdiscr`etes.......................... 73
4.3.2 Loisuniformes. ........................ 74
4.3.3 Loisnormales.......................... 75
4.3.4 Simulation d’autres lois usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Th´eor`emes limites en Calcul des Probabilit´es. . . . . . . . . . . . 76
4.4.1 Loi des Grands Nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.2 Application de la Loi des Grands Nombres : distribution
d’une variable al´eatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.3 Th´eor`eme Central Limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Estimation ponctuelle et ensembliste. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6 Simulation. .............................. 78
4.7 La m´ethode de Monte-Carlo et ses applications. . . . . . . . . . . 79
4.7.1 Application aux calculs d’int´egrales. . . . . . . . . . . . . . 80
4.7.2 Application aux EDP issues de la finance. . . . . . . . . . 81
5 Sujets pos´es ant´erieurement. 83
5.1 Interrogation de d´ecembre 2005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Partiel janvier 2006. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Partiel septembre 2006. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Interrogation de novembre 2006. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5 Interrogation de janvier 2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6 Partiel de janvier 2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.7 Interrogation de janvier 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.8 Interrogation de janvier 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.9 Interrogation de janvier 2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.10 Partiel de janvier 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.11 Partiel de juin 2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.12 Interrogation de novembre 2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.13 Partiel de Juin 2012. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.14 Interrogation de d´ecembre 2012. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.15 Partiel de janvier 2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.16 Partiel de juin 2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.17 Interrogation de novembre 2013 (1h20). . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.18 Partiel de janvier 2014 (1h20). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.19 Partiel de juin 2014 (1h30). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.20 Enonc´e de l’interrogation de novembre 2014 (1h). . . . . . . . . . 110
5.21 Corrig´e de l’interrogation de novembre 2014. . . . . . . . . . . . . 110
5.22 Enonc´e de l’interrogation de d´ecembre 2014 (1h). . . . . . . . . . 111