Un circuit dérivateur

Applications des mathématiques:
Un circuit dérivateur
Mathématiques
Appliquées et
Génie Industriel
Résumé
Caractérisation d’un circuit dérivateur à l’aide de la transformée de
Laplace.
Domaines du génie
Électrique, Informatique.
Notions mathématiques
Équations différentielles, Transformée de Laplace
Cours pertinents
Équations différentielles
Auteur(es)
N.Khattabi
Sommaire
1 Introduction
2
2 Modélisation
3
3 Résolution
4
4 Interprétation des résultats
4
MAGI
Un circuit dérivateur
1
Introduction
Les circuits dérivateurs, très populaires dans le domaine de l’éléctronique, permettent d’obtenir un signal
de sortie proportionnel à la dérivé du signal d’entrée. Ce type de circuit est fréquemment utilisé pour :
1. enlever la composante continue qui pourrait être indésirable dans un signal (la dérivée d’une
constante est égale à zéro).
2. démoduler un signal FM dans le domaine de la radiophonie.
La transformée de Laplace permet de caractériser des circuits avec cette propriété.
Nous verrons un des exemples les plus simples d’un circuit dérivateur et nous l’analyserons à l’aide de la
transformée de Laplace.


vout (t) = La tension à la sortie du circuit



v (t) = La tension à l’entrée du circuit
in

R = La résistance



C = La capacité du condensateur
2
MAGI
Un circuit dérivateur
2
Modélisation
Loi des mailles :
La loi des mailles stipule que la somme algébrique
des tensions le long de la maille est constamment
nulle :
n
X
VAk Ak−1 = 0.
k=2
En utilisant la loi d’Ohms, on obtient :
vout (t) = R i(t)
Par définition :
i(t) = C
dvc (t)
dvc (t)
. =⇒ vout (t) = RC
.
dt
dt
(1)
D’après la loi des mailles : vin (t) − vc (t) − vout (t) = 0.
vin (t) = vc (t) + vout (t).
dvc (t)
= vc (t) + RC
.
dt
3
(2)
Un circuit dérivateur
3
MAGI
Résolution
En appliquant la transformée de Laplace à l’équation 1 et à l’équation 2, on obtient :
(
Vout (s) = R C s Vc (s).
Vin (s) = Vc (s) + R C s Vc (s).
On déduit alors que :
Vout (s) =
RCs
Vin (s).
1 + RCs
Quand RC est très petit, le signal de sortie sera :
Vout (s) ≈ RCs Vin (s).
L −1 {Vout (s)} ≈ RC L −1 {s Vin (s)}.
dvin (t)
vout (t) ≈ RC
.
dt
4
Interprétation des résultats
La sortie sera approximativement la dérivée de l’entrée amplifiée ou atténuée par un facteur RC. En
général, les propriétés d’un circuit éléctrique sont déduites en éxaminant la transformée de Laplace de
l’équation différentielle qui modélise le circuit, comme nous l’avons fait ci-dessus.
4