Un circuit dérivateur

Applications des math´ematiques:
Un circuit d´erivateur
Math´ematiques
Appliqu´ees et
G´enie Industriel
R´esum´e Caract´erisation d’un circuit d´erivateur `a l’aide de la transform´ee de
Laplace.
Domaines du g´enie ´ Electrique, Informatique.
Notions math´ematiques ´ Equations diff´erentielles, Transform´ee de Laplace
Cours pertinents ´ Equations diff´erentielles
Auteur(es) N.Khattabi
Sommaire
1 Introduction 2
2 Mod´elisation 3
3 R´esolution 4
4 Interpr´etation des r´esultats 4

Un circuit d´erivateur MAGI
1 Introduction
Les circuits d´erivateurs, tr`es populaires dans le domaine de l’´el´ectronique, permettent d’obtenir un signal
de sortie proportionnel `a la d´eriv´e du signal d’entr´ee. Ce type de circuit est fr´equemment utilis´e pour :
1. enlever la composante continue qui pourrait ˆetre ind´esirable dans un signal (la d´eriv´ee d’une
constante est ´egale `a z´ero).
2. d´emoduler un signal FM dans le domaine de la radiophonie.
La transform´ee de Laplace permet de caract´eriser des circuits avec cette propri´et´e.
Nous verrons un des exemples les plus simples d’un circuit d´erivateur et nous l’analyserons `a l’aide de la
transform´ee de Laplace.
vout(t) = La tension `a la sortie du circuit
vin(t) = La tension `a l’entr´ee du circuit
R=La r´esistance
C=La capacit´e du condensateur
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Un circuit d´erivateur MAGI
2 Mod´elisation
Loi des mailles :
La loi des mailles stipule que la somme alg´ebrique
des tensions le long de la maille est constamment
nulle :
n
X
k=2
VAkAk−1= 0.
En utilisant la loi d’Ohms, on obtient :
vout(t) = R i(t)
Par d´efinition :
i(t) = Cdvc(t)
dt .=⇒vout(t) = RC dvc(t) dt .(1)
D’apr`es la loi des mailles : vin(t)−vc(t)−vout(t) = 0.
vin(t) = vc(t) + vout(t).
=vc(t) + RC dvc(t)
dt .(2)
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Un circuit d´erivateur MAGI
3 R´esolution
En appliquant la transform´ee de Laplace `a l’´equation 1 et `a l’´equation 2, on obtient :
(Vout(s) = R C s Vc(s).
Vin(s) = Vc(s) + R C s Vc(s).
On d´eduit alors que :
Vout(s) = RCs
1 + RC s Vin(s).
Quand RC est tr`es petit, le signal de sortie sera :
Vout(s)≈RC s Vin(s).
L−1{Vout(s)} ≈ RC L−1{s Vin(s)}.
vout(t)≈RC dvin(t)
dt .
4 Interpr´etation des r´esultats
La sortie sera approximativement la d´eriv´ee de l’entr´ee amplifi´ee ou att´enu´ee par un facteur RC. En
g´en´eral, les propri´et´es d’un circuit ´el´ectrique sont d´eduites en ´examinant la transform´ee de Laplace de
l’´equation diff´erentielle qui mod´elise le circuit, comme nous l’avons fait ci-dessus.
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