R - ESPCI - Catalogue des Cours

CORRIGÉS DES EXERCICES D’AUTO-ÉVALUATION
INTRODUCTION
MESURE DES CARACTÉRISTIQUES D’UN GÉNÉRATEUR DE TENSION :
Influence de la résistance du voltmètre de mesure sur l’estimation de la résistance interne
d’un générateur de tension
On désigne par RV la résistance du voltmètre.
Lorsque l'on fait la mesure "en circuit ouvert",
la tension mesurée V1 n'est pas E, mais
RV
.
E
r + RV
Lorsque l'on fait varier la résistance RC, celle-ci
voit un générateur de Thévenin :
•
dont la tension de Thévenin est E
RV
,
r + RV
• dont la résistance de Thévenin équivalente est r en parallèle avec RV.
Donc la résistance R1/2 pour laquelle on trouvera une tension moitié de la tension mesurée "en
circuit ouvert" est : R1/2 = r // RV = r RV / (r + RV).
Donc r =
R1 2 RV
.
RV − R1 2
R1 2 RV
r − R1 2
L'erreur relative est donc
r
=
RV − R1 2
− R1 2
=
R1 2 RV
R1 2
RV
= 50%
RV − R1 2
Remarque
On obtient évidemment le même résultat, mais avec des calculs plus compliqués, si l'on n'utilise
pas le théorème de Thévenin. En effet, la tension V1 vaut :
RC RV
V1 = E
RC //RV
r + RC //RV
RC + RV
=E
r+
RC RV
=E
(
(
12
V
)
)
12
V
(
r R1 2 + RV + R1 2RV = 2R1 2RV r + RV
r=
R1 2RV
RV − R1 2
On retrouve bien le résultat précédent.
)
r RC + RV + RC RV
RC + RV
La résistance R1/2 est telle que V2 = V1 / 2 :
R1 2RV
1 R
E
= E V
2 r + RV
r R +R +R R
(
RC RV
)
.
NORTON ET THÉVENIN : CAS PARTICULIERS
Générateur de Norton équivalent à
•
•
•
Le courant de court-circuit est E / R1.
Remplaçant la source de tension par un court-circuit on voit que la résistance interne
est R1 // R2
Le générateur de Norton équivalent est donc :
On vérifie facilement que la tension en circuit ouvert est bien
R2
E R1 R2
.
=E
R1 R1 + R2
R1 + R2
ADAPTATION D'IMPÉDANCES
Adaptation d’impédances : condition de dissipation maximale de puissance dans la charge,
en régime sinusoïdal
On pose : ZS = RS + jXS , ZC = RC + jXC .
On rappelle que la puissance instantanée en régime sinusoïdal a pour expression
1
p = Re vi * où i* désigne la valeur complexe conjuguée de i, soit
2
⎞
ZC
1 ⎛
e*
p = Re ⎜ e
⎟
2 ⎝ Z S + ZC Z S + ZC * ⎠
( )
(
=
1
ee *
2
RS + RC
(
)
RC
) +(X
2
S
+ XC
)
2
∂p
= 0 ⇒ −2RC X S + X C = 0 ⇒ X C = − X S
∂X C
(
)
La puissance devient alors p =
RC
1
ee *
2
RS + RC
(
)
2
En minimisant par rapport à RC, on trouve évidemment la même condition qu'en continu :
RS = RC.
La condition d’adaptation est donc ZC = Z S* .
ÉLECTRONIQUE LOGIQUE ET NUMÉRIQUE
SIMPLIFICATION DES FONCTIONS LOGIQUES (2)
F = A+D
CODAGE D’UN CLAVIER
Si l’on réalise un NAND des entrées du codeur, on crée un signal 1 si une au moins des
entrées est à zéro, c’est-à-dire si une au moins des entrées est active.
DIODES
DIODE ZENER - RÉGULATION
Équations du circuit :
V’ = RC IC
V’ = V – RS I
V’ = VZ + rZ IZ
I = IC + IZ
⎛ V ' V '− VZ ⎞
D’où : V ' = V − RS ⎜
, soit V ' =
+
rZ ⎟⎠
⎝ RC
dV '
=
dV
1
⎛ 1
1⎞
1 + RS ⎜
+ ⎟
⎝ RC rZ ⎠
=
V + RS
VZ
rZ
⎛ 1
1⎞
1 + RS ⎜
+ ⎟
⎝ RC rZ ⎠
rZ
r
1
1
≈ Z
r
RS rZ
RS rZ
+ Z +1
+1
RS RC
RC
CONCEPTION DE CIRCUITS INTÉGRÉS CMOS
TRANSISTOR EN RÉGIME SATURÉ
Schéma équivalent selon Norton d'un transistor MOS en régime saturé :
Conservation du courant :
⎛
Vds ⎞
⎜
VDD − Vds ⎛
VDD ⎞
R0 ⎟ β
⎜
⎟ = V − Vt
I ds = I 0 −
= ⎜ I0 −
1+
VDD ⎟ 2 gs
R0
R0 ⎟⎠ ⎜
⎝
I0 −
⎜
R0 ⎟⎠
⎝
(
Par identification : I 0 −
D'où : R0 =
(
VDD β
= Vgs − Vt
R0
2
1
(
)
; I0 =
(
)
2
β
V − Vt
2 gs
) (1 + λV )
2
ds
Vds
R0
;
= λVds
VDD
I0 −
R0
) (1 + λV )
2
DD
2
β
Vgs − Vt
2
Si λ tend vers zéro, la résistance interne du générateur de courant R0 tend vers l'infini : le
transistor MOS devient un générateur de courant continu idéal.
λ
MULTIPLEXEUR CMOS
Concevoir un multiplexeur CMOS "8 dans 1"
TRANSISTORS BIPOLAIRES
SCHÉMA ÉQUIVALENT « PETITS SIGNAUX »
En raison de l’effet Early, le transistor bipolaire en régime linéaire n’est pas un générateur de
courant parfait :
⎡ V ⎤
IC = I0 ⎢1 + CE ⎥
VA ⎦
⎣
avec I0 = IS exp (VBE /VT ) et I0 = β IB.
La composante variable iC du courant de collecteur dépend de VBE et de VCE :
⎛ ∂I ⎞
⎛ ∂I ⎞
⎛ ∂I ⎞
⎛ ∂I ⎞
iC = δ IC = ⎜ C ⎟ δVBE + ⎜ C ⎟ δVCE = ⎜ C ⎟ vBE + ⎜ C ⎟ vCE
⎝ ∂VBE ⎠ V
⎝ ∂VBE ⎠ V
⎝ ∂VCE ⎠ V
⎝ ∂VCE ⎠ V
CE
=
BE
CE
BE
V ⎞
I0 ⎛
I
I
I
1 + CE ⎟ vBE + 0 vCE ≈ 0 vBE + 0 vCE
⎜
VT ⎝
VA ⎠ V
VA
VT
VA
CE
Or i0 = (1/rE) vBE = β iB, d’où :
iB =
1
v
β rE BE
V
1
vCE avec r0 = A
r0
I0
Ces équations sont bien celles du schéma équivalent indiqué.
iC = β iB +
RÉSISTANCE DE SOURCE DE L’AMPLIFICATEUR COLLECTEUR COMMUN
Pou résoudre le problème, deux solutions sont possibles : une solution économe en calcul, et
une solution brutale.
Solution économe en calculs :
Il est démontré en cours, et rappelé sur le document de synthèse, que le schéma équivalent
petits signaux du montage, vu depuis l’émetteur, est :
avec eTh = v et Rout = RS / β (si RS >> βrE).
Le circuit équivalent vu depuis le point A (en négligeant l’impédance du condensateur) est
donc :
Comme on l’a vu à plusieurs reprises dans le cours, notamment dans le « niveau zéro », la
résistance équivalente vue depuis A est Rout // RE, soit (RS/β) // RE. On voit aussi
immédiatement que
eTh = vRE / (RS/β + RE)
Solution brutale :
Le schéma équivalent petits signaux du montage est (en négligeant l’impédance du
condensateur) :
Appliquons le théorème de Thévenin au point A :
Circuit ouvert :
eTh = RE β iB
⎫⎪
β RE
β RE
RE
v≈
v=
v (si rE << RE)
⎬ ⇒ eTh =
v = RS + β rE iB + eTh ⎭⎪
RS + β RE
RS β + RE
RS + β rE + RE
On retrouve le résultat établi sans calcul ci-dessus
(
)
(
)
Court-circuit :
iCC = β iB
⎫⎪
β
β
v≈
v si βrE << RS.
⎬ ⇒ icc =
v = RS + β rE iB ⎭⎪
RS + β rE
RS
(
)
La résistance de sortie est donc :
RE
R β RE
e
R β + RE
Rout = Th = S
= S
= RS β //RE
β
iCC
RS β + RE
RS
ce qui est le résultat obtenu sans calcul par la première méthode.
(
)
MIROIR DE COURANT
Schéma équivalent
Le schéma équivalent recherché est :
(
)
puisque la tension aux bornes de la charge est VCC + VEE – VCE.
⎛
VCE Q2
VCE Q2
= I I 0,V A ⎜ 1 +
On a donc : I C = I I 0,V A +
⎜⎝
R0 I 0,V A
R0 I 0,V A I I 0,V A
(
)
(
( )
) (
)
(
( )
)(
( )
)
⎞
⎟
⎟⎠
⎛ V Q ⎞
D'autre part, la caractéristique du transistor est : I C = I 0 ⎜ 1 + CE 2 ⎟ .
VA ⎠
⎝
(
)
(
)
D'où par identification : I I 0 ,V A = I 0 ; V A = R0 I 0 ,V A I 0 .
La résistance interne est donc bien VA / I0.
POLARISATION D'UN AMPLIFICATEUR PAR UN MIROIR DE COURANT
1) Si la résistance RB est absente, le courant de base en continu est nul, donc le transistor
est bloqué.
2) Schéma équivalent « petits signaux », sous deux formes exactement équivalentes :
•
Résistance d’entrée : d’après le résultat établi en cours, la résistance vue depuis
la base est β (r0//RL). La résistance d’entrée du circuit est donc :
Rin = RB // β (r0 // RL).
• Résistance de sortie : d’après le résultat établi en cours, la résistance vue
depuis l’émetteur est
ρS
+ rE , où ρS est l'impédance de source vue depuis la
β
⎛ρ
⎞
base du transistor. L’impédance de sortie est donc ⎜ S + rE ⎟ //r0 , avec
⎝ β
⎠
•
ρS = RS //RB .
Gain :
vout
vin
=
=
( r0 //RL ) β iB = r0 //RL
β rE iB + ( r0 //RL ) β iB rE + r0 //RL
(
r0 RL
)
rE r0 + RL + r0 RL
Application numérique : rE = 25 Ω, r0 = 100 / 10-3 = 100 kΩ, d’où r0//RL ≈ RL = 10 kΩ.
Donc Rin = 100 kΩ // 2 MΩ ≈ 100 kΩ.
Rout = RS / β + rE = 75 Ω.
vout / vin ≈ 1.
3) Négligeant IB devant IC on a IC = IE = I0 donc IB = I0 / β. Alors VB = −
RB I0
β
et
⎛I ⎞
R I
VE = − B 0 − VT ln ⎜ 0 ⎟ .
β
⎝ IS ⎠
Application numérique : IB = 5 µA, VB = - 0,5 Volts, VE = - 0,5 – 0,53 ≈ -1 Volt
4)
L’excursion de sortie est ±10 Volts.
AMPLIFICATEUR À ÉMETTEUR COMMUN
Le circuit proposé par le simulateur
http://jas.eng.buffalo.edu/education/ckt/comEmitAmp/index.html#
est un circuit à émetteur commun.
La droite de charge statique a pour équation VCC = VCE − RC I C , donc sa pente est -1/RC.
Le schéma équivalent petits signaux donne : vCE = − RC β iB = − RC iC . La droite de charge
dynamique a donc également pour pente -1/RC.
Les droites de charge statique et dynamique sont donc confondues dans ce montage.
EFFET DES CAPACITÉS PARASITES POUR L’AMPLIFICATEUR À ÉMETTEUR
COMMUN
1) Si l’on ne considère que l’effet de CL, le schéma équivalent du circuit donne
R //C
v
vout = − RC //C L β iB et vin = β rE iB , soit out = − C L .
vin
rE
(
(
)
)
1
On a donc bien
vout
vin
1
+ jC Lω
jω
RC
R
1
.
=−
=− C
rE
rE 1 + jRC C Lω
jω
( )
( )
2) Si l’on ne considère que l’effet de CBE, on a, d’après la formule du diviseur de
1
jC BEω
1
= v jω
tension : vin jω = v jω
1
1 + jrS C BEω
rS +
jC BEω
3) Si l’on ne considère que l’effet de CCB :
( ) ( )
( )
Écrivons les équations du circuit :
vin jω = β rE iB
( )
( jω ) = − R ( β i − i )
( jω ) − v ( jω ) = jCi ω
vout
vin
C
B
out
CB
On exprime βiB à partir de la première équation et i à partir de la troisième, et l’on
reporte dans la deuxième équation :
⎡ v jω
⎤
vout jω = − RC ⎢ in
− jCCBω vin jω + jCCBω vout jω ⎥
⎢⎣ rE
⎥⎦
soit encore :
( )
( )
( )
( )
( )=−R
( jω ) r
vout jω
C
vin
E
1 − jrE CCBω
1 + jRC CCBω
Comme rE est généralement très petit devant RC (afin de donner du gain à
l’amplificateur), cela introduit une pulsation de coupure haute 1/RCCCB.
Comme il se doit, le gain tend vers –RC / rE si ω → 0 , et il tend vers 1 si ω → ∞ .
AMPLIFICATEURS OPÉRATIONNELS
AMPLIFICATEUR NON INVERSEUR
Analyse détaillée :
+
-
Vin
Vout
A
R1
(
Vout = G AO Vin − V A
V A = Vout
)
R1
R1 + R2
⎛
R1 ⎞
V
Vout = G AO ⎜ Vin − Vout
⇒ out =
⎟
R1 + R2 ⎠
Vin
⎝
lim G
AO →∞
R2
G AO
1 + G AO
R1
R1 + R2
Vout
R
= 1+ 2
Vin
R1
CONVERTISSEUR NUMÉRIQUE-ANALOGIQUE
10 kΩ 1%
1V
MSB
0V
20 kΩ 2%
i=4
50 kΩ 1%
40 kΩ 5%
i=3
80 kΩ 10%
-
i=2
160 kΩ 20%
i=1
+
4.7 kΩ
320 kΩ 20%
i=0
LSB
Soit I le courant dans la résistance de contre-réaction ; la tension différentielle d’entrée étant
nulle (modèle de l’AO idéal), la tension de sortie vaut - I . 50 103.
D’autre part, on a :
I=
V0
+
V1
320kΩ 160kΩ
5
1
=
Vi 2i
∑
320kΩ i=0
+
V2
80kΩ
+
V3
40kΩ
+
V4
20kΩ
+
V5
10kΩ
50kΩ 5
10 5
i
V
2
=
−
Vi 2i .
∑
∑
i
320kΩ i=0
64 i=0
Elle varie donc de 0 (si Vi = 0 ∀i) à – (10/64) 63 Volts (si Vi = 1 ∀i) par incréments de -10/64
Volts.
La tension de sortie vaut donc −