la feuille d`exercices sur les lois de probabilité à densité

Lycée J.P Vernant
TES
Année scolaire 2013-2014
LOIS DE PROBABILITE A DENSITE
Exercices
Exercice 1 :
f est la fonction dénie sur [0 ; 4] et représentée graphiquement cicontre. X est une variable aléatoire continue à valeurs dans [0 ; 4]
dont la loi de probabilité a pour densité la fonction f .
1. Quelle est l'aire délimitée par la courbe de f et l'axe des
abscisses sur l'intervalle [0 ; 4] ?
2. Calculer P (1 6 X 6 3) et P (X > 2).
3. Calculer PX>2 (X 6 2, 5).
Exercice 2 : Déterminer le nombre k an que la fonction f , dénie sur R par f (x) = k(4 − 2x), soit une
fonction de densité sur l'intervalle [−2 ; 2].
Exercice 3 : On s'interesse à la durée de vie X exprimée en années, d'un appareil ménager avant la première
panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de densité f , dénie sur l'intervalle [0 ; +∞[
par f (x) = λ e−λx .
1. Calculer p(X ∈ [0 ; 1]) en fonction de λ.
2. D'après une étude statistique, la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la n de la première
année est 0,18. Calculer λ.
Exercice 4 : Soit la fonction f dénie sur [0 ; 1] par f (x) = nxn−1 où n ∈ N∗ .
1. Montrer que la fonction f est une fonction de densité sur l'intervalle [0 ; 1].
2. Soit X une variable aléatoire de densité f .
(a) Calculer, en fonction de n, la probabilité de l'événement A = {X ∈ [0, 5 ; 1]}.
(b) Déterminer la valeur du plus petit entier n pour que P (0, 5 6 X 6 1) > 0, 9.
Exercice 5 : Olivier vient tous les matins entre 7h et 7h45 chez Karine prendre un café.
1. Sachant qu'Olivier ne vient jamais en dehors de la plage horaire indiquée et qu'il peut arriver à tout instant
avec les mêmes chances, quelle densité peut-on attribuer à la variable aléatoire "heure d'arrivée d'Olivier" ?
2. Calculer la probabilité qu'Olivier sonne chez Karine :
après 7h30
avant 7h10
entre 7h20 et 7h22
à 7h30 exactement
Exercice 6 : On choisit au hasard un nombre réel x de l'intervalle [0 ; 10]. Calculer la probabilité que ce
nombre x soit solution pour chacune des inéquations données :
a)x2 − 6x + 5 < 0
b) x2 − 7x + 6 > 0
Exercice 7 : Elisa doit se rendre au supermarché. Son heure d'arrivée est une variable aléatoire X qui suit
la loi uniforme sur [11 ; 12]. Elisa restera 15 minutes dans le supermarché.
1. Calculer P (X > 11h15 min)
2. Quelle est la probabilité qu'Elisa puisse prendre connaissance de la vente promotionnelle que le supermarché
va annoncer à partir de 11h 45 ?
Exercice 8 : A partir de 7 heures du matin, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt précis. Un
usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée à cet arrêt,
représentée par le nombre de minutes après 7h, est la variable aléatoire uniformément repartie sur l'intervalle
[0 ; 30].
1. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes le prochain bus ?
2. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de 10 minutes ?
Exercice 9 : L'entreprise OMBREL produit des parapluies pour des distributeurs automatiques. Elle consi-
dère que sa production hebdomadaire est dèle aux prévisions avec une probabilité égale à 0,7. On suppose
que les productions hebdomadaires sont indépendantes les unes des autres. Soit X la variable aléatoire égale au
nombre de semaines où la production est dèle aux prévisions, lors d'une étude sur 84 semaines.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X . Calculer l'espérance µ et l'écart-type σ
de X .
(
)
X −µ
44
31
2. On dénit la variable aléatoire Z =
. Montrer que P (50 6 X 6 65) = P −
6Z6
et que
σ
21
21
P (X 6 63) = P (Z 6 1).
(
)
44
31
3. On admet que Z suit la loi normale N (0 ; 1). Calculer P −
6Z6
puis P (Z 6 1).
21
21
4. Déterminer le nombre d tel que (−d 6 Z 6 d) = 0, 95. En déduire un intervalle [a ; b] de longueur minimale
tel que P (X ∈ [a ; b]) = 0, 95. Interpréter.
Exercice 7 : Elisa doit se rendre au supermarché. Son heure d'arrivée est une variable aléatoire X qui suit
la loi uniforme sur [11 ; 12]. Elisa restera 15 minutes dans le supermarché.
1. Calculer P (X > 11h15 min)
2. Quelle est la probabilité qu'Elisa puisse prendre connaissance de la vente promotionnelle que le supermarché
va annoncer à partir de 11h 45 ?
Exercice 8 : A partir de 7 heures du matin, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt précis. Un
usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée à cet arrêt,
représentée par le nombre de minutes après 7h, est la variable aléatoire uniformément repartie sur l'intervalle
[0 ; 30].
1. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes le prochain bus ?
2. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de 10 minutes ?
Exercice 9 : L'entreprise OMBREL produit des parapluies pour des distributeurs automatiques. Elle considère que sa production hebdomadaire est dèle aux prévisions avec une probabilité égale à 0,7. On suppose
que les productions hebdomadaires sont indépendantes les unes des autres. Soit X la variable aléatoire égale au
nombre de semaines où la production est dèle aux prévisions, lors d'une étude sur 84 semaines.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X . Calculer l'espérance µ et l'écart-type σ
de X .
(
)
X −µ
44
31
2. On dénit la variable aléatoire Z =
. Montrer que P (50 6 X 6 65) = P −
6Z6
et que
σ
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P (X 6 63) = P (Z 6 1).
(
)
44
31
3. On admet que Z suit la loi normale N (0 ; 1). Calculer P −
6Z6
puis P (Z 6 1).
21
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4. Déterminer le nombre d tel que (−d 6 Z 6 d) = 0, 95. En déduire un intervalle [a ; b] de longueur minimale
tel que P (X ∈ [a ; b]) = 0, 95. Interpréter.