Applications économiques au service de la mathématique

Jacques BAIR
Université de Liège
Roland HINNION
Université Libre de Bruxelles
Daniel JUSTENS
Institut Cooremans
S. B. P. M.
Applications économiques au
service de la mathématique
Société Belge des Professeurs de
Mathématique d’expression française
1989

Avant-propos
La Société Belge des Professeurs de Mathématique d’expression française
a un rôle primordial : l’amélioration de l’enseignement de la mathématique.
Cela l’a amenée à publier elle-même de nombreux ouvrages. Qu’il me suffise
de rappeler les documents de la série RENOVER, « Les nombres transcen-
dants » par C. Radoux et les deux tomes des « Olympiades mathématiques
belges ».
Ce qui caractérisera l’enseignement de notre discipline pendant la se-
conde moitié du vingtième siècle n’est peut-être pas le flux des réformes et
des contre-réformes qui se succèdent depuis bientôt trente ans, mais plutôt
le fait que la mathématique, réservée auparavant aux physiciens et aux
ingénieurs, est maintenant un outil essentiel pour les chimistes, biologistes,
psychologues, agronomes, économistes,...
D’autre part, le nombre d’étudiants fréquentant les Facultés de sciences
économiques et les Instituts supérieurs de commerce, a connu une progres-
sion spectaculaire. Il était donc opportun de publier un recueil qui montre
différents aspects des applications de la mathématique à l’économie.
L’ouvrage comporte cinq chapitres. Les trois premiers sont l’œuvre de
Jacques Bair, qui enseigne à l’Université de Liège. La matière traitée re-
prend pour l’essentiel les conférences faites par l’auteur aux congrès de la
SBPMef et à d’autres tribunes.
Daniel Justens est spécialiste de la mathématique financière. Il enseigne
à l’Institut d’Enseignement Supérieur Lucien Cooremans et a rédigé le cha-
pitre IV.
Enfin, Roland Hinnion se consacre particulièrement à l’étude des points
fixes. Il enseigne à l’Université Libre de Bruxelles et est l’auteur du dernier
chapitre.
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ii
Si, à l’aide de cet ouvrage, les professeurs peuvent se familiariser avec
de nouvelles applications de leur discipline et si, en outre, ils y trouvent
matière à parfaire la préparation de leurs élèves à l’Enseignement Supérieur,
le travail n’aura pas été inutile.
J. Wilmet
Président de la SBPMef
c
SBPMef 1989

Table des matières
0 Historique sommaire des rapports entre Mathématiques et
Economie. 1
1 Aperçu de l’usage du calcul matriciel dans les sciences hu-
maines 5
1.1 Quelques matrices usuelles .................... 6
1.1.1 Matrices de commandes ................. 6
1.1.2 Matrices de prix ..................... 6
1.2 Matrices et théorie des graphes ................. 7
1.2.1 Généralités ........................ 7
1.2.2 Matrice booléenne associée à un graphe ........ 8
1.2.3 Dénombrement des chemins de longueur donnée . . . 9
1.3 Analyse input-output ....................... 10
1.3.1 Position du problème ................... 10
1.3.2 Solution globale ...................... 11
1.3.3 Signification économique de la solution ......... 11
1.4 Quelques exemples simples de modèles linéaires ........ 13
1.4.1 Equilibre du marché ................... 13
1.4.2 Ajustement linéaire .................... 14
1.4.3 Un modèle keynésien simple pour le revenu national . 15
1.5 Initiation à la théorie des jeux .................. 16
1.5.1 Position du problème ................... 16
iii