Formule de Gutzmer pour la complexification d`une espace

ATTI ACCADEMIA NAZIONALE LINCEI CLASSE SCIENZE FISICHE MATEMATICHE NATURALI
RENDICONTI LINCEI
MATEMATICA E APPLICAZIONI
Jacques Faraut
Formule de Gutzmer pour la complexification
d’une espace Riemannien symétrique
Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche,
Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e
Applicazioni, Serie 9, Vol. 13 (2002), n.3-4, p. 233–241.
Accademia Nazionale dei Lincei
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Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e
Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Accademia Nazionale dei
Lincei, 2002.

Rend. Mat. Acc. Lincei
s. 9, v. 13:233-241 (2002)
Jacques Faraut
FORMULE DE GUTZMER POUR LA COMPLEXIFICATION
D’UN ESPACE RIEMANNIEN SYM´ ETRIQUE
Abstract. —A Gutzmer formula for the complexification of a Riemann symmetric space.Weconsider a
complex manifold Ωand a real Lie group Gof holomorphic automorphisms of Ω. The question we study
is, for a holomorphic function fon Ω,toevaluate the integral of |f|2over a G-orbit by using the harmonic
analysis of G. When Ωis an annulus in the complex plane and Gthe rotation group, it is solved by a
classical formula which is sometimes called Gutzmer’s formula. We establish a generalization of it when Ω
isaG-invariant domain in the complexification of a Riemannian symmetric space G=K .
Key words: Symmetric space; Spherical function; Gutzmer formula.
Une fonction holomorphe fdans une couronne
Ω=z∈C|r1<|z|<r
2
est d´ eveloppable en s´ erie de Laurent,
f(z)=
∞
n=−∞
fˆ(n)zn;
et
1
2π2π
0f(reiθ)2dθ=
∞
n=−∞ fˆ(n)|2r2n(r1<r<r
2):
Cette formule est parfois appel´ ee formule de Gutzmer (cf. par exemple [8, p. 389]).
Nous allons pr´ esenter des g´ en´ eralisations de cette formule dans le cadre des espaces
riemanniens sym´ etriques. Le probl` eme g´ en´ eral est le suivant. Consid´ erons une vari´ et´ e
complexe Ωsur laquelle un groupe de Lie r´
eel Gagit par automorphismes holomorphes.
Si fest une fonction holomorphe d´ efinie sur Ω, comment peut-on ´
evaluer l’int´ egrale
I(f; z)=Gf(g·z)2dg ;
`
a l’aide de l’analyse harmonique de G?(dg est une mesure de Haar sur Gque nous
supposons unimodulaire). Dans l’exemple ci-dessus Gest le groupe U(1) agissant par
rotations.
Consid´ erons un autre exemple simple : Ωest une bande horizontale de C,
Ω=z=x+iy ∈C|α<y<β:

234 j. faraut
Ici Gest le groupe Ragissant par translations. Soit fune fonction holomorphe sur Ω
telle que
sup
α<y<β∞
−∞ f(x+iy)2dx < ∞:
Alors fadmet une repr´ esentation de Fourier-Laplace,
f(z)=1
2π∞
−∞
fˆ(λ)e−iλzdλ(z∈Ω);
et
∞
−∞ f(x+iy)2dx =1
2π∞
−∞ fˆ(λ)2e2λydλ
(cf. [7, Chapter I, Section 3]). Cette derni` ere ´ egalit´ e est un analogue non compact de
la formule de Gutzmer.
1. Formule de Gutzmer pour la complexification
d’un espace sym´
etrique compact
La premi` ere g´ en´ eralisation que nous pr´ esentons est due ` a Lassalle [6, Th´ eor` eme 1].
Soit X=U=K un espace sym´
etrique compact : Uest un groupe de Lie compact
connexe, Kest un sous-groupe ferm´ edeU,etilexiste un automorphisme involutif θ
de Utelle que
Uθ
0⊂K⊂Uθ;
o` uUθest l’ensemble des points fixes de θet Uθ
0est la composante neutre de Uθ.La
d´ ecomposition de Cartan de u=Lie(U)s’
´
ecrit
u=k+p
et a⊂pd´ esignera un sous-espace de Cartan. Soit Ωun domaine invariant par Udans
la complexification XC=UC=KC. Tout z∈X
Cs’´
ecrit
z=gexp iH ·o(g∈U; H ∈a;o=eK );
et
Ω=Uexp iω·o;
o` uωest un ouvert de a. Lassalle a d´
emontr´ e qu’une fonction holomorphe dans Ωest
d´ eveloppable en s´ erie de Laurent [5]. Notons 
UKl’ensemble des classes d’´ equivalence
des repr´ esentations sph´ eriques de U. Rappelons qu’une repr´ esentation (π;V) est dite
sph´ erique si elle est irr´ eductible et s’il existe dans Vun vecteur non nul invariant
par K. Pour λ∈
UKnotons (πλ;Vλ)unrepr´ esentant de la classe λ.Onnote aussi
dλ=dim Vλ,etuλ∈V
λun vecteur unitaire invariant par K.Larepr´
esentation πλ
se prolonge en une repr´ esentation πλholomorphe de UC, et, pour X∈u, l’op´ erateur
πλ(exp iX ) est autoadjoint. Le d´ eveloppement de Laurent d’une fonction f∈O(Ω)

formule de gutzmer pour la complexification ::: 235
s’´ ecrit
f(z)=
λ∈ UK
dλπλ(γ−1)fˆ(λ)|uλ;
(z=γ·o∈Ω,γ∈UC,o=eKC). Le vecteur fˆ(λ)∈V
λest le coefficient de Laurent
g´ en´ eralis´ edef.Laformule de Gutzmer se g´ en´ eralise comme suit :
Uf(g·z)2dg =
λ∈ UK
dλ
fˆ(λ) 2ϕλ(exp 2iH )
(z=exp iH ·o,H∈a), o`
udg est la mesure de Haar normalis´ ee de Uet ϕλest la
fonction sph´ erique associ´ ee ` alaclasse λ,
ϕλ(γ)=πλ(γ−1)uλ|uλ:
Cette formule de Gutzmer est une cons´ equence simple des relations d’orthogonalit´ ede
Schur. Nous pouvons en effet ´ ecrire
f(g·z)=
λ∈ UK
dλπλ(g−1)fˆ(λ)|πλ(γ
¯)uλ;
o` uγ→ γ
¯est la conjugaison de UCpar rapport `
alaforme r´ eelle U,et
Uπλ(g−1)fˆ(λ)πλ(γ
¯)uλ2=1
dλ
fˆ(λ) 2 πλ(γ
¯)uλ
2:
D’autre part
πλ(γ
¯)uλ2=πλ(γ−1γ ¯)uλ|uλ=ϕλ(γ ¯−1γ):
2. Formule de Gutzmer pour la complexification d’un espace riemannien
sym´ etrique de type non compact
Soit X=G=K un espace riemannien sym´
etrique de type non compact : Gest un
groupe de Lie connexe semi-simple de centre fini et Kest un sous-groupe compact
maximal de G. Soit
g=k+p
la d´ ecomposition de Cartan de g=Lie(G), et soit a⊂pun sous-espace de Cartan.
On note A=exp a,etMle centralisateur de Adans K. Soient ∆+un syst`
eme positif
dans le syst` eme des racines restreintes de la paire (g;a), et
n=
α∈∆+
gα;N=exp n;ρ=1
2
α∈∆+
mαα:
La d´ ecomposition d’Iwasawa associ´ ee ` a∆+peut s’´
ecrire G=NAK .Sik−1g∈Nexp HK
(H∈a)onnote
H=A(x; b)(x=gK; b =kM ∈B=K=M ):