Partiel d`électromagnétisme - e

NOM :
PRENOM :
Partiel
d’électromagnétisme
C.P.I 1 : 2012-2013
Vous attacherez la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction. Si vous pensez avoir repéré ce qui peut vous sembler être une erreur d’énoncé,
vous le signalerez sur la copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des
initiatives que vous avez été amené à prendre.
Durée : 1H20
Enseignant : J.Geandrot
Exercice 1 : questions de cours
(6 points)
1.1. Parfois, une distribution de charges globalement neutre peut être modélisée par un
dipôle électrostatique.
1.1.1. Expliquer en utilisant la notion de barycentre.
1.1.2. Définir de façon générale un dipôle électrostatique et donner la grandeur qui le
caractérise.
1.1.3. Donner un exemple de dipôle.
1.2. Circulation du champ et définition du potentiel :
On considère une charge ponctuelle positive située au centre d’un repère sphérique.
Soient A et B deux points de l’espace repérés par leurs coordonnées sphériques, ces
points sont baignés dans le champ créé par la charge.
Faire un schéma.
1.2.1. Rappeler l’expression du champ électrique créé par la charge ponctuelle en un
point M de l’espace ?
1.2.2. Calculer la circulation du champ électrostatique créé par la charge ponctuelle
entre le point A et le point B.
1
1.2.3. Donner son expression en fonction du potentiel électrostatique des points A et B.
1.2.4. Que peut-on en déduire quant à la définition du potentiel électrostatique en un
point de l’espace ?
Exercice 2 : lignes de champ et équipotentielle d’un dipôle
électrostatique (4 points)
2.1. Rappeler ce qu’est une ligne de champ.
−−→
2.2. Dessiner grossièrement ci-dessous le champ électrique créé par le dipôle N P au
niveau des différents repères.
2.3. En déduire le dessin d’une ligne de champ puis représenter la ligne de champ symétrique
par rapport à l’axe du dipôle.
2.4. Représenter grossièrement une ligne équipotentielle, en expliquant la démarche.
·
·
·
·
·
•
P
•
N
Figure 1
Exercice 3 : champ créé par un disque uniformément chargé
(5 points)
Soit un disque de centre O, de rayon R, uniformément chargé et portant la densité surfacique
de charge σ.
2
Système de coordonnées
3.1. Quel est le système de coordonnées le plus approprié à l’étude de cette distribution ?
3.2. Donner l’expression du champ électrique (la plus générale possible : coordonnées de
dépendance et composantes) créé par cette distribution.
Symétries et invariances
3.3. Soit un point M situé sur l’axe de révolution du disque. Etudier (en justifiant) les
symétries et invariances de cette distribution vues du point M.
Donner l’expression générale simplifiée du champ électrique.
3.4. Faites de même si on considère un point M situé en dehors de l’axe de révolution du
disque.
Calcul du champ sur l’axe par méthode intégrale
On se contente ici de calculer le champ créé par le disque en un point M (z > 0) de son axe
de révolution.
3.5. Que vaut la portion de surface élémentaire dS dans le système de coordonnées
adéquat ?
3.6. Ecrire le champ élémentaire créé par une portion infinitésimale de disque chargé dS.
3.7. Intégrer l’expression précédente et donner l’expression du champ obtenu à une distance
z > 0 du centre du disque.
Exercice 4 : champ et potentiel créé par un noyau non uniformément chargé (5 points)
Les noyaux de certains atomes légers peuvent être modélisés par une distribution volumique
de charge à l’intérieur d’une sphère de centre O et de rayon a.
Cette sphère n’est pas chargée
uniformément : sa densité volumique de charge a pour
!
2
r
expression ρ = ρ0 1 − 2 pour r < a où ρ0 est une constante positive.
a
4.1. Calculer la charge totale Q contenue dans la sphère modélisant le noyau.
4.2. Etudier les invariances et symétries de la distribution chargée (se placer en un point
M en dehors de la sphère).
En déduire l’expression (orientation et dépendance) du champ électrique.
Rappelons qu’en gravitation, la Terre de masse MT n’a pas une répartition de masse
homogène. Pourtant on écrit le champ de gravitation qu’elle crée sans tenir compte de cette
non homogénéité.
4.3. Quelle est l’expression du champ de gravitation créé par la Terre en un point M situé
à une distance r du centre de celle-ci ?
3
4.4. En déduire, par analogie, le champ électrique créé par la distribution sphérique en un
point M de l’espace situé en dehors du noyau ; d’abord en fonction de Q et r puis en
fonction de ρ0 , r et a.
4.5. Calculer alors le potentiel en ce même point M en fonction de ρ0 , r et a. On prendra
le potentiel nul à l’infini.
4.6. Le champ créé par la sphère à l’intérieur de celle-ci est donné par :
→
−
ρ0 r
E int =
30
3 r2
1−
5 a2
!
→
−
ur
Calculer le potentiel en un point M à l’intérieur de la sphère chargée en fonction de
ρ0 , r et a. On sait que le potentiel est continu dans tout l’espace.
Données
— Le déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques vaut :
→
−
dl = dr + r dθ + r sin θ dφ
— Le volume élémentaire en coordonnées cylindriques s’écrit :
dτ = r2 dr sin θ dθ dφ
— Le gradient en coordonnées sphériques s’écrit :
−−→
1 ∂ →
1
∂ →
∂ →
−
−
−
er +
eθ +
eφ
grad =
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
— En mathématiques, dans certains cas très particuliers, une intégrale triple peut être transformée
en produit de trois intégrales simples :
ZZZ
Sif (x, y, z) = f1 (x) × f2 (y) × f3 (z), alors :
Z
Z
Z
f (x, y, z) dx dy dz = f1 (x) dx × f2 (y) dy × f3 (z) dz
En électromagnétisme, on est souvent dans ce cas très particulier ; en l’occurrence ici.
4
Correction
Exercice 1
1.1.1. Une distribution de charges globalement neutre peut présenter un barycentre des
charges positives et un barycentre des charges négatives distincts. Ainsi, la distribution
peut être considérée comme un dipôle centré sur le milieu des barycentres.
1.1.2. Un dipôle électrostatique est un ensemble de deux points qui portent des charges
opposées et qui sont espacés d’une distance d.
−−→
−
p = q N P où q est
La grandeur moment dipolaire caractérise ce dipôle. On la note →
la charge du "point positif" P.
1.1.3. La molécule d’eau est un bon exemple de dipôle : le barycentre des charges négatives,
situé en O, est distinct du barycentre des charges positifs situé à mi-distance entre les
deux atomes d’hydrogène.
→
−
E
•B
→
−
dl
A•
Figure 2
1.2.1. Le champ électrique créé par une charge ponctuelle de charge q en un point M distant
de r du centre de la charge a pour expression :
→
−
E =
q →
−
er
4π0 r2
(1)
−
où →
er est le vecteur unitaire de la base sphérique.
1.2.2. Calcul de la circulation :
Z B
CAB =
A
q
q
→
−
−
er · dr →
er = −
2
4 π0 r
4 π0 r
B
=
A
q
4 π 0
1
1
−
rA rB
(2)
→
−
En effet, le déplacement élémentaire dl est normalement quelconque et vaut en
→
−
coordonnées cylindriques dl = dr + r dθ + r sin θ dφ. Mais le champ n’étant que
→
−
−
−
suivant →
er , le produit scalaire non nul n’est qu’avec la composante suivant →
er du dl.
1.2.3. On a également :
CAB = V (A) − V (B)
5
(3)
1.2.4. D’après cette définition, c’est la différence de potentiel qui a une signification physique :
le potentiel en un point est donc défini à une constante près.
Exercice 2
1. Une ligne de champ est une ligne qui en tout point est tangente au champ électrique.
2. Dessin : voir Figure 3.
— En bleu sont dessinés les champs électriques créés par la charge positive ;
— En rouge sont dessinés les champs électriques créés par la charge négatives ;
— En vert les champs résultants ;
— En rose, les lignes de champ ;
— En orange, les équipotentielles.
3. Voir Figure 3.
4. Voir Figure 3.
On sait que les équipotentielles sont perpendiculaires aux ligne de champ en tout
point.
Exercice 3
3.1. On utilisera le système de coordonnées cylindriques puisque un disque représente une
section d’un cylindre.
→
−
−
−
−
3.2. On a : E (M ) = Er (r, θ, z) →
er + Eθ (r, θ, z) →
eθ + Ez (r, θ, z) →
ez .
3.3. Le système est nécessairement invariant par la coordonnées r car r = 0 sur l’axe de
révolution du disque. L’angle θ n’étant pas défini sur ce même axe, il y a invariance
par θ également.
Tous les plans contenant l’axe de révolution du disque et passant par le point M sont
plans de symétries, le champ appartient à tous ces plans donc à l’axe Oz.
→
−
−
On peut alors écrire : E (M ) = Ez (z) →
ez .
3.4. Si le point M est en dehors de l’axe de révolution, Il n’y a plus qu’invariance par
rotation autour de l’axe de révolution du disque.
En ce qui concerne les symétries, le plan contenant l’axe de révolution du disque et le
point M est plan de symétrie, le champ appartient à ce plan. Ce plan étant défini par
→
−
−
−
les vecteurs →
er et →
ez , le champ E aura deux composantes suivant ces deux directions.
6
Figure 3 – Lignes de champ et équipotentielles du dipôle électrostatique
7
→
−
−
−
Finalement E (M ) = Er (r, z) →
er + Ez (r, z) →
ez
3.5. On a dS = r dr dθ.
3.6. D’après la loi de Coulomb :
−−→
→
−
σ dS P M
dE =
(4)
4π0 P M 3
−
ez , on peut sommer les projections des champs
3.7. Le champ total étant dirigé suivant →
élémentaires sur ce même axe :
−−→ −
−−
→ −
\
→
− →
σ dS P M · →
σ dS P M × cos (P M , →
ez
ez )
−
dEz = d E · ez =
=
3
3
4π0 P M
4π0
PM
σ dS P M × z
σ dS z
=
=
4π0 P M 4
4π0 P M 3
√
Or, d’après le théorème de Pythagore, P M = r2 + z 2 :
Finalement :
dEz =
z
σdS
√
2
4π0 ( r + z 2 )3
(5)
(6)
(7)
On doit maintenant sommer tous les champs élémentaires dEz créé par chaque élément
infinitésimal de surface dS. Pour parcourir la surface du disque, on fait varier r de 0 à
R et θ de 0 à 2π.
Donc :
ZZ
z
σdS
√
Ez (M ) =
(8)
2
4π
P ∈S
0 ( r + z 2 )3
ZZ
σ × r × dr × dθ
z
√
=
(9)
4π0
( r 2 + z 2 )3
P ∈S
Z 2π
Z R
r × dr
σz
√
dθ
(10)
=
4π0 0 ( r2 + z 2 )3 0
r
r
On cherche une primitive de √
= 2
= r × (r2 + z 2 )−3/2 .
2
2
3
(r + z 2 )3/2
( r +z )
un+1
On reconnaît la formule u0 × un dont la primitive est
à un facteur 1/2 près.
n+1
Ainsi :
"
σz 1 (r2 + z 2 )−3/2+1
Ez (M ) =
4π0 2
−3/2 + 1
"
σz 1 (r2 + z 2 )−1/2
=
4π0 2
−1/2
#R
8
(11)
0
#R
[θ]2π
0
(12)
0
−σz
1
1
√
−√
=
2
2
4π0
R +z
z2
−σ
z
z
√
=
−
2
2
20
|z|
R +z
[θ]2π
0
× 2π
(13)
(14)
Comme ici z est positif :
→
−
σ
z
→
−
E (z > 0) =
1− √
ez
2
2
20
R +z
(15)
Exercice 4
4.1. La charge élémentaire dQ s’écrit dQ = ρ dτ avec dτ le volume élémentaire en coordonnées sphériques. On va donc intégrer cette charge élémentaire sur le volume
élémentaire afin de parcourir toute la sphère.
Pour cela, il faut intégrer de 0 à a sur r, de 0 à π sur θ et de 0 à 2π sur φ.
Cela donne :
ZZZ
Q=
ρ dτ
ZZZ
Z a
= ρ0
0
Z a
= ρ0
0
Z a
= ρ0
0
"
= ρ0
= ρ0
r2
a2
1−
ρ0
=
(16)
r2
1− 2
a
r3
r5
− 2
3
5a
= 8 π ρ0
r2 dr ×
Z π
(17)
sin θ dθ ×
Z 2π
dφ
0
!
dr ×
Z π
sin θ dθ ×
Z 2π
r2 dr ×
dφ
(19)
0
0
!
(18)
0
Z π
sin θ dθ ×
0
Z 2π
dφ
(20)
0
#a
a5
a3
− 2
3
5a
= 4π ρ0
r2 dr sin θ dθ dφ
!
r4
r2 − 2
a
r2
1− 2
a
!
× [− cos θ]π0 × [φ]2π
0
(21)
× 2 × 2π
(22)
0
!
5a3 − 3a3
15
!
(23)
a3
15
(24)
4.2. En utilisant les coordonnées sphériques, on peut dire qu’il y a invariances par toutes
rotations, donc invariances selon θ et φ. Le champ électrostatique ne dépend donc
que de la coordonnées r.
Au niveau des symétries, tout plan passant par M et par O, le centre de la sphère est
plan de symétrie : le champ électrostatique appartient à tous ces plans donc à leur
−
intersection : il est dirigé suivant le vecteur →
er .
→
−
−
Finalement : E (M ) = Er (r) →
er .
9
4.3. Le champ de gravitation exercé par la Terre s’écrit :
MT −
→
−
ur
g = −G 2 →
r
(25)
4.4. Ainsi, une sphère chargée d’une charge Q créé un champ :
→
−
E =
1 Q→
8πρ0 a3 →
2ρ0 a3 →
−
−
−
u
=
u
=
ur
r
r
4π0 r2
4π0 15r2
0 15 r2
(26)
−−→
→
−
4.5. Pour calculer le potentiel, on utilise la relation E = −grad V .
−−→
dV →
−
−
ur .
Ici, le champ n’étant dirigé que suivant →
ur , grad V =
dr
Ainsi :
8πρ0 a3
dV
=−
2
4π0 15r
dr
2ρ0 a3
⇐⇒ dV = −
dr
0 15 r2
2ρ0 a3 1
⇐⇒ V =
+ cste
0 15 r
(27)
(28)
(29)
Or on sait que V (r → ∞) = 0 d’où cste = 0.
4.6. On utilise la même relation pour calculer le potentiel à l’intérieur de la sphère à partir
du champ donné :
ρ0 r
dV = −
30
⇐⇒ V = −
3 r2
1−
5 a2
!
dr
ρ0 r2
3 ρ0 r4
+ cste
+
60
40 15a2
(30)
(31)
Sachant que le potentiel est continu partout, il est en r = a. cette continuité nous
permet d’exprimer la constante ci-dessus :
2ρ0 a3 1
ρ0 a2
3 ρ0 a4
+ cste
=−
+
0 15 a
60
40 15a2
ρ0 a2
2
1
1
⇐⇒ cste =
+ −
0
15 6 20
ρ0 a2
⇐⇒ cste =
4 0
(32)
(33)
(34)
Finalement, lorsque r < a :
V =−
ρ0 r 2
3 ρ0 r 4
ρ0 a2
+
+
60
40 15a2
4 0
10
(35)