Partiel d`électromagnétisme - e

NOM :
PRENOM :
Partiel
d’électromagnétisme
C.P.I 1 : 2012-2013
Vous attacherez la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction. Si vous pensez avoir repéré ce qui peut vous sembler être une erreur d’énoncé,
vous le signalerez sur la copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des
initiatives que vous avez été amené à prendre.
Durée : 1H20
Enseignant : J.Geandrot
Exercice 1 : questions de cours (6 points)
1.1. Parfois, une distribution de charges globalement neutre peut être modélisée par un
dipôle électrostatique.
1.1.1. Expliquer en utilisant la notion de barycentre.
1.1.2. Définir de façon générale un dipôle électrostatique et donner la grandeur qui le
caractérise.
1.1.3. Donner un exemple de dipôle.
1.2. Circulation du champ et définition du potentiel :
On considère une charge ponctuelle positive située au centre d’un repère sphérique.
Soient A et B deux points de l’espace repérés par leurs coordonnées sphériques, ces
points sont baignés dans le champ créé par la charge.
Faire un schéma.
1.2.1. Rappeler l’expression du champ électrique créé par la charge ponctuelle en un
point M de l’espace ?
1.2.2. Calculer la circulation du champ électrostatique créé par la charge ponctuelle
entre le point A et le point B.
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1.2.3. Donner son expression en fonction du potentiel électrostatique des points A et B.
1.2.4. Que peut-on en déduire quant à la définition du potentiel électrostatique en un
point de l’espace ?
Exercice 2 : lignes de champ et équipotentielle d’un dipôle
électrostatique (4 points)
2.1. Rappeler ce qu’est une ligne de champ.
2.2. Dessiner grossièrement ci-dessous le champ électrique créé par le dipôle
−−→
NP au
niveau des différents repères.
2.3. En déduire le dessin d’une ligne de champ puis représenter la ligne de champ symétrique
par rapport à l’axe du dipôle.
2.4. Représenter grossièrement une ligne équipotentielle, en expliquant la démarche.
• •
P N
··
·
·
·
Figure 1
Exercice 3 : champ créé par un disque uniformément chargé
(5 points)
Soit un disque de centre O, de rayon R, uniformément chargé et portant la densité surfacique
de charge σ.
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Système de coordonnées
3.1. Quel est le système de coordonnées le plus approprié à l’étude de cette distribution ?
3.2. Donner l’expression du champ électrique (la plus générale possible : coordonnées de
dépendance et composantes) créé par cette distribution.
Symétries et invariances
3.3. Soit un point M situé sur l’axe de révolution du disque. Etudier (en justifiant) les
symétries et invariances de cette distribution vues du point M.
Donner l’expression générale simplifiée du champ électrique.
3.4. Faites de même si on considère un point M situé en dehors de l’axe de révolution du
disque.
Calcul du champ sur l’axe par méthode intégrale
On se contente ici de calculer le champ créé par le disque en un point M ( z > 0) de son axe
de révolution.
3.5. Que vaut la portion de surface élémentaire dS dans le système de coordonnées
adéquat ?
3.6. Ecrire le champ élémentaire créé par une portion infinitésimale de disque chargé dS.
3.7. Intégrer l’expression précédente et donner l’expression du champ obtenu à une distance
z > 0du centre du disque.
Exercice 4 : champ et potentiel créé par un noyau non unifor-
mément chargé (5 points)
Les noyaux de certains atomes légers peuvent être modélisés par une distribution volumique
de charge à l’intérieur d’une sphère de centre O et de rayon a.
Cette sphère n’est pas chargée uniformément : sa densité volumique de charge a pour
expression ρ=ρ0 1−r2
a2!pour r < a où ρ0est une constante positive.
4.1. Calculer la charge totale Qcontenue dans la sphère modélisant le noyau.
4.2. Etudier les invariances et symétries de la distribution chargée (se placer en un point
M en dehors de la sphère).
En déduire l’expression (orientation et dépendance) du champ électrique.
Rappelons qu’en gravitation, la Terre de masse MT n’a pas une répartition de masse
homogène. Pourtant on écrit le champ de gravitation qu’elle crée sans tenir compte de cette
non homogénéité.
4.3. Quelle est l’expression du champ de gravitation créé par la Terre en un point M situé
à une distance rdu centre de celle-ci ?
3

4.4. En déduire, par analogie, le champ électrique créé par la distribution sphérique en un
point M de l’espace situé en dehors du noyau ; d’abord en fonction de Q et r puis en
fonction de ρ0,ret a.
4.5. Calculer alors le potentiel en ce même point M en fonction de ρ0 , r et a . On prendra
le potentiel nul à l’infini.
4.6. Le champ créé par la sphère à l’intérieur de celle-ci est donné par :
−→
Eint =ρ0r
30 1−3r2 5a2!−→
ur
Calculer le potentiel en un point M à l’intérieur de la sphère chargée en fonction de
ρ0,ret a. On sait que le potentiel est continu dans tout l’espace.
Données
— Le déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques vaut :
−→
dl= dr+rdθ+rsin θdφ
— Le volume élémentaire en coordonnées cylindriques s’écrit :
dτ =r2dr sin θ dθ dφ
— Le gradient en coordonnées sphériques s’écrit :
−−→
grad =∂
∂r −→
er+1
r
∂
∂θ −→
eθ+1
rsin θ
∂
∂φ −→
eφ
— En mathématiques, dans certains cas très particuliers, une intégrale triple peut être transformée
en produit de trois intégrales simples :
Sif(x, y, z) = f1(x)×f2(y)×f3(z), alors :
ZZZ f(x, y, z)dx dy dz =Zf1(x)dx ×Zf2(y)dy ×Zf3(z)dz
En électromagnétisme, on est souvent dans ce cas très particulier ; en l’occurrence ici.
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Correction
Exercice 1
1.1.1. Une distribution de charges globalement neutre peut présenter un barycentre des
charges positives et un barycentre des charges négatives distincts. Ainsi, la distribution
peut être considérée comme un dipôle centré sur le milieu des barycentres.
1.1.2. Un dipôle électrostatique est un ensemble de deux points qui portent des charges
opposées et qui sont espacés d’une distance d.
La grandeur moment dipolaire caractérise ce dipôle. On la note
−→
p = q−−→ NP où q est
la charge du "point positif" P.
1.1.3. La molécule d’eau est un bon exemple de dipôle : le barycentre des charges négatives,
situé en O , est distinct du barycentre des charges positifs situé à mi-distance entre les
deux atomes d’hydrogène.
•
•
A
B
−→
E
−→
dl
Figure 2
1.2.1. Le champ électrique créé par une charge ponctuelle de charge q en un point M distant
de rdu centre de la charge a pour expression :
−→
E=q
4π0r2−→
er(1)
où −→ erest le vecteur unitaire de la base sphérique.
1.2.2. Calcul de la circulation :
CAB =ZB
A
q
4π0r2−→
er·dr−→ er=−q
4π0rB
A
=q
4π 01 rA−1 rB(2)
En effet, le déplacement élémentaire
−→
dl est normalement quelconque et vaut en
coordonnées cylindriques
−→
dl = d r + r d θ + rsin θ d φ . Mais le champ n’étant que
suivant −→ er, le produit scalaire non nul n’est qu’avec la composante suivant −→ erdu −→ dl.
1.2.3. On a également :
CAB =V(A) −V(B) (3)
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