Correction Devoir Surveillé 6 : Seconde probabilités, fonctions affines, algorithme Correction Devoir ednoceS shtaM Maths Surveillé 6 Barème Exercice. 1. 1, 5 = 3 × 0, 5 Exercice. 4. 5, 5 = 2 + 1, 5 + 1 + 1 Exercice. 2. 4 = 2, 5 + 0, 75 + 0, 75 Exercice. 5. 6, 5 = 1, 5 + 1 + 2, 5 + 1, 5 Exercice. 3. 2, 5 = 2 + 0, 5 Exercice 1. (1,5 point) On considère l’algorithme suivant : Entrée : Traitement : Sortie : Saisir X Si X ⩾ 0 Alors X prend la valeur X + 2 Sinon X prend la valeur −X Fin Si X prend la valeur 3X Afficher X Qu’affiche cet algorithme lorsqu’on saisit 6 puis quand on saisit 0 et enfin quand on saisit −7 ? Valeur saisie 6 Exercice 2. (4 points) Lors du traitement 8 24 Affichage à la sortie 24 0 2 6 6 −7 7 21 21 Le tableau suivant indique la composition d’une assemblée. Ont des enfants N’ont pas d’enfant Total Hommes 63 14 77 Femmes 45 8 53 Total 108 22 130 1. On choisit au hasard une personne dans cette assemblée. Déterminer la probabilité que cette personne : a. soit une femme. D’après le tableau, la probabilité que cette personne soit une femme vaut 53 . 130 b. soit un homme qui a des enfants. D’après le tableau, la probabilité que cette personne soit un homme qui a des enfants vaut 63 . 130 c. n’ait pas d’enfant. D’après le tableau, la probabilité que cette personne n’ait pas d’enfant vaut 22 . 130 d. soit une femme ou ait des enfants. D’après le tableau, la probabilité que cette personne soit une femme ou ait des enfants vaut 116 . 130 8 + 45 + 63 = 130 2. On choisit au hasard un homme de cette assemblée. Déterminer la probabilité qu’il ait des enfants. D’après le tableau, la probabilité que cette personne ait des enfants sachant que c’est un homme vaut 63 . 77 3. On choisit au hasard une personne qui a des enfants. Déterminer la probabilité que ce soit une femme. D’après le tableau, la probabilité que cette personne soit une femme sachant que cette personne a des enfants 45 vaut . 108 1/ 4 2015 - 2016 Correction Devoir Surveillé 6 : Exercice 3. (2,5 points) Seconde probabilités, fonctions affines, algorithme On tire au hasard une carte dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les événements suivants : A : « la carte tirée est un carreau » B : « la carte tirée est une figure » (on se rappelle que les figures ne sont pas numérotées) C : « la carte tirée est un nombre impair » 1. Définir par une phrase chacun des événements suivants : a. A ∪ B b. C c. A ∩ C A ∪ B : « la carte tirée est un carreau ou une figure (ou les deux) ». C : « la carte tirée n’est pas un nombre impair » que l’on peut reformuler par « la carte tirée est un nombre pair ou bien une figure ». A ∩ C : « la carte tirée est un carreau et un nombre impair » que l’on peut reformuler par « la carte tirée est un carreau avec un nombre impair ». 2. Les événements B et C sont-ils incompatibles ? Justifier. B ∩ C = ∅ car une figure n’est pas une carte avec un nombre, par conséquent B et C sont incompatibles. Exercice 4. (5,5 points) 1. On considère une fonction affine f telle que f (−5) = −2 et f (7) = 52. Déterminer l’expression f (x). f est affine donc on peut écrire pour tout réel x : f (x) = mx + p où m et p sont deux constantes réelles à déterminer. f (x2 ) − f (x1 ) f (7) − f (−5) 52 − (−2) 54 27 9 m= = = = = = (= 4, 5) x2 − x1 7 − (−5) 7 − (−5) 12 6 2 9 Ainsi f (x) = x + p. 2 63 104 104 63 41 9 +p= ⇐⇒ p = − ⇐⇒ p = ( ⇐⇒ p = 20, 5) Or f (7) = 52 ie × 7 + p = 52 ⇐⇒ 2 2 2 2 2 2 9 41 Donc f (x) = x + (f (x) = 4, 5x + 20, 5). 2 2 2. Déterminer le tableau de signe de la fonction g définie sur R par g(x) = 9 − 5x. Déterminons d’abord où s’annule g(x) : résolvons 9 g(x) = 0 ⇐⇒ 9 − 5x = 0 ⇐⇒ 9 = 5x ⇐⇒ = x 5 D’autre part, le coefficient directeur de l’expression affine g(x) est −5 donc négatif. On en déduit le tableau de signe suivant : 3. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x 9 5 −∞ Signe de g(x) + 0 +∞ − 1 x − 3. Dresser son tableau de variation. 4 1 La fonction affine h a pour coefficient directeur , 4 un nombre positif ; par conséquent h est strictement croissante sur R. D’où : x −∞ +∞ Var. de h 4. Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction k définie sur R par k(x) = 3x − 5. Ð → Ð → On munit le plan d’un repère (O ; i , j ). k est un fonction affine donc sa courbe représentative Ck est une droite. Pour déterminer deux points de Ck , on va utiliser d’abord l’ordonnée à l’origine p = −5 donnant le point A (0 ; −5) ∈ Ck ; puis à partir de ce point A, on utilise le coefficient directeur m = 3 en se décalant de 1 en abscisse et de 1×3 = 3 en ordonnée, on obtient B (1 ; −2). Ainsi Ck est la droite (AB). Ck Ð → j O Ð → i B × +3 A 2/ 4 +1 × 2015 - 2016 Correction Devoir Surveillé 6 : Exercice 5. (6,5 points) Seconde probabilités, fonctions affines, algorithme Une AMAP propose trois tarifs différents sur les pommes de terre : Tarif A : 1,50 euro par kilogramme ; Tarif B : une cotisation mensuelle de 15 euros et 0,50 euro par kilogramme ; Tarif C : une cotisation mensuelle de 40 euros pour un nombre de kilogramme illimité. 1. On note x le nombre de kilogramme acheté. Donner, directement et sans calculs, les expressions f (x), puis g(x) et enfin h(x) du prix payé en euros en fonction de x respectivement aux tarifs A, B et C. Tarif A : f (x) = 1, 5x Tarif B : g(x) = 0, 5x + 15 Tarif C : h(x) = 40 2. Dans le repère ci-dessous, les droites représentent les fonctions f , g et h. Associer à chaque fonction sa courbe représentative. En utilisant en particulier les ordonnées à l’origine de chacune des fonctions, on en déduit que : C1 est la courbe représentative de la fonction h (tarif C). C2 est la courbe représentative de la fonction f (tarif A). C3 est la courbe représentative de la fonction g (tarif B). Prix en euro C1 30 C3 C2 5 kilogramme 0 5 15 30 35 50 3. En utilisant le graphique ci-dessus, et en laissant les traits de construction, répondre aux questions suivantes : a. Si un client achète en moyenne 35 kilogrammes par mois, quel tarif doit-il choisir ? À l’aide du graphique, si un client achète en moyenne 35 kilogrammes par mois, il doit choisir le tarif B (correspondant à C3 ) : le tarif choisi est celui d’ordonnée la plus petite pour l’abscisse 35. b. Pour un budget de 30 euros, quel tarif est le plus avantageux ? Combien de kilogramme pourra-t-on acheter au tarif le plus avantageux avec ce budget ? À l’aide du graphique, pour un budget de 30 euros, il doit choisir le tarif B (correspondant à C3 ) : le tarif choisi est celui d’abscisse la plus grande pour l’ordonnée 30 (le tarif C n’est pas à envisager car il faut un budget d’au minimum 40 euros). On a alors 30 kilogramme de pommes de terre avec 30 euros et le tarif le plus avantageux (B). 3/ 4 2015 - 2016 Correction Devoir Surveillé 6 : probabilités, fonctions affines, algorithme Seconde 4. Dans quels cas le tarif B est-il le plus intéressant ? Justifier. On peut utiliser deux méthodes : ● graphiquement : À l’aide du graphique, le tarif B est le plus intéressant quand on achète entre 15 et 50 kilogrammes de pommes de terre : lorsque la courbe C3 (courbe de g) est sous les autres courbes. ● algébriquement : le tarif B correspond à la fonction g, on cherche l’ensemble des solutions (positives) du ⎧ ⎧ ⎧ ⎪ g(x) ⩽ f (x) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0, 5x + 15 ⩽ 1, 5x ⎪ 15 ⩽ 1, 5x − 0, 5x système d’inéquations ⎨ ie ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⎪ g(x) ⩽ h(x) ⎪ ⎪ 0, 5x + 15 ⩽ 40 0, 5x ⩽ 40 − 15 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 15 ⩽ x ⎪ 15 ⩽ x ⎪ 15 ⩽ x 25 ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ 15 ⩽ x ⩽ 50 ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ x ⩽ x ⩽ 50 0, 5x ⩽ 25 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 0, 5 ⎩ Le tarif B est le plus intéressant quand on achète entre 15 et 50 kilogrammes de pommes de terre. dd E E nn 4/ 4 2015 - 2016