corr-2015-2016-2ndeA-DS06-affine-proba-algo

Correction Devoir Surveillé 6 : probabilités, fonctions affines, algorithme Seconde
Correction Devoir Surveillé 6
Maths Maths
Seconde
Exercice. 1. 1,5=3×0,5
Exercice. 2. 4=2,5+0,75 +0,75
Exercice. 3. 2,5=2+0,5
Exercice. 4. 5,5=2+1,5+1+1
Exercice. 5. 6,5=1,5+1+2,5+1,5
Barème
Exercice 1. (1,5 point) On considère l’algorithme suivant :
Entrée : Saisir X
Traitement : Si X⩾0
Alors Xprend la valeur X+2
Sinon
Xprend la valeur −X
Fin Si
Xprend la valeur 3X
Sortie : Afficher X
Qu’affiche cet algorithme lorsqu’on saisit 6puis quand on saisit 0et enfin quand on saisit −7?
Valeur saisie Lors du traitement Affichage à la sortie
68 24 24
02 6 6
−77 21 21
Exercice 2. (4 points) Le tableau suivant indique la composition d’une assemblée.
Hommes Femmes Total
Ont des enfants 63 45 108
N’ont pas d’enfant 14 8 22
Total 77 53 130
1. On choisit au hasard une personne dans cette assemblée.
Déterminer la probabilité que cette personne :
a. soit une femme.
D’après le tableau, la probabilité que cette personne soit une femme vaut 53
130 .
b. soit un homme qui a des enfants.
D’après le tableau, la probabilité que cette personne soit un homme qui a des enfants vaut 63
130 .
c. n’ait pas d’enfant.
D’après le tableau, la probabilité que cette personne n’ait pas d’enfant vaut 22
130 .
d. soit une femme ou ait des enfants.
D’après le tableau, la probabilité que cette personne soit une femme ou ait des enfants vaut 8+45 +63
130 =
116
130 .
2. On choisit au hasard un homme de cette assemblée. Déterminer la probabilité qu’il ait des enfants.
D’après le tableau, la probabilité que cette personne ait des enfants sachant que c’est un homme vaut 63
77 .
3. On choisit au hasard une personne qui a des enfants. Déterminer la probabilité que ce soit une femme.
D’après le tableau, la probabilité que cette personne soit une femme sachant que cette personne a des enfants
vaut 45
108 .
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Correction Devoir Surveillé 6 : probabilités, fonctions affines, algorithme Seconde
Exercice 3. (2,5 points) On tire au hasard une carte dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les événements suivants :
A : « la carte tirée est un carreau »
B : « la carte tirée est une figure » (on se rappelle que les figures ne sont pas numérotées)
C : « la carte tirée est un nombre impair »
1. Définir par une phrase chacun des événements suivants :
a. A∪Bb. Cc. A∩C
A∪B: « la carte tirée est un carreau ou une figure (ou les deux) ».
C: « la carte tirée n’est pas un nombre impair » que l’on peut reformuler par « la carte tirée est un nombre
pair ou bien une figure ».
A∩C: « la carte tirée est un carreau et un nombre impair » que l’on peut reformuler par « la carte tirée est
un carreau avec un nombre impair ».
2. Les événements Bet Csont-ils incompatibles ? Justifier.
B∩C=∅car une figure n’est pas une carte avec un nombre, par conséquent Bet Csont incompatibles.
Exercice 4. (5,5 points)
1. On considère une fonction affine ftelle que f(−5)=−2et f(7)=52.
Déterminer l’expression f(x).
fest affine donc on peut écrire pour tout réel x:f(x)=mx +poù met psont deux constantes réelles à
déterminer.
m=f(x2)−f(x1)
x2−x1=f(7)−f(−5) 7−(−5)=52 −(−2) 7−(−5)=54 12 =27 6=9 2(=4,5)
Ainsi f(x)=9
2x+p.
Or f(7)=52 ie 9
2×7+p=52 ⇐⇒ 63 2+p=104 2⇐⇒ p=104 2−63 2⇐⇒ p=41 2(⇐⇒ p=20,5)
Donc f(x)=9
2x+41 2(f(x)=4,5x+20,5).
2. Déterminer le tableau de signe de la fonction gdéfinie sur Rpar g(x)=9−5x.
Déterminons d’abord où s’annule g(x): résolvons
g(x)=0⇐⇒ 9−5x=0⇐⇒ 9=5x⇐⇒ 9
5=x
D’autre part, le coefficient directeur de l’expression
affine g(x)est −5donc négatif.
On en déduit le tableau de signe suivant :
x−∞ 9
5+∞
Signe de g(x)+0−
3. Soit hla fonction définie sur Rpar h(x)=1
4x−3. Dresser son tableau de variation.
La fonction affine ha pour coefficient directeur 1
4,
un nombre positif ; par conséquent hest strictement
croissante sur R. D’où :
x−∞ +∞
Var.
de
h
4. Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction kdéfinie sur Rpar k(x)=3x−5.
On munit le plan d’un repère O;Ð→ i , Ð→ j.kest un
fonction affine donc sa courbe représentative Ckest
une droite. Pour déterminer deux points de Ck, on va
utiliser d’abord l’ordonnée à l’origine p=−5donnant
le point A(0 ; −5)∈Ck; puis à partir de ce point A,
on utilise le coefficient directeur m=3en se décalant
de 1en abscisse et de 1×3=3en ordonnée, on obtient
B(1;−2).
Ainsi Ckest la droite (AB).
OÐ→
i
Ð→
j
×
A+1
+3
×
B
Ck
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Exercice 5. (6,5 points) Une AMAP propose trois tarifs différents sur les pommes de terre :
Tarif A : 1,50 euro par kilogramme ;
Tarif B : une cotisation mensuelle de 15 euros et 0,50 euro par kilogramme ;
Tarif C : une cotisation mensuelle de 40 euros pour un nombre de kilogramme illimité.
1. On note xle nombre de kilogramme acheté. Donner, directement et sans calculs, les expressions f(x), puis g(x)et enfin h(x)du
prix payé en euros en fonction de xrespectivement aux tarifs A, B et C.
Tarif A : f(x)=1,5xTarif B : g(x)=0,5x+15 Tarif C : h(x)=40
2. Dans le repère ci-dessous, les droites représentent les fonctions f,get h.
Associer à chaque fonction sa courbe représentative.
En utilisant en particulier les ordonnées à l’origine de chacune des fonctions, on en déduit que :
C1est la courbe représentative de la fonction h(tarif C).
C2est la courbe représentative de la fonction f(tarif A).
C3est la courbe représentative de la fonction g(tarif B).
0 5
5
kilogramme
Prix en euro
C2
C3
C1
35
30
3015 50
3. En utilisant le graphique ci-dessus, et en laissant les traits de construction, répondre aux questions suivantes :
a. Si un client achète en moyenne 35 kilogrammes par mois, quel tarif doit-il choisir ?
À l’aide du graphique, si un client achète en moyenne 35 kilogrammes par mois, il doit choisir le tarif B
(correspondant à C3) : le tarif choisi est celui d’ordonnée la plus petite pour l’abscisse 35.
b. Pour un budget de 30 euros, quel tarif est le plus avantageux ? Combien de kilogramme pourra-t-on acheter au tarif le plus avantageux
avec ce budget ?
À l’aide du graphique, pour un budget de 30 euros, il doit choisir le tarif B (correspondant à C3) : le tarif
choisi est celui d’abscisse la plus grande pour l’ordonnée 30 (le tarif C n’est pas à envisager car il faut un
budget d’au minimum 40 euros).
On a alors 30 kilogramme de pommes de terre avec 30 euros et le tarif le plus avantageux (B).
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4. Dans quels cas le tarif B est-il le plus intéressant ? Justifier.
On peut utiliser deux méthodes :
●graphiquement : À l’aide du graphique, le tarif B est le plus intéressant quand on achète entre 15 et 50
kilogrammes de pommes de terre : lorsque la courbe C3(courbe de g) est sous les autres courbes.
●algébriquement : le tarif B correspond à la fonction g, on cherche l’ensemble des solutions (positives) du
système d’inéquations 
g(x)⩽f(x)
g(x)⩽h(x)ie 
0,5x+15 ⩽1,5x
0,5x+15 ⩽40 ⇐⇒ 
15 ⩽1,5x−0,5x
0,5x⩽40 −15
⇐⇒ 
15 ⩽x
0,5x⩽25 ⇐⇒ 
15 ⩽x
x⩽25
0,5
⇐⇒ 
15 ⩽x
x⩽50 ⇐⇒ 15 ⩽x⩽50
Le tarif B est le plus intéressant quand on achète entre 15 et 50 kilogrammes de pommes de terre.
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