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Essai. Le Chaos Par Ivar Ekeland Flammarion, 1995
.. voici.. / voilà..
cf Voilà pdf

Le Chaos : Essai , par Ivar Ekeland : 
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06/05/2016
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71. nous avons fait appel à des simulations numériques, c’est-à-dire que nous avons fait calculer
par l’ordinateur, et représenter sur les écrans graphiques, un certain nombre de trajectoires que
nous avons suivies aussi longtemps que notre patience le permettait.
72/73. Il y a une erreur quelque part, et il en découvre la source : la seconde fois, il a tronqué les
données en ne gardant que trois des six chiffres qu’elles comportent. C’est donc la trajectoire
recalculée qui est « fausse », la première étant « juste ».
73. Mais dès l’instant suivant, par le simple jeu du calcul, les six chiffres sont devenus onze, voire
douze, et il va donc falloir les arrondir, c’est-à-dire les tronquer pour les ramener à six.
74. L’ordinateur, dans son calcul, est donc plus précis que Lorenz dans son erreur, mais c’est une
différence de degré, et non de nature. L’ordinateur et Lorenz font exactement la même chose, ils
tronquent les données, à cette différence près que Lorenz ne le fait qu’une fois alors que c’est à
chaque étape du calcul que l’ordinateur va recourir aux ciseaux.
74./ ..76. si on gardait neuf chiffres au lieu de six, dès la première multiplication on devrait arrondir
de dix-sept ou dix-huit à neuf, c’est-à-dire que l’on ferait une erreur du milliardième, qui se ferait
sentir au bout de neuf fois le temps caractéristique,
77. Mais un milliard d’années, c’est cent fois le temps caractéristique.
77. Il faudrait de surcroît mener les calculs avec la même précision, c’est-à-dire cent chiffres
significatifs, ce qui n’est pas davantage possible.
78. il existe (au sens mathématique, c’est-à-dire que l’on serait bien en peine de la montrer, mais
on sait qu’elle est là) une trajectoire « juste » qui coïncide avec la trajectoire calculée à la précision
retenue pour le calcul, trois, six, douze ou vingt-quatre chiffres.
80. C’est l’instabilité même de la trajectoire qui rend ce miracle possible.
82. La moyenne statistique des cas favorables, c’est-à-dire le nombre de fois où l’on trouve la
planète hors du système solaire divisé par le nombre total d’expériences, nous donne une
probabilité d’évasion pour Mercure.

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82. Cette probabilité est-elle autre chose qu’un artefact mathématique ? Mercure est-il lié en
quelque manière par ces simulations purement numériques ? Peut-on s’avancer et prétendre que
c’est la probabilité qu’il s’échappe du système solaire ?
83. C’est finalement grâce à ces résultats de stabilité que nous pouvons avoir quelque confiance
dans les simulations numériques : sans eux, les systèmes chaotiques seraient inaccessibles au
calcul.
83. C’est vraiment l’un des cas où la théorie complète et justifie la pratique.
83. Que les simulations numériques soient aussi concluantes que l’expérimentation physique, que
la vision de l’espace que nous donne l’ordinateur soit exacte, ce sont tous ces résultats de stabilité
qui nous permettent de l’affirmer.
85. Voilà qui paraît paradoxal. Quoi de mieux assuré, quoi de mieux garanti contre tout risque
d’erreur, et pourquoi donc leur dénier le statut de théorie scientifique ? C’est qu’une théorie
scientifique nous dit quelque chose sur le monde, alors que les mathématiques nous disent
quelque chose sur les mathématiques.
88. Ce que tout ceci signifie, c’est que le propre d’une théorie scientifique est de se soumettre en
permanence à un jugement : elle est vraie ou fausse.
88. … le fait qu’elle soit réfutable, c’est-à-dire qu’elle puisse être remise en cause par des
expériences.
88. C’est à cause d’elle que l’on a abandonné la théorie galiléenne des repères absolus pour la
théorie einsteinienne de la relativité restreinte.
90. Ce sont des constructions purement logiques, qui se bornent à déduire les conséquences
nécessaires de certains résultats mathématiques considérés comme fondamentaux (les axiomes),
mais qui ne prétendent nullement s’appliquer au monde physique, biologique ou social. En ce
sens, ce ne sont pas des théories scientifiques.
91. Que le monde extérieur s’y conforme ou pas, c’est une tout autre affaire, qui ne concerne plus
le mathématicien, mais le physicien.
91. C’est d’ailleurs ce qui se passe avec la théorie de la relativité :

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91. Bien entendu le transport ne contracte rien du tout, c’est simplement une autre géométrie que
la géométrie euclidienne qui s’applique à cette situation.
97. C’est le prototype d’un modèle stochastique, et cela choquait beaucoup Einstein, qui se
demandait à juste titre qui lançait les dés.
98. Le premier effet de la théorie du chaos (disons tout de suite que c’est à mes yeux le moins
important) est d’élargir la palette des modèles disponibles pour représenter des phénomènes
irréguliers ou aléatoires.
98. Si la théorie du chaos paraît tellement intéressante aux chercheurs de ces disciplines, c’est
qu’elle leur ouvre une autre possibilité, celle de proposer un modèle déterministe, mais chaotique.
98. on pourrait certes proposer un modèle stochastique, c’est-à-dire d’évaluer les fréquences
d’apparition des chiffres de 1 à 5 dans les divers protocoles d’expérience,…. mais c’est tellement
mieux d’avoir fait le tour et d’avoir vu le mécanisme en action.
99. Jusqu’à présent, c’est le second type d’explication qui a été privilégié.
99. on a cherché à les représenter par des modèles stochastiques, c’est-à-dire qu’on a cherché à
expliquer les cycles par des chocs extérieurs, de nature aléatoire, auxquels serait soumise
l’économie.
100. C’est la vision de Laplace qui, du simple fait que l’Univers était soumis à la loi de Newton,
concluait que tout était déterminé dès à présent, et qu’une intelligence qui connaîtrait les positions
et les vitesses exactes de chaque particule de l’Univers pourrait calculer tout le passé et tout
l’avenir.
101. C’est de cette chape étouffante, de cet univers clos où il ne peut rien se passer, où il n’y a ni
inconnu ni nouveau, que nous délivre la théorie du chaos.
101. Proposer pour l’univers un modèle déterministe, c’est affirmer qu’il est soumis à des lois
strictes, qui contraignent son évolution pour tout le temps qu’il a à vivre ;

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102. C’est ainsi qu’apparaissent les lois physiques : ce sont des ensembles de relations qui
caractérisent les états naturels parmi tous les états possibles.
102. Mais – et c’est là l’apport de la théorie du chaos – proposer un modèle déterministe c’est
aussi laisser un espace au hasard, une dimension à l’imprévisible.
104. Ce n’est pas non plus un ciel couvert, noyé d’un brouillard qui arrête notre regard et nous
dérobe tout horizon. Ce que nous voyons, ce sont les deux ensembles, comme un ciel de pluie, où
les bourrasques nous ménagent quelques échappées vers des horizons lointains chargés de
soleil.
110. Résoudre l’équation, c’est être capable de calculer ses solutions, c’est-à-dire de donner leurs
valeurs avec toute la précision que l’on souhaite.