Le comparatif in Essai Le Chaos Par Ivar Ekeland (Flammarion, 1995)

Le comparatif in Essai
Le Chaos Par Ivar Ekeland
(Flammarion, 1995)
Cf. CommeEkelandExo.pdf
MemeEkeland.pdf
Grammaire : Comparatif in Essai
Le Chaos Par Ivar Ekeland
autant
aussi
comme
Essai1 : 2
Essai 2 : Ø
Essai1 : 5
Essai 2 : 7
Essai1 : 3
Essai 2 : 19
mieux
Essai 1 : Ø
Essai 2 : 4
meilleur
Essai 1 : Ø
Essai 2 : 5
pire
plus
Essai 1,2 :Ø
x
moins
Essai 1 : 5
Essai 2 : 11
moindre
inférieur à
Essai 1,2 :Ø
Essai 1 : Ø
Essai 2 : 1
supérieur à
Essai 1 : Ø
Essai 2 : 1
majeur
Essai 1 : Ø
Essai 2 : 2
Essai 1,2 :Ø
Essai 1 : 1
Essai 2 : 4
mineur
également
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2
sont autant de + nom 72
se fera sentir + tout autant 74
Comme nous l’avons vu 77,101  pour se
référer à …
Tout comme 81
comme si 80, 93
comme de + inf 93.  pour exemplifier
dans un sens comme dans l’autre 99
quoi de mieux + pp 85 x 2
c’est mieux de + inf 98
de mieux en mieux 106
déterm + meilleur + nom 89, 90, 94
la meilleure + nom 104
meilleure que + nom 108
pour le moins + adj 80
le moins + adj 98
moins + adj 97 x 2
moins + adj + que 74
plus ou moins + adj 77, 99
sujet + n’en reste pas moins + adj 92,
il impers + n’en reste pas moins 81, 96
n’en sont pas moins 92, 97, 110
n’en est pas moins + adj 80
tout au moins 96 x 2
inférieur à + chiffre 102
supérieur à + chiffre 102
art + nom + majeur 94
art + majeur + nom 102
également + indéfini 80
Verbe + également que + prop 92
également + infinitif 92
Verbe + également + nom108
Verbe + également + à + nom 108
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71. représenter sur les écrans graphiques, un certain nombre de trajectoires que nous avons
suivies aussi longtemps que notre patience le permettait.
72. Le problème que je soulève ici est beaucoup plus général, et certains lecteurs se sont peut-
être posé la question d’eux-mêmes : les inévitables arrondis que fait l’ordinateur au long du calcul,
et qui sont autant de petites erreurs par rapport à la trajectoire exacte, ne vont-ils pas la dénaturer
très rapidement ?
73. Je prétends que la première trajectoire est tout aussi « fausse » que la seconde.
74. Certes, descendre de onze chiffres à six est moins grave que de descendre de six à trois : la
précision retenue qui était de un millionième dans le premier cas, n’est que de un millième dans le
second.
74. Et si l’erreur de Lorenz a eu de telles conséquences, combien plus les erreurs d’arrondi, qui
s’accumulent tout au long de la trajectoire, devraient-elles en avoir ! Certes, elles sont plus petites,
de l’ordre du millionième plutôt que du millième ; mais, en dehors même du fait qu’elles
s’accumulent, nous avons déjà vu que la taille ne fait rien à l’affaire. Une erreur mille fois plus
petite qu’une autre se fera sentir tout autant ; il faudra simplement attendre un peu plus
longtemps, trois fois le temps caractéristique pour être tout à fait précis.
76. Quelle que soit la précision retenue pour les calculs, la trajectoire calculée s’en écartera au
bout d’un temps plus ou moins long, mais s’en écartera sûrement.
77. Ni Laskar ni personne ne prétend connaître les données avec cette précision, qui est, comme
nous l’avons vu, non seulement inaccessible à la mesure mais dépourvue de signification
physique.
80. Toute cette accumulation d’erreurs d’arrondis successives peut être compensée par un simple
déplacement du point de départ, déplacement qui lui aussi sera insensible au niveau de précision
retenu, mais qui n’en est pas moins réel, et dont les effets amplifiés corrigeront toutes les
inexactitudes.
80. Tout se passe donc comme si l’ordinateur ne calculait pas la trajectoire correspondant aux
données qu’on lui a fournies, mais à d’autres données,
80./81. Il est remarquable, et pour le moins paradoxal, que ce soit l’instabilité même des systèmes
chaotiques qui ouvre cette possibilité. Elle en ouvre également d’autres : nous verrons par la suite
comment calculer les probabilité des divers types de trajectoire, et comment nous prémunir contre
les erreurs de modélisation.
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81. Il n’en reste pas moins que cette différence, insensible au départ, va s’amplifier, et jette un
doute sur les prédictions à long terme, tout comme une imprécision sur la position initiale, ou des
erreurs d’arrondis au cours des calculs, peuvent mettre en cause le résultat final.
82. Et même s’il nous prend fantaisie d’évaluer, par exemple, la probabilité que Mercure quitte un
jour le système solaire, nous pouvons aussi procéder par simulation numérique.
83. Que les simulations numériques soient aussi concluantes que l’expérimentation physique, que
la vision de l’espace que nous donne l’ordinateur soit exacte, ce sont tous ces résultats de stabilité
qui nous permettent de l’affirmer.
85. Quoi de mieux assuré, quoi de mieux garanti contre tout risque d’erreur, et pourquoi donc leur
dénier le statut de théorie scientifique ?
87. Mais on voit aussi que l’atmosphère n’est qu’une fine pellicule autour de la Terre, soumise à de
multiples influences, provenant de l’intérieur du globe comme de l’espace extérieur.
88. Les deux vont ensemble : elle ne peut être vraie que parce qu’elle pourrait aussi être fausse.
89. dans l’attente qu’une meilleure théorie vienne la supplanter.
90. Nous ne nous attendons pas à ce que de futurs mathématiciens, plus intelligents, trouvent pour
2 + 2 une meilleure valeur que 4 ,
91. Il faudrait alors faire appel à d’autres géométries (il en existe, toutes aussi vraies que la
géométrie euclidienne et pour les mêmes raisons) pour calculer les distances des points dans
l’espace.
92. alors il nous faut également accepter la possibilité de phénomènes chaotiques, comme ceux
que nous avons décrits dans la première partie :
92. Elle nous apprend également que si ces phénomènes chaotiques se produisent, ils auront eux
aussi des conséquences qui, pour être logiques et nécessaires, n’en sont pas moins quelquefois
inattendues.
92./93. La théorie du chaos continue par ailleurs de se développer dans d’autres directions que
nous n’avons pas mentionnées jusqu’ici, comme de tenter une classification de tout ou partie des
systèmes chaotiques.
93. comme si les cas d’égalité des triangles étaient le dernier mot de la science, et…
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94. Mais nous allons voir qu’il y a de meilleures raisons de s’intéresser à la théorie du chaos,
94. L’impact majeur de cette théorie est encore à venir ; il ne se limitera pas aux mathématiques
mais se fera sentir sur l’ensemble de la science.
96./97. Mais la biologie ou l’économie ont aussi développé des modèles, qui, bien que moins
sophistiqués et moins puissants, n’en sont pas moins les étapes importantes dans le
développement de la science. Bien entendu, tous ces modèles sont aussi variés que les situations
qu’ils recouvrent et que l’état des mathématiques le permet.
98. on pourrait certes proposer un modèle stochastique, ………… mais c’est tellement mieux
d’avoir fait le tour et d’avoir vu le mécanisme en action.
99. les analyses historiques révèlent au contraire des enchaînements parfaitement logiques entre
les anticipations des acteurs et leurs comportements, et montrent l’importance que peuvent avoir
certaines politiques, dans un sens comme dans l’autre.
101. Du point de vue physique, comme nous l’avons vu, cela veut dire que tous les états
théoriquement possibles ne sont pas pratiquement réalisables,
102. on peut imaginer par exemple qu’elles soient toutes tassées dans un coin, réalisant
localement une très haute pression, et laissent inoccupée la majeure partie du volume, où est
réalisé momentanément un vide absolu.
102. proposer un modèle déterministe c’est aussi laisser un espace au hasard, une dimension à
l’imprévisible.
102. Plus exactement, le temps caractéristique T pose une borne aux possibilités de prévision ;
102. Pour des durées inférieures à T, on peut sans problème suivre le système par le calcul.
102. Pour des durées supérieures à 10 T, on perd complètement sa trace;
104. Nous avons évoqué précédemment cette marge ténue qui sépare le zéro mathématique du
presque rien, l’exactitude absolue de la meilleure approximation.
105./106. A défaut de pouvoir utiliser le modèle exact, on construit des modèles linéaires, de plus en
plus compliqués, approchant de mieux en mieux le système considéré, mais dont nous savons
maintenant qu’ils n’en donneront jamais une idée exacte.
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108. que cette réponse calculée soit meilleure que celle que je pourrais deviner en me fondant sur
les moyennes saisonnières.
108. Il faudra désormais s’habituer à ce qu’elles aient également des limites numériques.
108. Je pense que cette révolution s’étendra également à l’enseignement des mathématiques,
(à suivre)
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