FILTRES

FILTRES
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Un quadrupôle constitué de deux dipôles (D1 )
et (D2 ), disposés comme l’indique la figure cicontre, contient une résistance R, un condensateur de capacité C et une bobine d’inductance
L. Seules les bornes d’entrée et de sortie sont
accessibles à l’expérimentateur.
On réalise les mesures suivantes :
. On relie l’entrée à une pile de f.e.m e(t) = E0 = 15 V, la sortie étant ouverte. On
mesure, en régime établi, un courant d’entrée d’intensité I(t) = I0 = 15 mA.
. On remplace la pile précédente par un générateur de tension sinusoïdale e(t) = E0 cos ωt
et on effectue une étude en fréquence du système. L’expérience montre qu’il s’agit d’un
filtre passe-bande dont le gain passe par sa valeur maximale pour la fréquence f0 = 1, 16
kHz et dont la bande passante à −3 dB vaut ∆f = 0, 34 kHz.
Déterminer la disposition et la valeur numérique des composants dans le quadripôle.
2
Entrée d’un oscilloscope
L’impédance d’entrée d’un oscilloscope est caractérisée par un groupement parallèle R0 , C0 .
On souhaite étudier un filtre RC série (voir figure ci-dessous). La tension de sortie us du
filtre est envoyée à l’entrée de l’oscilloscope. On donne R = 1, 0 kΩ ou 100 kΩ, C = 10 nF,
R0 = 1, 0 MΩ et C0 = 30 pF.
1. Déterminer la fonction de transfert H =
us
du filtre RC seul. Quelle est sa fréquence de
ue
coupure ?
2. Donner la fonction de transfert de l’ensemble {RC + oscilloscope}. Comment est modifiée
la fréquence de coupure et le gain à basse fréquence du fait de la présence de l’oscilloscope ?
On comparera les cas où R = 1, 0 kΩ et où 100 kΩ. Commenter.
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3
Filtrage de la tension délivrée par une alimentation
“continue”
Une alimentation “continue” est basée sur le redressement de la tension sinusoïdale délivrée
par un transformateur. En conséquence, elle n’est pas parfaitement continue : elle contient
une composante variable de fréquence 100 Hz. Cette tension est supposée de la forme
est appelé taux d’ondulation).
e(t) = E0 +∆E cos(200πt) avec E0 = 10 V et ∆E = 0, 1 V ( ∆E
E0
Le dispositif de résistance Ru = 100 Ω auquel elle est branchée nécessite une tension continue
d’au moins 9 V avec un taux d’ondulation inférieur à 1/1000.
1) Quel(s) type(s) de filtre pourrait-on utiliser pour obtenir le résultat souhaité ?
2) Déterminer le couple de valeurs (R, C) du montage suivant réalisant les conditions demandées avec la valeur de C la plus petite possible.
R
e(t)
Ru
C
s(t)
3) Quelle est la valeur de l’inductance de la bobine à placer en série avec le dispositif suivant
pour avoir le même taux d’ondulation.
L
e(t)
Ru
s(t)
4) Montrer que le montage ci-dessous permet d’éliminer théoriquement totalement l’ondulation.
Pourquoi n’est-ce pas vrai en pratique ?
L
e(t)
Ru
s(t)
C
Sachant que L = 1 mH, calculer la valeur de C permettant d’éliminer l’ondulation.
2
4
Filtre RC
On étudie le filtre ci-contre.
1. En effectuant un schéma équivalent en BF
(basse fréquence) et en HF (haute fréquence), déterminer sans calcul le type de
ce filtre.
2. Déterminer sa fonction de transfert
H(jω).
3. Déterminer sa pulsation de coupure ω0 en
fonction de R et C.
4. On a tracé ci-dessous le diagramme de Bode de ce filtre. Justifier les parties rectilignes du
diagramme de Bode en gain ainsi que les valeurs asymptotiques de la phase. Déterminer
la valeur du produit RC.
5. En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d’une intégration ? Comment vérifie-t-on cette
propriété sur la diagramme de Bode (en gain et en phase) ?
6. Déterminer l’expression du signal de sortie si l’entrée vaut 10 cos 2π.900t + π3 .
10
1
10
2
10
-10
-15
-20
-25
-30
-35
G(dB)
3
3
10
4
f(Hz)
10
1
10
2
10
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
◦
ϕ( )
4
3
10
4
f(Hz)
5
Réalisation d’un filtre moyenneur
On désire réaliser un filtre moyenneur avec un
circuit RC, de fonction de transfert
H=
1
.
1 + jRCω
Pour cela, la composante continue du signal qui
correspond à la valeur moyenne doit être transmise et les composantes alternatives "éliminées".
1. Quelle est la nature de ce filtre ?
2. On considère que la conditions d’élimination est réalisée si la composante alternative
est atténuée de 40 dB en sortie de filtre. Sachant en pratique, que les signaux à traiter
ont des fréquences supérieures à 1 kHz, déterminer, en utilisant un gabarit, la valeur
de la fréquence de coupure (on choisira la plus grande valeur possible). En déduire la
valeur de R, sachant qu’on a déjà un condensateur C = 1 µF.
3. Le filtre précédent est maintenant réalisé, et fonctionne parfaitement.
Pour le tester,
π
on l’alimente avec le signal ue (t) = 2 + 1. cos 2π.1000t + 3 + 5. cos 2π.2000t + π3 (en
unité SI).
Qu’observe-t-on en sortie ? Conclure sur la fonction attendue de ce filtre.
4. À quelle condition ce filtre se comporte-t-il comme un intégrateur ?
5. Toujours dans l’optique de vérifier le bon fonctionnement du filtre, on l’alimente avec un
signal créneau évoluant entre 0 et 4V à la fréquence 1 kHz. Qu’observe-t-on à la sortie ?
6. Un élève, qui manifestement n’a pas écouté les consignes, fait l’observation du signal
de sortie avec un oscilloscope réglé en mode AC. Il n’observe rien... Il essaie alors de
toucher un peu à tous les boutons. Il remarque qu’en modifiant le calibre pour agrandir
l’échelle verticale il observe un signal triangulaire de fréquence 1 kHz : expliquer.
5
6
Gabarit d’un filtre passe-bande.
On considère un filtre passe bande RLC dont la fonction de transfert peut s’écrire sous la
forme :
j Qx
1
=
1
1 − x2 + j Qx
1 + jQ(x − x1 )
1 + j( Lω
− RCω
)
R
√
1
où on a introduit la pulsation propre du circuit ω0 = 1/ LC, le facteur de qualité Q = RCω
0
et la pulsation réduite x = ω/ω0 .
Un cahier des charges impose pour ce filtre qu’il laisse passer avec une atténuation inférieure
à 4 dB toutes les fréquences dans une bande comprise entre 300 Hz et 800 Hz, et rejette avec
une atténuation supérieure à 18 dB toutes les fréquences inférieures à 50 Hz ou supérieures à
5 kHz.
1. Tracer le gabarit du filtre sur la figure ci-dessous
2. Vérifier que la courbe de gain dessinée sur la figure respecte le cahier des charges. Mesurer
la pente des asymptotes. Est-ce compatible avec le filtre passe-bande d’ordre 2 étudié ? Quelle
est la fréquence centrale de ce filtre ? On impose L = 0, 10 H, en déduire la valeur de C.
3. Estimer à l’aide du graphe la valeur du facteur de qualité Q. En déduire la valeur de la
résistance.
1
H(jω) =
G(dB)
0 1
10
-5
=
102
103
-10
-15
-20
-25
-30
6
104
f(Hz)
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Filtre de Colpitts
1) Déterminer la fonction de transfert du filtre ci-dessous :
Montrer qu’elle peut s’écrire sous la forme :
C1
C1 +C2
H(jω) =
1+j
C1 C2 R
ω
C1 +C2
−
R
Lω
=
1 + jQ
H
0
ω
ω0
−
ω0
ω
et donner les expressions de Q et ω0 en fonction de R, L, C1 et C2 . Quelle est la nature de ce
filtre ?
2) On souhaite sélectionner la fréquence f0 = 150 kHz avec un facteur de qualité Q = 20.
Calculer R et C2 . Quel est le gain pour f = f0 ?
3) Tracer le diagramme de Bode de ce filtre.
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