DS Devoir surveillé Algorithme de Dijkstra - 45

TES
17 mars 2016
DS Devoir surveillé
Algorithme de Dijkstra - 45 min
Exercice 1 10 points
Dans le graphe ci-dessous, .
A
B
C
D
E F
G
1. Tableau des sommets-degrés
Sommet A B C D E F G
Degrés 2 4 5 5 4 4 2
2. (a) La matrice Massociée au graphe est M=
0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0 1
0 0 0 1 0 1 0
(b) On donne la matrice M3=
2785553
7 8 12 13 12 8 5
8 12 12 15 13 13 5
5 13 15 12 13 12 8
5 12 13 13 10 12 5
5 8 13 12 12 8 7
3558572
Le nombre de chemins de longueur 3 reliant Aet Fet le coefficient M3
1,6= 5. Il y a donc 5 chemins possibles
Liste des chemins : A-B-C-F A-B-E-F A-B-D-F A-C-D-F A-C-E-F
3. Le graphe correspondant aux voies d’accès principales est connexe et possède deux seuls sommets C et D
de degré impair. Or d’après le théorème d’Euler, ce graphe admet une chaîne eulérienne d’extrémités C et
D, donc le candidat pourra parcourir ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie.
On pourra utiliser l’algorithme d’Euler pour proposer un trajet (une chaîne eulérienne) .
Par exemple : la chaîne C - B - E - D - F - G - D - B - A - C - E - F - C - D est une chaîne eulérienne et
représente un parcours possible pour le candidat.
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4. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents
lieux via les transports en commun.
A
B
C
D
E F
G
812
8
4
20
12 24
20
16
412
4
8
a) L’algorithme de Dijkstra pour déterminer le chemin le plus court de A à G.
A B C D E F G 0
0∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ A(0)
|8A4A∞ ∞ ∞ ∞ C(4)
|8A,612C|20C16C24C∞B(8)
| | | 6 20Cet 12B16C,620B24C∞D(12)
| | | | 16C,624D24C,636D32DE(16)
| | | | | 6 24C,20E32DF(20)
| | | | | | 6 32D,28FG(28)
L’algorithme nous permet d’écrire :
A(0) ⇐=C(4) ⇐=E(16) ⇐=F(20) ⇐=G(28)
Donc le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous est :
A - C - E - F - G
b) Le temps pour effectuer ce trajet de durée minimale est de : 28 minutes
Lycée Dumont d’Urville Page 2/2 Fin