DS Devoir surveillé Algorithme de Dijkstra - 45

TES
17 mars 2016
DS Devoir surveillé
Algorithme de Dijkstra - 45 min
Exercice 1
10 points
Dans le graphe ci-dessous, .
B
D
C
A
G
E
F
1. Tableau des sommets-degrés
Sommet
A
B
C
D
E
F
G
Degrés
2
4
5
5
4
4
2
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1

0
1


1

2. (a) La matrice M associée au graphe est M = 
0

0

0
0

2 7 8 5
7 8 12 13


8 12 12 15

(b) On donne la matrice M 3 = 
5 13 15 12

5 12 13 13

5 8 13 12
3 5 5 8
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0

0
0
1
1
1
0
1

0
0


0

1


0

1
0
5 5 3
12 8 5


13 13 5

13 12 8


10 12 5

12 8 7
5 7 2
3
Le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F et le coefficient M1,6
= 5. Il y a donc 5 chemins possibles
Liste des chemins : A-B-C-F
A-B-E-F
A-B-D-F
A-C-D-F
A-C-E-F
3. Le graphe correspondant aux voies d’accès principales est connexe et possède deux seuls sommets C et D
de degré impair. Or d’après le théorème d’Euler, ce graphe admet une chaîne eulérienne d’extrémités C et
D, donc le candidat pourra parcourir ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie.
On pourra utiliser l’algorithme d’Euler pour proposer un trajet (une chaîne eulérienne) .
Par exemple : la chaîne C - B - E - D - F - G - D - B - A - C - E - F - C - D est une chaîne eulérienne et
représente un parcours possible pour le candidat.
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Tournez, SVP !
4. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents
lieux via les transports en commun.
B
8
8
20
16
C
12
12
20
E
4
12
4
A
a)
D
4
G
24
8
F
L’algorithme de Dijkstra pour déterminer le chemin le plus court de A à G.
A
B
C
D
E
F
G
0
0
∞
∞
∞
∞
∞
∞
A(0)
|
8A
4A
∞
∞
∞
∞
C(4)
|
8A , 6 12C
|
20C
16C
24C
∞
B(8)
|
|
|
6 20C et 12B
16C , 6 20B
24C
∞
D(12)
|
|
|
|
16C , 6 24D
24C , 6 36D
32D
E(16)
|
|
|
|
|
6 24C , 20E
32D
F(20)
|
|
|
|
|
|
6 32D , 28F
G(28)
L’algorithme nous permet d’écrire :
A(0) ⇐= C(4) ⇐= E(16) ⇐= F(20) ⇐= G(28)
Donc le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous est :
A-C-E-F-G
b) Le temps pour effectuer ce trajet de durée minimale est de : 28 minutes
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Fin