Éléments de correction. Exercice 1. Dans l`algorithme ci

Éléments de correction.
Exercice 1.
Dans l’algorithme ci-dessous, P est un entier naturel.
Algorithme
0 −→ N
1, 5 −→ U
Entrer P
Tant que u < 10p
N + 1 −→ N
U 2 −→ U
Fin tant que
Afficher N
1) La valeur entrée par l’utilisateur est stockée dans la variable P .
2) L’expression de un+1 en fonction de un est : un+1 = u2n avec u0 = 1, 5. La suite (un ) n’est pas
3
9
81
u1
3
u2
9
géométrique. En effet : u0 = ; u1 = et u2 = . Ainsi on constate que
= =
6
= . Il
2
4
16
u0
2
u1
4
n’y a donc pas de raison constante.
3) Quand on exécute l’algorithme avec P = 80, la variable affichée est N = 9, cela signifie que pour
tout n > 9 on a un > 1080 .
4) La limite de (un ) semble donc être +∞ : lim un = +∞.
n→+∞
Exercice 2.
1) On veut écrire l’algorithme permettant de répondre au problème suivant :
L’utilisateur entre un nombre entier n. L’algorithme calcule la somme Sn des carrés des entiers
naturels entre 0 et n. L’algorithme affiche la valeur Sn .
Analyse : il y a deux variable évidentes, n qui est un entier et S, qui est a priori un réel. On
devine qu’il va y avoir une boucle, et donc une troisième variable i, également un entier.
Algorithme
Variables : n et i entiers, S réel.
0 −→ S
1 −→ i
Entrer n
Pour i allant de 1 à n
S + i2 −→ S
i + 1 −→ i
Fin Pour
Afficher S
2) En programmer cet algorithme sur la calculatrice (ou un ordinateur), on montre que Sn ≥ 1000 si
n ≥ 14 : en effet S13 = 819 et S14 = 1015.
3) Défis facultatif : On admet que Sn = an3 + bn2 + cn. Or on calcule les valeurs suivantes :



3
2
a+b+c=1




a × 1 + b × 1 + c × 1 = 1
 S1 = 1
3
2
8a + 4b + 2c = 5
S2 = 5 ⇔ a × 2 + b × 2 + c × 2 = 5 ⇔






3
2
27a + 9b + 3c = 14
a × 3 + b × 3 + c × 3 = 14
S3 = 14



a
=
1
−
b
−
c
a
=
1
−
b−c



a = 1 − b − c


8a + 4b + 2c = 5 ⇔ 8(1 − b − c) + 4b + 2c = 5 ⇔ 8 − 4b − 6c = 5
⇔



 27 − 18b − 24c = 14
 27(1 − b − c) + 9b + 3c = 14
 27a + 9b + 3c = 14






a = 1 − b − c
a = 1 − b − c
a = 1 − b − c
− 4b − 6c = −3
⇔ b = 0, 75 − 1, 5c
⇔ 4b + 6c = 3
⇔






18 × (0, 75 − 1, 5c) + 24c = 13
18b + 24c = 13
− 18b − 24c = −13

1



c=


6



a = 1 − b − c
1
⇔ b = 0, 75 − 1, 5c ⇔ b =


2

 13, 5 − 3c = 13



a = 1
3
1 3 1 2 1
2n3 + 3n2 + n
n (2n2 + 3n + 1)
n (2n + 1) (n + 1))
On a donc Sn = n + n + n =
=
=
3
2
6
6
6
6