Éléments de correction. Exercice 1. Dans l`algorithme ci

´
El´ements de correction.
Exercice 1.
Dans l’algorithme ci-dessous, Pest un entier naturel.
Algorithme
0−→ N
1,5−→ U
Entrer P
Tant que u < 10p
N+ 1 −→ N
U2−→ U
Fin tant que
Afficher N
1) La valeur entr´ee par l’utilisateur est stock´ee dans la variable P.
2) L’expression de un+1 en fonction de un est : un+1 = u2
n
avec u0 = 1 , 5. La suite (un) n’est pas
g´eom´etrique. En effet : u0 =
3
2
; u1 =
9
4
et u2 =
81
16
. Ainsi on constate que
u1
u0
=
3
26
=
u2
u1
=
9
4
. Il
n’y a donc pas de raison constante.
3) Quand on ex´ecute l’algorithme avec P = 80, la variable affich´ee est N = 9, cela signifie que pour
tout n > 9 on a un>1080.
4) La limite de (un) semble donc ˆetre +∞: lim
n→+∞
un= +∞.
Exercice 2.
1) On veut ´ecrire l’algorithme permettant de r´epondre au probl`eme suivant :
L’utilisateur entre un nombre entier n . L’algorithme calcule la somme Sn des carr´es des entiers
naturels entre 0 et n. L’algorithme affiche la valeur Sn.
Analyse : il y a deux variable ´evidentes, n qui est un entier et S , qui est a priori un r´eel. On
devine qu’il va y avoir une boucle, et donc une troisi`eme variable i, ´egalement un entier.
Algorithme
Variables : net ientiers, Sr´eel.
0−→ S
1−→ i
Entrer n
Pour iallant de 1 `a n
S+i2−→ S
i+ 1 −→ i
Fin Pour
Afficher S
2) En programmer cet algorithme sur la calculatrice (ou un ordinateur), on montre que Sn≥ 1000 si
n≥14 : en effet S13 = 819 et S14 = 1015.

3) D´efis facultatif : On admet que Sn=an3+bn2+cn. Or on calcule les valeurs suivantes :
S1= 1
S2= 5
S3= 14
⇔
a×13+b×12+c×1 = 1
a×23+b×22+c×2 = 5
a×33+b×32+c×3 = 14
⇔
a+b+c= 1
8a+ 4b+ 2c= 5
27a+ 9b+ 3c= 14
⇔
a= 1 −b−c
8a+ 4b+ 2c= 5
27a+ 9b+ 3c= 14
⇔
a= 1 −b−c
8(1 −b−c)+4b+ 2c= 5
27(1 −b−c)+9b+ 3c= 14
⇔
a= 1 −b−c
8−4b−6c= 5
27 −18b−24c= 14
⇔
a= 1 −b−c
−4b−6c=−3
−18b−24c=−13
⇔
a= 1 −b−c
4b+ 6c= 3
18b+ 24c= 13
⇔
a= 1 −b−c
b= 0,75 −1,5c
18 ×(0,75 −1,5c) + 24c= 13
⇔
a= 1 −b−c
b= 0,75 −1,5c
13,5−3c= 13
⇔
c=1
6
b=1
2
a=1
3
On a donc Sn=1
3n3+1 2n2+1 6n=2n3+ 3n2+n 6=n(2n2+ 3n+ 1) 6=n(2n+ 1) (n+ 1)) 6