Sous-algèbres de Cartan

Sous-algèbres de Cartan
M.RAOUYANE
E.N.S. Université Mohammed V Agdal
RABAT
[Cinquième école de Géométrie
19-23 Novembre 2013]

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Si gest une algèbre de Lie complexe ; pour toute sous-algèbre nilpotente h, il est pos-
sible de décomposer gen une somme directe de sous-espaces propres simultanément à la
famille des endomorphismes de g,{adx;x∈h}, et chaque sous-espace propre est invariant
par cette famille. hest une sous-algèbre de Cartan ,si elle est la plus grande sous-algèbre
nilpotente qui donne une telle décomposition de g.
Dans ce cours nous dégageons les rudiments d’algèbre linéaire , qui permettent d’arriver
à la définition et à la mise en évidence d’une sous-algèbre de Cartan dans une algèbre
de Lie de dimension finie sur C. Ensuite on établit les principales propriétés d’une telle
algèbre.
Dans le dernier chapitre, on présente des algèbres de Lie de dimension infinie, en vue de
prolonger la théorie élaborée en dimension finie. Le premier problème qui se pose est d’in-
troduire une définition adéquate, appropriée à toute algèbre de Lie. Ce qu’une synthèse
de plusieurs articles publiés dans la dernière decennie permet d’obtenir. Nous donnons
enfin quelques propriétés d’une sous-algèbre de Cartan ainsi définie.
La partie concernant les sous-algèbres de Cartan en dimension finie, ainsi que l’introduc-
tion des algèbres de Kac-Moody seront traités par Pr.M. Ait-Benhaddou dans son cours.
Enfin une bibliographie sommaire se trouve à la fin du texte.
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Table des matières
1 Décomposition primaire et décomposition de Fitting 5
1.1 décomposition d’un espace vectoriel par rapport à un endomorphisme : . . 5
1.2 décomposition d’un espace vectoriel par rapport à une famille d’endomor-
phismes:..................................... 12
1.3 Cas d’une représentation linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Décomposition d’une repésentation d’une algèbre de Lie nilpotente . . . . . 20
2 Algèbres de Lie de dimension infinie 25
2.1 AlgèbresdeLielibres.............................. 25
2.2 Algèbres de matrices infinies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Sous-algèbres de Cartan en dimension infinie 29
3.1 Définition .................................... 29
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4TABLE DES MATIÈRES
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Chapitre 1
Décomposition primaire et
décomposition de Fitting
1.1 décomposition d’un espace vectoriel par rapport à
un endomorphisme :
Dans ce paragraphe ; V désigne un espace vectoriel sur Cde dimension n ; et uun
endomorphisme de V.On pose
V0u:= [
k∈N?
Keruket V1u:= \
k∈N?
Imuk.
On a alors
Théorème 1.1
1. V0uet V1usont des sous-espaces vectoriels de V, invariants par u et
V=V0u⊕V1u.
2. La restriction de u à V0uest nilpotente , et la restriction de u à V1uest un isomor-
phisme.
Preuve.
Pour tout k, Keruket Imuksont des sous-espaces vectoriels de V, et
0⊆Keru ⊆Keru2⊆... ⊆Keruk⊆Keruk+1
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