PHY111-112-Ex-LCF-Déc12 Corr

Page 1/3
Université Joseph Fourier - Grenoble I Examen du mercredi 19 décembre 2012
UE PHY 111 et PHY 112 - Licence L1 Lois de Conservation et Fluides
Cette partie de l’épreuve est prévue pour 1 heure et 30 minutes.
Aucun document n'est autorisé. Une calculatrice est nécessaire.
Les parties sont largement indépendantes. Une partie de la note portera sur les explications accompagnant les calculs.
Montgolfière et parapente - Corrigé -
A. Préchauffage de la montgolfière
Une montgolfière est constituée d’un ballon,
d’une nacelle contenant sa charge, et d’un
brûleur qui échauffe l’air du ballon. En
chauffant, la masse volumique de l’air dans le
ballon diminue et la masse volumique globale
de la montgolfière devient plus faible. Le ballon
sera assimilé à une sphère de volume V (et de
rayon R) ; on pourra négliger le volume de la
nacelle par rapport à celui du ballon. La masse
embarquée (nacelle + ballon + brûleur +
combustible + passagers) est notée M, et la
masse de l’air contenu dans le ballon est notée
mair.
Données : Masse volumique de l’air à la température ambiante ρ0 = 1,200 kg.m-3 ; Capacité thermique
massique de l’air C = 1000 J.kg-1.K-1 ; Masse molaire du propane Mp = 44 g/mole ; Chaleur dégagée
par la combustion du propane Qm = 2,2 MJ/mole ; Puissance du brûleur P = 60 kW ; Volume du ballon
V = 2000 m3 ; Rayon du ballon R = 7,8 m.
A.1. Donner l’expression littérale en fonction de ρ0, V, C et ∆T de la quantité de chaleur Q que le
brûleur doit fournir pour élever d’une différence de température ∆T la masse d’air m0 initialement
contenue dans le ballon.
Q = m0.C.∆T = ρ0.V.C.∆T 0,5 pt
A.2. Calculer Q pour une élévation de température de ∆T = 10 K (on supposera que toute la chaleur du
brûleur s’accumule dans l’air du ballon).
Q ≈ 1,200 kg.m-3 x 2000 m3 x 1000 J.kg-1.K-1 x 10 K = 24 MJ. 0,5 pt
A.3. Donner l’expression littérale de la masse m de propane qu’il faut brûler pour produire Q.
Q = (m / Mp) x Qm soit m = Q Mp / Qm. 1 pt
A.4. Calculer m.
m = Q Mp / Qm = 24 MJ x 44 g/mol / (2,2 MJ/mol) = 480 g. 0,5 pt
A.5. Donner l’expression littérale du temps t que met le brûleur pour brûler cette quantité de propane.
Calculer ce temps t.
Durée Q = P x t soit t = Q / P = 24 MJ / 60 kW = 400 s. 1 pt
B. Ascension de la montgolfière
On s’intéresse à l’état d’équilibre thermique de la montgolfière : l’air chaud dans le ballon a une masse
volumique ρ différente de celle de l’air ambiant autour du ballon.

Page 2/3
B.1. Donner les expressions vectorielles littérales du poids
!
P
de la masse M, du poids
!
P
air de l’air dans
le ballon, et de la poussée d’Archimède
!
A
de la montgolfière, en fonction de M, V,
!
g
, ρ et ρ0.
Poids :
!
P
= M
!
g
(dirigée vers le bas).
Poids de l’air :
!
P
air = ρV
!
g
(dirigée vers le bas).
Poussée d’Archimède :
!
A
= mair déplacé(-
!
g
) = ρ0V(-
!
g
) (dirigée vers le haut). 1 pt
B.2. Exprimer la somme de ces trois forces et discuter la direction de la résultante suivant M, ρ et ρ0.
!
P
+
!
P
air +
!
A
= (M + ρV - ρ0V)
!
g
= [M + (ρ - ρ0)V]
!
g
L’air se dilate en s’échauffant donc ρ < ρ0. Si ρ0 - ρ > M/V, le terme [M + (ρ - ρ0)V] devient négatif et
la résultante des forces s’oriente suivant –
!
g
. 1 pt
B.3. La montgolfière s’élève dans l’air ambiant à la vitesse
!
v
, et subit une force de frottement
!
Fƒ
. On
suppose que cette force de frottement s’écrit :
!
Fƒ=" #$ v
, où η est la viscosité de l’air ambiant. Le
facteur de forme Φ est une constante qui vaut 6πR pour une sphère. Expliquer qualitativement,
pourquoi la montgolfière va atteindre une vitesse ascensionnelle limite
!
vlim
.
La force de frottement augmente en module à mesure que la montgolfière prend de la vitesse. Elle va
peu à peu compenser la résultante [poids + poussée d’Archimède]. Lorsque la somme des forces est
nulle, l’accélération l’est aussi, ce qui correspond à la vitesse constante vlim. 1 pt
B.4. Dans la suite, on notera (M + ρV)
!
g
= ρgV
!
g
où ρg est la masse volumique globale de la
montgolfière. On suppose que la montgolfière a atteint sa vitesse limite. Écrire la 2nde Loi de Newton et
en déduire une expression de la vitesse limite vlim = ||
!
vlim
|| en fonction de g = ||
!
g
||, ρg, ρ0, R et η.
∑Forces =
!
P
+
!
P
air +
!
A
+
!
Fƒ
= (ρg - ρ0)V
!
g
-
!
"# vlim
= m
!
a
=
!
0
0,5 pt
(vitesse constante => accélération nulle). En projetant sur l’axe Oz (orienté vers le haut) et en
simplifiant, on obtient : vlim= 2g (ρ0 - ρg) R2 / 9η. 1,5 pt
B.5. Calculer vlim avec les valeurs suivantes : g ≈ 10 m.s-2, ρ0 = 1,200 kg.m-3, ρg = 1,199 kg.m-3,
R = 7,8 m et η = 1,8.10-5 Pl. Attention : vous devriez trouver une vitesse très élevée : passez à la
question suivante.
vlim = 2g (ρ0 - ρg) R2 / 9η = 2 x 10 m.s-2 x (1,200 - 1,199) kg.m-3 x (7,8 m)2 / (9 x 1,8.10-5 kg.m-1.s-1)
On trouve : vlim = 7,5 km/s. Cette vitesse n’est pas réaliste. 1 pt
C. Frottements turbulents
C.1. On va appliquer un modèle plus réaliste pour les frottements : en réalité, dès que la vitesse
augmente dans un fluide, les frottements sont mieux décrits par une force en sens contraire de la vitesse
v, mais de module Fƒ = ½ Cx ρ0 S v2, où S est la section du système et Cx est un coefficient qui
caractérise son aérodynamisme. Vérifier que le coefficient Cx est sans dimension.
[Cx] = [2].[Fƒ] / [ρ0].[S] [v2] = (M.L.T-2) / ((M.L-3).(L2).(L2.T-2)) = sans dimension. 2 pt
C.2. Donner la nouvelle expression de la vitesse limite avec cette force de frottements. On prendra
S = πR2 pour la montgolfière.
∑Forces =
!
P
+
!
P
air +
!
A
+
!
Fƒ
= (ρg - ρ0)V
!
g
- ½ Cx ρ0 S vlim2 = m
!
a
=
!
0
(vitesse constante => accélération nulle). On suppose que l’on a ρg < ρ0. On projette sur l’axe Oz
(orienté vers le haut) : vlim2 = 2[(ρ0 - ρg)(4/3)πR3g] / [Cxρ0 πR2] soit : vlim=
!
8
3
Rg
Cx
( "
0#
"
g)
"
0
2 pt
C.3. Calculer la vitesse limite avec Cx = 0,4.
vlim=
!
8
3
Rg
Cx
( "
0#
"
g)
"
0
=
!
8
3.7,8x10 0,4 .(0,001) 1,2
m/s = 0,66 m/s 1 pt

Page 3/3
C.4. Question subsidiaire (points de bonus) : pouvez-vous donner d’autres raisons qui conduisent à
surestimer la vitesse limite dans le modèle de la partie B ?
On ne récupère pas tout l’air chaud, et/ou pas toute la chaleur du brûleur, dans le ballon (NB : la loi en
v2 peut, elle aussi, devenir insuffisante pour décrire les frottements quand le fluide devient fortement
turbulent. 1,5 pt
D. Energie et vitesse de chute
Un parapentiste de masse mp s’élance de la montgolfière à l’instant t = 0. La vitesse de vol
!
v
se
décompose en une vitesse horizontale
!
vh
et une vitesse verticale
!
vv
(Figure 2).
D.1. On suppose que le parapentiste atteint tout
de suite une vitesse
!
v
constante. Exprimer
l’altitude du parapentiste z en fonction du
temps (on suppose que z(t=0) = H).
z(t) = H - vvt 0,5 pt
D.2. En déduire l’expression de l’énergie poten-
tielle EPot du parapentiste en fonction du temps.
EPot = mpgz(t) = mpg(H - vvt). L’énergie poten-
tielle diminue linéairement avec t. 0,5 pt
D.3. Discuter l’évolution de l’énergie mécani-
que du parapentiste au cours du temps :
EMec = ECin + EPot.
ECin = ½mpv2 = cte et EPot diminue. Donc EMec
diminue : l’énergie mécanique est continûment
dégradée en chaleur par les frottements de l’air
sur le parapentiste. 1 pt
D.4. Le parapentiste dispose d’un GPS qui
donne la vitesse horizontale vh = ||
!
vh
||. D’autre
part, on définit la finesse de l’aile ƒ comme
ƒ = vh/vv. Exprimer la vitesse verticale vv en
fonction de ƒ et de vh, et en déduire l’expression
de l’incertitude relative sur vv.
vv = vh/ƒ soit
!
"vv
vv
="vh
vh
+"ƒ
ƒ
1,5 pt
D.5. Le fabricant du GPS garantit la mesure de la vitesse horizontale vh à 5% près, et le fabricant du
parapente indique que la finesse de l’aile par temps calme vaut : ƒ = 8 ± 1. Le parapentiste mesure
vh = 11,2 m/s Avec ces informations calculer la vitesse verticale vv avec son incertitude absolue.
On a : vv = vh/ƒ = 11,2 / 8 = 1,40 m/s. D’autre part :
!
"vh
vh
= 5% = 0,05 et
!
"ƒ
ƒ
= 1/8 = 0,125.
On a donc : ∆vv = vv
!
"vh
vh
+"ƒ
ƒ
#
$
%
&
'
(
= 1,40 (0,05 + 0,125) = 0,245. 1 pt
On écrit donc : vv = 1,40 ± 0,25 m/s. 1 pt
______________________________