Chapitre 5 Moment cinétique Potentiel central - Spin

Chapitre 5
Moment cinétique
Potentiel central - Spin
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
1
Moment cinétique
Potentiel Central - spin
„
Introduction
„
1. Potentiel Central
„
2. Spin
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2
Introduction
„
Résolution de l’équation de Schrödinger simple pour les pbs 1D
Pour les pbs 3D, résolution complexe (numérique) sauf si l’Hamiltonien
possède des symétries
„
Changement de variables J séparation des variables
„
Cas particulier important : le potentiel central
r
r
r
z V ne dépend que d’une distance r et non de la direction de
qq'
z cas de l’interaction électrostatique de Coulomb : V(r ) =
r
z situation physique : électron dans l’atome
z
choix des coordonnées sphériques
comme en Mécanique Classique, le Moment Cinétique est une constante du
mouvement
z
On va chercher les solutions de H parmi celles du Moment Cinétique
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3
Introduction
„
Un ingrédient supplémentaire : le spin
z
Le moment cinétique orbital est un cas particulier de moment cinétique
important dans les problèmes de potentiel central J structure
électronique atomique
z
Mais ψ(r,θ,ϕ) insuffisante pour décrire la structure électronique atomique
introduction de moments cinétiques intrinsèques ou spins
généralisation de la notion de moment cinétique
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4
1. Potentiel Central
„
1.1. Expression de H en fonction du Moment Cinétique
z
1.1.1. Expression de H en coordonnées sphériques
z
1.1.2. Moment cinétique orbital
Š a. Rappels de Mécanique Classique
Š b. Moment cinétique en Mécanique Quantique
„
1.2. Séparation des variables radiale et angulaire
„
1.3. Solutions de l’équation angulaire – Harmoniques sphériques
1.3.1. Introduction – Relations de commutation
z 1.3.2. Solutions de Lz
z 1.3.3. Valeurs propres de L2
z 1.3.4 Harmoniques sphériques
z 1.3.5. Orbitales
z
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5
1.1.1. Expression de H en coordonnées sphériques
r
h2
h2
∆ + V( r ) = −
∆ + V(r )
„ Problème à potentiel central : H = −
2m
2m
„
Symétrie sphérique J coordonnées sphériques
z
r
er
M
θ
r
eϕ
r
eθ
x = r sinθ cosϕ
y = r sinθ sinϕ
Z = r cosθ
r
r
O
0≤θ≤π
y
0 ≤ ϕ ≤ 2π
ϕ
x
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1.1.1. Expression de H en coordonnées sphériques
„
En cartésiennes, à 3D
h2
h2 ∂ 2
∂2
∂2
H= −
(
+
+
)+ V
∆+V=−
2m
2m ∂x 2 ∂y2 ∂z 2
„
En effectuant le changement de variables (x,y,z) J (r,θ,ϕ)
1 1 ∂
1 ∂2 
1 ∂2
∂
(r.) + 2 
(sinθ ) +
∆=

r ∂r 2
∂θ sin2 θ ∂ϕ2 
r  sinθ ∂θ
1 ∂ 2 ∂
1 1 ∂
∂
1 ∂2 
ou ∆ = 2 (r
)+ 
(sinθ ) +

∂r 43
∂r r 2  sinθ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂ϕ2 
r142
1444444
424444444
3
∆r
∆ angulaire
soit l’équation de Schrödinger
h2
−
( ∆ r + ∆ angulaire )ψ(r , θ, ϕ) + V (r )ψ(r , θ, ϕ) = Eψ(r , θ, ϕ)
2m
„
Introduction du Moment cinétique
séparation des variables radiale et angulaire du Laplacien et donc de
l’Hamiltonien
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1.1.2. Moment cinétique orbital
a) Rappels de Mécanique Classique
„
„
r
r r
M cl = r ∧ p et théorème du moment cinétique :
r
dM cl
= ∑ Moments des forces extérieure s appliquées au système
dt
r
r
r
dMcl
= 0 soit Mcl constante du mouvement pour :
dt
z
z
un système isolé (pas de forces extérieures)
r
r
r
dV r
un champ de force central : F = −grad(V(r )) = −
dr r
La trajectoire de la
r particule se situe dans un plan passant par O et
perpendiculaire à Mcl
„
M2cl
1 2
+ V(r )
„ Energie totale pour une particule de masse m : E = mvr +
2
2mr 2
„
Pb : changement équivalent en Mécanique Quantique?
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1.1.2. Moment cinétique orbital
b) Moment cinétique en Mécanique quantique
„
Définition
z
z
On définit l’opérateur moment cinétique par analogie avec la MC par :
r r r r
r r
r
r
M = R ∧ P = R ∧ (−ih∇) = h(−iR ∧ ∇) = hL
r
Expression des composantes de L
Š en cartésiennes
 yd − z d 
d 
x
dy L x 
   dx 
 dz
r
r r
L = −i R ∧ ∇ = −i  y ∧  d  = −i  z d − x d  = L y 
dz   
   dy
 dx
 z   d 
x d dy − y d dx L z 


 dz 
Š en sphériques
 

 
d

0
r
  
dr
 Ler 
  i
r
r r
d = L
L = −i R ∧ ∇ = −i 0 ∧  1r d dθ  = 
 e 
  
  sinθ dϕ  θ 
d  
0  1
d
 Leϕ 
i
−
θ
ϕ
r
sin
d

 
dθ 
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1.1.2. Moment cinétique orbital
Š cartésiennes exprimées en sphériques
r r
rr
rr
L x = x.L ; L y = y.L ; L z = z.L avec expression s en sphériques
 sinθ cosϕ 

r 
x =  cosθ cosϕ 
 - sinϕ 


 sinϑ sinϕ 

r 
y =  cosϑ sinϕ 
 cosϕ 


 cosθ 

r 
z =  - sinθ 
 0 


L x = i cotgθ cosϕ ∂ ∂ϕ + i sinϕ ∂ ∂θ
L y = i cotgθ sinϕ ∂ ∂ϕ − i cosϕ ∂ ∂θ
L z = −i ∂ ∂ϕ
On note la forme très simple de Lz
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1.1.2. Moment cinétique orbital
„
r
L est un opérateur linéaire hermitique
∂
z Opérateur linéaire car
∂x i est un opérateur linéaire
z Opérateur hermitique
Š ∀ ψ et ϕ , ψ L x ϕ = L x ψ ϕ
r
Š Idem pour Ly et Lz J L est hermitique
r2
r r
Š le carré scalaire L = L .L est hermitique
r
r2
z Lx, Ly, Lz, L et L sont des observables
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1.1.2. Moment cinétique orbital
„
Carré scalaire
z
Par analogie avec la MC on calcule
r2
r r
r
r
r
r
L = L .L = ( ∑ x i .L i )( ∑ x j .L j ) = ( ∑ e i .L i )( ∑ e j .L j )
j
j
1i 4 4
42 4
44
3 1i 4 4
42 4
44
3
en cartésienn es
en sphériques
Les vecteurs de base sont invariants par rapport aux variables en
cartésiennes mais pas en sphériques
L2 = L2x + L2y + L2z dans le repère cartésien
z
(L x , L y , L z peuvent être exprimées en sphériques )
r
r
L2 = ∑ L2i + ∑ e i (L ie j )L j dans le repère sphérique
i
i, j
z
Après calcul :
z
L’équation de Schrödinger devient alors
r2
L2
2
L = −r ∆ angulaire soit ∆ = ∆ r - 2
r
r

h2  1 ∂ 2
L2
−
 r 2 (rψ (r , θ, ϕ )) − 2 ψ (r , θ, ϕ ) + V (r )ψ (r , θ, ϕ ) = Eψ (r , θ, ϕ )
2m  ∂r
r

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12
1.2. Séparation des variables radiale et angulaire
„
r2
L n’agitrque sur les variables θ et ϕ
2
L commute avec tout opérateur radial (qui ne dépend que de r)
r2
r2
L commute avec ∆r et V(r) J L commute avec H
r2
„ H et L sont 2 opérateurs hermitiques qui commutent
Ils admettent un système de vecteurs propres communs
„
Solution de H en 2 étapes
r2 r2
z on résout l’équation aux valeurs propres de L : L ψ(r,θ,ϕ) = λ ψ(r,θ,ϕ) (1)
r2
z on cherche les solutions de L qui vérifient l’équation de Schrödinger :
H ψ(r,θ,ϕ) = E ψ(r,θ,ϕ)
(2)
r2
z comme L n’agit que sur les variables θ et ϕ, les solutions de (1) sont de la
forme
ψ(r,θ,ϕ) = R(r) Y(θ,ϕ)
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1.2. Séparation des variables radiale et angulaire
„
D’où les 2 équations à résoudre
r2
L Y(θ,ϕ) = λ Y (θ,ϕ) : équation angulaire

λ
h2  1 ∂ 2
(
rR
(
r
))
R
(
r
)
−
−

 + V(r )R(r ) = E R(r ) : équation radiale
2m  r ∂r 2
r2

„
La forme particulière du potentiel n’intervient que dans l’équation radiale
l’équation angulaire est la même pour tous les problèmes de potentiel
central
la partie angulaire de la fonction d’onde est la même pour tous les
problèmes de potentiel central, seule la partie radiale change
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1. Potentiel Central
„1.1.
Expression de H en fonction du Moment Cinétique
z
1.1.1. Expression de H en coordonnées sphériques
z
1.1.2. Moment cinétique orbital
Š a. Rappels de Mécanique Classique
Š b. Moment cinétique en Mécanique Quantique
„
1.2. Séparation des variables radiale et angulaire
„
1.3. Solutions de l’équation angulaire – Harmoniques sphériques
1.3.1. Introduction – Relations de commutation
z 1.3.2. Solutions de Lz
z 1.3.3. Valeurs propres de L2
z 1.3.4 Harmoniques sphériques
z 1.3.5. Orbitales
z
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1.3.1. Introduction – Relations de commutation
On ne sait pas trouver directement les solutions de l’équation
angulaire
„
r2
on cherche des observables qui commutent avec L pour lesquelles
on sait résoudre l’équation aux valeurs propres
r2
on en déduira les vecteurs propres de L
„
Relations de commutation
z
entre composantes
[Lx, Ly] = i Lz ; [Ly, Lz] = i Lx ; [Lz, Lx] = i Ly
z entre
les composantes et le carré scalaire
r
r
r
L2 , L x = L2 , L y = L2 , L z = 0
[
] [
] [
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]
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1.3.2. Solutions de Lz
„
r2
L commute avec Lx, Ly et Lz
r2
L et Lx ont un
r2 système rde vecteurs propres communs
2
Idem pour L et Ly et L et Lz
r
Mais pas de système de vecteurs propres communs à L2, Lx, Ly et Lz
car les composantes ne commutent pas entre elles
„
„
Lz a l’expression la plus simple en coordonnées sphériques
„
On cherche donc les fonctions Y(θ, ϕ) telles que :
r
on cherche les vecteurs propres communs à L2 et Lz
choix indifférent car problème à symétrie sphérique
r2
L Y(θ, ϕ) = λ Y(θ, ϕ) et L z Y(θ, ϕ) = m Y(θ, ϕ)
„
∂
→ Y(θ, ϕ) = P(θ)eimϕ
∂ϕ
quand ϕ → ϕ + 2π solution inchangée → m ∈ Ζ
L z = −i
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17
r2
1.3.3. Valeurs propres de L
„
r2
L
Les valeurs propres de sont positives ou nulles
v2
v2
v2
∀ ψ ∈ E et ψ L ψ = λ ψ ψ si ψ ket proprede L
z ψ L ψ ≥0
λ≥0
z
On pose : λ = l (l+1) avec l ≥ 0
λ
changement de variable univoque
pour un λ ≥ 0, un seul l ≥ 0
0
l
z
On note Yl,mr(θ,ϕ) et on appelle harmoniques sphériques les fonctions
propres de L2 et Lz telles que
r2
L Ylm (θ, ϕ ) = l(l + 1) Ylm (θ, ϕ ) et L z Ylm (θ, ϕ ) = m Ylm (θ, ϕ )
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18
1.3.4. Harmoniques sphériques
„
Opérateurs L+, Lz
r2
Dans la résolution de l’équation aux valeurs propres de L (équation
angulaire), il est intéressant de remplacer les composantes Lx et Ly par les
combinaisons
∂
∂
+ )eiϕ
∂ϕ ∂θ
∂
∂
L− = Lx − iLy = (i cot gθ
− )e−iϕ
∂ϕ ∂θ
L+ = Lx + iLy = (i cot gθ
z
z
Š L+ et L- ne sont pas hermitiques mais adjoints l’un de l’autre
Š Soit :
r
L2 = 12 (L +L − + L −L + ) + L2z
Relations de commutation
[
]
r2
L , L± = 0 ;
Soit
[L+ ,L− ] = 2Lz
;
[Lz , L± ] = ±L±
r2
L = L + L − − L z + L2z
r2
L = L − L + + L z + L2z
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19
1.3.4. Harmoniques sphériques
„
Propriétés de m et l
r2
z Soit Ylm(θ,ϕ) fonction propre de L pour la valeur propre l(l+1) et de Lz pour la
valeur propre m
z On montre que :
Š [L z , L + ] Yl,m = L + Yl,m
et
[Lr , L ] Y
2
+
l,m
= 0 → L + Yl,m = cte Yl,m + 1
L+ est un opérateur de création pour la valeur propre m de Lz
Š [Lz , L− ] Yl,m = −L− Yl,m
et
[Lr , L ] Y
2
−
l,m
=0 →
L− Yl,m = cte Yl,m−1
L- est un opérateur de destruction pour la valeur propre m de Lz
2
2
Š L+ Yl,m (θ, ϕ) ≥ 0 et L− Yl,m (θ, ϕ) ≥ 0 → − l ≤ m ≤ + l
Š mmin = -l et mmax = +l J l est entier car m est entier
à l fixé, il existe (2l+1) valeurs de m
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20
1.3.4. Harmoniques sphériques
„
Expression des solutions
z
z
imϕ J P (θ) ?
Yl,m(θ,ϕ) = Pl,m(θ) eimϕ
l,m
L+ Yl,mmax = L+ Yl,l = 0 → Pl,l (θ) = cte (sinθ)l → Yl,l (θ, ϕ) = cte (sinθ)l eilϕ
L− Yl,mmin = L− Yl,−l = 0 → Pl,-l (θ) = cte (sinθ)l → Yl,-l (θ, ϕ) = cte (sinθ)l e−ilϕ
Les Yl,m pour –l < m < +l sont obtenues par action de L- sur Yl,l ou de L+ sur
Yl,-l
z
z
Notation
Š l = 0 J m = 0 : état « s »
Y0,0 (θ, ϕ) =
1
4π
Š l = 1 J m = -1, 0, +1 : états « p »
Y1,1(θ, ϕ) =
3
3
3
sin θ eiϕ ; Y1,−1(θ, ϕ) =
sin θ e-iϕ ; Y1,0 (θ, ϕ) =
cos θ
8π
8π
4π
Š l = 2 J m = -2, -1, 0, +1, +2 : états « d »
Š l = 3 : états « f »
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21
1.3.4. Harmoniques sphériques
„
Orthonormalisation des harmoniques sphériques
Les harmoniques sphériques Yl,m(θr,ϕ) sont orthogonales 2 à 2 car elles sont
fonctions propres des observables L2 et Lz pour des valeurs propres
différentes
z
z
Pour qu’elles soient normées,
L + Yl,m = l(l + 1) − m(m + 1) Yl,m+1
L − Yl,m = l(l + 1) − m(m − 1) Yl,m−1
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22
1.3.5. Orbitales
L’orbitale s
Symétrie sphérique
Les 3 orbitales p
Symétrie axiale
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23
2. Spin
„
Introduction
„
2.1. Atome H dans un champ magnétique – Modèle classique
„
2.2. Résultats expérimentaux – définition du spin de l’électron
„
2.3. Généralisation de la notion de moment cinétique en Mécanique
Quantique
„
2.4. Expérience de Stern et gerlach
„
2.5. Magnétorésistance géante
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24
Introduction
L’équation de Schrödinger avec les seules variables d’espace ne permet
pas de décrire la structure électronique des atomes complexes
„
corrections relativistes
hypothèse du spin de l’électron
„
Pourquoi?
Expériences sur les atomes complexes dans un champ magnétique
(expérience de Stern et Gerlach, effet Zeeman)
Introduction du spin
„
Dans ce qui suit :
prévisions sur atome dans un champ magnétique sans spin
z confrontation aux résultats expérimentaux
z hypothèse du spin
z
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25
2.1. Atome H dans un champ magnétique – modèle sans spin
On considère un atome d’hydrogène d’Hamiltonien H0 à symétrie
sphérique
„
z
on suppose connues les énergies et fonctions propres de H0
0
(r , θ, ϕ) = Rnl (r )Yl,m (θ, ϕ) telles que
ψnlm
r2
L Yl,m (θ, ϕ) = l(l + 1)Yl,m (θ, ϕ)
 équations angulaires
L z Yl,m (θ, ϕ) = mYl,m (θ, ϕ) 

l(l + 1)
h2 1 ∂ 2
0
R
(
rR
)
−

nl
nl  + V (r )Rnl = EnlR nl (n : nombre quantique prinipal)
2
2
2m r ∂r
r

0
il existe (2l + 1) valeurs de m pour une valeur de l et donc de Enl
r
z on plonge cet atome dans un champ magnétique B
nouvel Hamiltonien H comportant un terme
r supplémentaire d’interaction
r
du moment magnétique µ de l’atome dans B
Vint
r r
= −µ.B
soit
H = H0 + Vint
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26
2.1. Atome H dans un champ magnétique – modèle sans spin
„ Moment
magnétique de l’atome – modèle classique
z
en EM, une spire de surface S parcourue par un courant i possède un
moment magnétique
r r
µ = iS
z
Analogie classique avec un électron sur une orbite de rayon r
Š Moment cinétique :
r r r
r r
r r
r
M = r ∧ p = m r ∧ v = mrv u ( r orthogonal à v)
r
M
r
u
r
v er
r
r r
2r
µ
=
i
S
=
i
π
r
u
Š Moment magnétique :
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27
2.1. Atome H dans un champ magnétique – modèle sans spin
Or i =
dq
ev
=−
dt
2πr
Š pour un atome :
avec µB =
z
„
donc
e r
eh r
r
M= −
L
µ=2m
2m
r
r
µ = −µBL
r
eh
(SI) : magnéton de Bohr et L : moment cinétique orbital total
2m
Hamiltonien H :
r r
r
H = H0 + µ BB.L = H0 + µ BBL z (B suivant Oz)
Solutions de H
[H0, Lz] = 0 J [H, H0] = 0 J H et H0 ont un système de vecteurs propres
communs
z
0
0
0
0
Hψ nlm
(r , θ, ϕ ) = (H0 + µ BBL z )ψ nlm
(r , θ, ϕ ) = (E nl
+ mµ BB)ψ nlm
(r , θ, ϕ )
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28
2.1. Atome H dans un champ magnétique – modèle sans spin
Les fonctions ψ0nlm(r,θ,ϕ) sont fonctions propres de H pour les valeurs propres
E0nl + mµBB
z Les niveaux E0nl se scindent en (2l+1) sous-niveaux non dégénérés
z exemple : l = 1
z
m = 1 (dég. : 1)
µBB
E0nl
(dég. : 3)
µBB
m = 0 (dég. : 1)
m = -1 (dég. : 1)
effet Zeeman
z
Conclusions :
Š chaque niveau se sépare en un nombre impair de sous-niveaux
Š l’écart en énergie entre 2 sous-niveaux est µBB
Š le barycentre des sous-niveaux est E0nl
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
29
2.2. Résultats expérimentaux – Définition du spin
„
Résultats expérimentaux
z
Expérience de Stern et Gerlach ( cf. TD) J nombre de sous-niveaux
z
Effet Zeeman J nombre de sous-niveaux et écart en énergie
z
Deux différences importantes % aux prévisions précédentes :
Š pour les atomes à Z impair, nombre pair (et non impair) de sousniveaux (tout se passe comme si l était demi-entier)
Š l’écart en énergie entre 2 sous-niveaux est gµBB et non µBB
g : facteur de Landé; g ~ 2
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30
2.2. Résultats expérimentaux – Définition du spin
„
Définition du spin
z
Hypothèse du spin de l’électron (1925) :
r
chaque électron possède un moment cinétique intrinsèque ou spin S ,
de grandeur 1/2ħ, auquel est associé un moment magnétique
r
r
µ s = − g s µ B S (g s ≈ 2 ) (µ B > 0 )
z
Le spin est un moment cinétique
r2
Š on définit les kets |s,ms> kets propres communs à S et Sz tels que :
r2
S s, ms = s(s + 1) s, ms
et
Sz s, ms = ms s, ms
avec s = 12 et ms = ± 12
Š comme pour l’électron ms = ± 1/2 , on note
|s, ms = 1/2> = |+> = |Ç> et |s, ms = -1/2> = |-> = |È>
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31
2.2. Résultats expérimentaux – Définition du spin
„
Remarques
z
L’état d’un électron est décrit par une fonction d’onde ψ(r,θ,ϕ) satisfaisant
l’équation de Schrödinger à laquelle on joint une fonction de spin |+> ou |->
+
ψ(r, θ, ϕ).
−
z
z
Les variables de spin et d’espace sont indépendantes
les opérateurs de spin n’agissent pas sur les variables d’espace
tout opérateur de spin commute avec tout opérateur des
variables de position ( [Li, Sj] = 0)
r r r
Moment cinétique total pour un électron : J = L + S
z
Le spin est une caractéristique générale des particules microscopiques et
peut prendre des valeurs différentes de 1/2ħ
z
Le spin n’est souvent explicitement mentionné que lorsqu’il conduit à une
interaction particulière (par ex. dans un champ magnétique)
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
32
2.3. Moment cinétique généralisé
„
Définition
r
z Un moment cinétique en Mécanique quantique est un opérateur vectoriel J
dont les composantes Jx, Jy, Jz sont des observables et vérifient les
relations de commutation
[Jx, Jy] = i Jz ; [Jy, Jz] = i Jx ; [Jz, Jx] = i Jy
r
z Comme pour L , on préfère remplacer Jx et Jy par les combinaisons J+ et JJ+ = Jx + i Jy ; J- = Jx – i Jy
Les composantes sont des observables mais pas J+ et J- qui ne sont pas
hermitiques mais adjoints l’un de l’autre
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
33
2.3. Moment cinétique généralisé
„
Relations de commutation
r
z
z
2
Le carré scalaire J commute avec chacune des composantes
[
] [
] [
]
r2
r2
r2
J , Jx = J , Jy = J , Jz = 0
Opérateurs J+, JŠ [Jz, J+] = J+ ; [Jz, J-] = -J- ;
r
Š J2 = 1 (J J + J J ) + J2
z
− +
2 + −
r2
J− J+ = J − Jz (Jz + 1)
r2
J+ J− = J − Jz (Jz − 1)
[J+, J-] = 2 Jz
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
34
r 2 étique généralisé
2.3. Moment cin
J
r2
„ Spectre des solutions de J et Jz
r2
z J commute avec chacune des composantes
r2
il est possible de trouver un système de vecteurs propres communs à J
et à l’une des composantes
r2
arbitrairement, on choisit de chercher les vecteurs propres communs à J
et Jz
aCes vecteurs propres ne seront pas vecteurs propres de Jx et Jy
r2
z on cherche donc les kets propres communs à J et Jz |jm> tels que :
r2
J |jm> = j(j+1) |jm>
et
Jz |jm> = m |jm> (j ≥ 0)
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
35
2.3. Moment cinétique généralisé
„
Propriétés de j et m
r2
z Soit |j,m> ket propre de J pour la valeur propre j(j+1) et de Jz pour la valeur
propre m
z On montre que :
[
]
r2
Š [Jz , J+ ] j, m = J+ j, m et J , J+ j, m = 0 →
J+ j, m = cte j, m + 1
J+ est un opérateur de création pour la valeur propre m de Jz
Š [Jz , J− ] j, m
[
]
r
= −J− j, m et J2 , J− j, m = 0 →
J− j, m = cte j, m − 1
J- est un opérateur de destruction pour la valeur propre m de Jz
Š
J+ j, m
2
≥ 0 et J− j, m
2
≥ 0 → - j≤ m≤ + j
Š j est entier ou ½ entier et mmin = -j et mmax = +j
Š D ’ où
–
–
les valeurs de m sont entières si j est entier
ou demi-entières si j est demi-entier
il existe (2j + 1) valeurs de m à j fixé
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36
2.3. Moment cinétique généralisé
„
Orthonormalisation des vecteurs propres
Les
r 2 kets |j,m> sont orthogonaux 2 à 2 car kets propres des observables Jz
et J pour des valeurs propres différentes
z
z
soit un ket |j,m> normé
J± j, m
2
= ( j( j + 1) − m(m ± 1)
Pour que |j,m+1> et |j,m-1> soient normés quand |j,m> l’est, il faut
J+ j, m = j( j + 1) − m(m + 1) j, m + 1
J− j, m = j( j + 1) − m(m − 1) j, m − 1
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
37
r 2 étique généralisé
2.3. Moment cin
J
„
Remarque
Les énoncés et démonstrations précédents sont très proches de ceux
dérivés pour le moment cinétique orbital; la différence essentielle vient des
valeurs que peuvent prendre j et m
z
z
dans le cas général : j entier ou demi-entier ≥ 0
m entier ou demi-entier : -j ≤ m ≤ +j
z
pour le moment cinétique orbital : l entier ≥ 0
m entier : -l ≤ m ≤ +l
Le moment cinétique orbital est un cas particulier de moment cinétique
z
pour le spin de l’électron : s est demi-entier (s=1/2)
m est ½ entier : +1/2 ou -1/2
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
38
2.4. Expérience de Stern et Gerlach
Quantification des composantes du Moment cinétique
„
Dispositif expérimental
z
z
z
Déviation d’un faisceau d’atomes neutres paramagnétiques (Ag)
Atomes chauffés dans un four J sortent par un orifice
Collimateur J sélection des atomes ayant leur vitesse suivant (Oy)
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
39
2.4. Expérience de Stern et Gerlach
Quantification des composantes du Moment cinétique
x
Pour simplifier, on
suppose que le champ
r
magnétique B a ses
composantes suivant y et
r
z nulles : B ( Bx, 0, 0)
x
z
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
Sa composante suivant x
varie fortement avec x tel
que :
∂B x
= Constante
∂x
40
2.4. Expérience de Stern et Gerlach
Quantification des composantes du Moment cinétique
„
Calcul classique de la déviation
z
Énergie d’interaction W
r r
r
r
r
W = - M.B et M = γ L avec M : moment magnétique
r
et L : moment cinétique des atomes
r
r
r r r
Force : F = - grad W = grad (M.B)
x
z
r r r
Moment des forces : Γ = M ∧ B
z
z
r
r r
dL r
Théorème du Moment cinétique :
= Γ = γL∧B
dt
Š Mx constant
Š My et Mz oscillent autour de 0
r
r
Š M tourne autour de B
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
41
2.4. Expérience de Stern et Gerlach
Quantification des composantes du Moment cinétique
„
Calcul classique et expérience
r
r
∂B x
z F = Mx grad Bx = γ
Lx
∂x
La force subie par les atomes et donc la déviation est proportionnelle à Mx ou
Lx : mesurer la déviation revient à mesurer Mx ou Lx
z
Prévision classique
Une tache allongée (tirets) correspondant
r
r
à toutes les valeurs de Mx entre − M et + M
z
Résultats
Pas une tache unique mais plusieurs taches
(traits pleins : 2 taches sur la figure)
Mx et donc Lx ne peuvent prendre que certaines valeurs
(quantification des composantes du moment cinétique)
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
42
2.5. La magnétorésistance géante
Dessin d'une multicouche composée de couches de
fer et de chrome en alternance. Cette multicouche
est semblable à celle de la découverte de la
magnétorésistance géante en 1988.
Chaque couche est constituée de trois plans
d'atomes (représentés par des boules) dans un
réseau cubique cristallin centré. Les flèches
indiquent l'orientation de l'aimantation des couches
de fer avant application d'un champ magnétique
Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin
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2.5. La magnétorésistance géante
(A) Variation de la résistance électrique de multicouches fer/chrome en fonction du champ magnétique appliqué
Les schémas en dessous de la courbe représentent la configuration des aimantations de couches de fer successives à
diverses valeurs du champ.
(B) Illustration du mécanisme de la GMR.
Les grandes flèches horizontales représentent les aimantations de deux couches ferromagnétiques successives. Les
lignes obliques représentent des trajectoires d'électrons. On suppose que ces derniers se propagent plus facilement
à l'intérieur d'une couche quand leur spin est parallèle à l'aimantation.
Dans la configuration (a) où les couches ferromagnétiques ont des aimantations parallèles, la moitié des électrons se
propagent facilement partout, ce qui se traduit par un effet de court-circuit par un canal de conduction de faible
résistance électrique.
Dans la configuration (b) d'aimantation « antiparallèle », les électrons des deux directions de spin sont ralentis dans une
couche ferromagnétique sur deux, l'effet de court-circuit n'existe plus et la résistance est beaucoup plus élevée.
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2.5. La magnétorésistance géante
Dessin schématique d'une tête de lecture de disque dur utilisant la GMR pour une
détection ultra-sensible du champ magnétique généré par les inscriptions.
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