DS4 version 2 D`après XULC-MP-2011 Imagerie par résonance

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MP*1 -2016/2017
DS4 version 2
D’après XULC-MP-2011
Imagerie par résonance magnétique
ℎ
La constante de Planck réduite est ℏ = 2𝜋
Equations de Maxwell dans le cadre de l’ARQS :
𝜌
Equation de Maxwell-Gauss : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜀
𝑜
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = − 𝜕𝐵
Equation de Maxwell-Faraday : 𝑟𝑜𝑡
𝜕𝑡
⃗ = 𝜇𝑜 𝑗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵
Equation de Maxwell-Ampère : 𝑟𝑜𝑡
⃗ =0
Equation de Maxwell sur le flux : 𝑑𝑖𝑣𝐵
⃗⃗⃗⃗ 𝑡(𝑟𝑜
𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗ 𝑡(𝐴)) = 𝑔𝑟𝑎
⃗⃗⃗⃗ 𝑑(𝑑𝑖𝑣(𝐴) − Δ𝐴
𝜕𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑜𝑡𝐴 = ( 𝜕𝑦𝑧 −
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐴
) 𝑒𝑥 + ( 𝜕𝑧𝑥 −
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐴𝑦
) 𝑒𝑦 + ( 𝜕𝑥 −
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦
) 𝑒𝑧
I- Production de champs magnétiques intense et homogène.
On utilise un solénoïde d’axe 𝑂𝑧, parcouru par un courant continu, pour produire un champ
magnétique. On choisit un système de coordonnées cylindriques d’axe 𝑂𝑧 dont on note
(𝑟, 𝜃, 𝑧) les coordonnées et (𝑒𝑟 , 𝑒𝜃 ⃗⃗⃗
, 𝑒𝑧 ) les vecteurs de base.
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I-1) On considère que tout plan contenant l’axe 𝑂𝑧 est un plan d’antisymétrie de la
distribution de courant. Quelle condition la densité de courant 𝑗 (𝑗𝑟 , 𝑗𝜃 , 𝑗𝑧 ) doit-elle vérifier
pour cela ?
⃗ (𝐵𝑟 , 𝐵𝜃 , 𝐵𝑧 ).
I-2) Quelles conditions en résultent pour le champ 𝐵
I-3) On suppose que 𝑗𝜃 est uniforme à l’intérieur d’un cylindre de révolution creux, de rayon
extérieur 𝑅2 et de rayon intérieur 𝑅1 . On pose 𝑗𝜃 = 𝑗𝑜 .
I-3-a) On suppose que la longueur L du solénoïde est très grande devant 𝑅2 . Montrer que le
champ est uniforme en dehors de la distribution de courant.
I-3-b) Justifier que le champ magnétique est nul à l’extérieur du dispositif.
I-3-c) Quel est le champ magnétique en tout point de l’espace. Donner l’expression de sa
valeur 𝐵𝑜 au centre.
I-4) Un solénoïde de longueur 𝐿 = 1 𝑚 délivrant un champ 𝐵𝑜 = 1 𝑇 dissipe par effet Joule
une puissance minimale de 50 𝑘𝑊. Comparer cette valeur à la puissance d’un radiateur
électrique ordinaire et commenter.
I-5) On réalise la bobine en enroulant un fil électrique autour d’un cylindre de rayon 𝑅1 .
Expliquer pourquoi la propriété de symétrie de la question I-1) ne peut pas être exacte.
Comment réaliser le bobinage en pratique pour qu’elle soit une bonne approximation ?
I-6) Lorsque 𝐿 et 𝑅2 sont du même ordre de grandeur quelle est la direction du champ pour un
point situé sur l’axe 𝑂𝑧 ? Tracer, sans calcul, l’allure de la variation du champ magnétique sur
cet axe. Comment faudrait-il modifier le bobinage pour que le champ sur l’axe soit uniforme
au voisinage du centre ? On se contentera d’une réponse qualitative et d’un croquis.
I-7) On parvient à réaliser une bobine telle que le champ sur l’axe soit quasiment uniforme
dans un intervalle au centre de la bobine. En étudiant le flux du champ magnétique à travers
un cylindre d’axe 𝑂𝑧, de rayon 𝑟 et de longueur 𝑑𝑧, montrer que le champ est également
uniforme au voisinage de l’axe.
II-Utilisation de supraconducteurs
Pour s’affranchir de l’effet Joule, on utilise pour les bobinages des matériaux
supraconducteurs qui ont la propriété de pouvoir transporter un courant sans dissipation audessous d’une température critique 𝑇𝑐 .
II-1) On adopte un modèle microscopique de supraconducteur dans lequel les électrons de
conduction (de charge – 𝑒 et de masse 𝑚𝑒 ), initialement au repos, sont mis en mouvement
sous l’action d’un champ électrique 𝐸⃗ , supposé uniforme et constant. Ecrire l’équation du
mouvement d’un électron.
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II-2) Rappeler l’expression du vecteur densité de courant pour des électrons de vitesse 𝑣, de
densité volumique 𝑛 et de charge – 𝑒. En déduire une relation simple entre
assimilera l’expression
⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
de la mécanique à l’expression
⃗
𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝜕𝑗
𝜕𝑡
et 𝐸⃗ (on
en théorie des champs
électromagnétiques.
II-3) On suppose que la relation obtenue à la question II-2 reste valable même si le champ
n’est ni constant, ni uniforme. En utilisant les équations de Maxwell dans le cadre de l’ARQS
données au début du problème, montrer que le champ magnétique vérifie l’équation :
𝜕
⃗ )) + 12 𝐵
⃗ ] = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑟𝑜𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐵
[𝑟𝑜𝑡
(1)
𝜕𝑡
𝛼
où 𝛼 est une longueur dont on donnera l’expression.
II-4) Calculer 𝛼 pour une densité d’électrons de conduction 𝑛 = 1028 𝑚−3.
II-5) Lorsqu’on plonge un supraconducteur dans un champ magnétique extérieur, il expulse ce
champ. Cette propriété, qui porte le nom d’effet Meissner, est représentée sur la figure 1.
Pour expliquer l’effet Meissner, on postule une relation plus forte que la relation (1) :
⃗ )) + 12 𝐵
⃗ = ⃗0 (2)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐵
𝑟𝑜𝑡 (𝑟𝑜𝑡
𝛼
On considère un supraconducteur occupant le demi-espace 𝑥 > 0 dans un système de
coordonnées cartésiennes de repère orthonormé direct (𝑂, 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 ) . On suppose que le
⃗ = 𝐵𝑜 𝑒𝑧 et
champ magnétique à l’extérieur du supraconducteur (𝑥 < 0) est uniforme et vaut 𝐵
⃗ (𝑀) = 𝐵(𝑥)𝑒𝑧 et qu’il reste borné.
on admet que dans le milieu supraconducteur, 𝐵
Calculer le champ magnétique pour 𝑥 > 0 en fonction de 𝐵𝑜 , 𝑥 et 𝛼. En quoi ce modèle
explique-t-il l’effet Meissner ?
II-6) Déterminer la densité de courant 𝑗(𝑥) à l’intérieur du supraconducteur.
III-Moments magnétiques
III-1) Un proton de vitesse nulle possède un moment magnétique intrinsèque 𝜇 dont la norme
𝜇 est constante, mais dont la direction peut varier. L’imagerie par résonance magnétique
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utilise l’interaction des protons des atomes d’hydrogène de l’eau avec un champ magnétique.
Donner l’expression de l’énergie potentielle d’interaction, notée 𝑈, d’un proton (assimilé à un
⃗ 𝑜 = 𝐵𝑜 𝑒𝑧 .
dipôle magnétique) avec un champ magnétique uniforme et constant 𝐵
Application numérique : on donne 𝐵𝑜 = 1,5 𝑇. Calculer les valeurs maximale et minimale de
𝑈.
⃗ 𝑜 sur le dipôle
III-2) Rappeler l’expression du couple exercé par le champ magnétique 𝐵
magnétique 𝜇 .
III-3) Un proton de vitesse nulle est animé d’un mouvement de rotation propre. Ce
mouvement lui confère un moment cinétique intrinsèque, nommé spin et noté 𝑆, de norme
constante 𝑆 = ℎ/4𝜋 où ℎ est la constante de Planck. On admet que les vecteurs 𝑆 et 𝜇 sont
𝜇
proportionnels : 𝜇 = 𝛾𝑆 avec 𝛾 = 𝑆 . Montrer que 𝜇 est animé d’un mouvement de précession,
⃗ 𝑜 à une
c’est à dire que le vecteur 𝜇 décrit dans le temps un cône de demi angle 𝛼 autour de 𝐵
vitesse angulaire 𝜔
⃗ 𝑜 = 𝜔𝑜 𝑒𝑧 , sa projection sur l’axe des 𝑧 et sa norme restant constantes,.
𝑧
𝜇
Donner l’expression de 𝜔
⃗ 𝑜 dite pulsation de Larmor, en fonction de 𝐵𝑜 et 𝛾. Calculer 𝜔𝑜 pour
𝐵𝑜 = 1,5 𝑇.
⃗ 𝑜 . Rappeler l’expression de la
III-4) Soit un proton de vitesse initiale 𝑣𝑜 perpendiculaire à 𝐵
⃗ 𝑜 (pulsation cyclotronique) et comparer sa
vitesse angulaire de sa trajectoire dans le champ 𝐵
valeur à celle de la pulsation de Larmor.
IV-Résonance magnétique
L’imagerie par résonance magnétique utilise d’une part un champ uniforme et constant 𝐵𝑜,
qu’on supposera dirigé suivant l’axe 𝑂𝑧, et d’autre part un champ dépendant du temps 𝐵1 (𝑡)
⃗ 1 (𝑡)‖ << ‖𝐵
⃗ 𝑜 ‖.
avec ‖𝐵
IV-1) On place dans le champ un échantillon contenant 𝑁 protons, chaque proton étant
assimilé à un dipôle magnétique 𝜇 soumis au couple exercé par le champ magnétique total
⃗𝑜 + 𝐵
⃗ 1 (𝑡).
𝐵
La somme des moments magnétiques contenus dans l’échantillon s’appelle aimantation et se
⃗⃗ . On a donc 𝑀
⃗⃗ = ∑𝑖 𝜇𝑖 . Pour 𝑁 >> 1, l’aimantation vaut approximativement :
note 𝑀
⃗⃗ ~𝑁 < 𝜇 > .
𝑀
⃗⃗ (𝑡) sous la forme :
Etablir l’équation du mouvement de l’aimantation 𝑀
⃗⃗
𝑑𝑀
⃗⃗
= (𝜔
⃗𝑜+𝜔
⃗ 1 (𝑡)) ∧ 𝑀
𝑑𝑡
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⃗ 1 (𝑡) et de 𝛾.
Et définir le vecteur rotation 𝜔
⃗ 1 (𝑡) en fonction de 𝐵
⃗ 1 (𝑡) est un champ tournant autour de 𝐵
⃗ 𝑜 et perpendiculaire à
IV-2) Le champ auxiliaire 𝐵
celui-ci. Dans un référentiel galiléen de repère cartésien 𝑅 = (𝑂, 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 ) ses coordonnées
sont (𝐵1 cos(𝜔𝑡) , 𝐵1 sin(𝜔𝑡) , 0). On définit 𝑅’ = (𝑂, 𝑢
⃗ 𝑋 (𝑡), 𝑢
⃗ 𝑌 (𝑡), 𝑢
⃗ 𝑍 (𝑡)) un référentiel
tournant à la vitesse angulaire 𝜔
⃗ autour de l’axe 𝑂𝑧 et coïncidant avec le référentiel 𝑅 à 𝑡 = 0
⃗ 1 (𝑡) = 𝐵1 𝑢
de telle sorte que 𝐵
⃗ 𝑋 (𝑡).
𝑑𝑒
IV-2-a) Exprimer ( 𝑑𝑡𝑥 )
𝑅′
en fonction de 𝜔
⃗ et de 𝑒𝑥 .
⃗⃗ dans 𝑅’ en fonction de 𝑀
⃗⃗ , 𝜔
IV-2-b) En déduire l’équation de 𝑀
⃗ 1, 𝜔
⃗ 𝑜 et 𝜔
⃗.
⃗⃗ 𝑜 = 𝐶𝐵
⃗ /𝑇 (loi de
IV-3) On suppose dans cette partie que l’aimantation à 𝑡 = 0 est égale à 𝑀
⃗ le champ
Curie) où 𝑇 est la température des 𝑁 protons et 𝐶 une constante positive et 𝐵
magnétique subit par les protons. Expliquer pourquoi les composantes de l’aimantation
perpendiculaires à 𝑂𝑧 sont petites pour tout 𝑡 > 0 sauf si 𝜔 est très proche de 𝜔𝑜 .
IV-4) on se place à la résonance, définie par 𝜔 = 𝜔𝑜 . Décrire au moyen d’un schéma
l’évolution de l’aimantation dans 𝑅’ puis dans 𝑅.
⃗ 1 (𝑡) uniquement entre les instants
IV-5) On se place toujours à la résonance, et on applique 𝐵
𝑡 = 0 et 𝑡 = 𝜏, où 𝜏 est choisi de telle sorte que l’aimantation tourne de 𝜋/2 dans R’ entre les
instants 𝑡 = 0 et 𝑡 = 𝜏. Donner l’expression de 𝜏 et sa valeur si 𝐵1 = 3. 10−5 𝑇. Montrer que
l’aimantation est un vecteur constant pour 𝑡 > 𝜏 dans 𝑅’. Quelle est sa direction ?
IV-6) L’étude ci-dessus ne prend en compte que l’interaction des protons avec le champ
magnétique extérieur. Dans cette modélisation, nous avons montré à la question IV-5)
⃗ 1 (𝑡). En réalité, elle n’est pas
l’aimantation dans 𝑅’ est constante après l’arrêt du champ 𝐵
constante indéfiniment mais finit par retourner à sa valeur d’équilibre donnée à la question
IV-3) sous l’effet de processus dits de relaxation. On donne les équations d’évolution des
coordonnées (𝑀𝑋 , 𝑀𝑌 , 𝑀𝑍 ) de l’aimantation dans 𝑅’ à la résonance et en l’absence de champ
⃗ 1 (𝑡) :
𝐵
𝑑𝑀𝑋
𝑀𝑋
=−
𝑑𝑡
𝑇2
𝑑𝑀𝑌
𝑀𝑌
=−
𝑑𝑡
𝑇2
𝑑𝑀𝑍
𝑀𝑍 − 𝑀𝑜
=−
𝑑𝑡
𝑇1
𝑇1 et 𝑇2 sont deux constantes appelées temps de relaxation. On donne les valeurs 𝑇1 = 0,9 𝑠 et
𝑇2 = 0,1 𝑠 pour un proton appartenant à la matière grise du cerveau. Expliquer pourquoi il est
légitime, avec ces valeurs, de négliger les processus de relaxation entre les instants 𝑡 = 0 et
𝑡 = 𝜏. Résoudre ces équations pour 𝑡 > 𝜏 et tracer les variations de 𝑀𝑋, 𝑀𝑌 et 𝑀𝑍 .
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L’IRM consiste à mesurer l’aimantation au cours du temps pour 𝑡 > 𝜏, et à en déduire 𝑇1 et 𝑇2
qui dépendent fortement de l’environnement du proton et donnent des informations fines sur
la nature des tissus contenus dans l’échantillon étudié .