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BACCALAURÉAT BLANC
MATHEMATIQUES
SÉRIE S
DURÉE DE L'ÉPREUVE : 4 heures - COEFFICIENT : 7
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.
L’usage d'une calculatrice non programmable est autorisé.
.
Le candidat doit traiter les cinq exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Toutes les pages doivent être numérotées.
Le nombre total de pages doit figurer sur la première feuille

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Exercice 1 (5 points )
x
est la fonction définie sur 0; par :
x 1
(x) .
x 1
On note C sa courbe représentative dans un repère.
Démontrer que C admet une asymptote horizontale dont on donnera une équation.
Etudier les variations de sur 0; .
Déter
. A
1.
2.
3.
f
f
f
e
1
miner une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
Démontrer que l'équation (x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle 1;2 .
On note u cette solution.
Déterminer un encadrement d'amplitude 10 de u.
n désigne un en
4.
B.
f
n
x
n
n
n n
n 1
tier naturel non nul.
est la fonction définie sur 0; par :
x n
(x) .
x n
Dresser le tableau de variation de .
a)Calculer (n). Déduire le signe de .
b)Démontrer par récurrence que pour tout n de ,
2n 1
c)Démontrer q
.
.
1
2
f
f
f
f f
e
e
n
n
n
n
n n
ue l ' équation (x) 0 admet une unique solution d
ans l'intervalle n;n+1 .
On note u cette solution.
u
Calculer lim u et lim
n
3.
f
Exercice 2 (4 points)
3 3
On considère la fonction définie sur par :
(x) cos x sin x
Démontrer que est périodique de période 2 .
Démontrer que pour tout réel x :
2 cos x cos x sin x.
4
Démontrer que pour tout réel x :
'(x) 3 2 cos x sin x cos 4
a
b
x
)
)
1.
2.
f
f
f
f
3 3 2 2
A l'aide d'un tableau de signes, déterminer le s
igne de la dérivée ' sur ; .
Dresser alors le tableau de variations de .
Sachant que a b a b a ab b , résoudre sur l 'équation
(x) 0.
3.
4. 
f
f
f

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Exercice 3 (4 points)
est la fonction définie sur 0; par :
3 x
(x) .
2 x
On note C la courbe représentative dans un repère.
3
a)Montrer que f est dérivable sur 0; et vérifier que '(x) .
4x x
b)Déterminer la limite éventuelle de en .
c)Dresser le table
+
1.
f
f
f
f
f
au de variation de
d)Justifier l ' existence d 'une asymptote à C en et donner son équation.
On envisage de déterm.
a)
iner un nombre entier A tel que pour x A, (x) 0,01.
Traduire graphiquement le problème posé.
Lb) 'algorithme su
  2
f
f.
f
Entrer x
Tant que (x)...........
x reçoit ...........
Fin tant que
Affi
ivant doit permettre de déterminer un entier A.
Recopier cet algorithme sur votre copie et comp
léter le afin de résoudre le problème posé.
Retrouver
che
aloc) a
r x
rs p
f
r le calcul le résultat obtenu par l'algorithme.
Exercice 4 (4 points)
2
n 1 n n
0
Soit a un nombre réel tel que -1 a 0.
On considère la suite u définie par u = a, et pour tout entier naturel n,
u u u .
Etudier la monotonie de la suite u.
Soit h la fonction défia) nie sur
1.
2. 
2
par :
h(x) x x
Etudier le sens de variations de la fonction h.
En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle ]-1;0[, le nombre h(x) appar
tient
aus
b
si à l'intervalle ]-1; 0[.
Démontrer que pour)tout
n
entier naturel n on a : - 1 u 0.
Etudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite. 3.

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Exercice 5 (3 points) Vrai ou Faux ?
Pour chaque question, quatre propositions sont associées .
Indiquer pour chacune d’entre-elles si elle est vraie ou fausse en justifiant.
Les trois questions sont indépendantes
Barème :
Bonne réponse bien justifiée : +0,25 point
Bonne réponse mal ou pas justifiée : 0,15 point
Aucune réponse ou mauvaise réponse : 0 point
Question 1
n n
n
nn
n
n n
n n
Soit u une suite dont tous les termes sont strict
ement positifs et v la suite définie par :
u
vu 1
a) n , 0 v 1
b)Si la suite u est convergente, alors la suite v est convergente.
c)Si la suite u est croissante, alors la suite v est c
n n
roissante.
d)Si la suite v est convergente, alors la suite u est convergente.
Question 2
*
x 0
x
On considère la fonction définie sur par :
2
(x) xsin x
4 4
a)
1
b) (x) 0 si et seulement si il existe un entier rel
atif k non nul tel que x .
k
c) lim (x) 1
d) lim (x) 2
f
f
f
f
f
f
Question 3
On considère la fonction définie sur par :
x
(x) . On note C sa courbe représentative.
x 1
a)La courbe C admet un centre de symétrie.
b)La fonction est continue en 0.
c)La fonction est dérivable en 0.
d)La droite d'équation y 1 est asymp
f
f
f
f
tote à C.

Le sujet en détails
Thèmes du sujet de bac blanc
1. La fonction exponentielle
2. Les suites numériques
3. Limites, continuité et dérivation
4. Les fonctions sinus et cosinus
Exercice 1 en détail
Interprétation géométrique d’une limite au voisinage de l’infini
Dérivations et variations
Tangente en un point
Théorème des valeurs intermédiaires
Encadrement d’une valeur : méthode par balayage
Variations d’une fonction selon un entier n
Démonstration par récurrence
Théorème des valeurs intermédiaires
Limites de suites
Exercice 2 en détail
Périodicité des fonctions sinus et cosinus
Formule trigonométrique : cos(a+b)
Dérivées des fonctions puissances, sinus et cosinus
Signe des fonctions sinus et cosinus
Résolution d’ équations trigonométriques
Exercice 3 en détail
Dérivabilité sur un intervalle et dérivées de la fonction racine, d’un quotient
Limite d’un quotient avec forme indéterminée
Etude du signe d’un quotient
Interprétation géométrique d’une limite finie au voisinage de l’infini
Interprétation graphique d’une limite finie au voisinage de l’infini
Résolution algorithmique