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-1-
BACCALAURÉAT BLANC
MATHEMATIQUES
SÉRIE S
DURÉE DE L'ÉPREUVE : 4 heures - COEFFICIENT : 7
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.
L’usage d'une calculatrice non programmable est autorisé.
Le candidat doit traiter les cinq exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Toutes les pages doivent être numérotées.
Le nombre total de pages doit figurer sur la première feuille
.
-2Exercice 1 (5 points )
A. f est la fonction définie sur  0;  par :
x  1 x
e .
x 1
On note C sa courbe représentative dans un repère.
1.Démontrer que C admet une asymptote horizontale dont on donnera une équation.
f (x) 
2.Etudier les variations de f sur  0;  .
3.Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
4.Démontrer que l'équation f (x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle 1;2  .
On note u cette solution.
Déterminer un encadrement d ' amplitude 10 1 de u.
B.n désigne un entier naturel non nul.
f n est la fonction définie sur  0;  par :
xn
 ex .
xn
1.Dresser le tableau de variation de f n .
2.a)Calculer f n (n). Déduire le signe de f n .
b)Démontrer par récurrence que pour tout n de ,
f n (x) 
en 1  2n  1
c)Démontrer que l ' équation f n (x)  0 admet une unique solution dans l'intervalle  n ; n+1 .
On note u n cette solution.
u
3.Calculer lim u n et lim n
n 
n  n
Exercice 2 (4 points)
On considère la fonction f définie sur  par :
f (x)  cos3 x  sin 3 x
1.Démontrer que f est périodique de période 2 .
2.a )Démontrer que pour tout réel x :


2 cos  x    cos x  sin x.
4

b )Démontrer que pour tout réel x :


f '(x)  3 2  cos x  sin x  cos  x  
4

3.A l'aide d'un tableau de signes, déterminer le signe de la dérivée f ' sur  ;  .
Dresser alors le tableau de variations de f .


4.Sachant que a 3  b3   a  b  a 2  ab  b 2 , résoudre sur  l ' équation f (x)  0.
-3Exercice 3 (4 points)
f est la fonction définie sur 0;  par :
3 x
.
2 x
On note C f la courbe représentative dans un repère.
f (x) 
1. a)Montrer que f est dérivable sur 0;  et vérifier que f '(x)  
b)Déterminer la limite éventuelle  de f en + .
c)Dresser le tableau de variation de f.
3
.
4x x
d)Justifier l ' existence d ' une asymptote  à C f en   et donner son équation.
2.On envisage de déterminer un nombre entier A tel que pour x  A, f (x)    0, 01.
a)Traduire graphiquement le problème posé.
b)L'algorithme suivant doit permettre de déterminer un entier A.
Entrer x
Tant que f (x)...........
x reçoit ...........
Fin tant que
Afficher x
Recopier cet algorithme sur votre copie et compléter le afin de résoudre le problème posé.
c)Retrouver alors par le calcul le résultat obtenu par l'algorithme.
Exercice 4 (4 points)
Soit a un nombre réel tel que - 1  a  0.
On considère la suite u définie par u 0 = a, et pour tout entier naturel n,
u n 1  u n2  u n .
1.Etudier la monotonie de la suite u.
2.a)Soit h la fonction définie sur  par :
h(x)  x 2  x
Etudier le sens de variations de la fonction h.
En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle ] - 1; 0[, le nombre h(x) appartient
aussi à l'intervalle ] - 1; 0[.
b)Démontrer que pour tout entier naturel n on a : - 1  u n  0.
3.Etudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.
-4Exercice 5 (3 points) Vrai ou Faux ?
Pour chaque question, quatre propositions sont associées .
Indiquer pour chacune d’entre-elles si elle est vraie ou fausse en justifiant.
Les trois questions sont indépendantes
Barème :
 Bonne réponse bien justifiée : +0,25 point
 Bonne réponse mal ou pas justifiée : 0,15 point
 Aucune réponse ou mauvaise réponse : 0 point
Question 1
Soit  u n  une suite dont tous les termes sont strictement positifs et  v n  la suite définie par :
vn 
a)n  , 0  v n  1
un
un  1
b)Si la suite  u n  est convergente, alors la suite  v n  est convergente.
c)Si la suite  u n  est croissante, alors la suite  v n  est croissante.
d)Si la suite  v n  est convergente, alors la suite  u n  est convergente.
Question 2
On considère la fonction f définie sur  * par :
2
f (x)  x sin  
x
4 4
a) f   
 
b) f (x)  0 si et seulement si il existe un entier relatif k non nul tel que x 
c) lim f (x)  1
x 0
d) lim f (x)  2
x
Question 3
On considère la fonction f définie sur  par :
f (x) 
x
. On note C sa courbe représentative.
x 1
a)La courbe C admet un centre de symétrie.
b)La fonction f est continue en 0.
c)La fonction f est dérivable en 0.
d)La droite d ' équation y  1 est asymptote à C.
1
.
k
Le sujet en détails
Thèmes du sujet de bac blanc
1.
2.
3.
4.
La fonction exponentielle
Les suites numériques
Limites, continuité et dérivation
Les fonctions sinus et cosinus
Exercice 1 en détail
 Interprétation géométrique d’une limite au voisinage de l’infini
 Dérivations et variations
 Tangente en un point
 Théorème des valeurs intermédiaires
 Encadrement d’une valeur : méthode par balayage
 Variations d’une fonction selon un entier n
 Démonstration par récurrence
 Théorème des valeurs intermédiaires
 Limites de suites
Exercice 2 en détail
 Périodicité des fonctions sinus et cosinus
 Formule trigonométrique : cos(a+b)
 Dérivées des fonctions puissances, sinus et cosinus
 Signe des fonctions sinus et cosinus
 Résolution d’ équations trigonométriques
Exercice 3 en détail
 Dérivabilité sur un intervalle et dérivées de la fonction racine, d’un quotient
 Limite d’un quotient avec forme indéterminée
 Etude du signe d’un quotient
 Interprétation géométrique d’une limite finie au voisinage de l’infini
 Interprétation graphique d’une limite finie au voisinage de l’infini
 Résolution algorithmique
Exercice 4 en détail
 Variations d’une suite récurrente
 Variations d’une fonction du second degré
 Image d’un intervalle par une fonction continue
 Démonstration par récurrence pour une suite bornée
 Théorème de convergence de suite monotone
 Détermination de la limite unique 
Exercice 5 en détail
Question 1
 Encadrement d’une suite
 Convergence d’une suite
 Variations d’une suite
Question 2
 Calcul d’image
 Résolution d’équation trigonométrique
 Limite en un réel : forme indéterminée de type 0/0
 Limite à l’infini : théorème des gendarmes
Question 3
 Centre de symétrie ; fonction impaire
 Continuité en un réel a
 Dérivabilité en un réel a
 Asymptote horizontale
Barème détaillé des exercices
Exercice 1 (5 points )
x  1 x
e .
x 1
On note C sa courbe représentative dans un repère.
A. f est la fonction définie sur  0;  par : f (x) 
1.Démontrer que C admet une asymptote horizontale dont on donnera une équation.
0,5
2.Etudier les variations de f sur  0;  .
0,5
3..Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
0,25
4..Démontrer que l'équation f (x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle 1;2  .
0,5
On note u cette solution.
0,25
Déterminer un encadrement d ' amplitude 10 1 de u.
B.n désigne un entier naturel non nul.
f n est la fonction définie sur  0;  par : f n (x) 
x  1 x
e .
x 1
1.Dresser le tableau de variation de f n .
0,5
2. a)Calculer f n (n). Déduire le signe de f n .
0,25 0,5
b)Démontrer par récurrence que pour tout n de ,
en 1  2n  1
c)Démontrer que l ' équation f n (x)  0 admet une unique solution dans l'intervalle  n ; n+1 .
On note u n cette solution.
u
3.Calculer lim u n et lim n
n 
n  n
0,5
0,5
0,25 0,5
Exercice 2 (4 points )
On considère la fonction f définie sur  par :
f (x)  cos3 x  sin 3 x
1.Démontrer que f est périodique de période 2 ..
0,5


2.a)Démontrer que pour tout réel x : 2 cos  x    cos x  sin x.
4

0,5


b)Démontrer que pour tout réel x : f '(x)  3 2 cos x sin x  cos  x  
4

0,75
3. A l'aide d'un tableau de signes, déterminer le signe de la dérivée f ' sur  ; .
1
Dresser alors le tableau de variations de f .
0,5


4.Sachant que a 3  b3   a  b  a 2  ab  b 2 , résoudre sur  l ' équation f (x)  0.
0,75
Exercice 3 (4 points)
f est la fonction définie sur 0;  par : f (x) 
3 x
.
2 x
1. a)Montrer que f est dérivable sur 0;  et vérifier que f '(x)  
3
.
4x x
0,25 0,5
b)Déterminer la limite éventuelle  de f en + .
0,25
c)Dresser le tableau de variation de f.
0,5
d) Justifier l ' existence d ' une asymptote  à C f en   et donner son équation.
0,25 0,25
a)Traduire graphiquement le problème posé.
b)L'algorithme suivant doit permettre de déterminer un entier A.
1
2.On envisage de déterminer un nombre entier A tel que pour x  A, f (x)    0, 01.
Entrer x
Tant que f (x)...........
x reçoit ...........
Fin tant que
Afficher x
Recopier cet algorithme sur votre copie et compléter le afin de résoudre le problème posé.
1
Exercice 4 (4 points)
Soit a un nombre réel tel que - 1  a  0.
On considère la suite u définie par u o = a, et pour tout entier naturel n, u n 1  u n2  u n .
1.Etudier la monotonie de la suite u.
0,5
2. a)Soit h la fonction définie sur  par : h(x)  x 2  x
Etudier le sens de variations de la fonction h.
0,5
En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle ] - 1; 0[, le nombre h(x) appartient aussi à
0,75
l'intervalle ] - 1; 0[.
b)Démontrer que pour tout entier naturel n on a : - 1  u n  0.
3.Etudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.
1
0,5 0,75