Conversion de la chaleur fatale de bas niveau en énergie électrique

Conversion de la chaleur fatale de bas niveau en
´
energie ´ electrique par effet magn´ etocalorique
Georges EL ACHKAR1,2∗, Alexy DIANOUX1, Abdelhamid KHEIRI3, Denis
MAILLET3, Thomas MAZET1, St´ ephane COLASSON2, Michel FEIDT3, Cyril RADO4,
Florence SERVANT4, Val´ erie PAUL-BONCOUR5
1IJL, UMR CNRS 7198 −Universit´
e de Lorraine (UL) −BP 70239 −54506 Vandoeuvre-l` es-Nancy
Cedex −France
2LS2T −Commissariat `
a l’Energie Atomique et aux ´ energies alternatives (CEA) −17 rue des Martyrs
−38054 Grenoble Cedex 9 −France
3LEMTA, UMR CNRS 7563 −Universit´
e de Lorraine (UL) −2 avenue de la Forˆ et de Haye −TSA
60604 −54518 Vandoeuvre-l` es-Nancy Cedex −France
4LMA −Commissariat `
a l’Energie Atomique et aux ´ energies alternatives (CEA) −17 rue des Martyrs
−38054 Grenoble Cedex 9 −France
5ICMPE, UMR CNRS 7182 −2-8 rue Henri Dunant −94320 Thiais −France
(∗auteur correspondant : [email protected]v-tlse.fr)
R´ esum´ e - Dans ce papier, une ´ etude th´ eorique reposant sur la mod´ elisation thermique d’une roue
de Curie est pr´ esent´ ee. Celle-ci permet d’appr´ ehender le comportement thermique d’une roue de
Curie, fonctionnant en r´ egime stationnaire dans des conditions op´ eratoires bien d´ efinies, dans le but
d’optimiser sa conception. Pour cela, un mod` ele thermique analytique unidimensionnel stationnaire,
bas´ e sur une approche Lagrangienne, a ´ et´ e d´ evelopp´ e. Celui-ci permet de d´ eterminer la distribution
locale au cours du temps de la temp´ erature dans le mat´ eriau magn´ etocalorique expos´ e` a une source de
chaleur p´ eriodique suppos´ ee sinuso¨ ıdale. Grˆ ace ` a ce mod` ele, les effets de diff´ erents param` etres (nature
du mat´ eriau magn´ etocalorique, nature et temp´ erature du fluide) ont ´ et´ e mis en ´ evidence et ´ etudi´ es.
Nomenclature
adiffusivit´ e thermique, m2.s−1
Aamplitude de temp´ erature, ◦C
Binduction magn´ etique, T
ccapacit´ e thermique massique, J.kg−1.K−1
ddiam` etre de la source de fluide, m
Ddiam` etre de la roue, m
Fforce motrice, N
hcoefficient d’´ echange convectif, W.m−2.K−1
Hchamp magn´ etique, A.m−1
knombre de pˆ oles magn´ etocaloriques, −
Ldistance entre la source de fluide et la roue, m
Maimantation, A.m−1
Nvitesse de rotation, tr.min−1
Nu nombre de Nusselt, −
Re nombre de Reynolds, −
Sentropie, J.K−1
ttemps, s
Ttemp´ erature, ◦C
¯
Ttemp´ erature moyenne, ◦C
Uvitesse, m.s−1
wpulsation, rd.s−1
yposition suivant l’´ epaisseur du mat´ eriau, m
Symboles grecs
βconstante, rd
δ´ epaisseur, m
∆diff´ erence, −
λconductivit´ e thermique, W.m−1.K−1
µviscosit´ e dynamique, P a.s
φcoefficient de d´ ephasage, rd
ρmasse volumique, kg.m−3
θtemp´ erature relative, ◦C
Indices et exposants
ad adiabatique
CCurie
eext´ erieur
ffluide
fc fluide chaud
ff fluide froid
jjet pur
mmagn´ etique
rrotation pure

1. Introduction
L’effet magn´ etocalorique correspond au changement adiabatique de la temp´ erature ∆Tad ou
au changement isotherme de l’entropie magn´ etique ∆Smd’un mat´ eriau magn´ etique soumis ` a
un champ magn´ etique variable. Cet effet est en g´ en´ eral maximal ` a la temp´ erature de transition
magn´ etique (temp´ erature de Curie) des mat´ eriaux magn´ etocaloriques.
La chaleur fatale issue des proc´ ed´ es industriels constitue un important r´ eservoir d’´ energie
encore peu exploit´ e. L’exploitation, mˆ eme partielle, de cette source d’´ energie pourrait permettre
`
a la France d’atteindre ses objectifs de r´ eduction d’un facteur 4 des ´ emissions de gaz ` a effet de
serre en 2050 par rapport ` a 2002. En France, le gisement de chaleur fatale de bas niveau est
estim´ e d’ˆ etre sup´ erieur ` a 40 TWh [1]. Cela inclut par exemple les fum´ ees des inc´ enirateurs
(110−180 ◦C), dont le potentiel est estim´ e` a 1-2.3 TWh, ou la vapeur envoy´ ee aux condenseurs
(r´ eservoir de 15.3 TWh). Une solution pour valoriser cette chaleur consiste ` a la convertir en
un autre type d’´ energie (´ electrique, m´ ecanique). La majorit´ e des technologies de g´ en´ eration
d’´ electricit´ e par conversion de chaleur (cycle de Rankine, conversion thermo´ electrique) peuvent
difficilement valoriser les chaleurs fatales de bas niveau (T ≤150 ◦C). La conversion de chaleur
thermomagn´ etique constitue en revanche une piste prometteuse [2].
`
A l’instigation du CEA Tech Lorraine, cinq laboratoires (IJL, LS2T, LEMTA, LMA et
ICMPE) visent ` a d´ evelopper la technologie de conversion de chaleur thermomagn´ etique d’une
part, en optimisant les mat´ eriaux magn´ etocaloriques performants dans la gamme 50−250 ◦C
et d’autre part, en concevant deux d´ emonstrateurs de conversion de chaleur. Le premier est un
syst` eme statique (g´ en´ erateur thermomagn´ etique) permettant de convertir directement la chaleur
en ´ energie ´ electrique [3]. Le deuxi` eme est un syst` eme dynamique appel´ e aussi roue de Curie
(moteur thermomagn´ etique) permettant de convertir la chaleur en ´ energie m´ ecanique, donc indi-
rectement en ´ energie ´ electrique [4, 5]. Le principe de fonctionnement de ces syst` emes implique
une variation d’aimantation notable du mat´ eriau magn´ etocalorique qui les constitue. Cette va-
riation d’aimantation est obtenue en cyclant la temp´ erature du mat´ eriau magn´ etocalorique de
part et d’autre de sa temp´ erature de Curie, la chaleur fatale ´ etant utilis´ ee comme source chaude.
La r´ ealisation de ces syst` emes thermomagn´ etiques n´ ecessite ainsi, entre autres, l’optimisation
des transferts thermiques et la s´ election des mat´ eriaux magn´ etocaloriques appropri´ es.
Dans ce papier, une ´ etude th´ eorique reposant sur la mod´ elisation thermique d’une roue de
Curie est men´ ee dans le but de caract´ eriser et d’analyser son comportement thermique selon les
conditions op´ eratoires impos´ ees.
2. Mod´ elisation
2.1. Configuration
La configuration de la roue de Curie consid´ er´ ee dans cette ´ etude est sch´ ematis´ ee sur la figure
1a. Cette roue est constitu´ ee essentiellement d’un mat´ eriau magn´ etocalorique mobile (rotor),
d’une s´ erie d’aimants permanents fixes (circuits magn´ etiques) et d’un couple de sources chaude
et froide de part et d’autre de chaque aimant. Une vue d’une partie de la roue de Curie corres-
pondant ` a un pˆ ole thermomagn´ etique est repr´ esent´ ee sur la figure 1b.
2.2. Hypoth` eses
Afin de simplifier la formulation math´ ematique et la r´ esolution du mod` ele thermique d´ evelopp´ e,
plusieurs hypoth` eses ont ´ et´ e faites :

Figure 1 : Sch´ emas repr´ esentatifs (a) de la totalit´ e et (b) d’une partie correspondant ` a un pˆ ole thermo-
magn´ etique de la roue de Curie consid´ er´ ee dans notre ´ etude.
Figure 2 : ´ Evolution de la temp´ erature du fluide vue par le mat´ eriau magn´ etocalorique en fonction du
temps pour un nombre de pˆ oles thermomagn´ etiques de la roue de Curie ´ egal ` a k et une vitesse de rotation
´
egale ` a N.
•Le r´ ef´ erentiel choisi est Lagrangien, li´ e au mat´ eriau magn´ etoclaorique et tournant ` a la
vitesse du rotor.
•Le transfert thermique conductif dans le mat´ eriau magn´ etocalorique est unidimensionnel
suivant la direction y, et n´ eglig´ e suivant les directions x(car le nombre de Peclet suivant
cette direction est largement sup´ erieur ` a 2) et z(car le gradient de temp´ erature suivant
cette direction est suppos´ e nul).
•La variation temporelle de la temp´ erature du fluide vue par le mat´ eriau magn´ etocalorique
est suppos´ ee p´ eriodique sinuso¨ ıdale (Fig. 2), avec une moyenne ´ egale ` a la temp´ erature
de Curie du mat´ eriau magn´ etocalorique :
Tf(t) = ¯ Tf+Asin(wt)(1)
¯
Tf=Tfc +Tf f
2=TC(2)
A=Tfc −Tf f
2(3)
w=kπN
30 (4)

o` uTfc et Tf f sont les temp´ eratures des fluides chaud et froid, respectivement, Aest
l’amplitude de la temp´ erature du fluide, TCest la temp´ erature de Curie du mat´ eriau
magn´ etocalorique, w,ket Nsont la pulsation, le nombre de pˆ oles thermomagn´ etiques et
la vitesse de rotation de la roue de Curie, respectivement, et test le temps.
•Les propri´ et´ es thermophysiques du fluide sont calcul´ ees ` a sa temp´ erature moyenne et
suppos´ ees invariables au cours du temps.
2.3. Mod` ele thermique
En se basant sur les hypoth` eses pr´ ec´ edentes, en consid´ erant la temp´ erature relative du mat´ eriau
magn´ etocalorique par rapport ` a sa temp´ erature de Curie θ(y, t) = T(y, t)−TCet en n´ egligeant
toute production volumique de la chaleur par effets magn´ etiques, l’´ equation de chaleur s’´ ecrit :
∂2θ(y, t)
∂y2=1 a
∂θ(y, t)
∂t (5)
a=λ
ρc (6)
o` ua,λ,ρet csont la diffusivit´ e thermique, la conductivit´ e thermique, la masse volumique et
la capacit´ e thermique massique du mat´ eriau, respectivement. Les conditions thermiques aux
limites s’´ ecrivent :
−λ∂θ
∂y (0, t) = h[θf(t)−θ(0, t)] (7)
λ∂θ
∂y (δ, t) = h[θf(t)−θ(δ, t)] (8)
o` uθf(t) = Tf(t)−TCest la temp´ erature relative du fluide par rapport ` a la temp´ erature de Curie
du mat´ eriau, δest l’´ epaisseur du mat´ eriau, et hest le coefficient d’´ echange convectif entre le
fluide et la surface ext´ erieure du mat´ eriau, d´ efini par :
h=λNu
D(9)
o` uNu est le nombre de Nusselt global calcul´ e de la fac¸on suivante [6] :
Num=Num
r+Num j(10)
Nur= 0.226Re0.607
r(11)
Nuj= 0.995Re0.56
j(L/d)−0.341(De/d)−0.768(L/d)−0.616 (12)
Rer=ρfπND2
e
120µf
(13)
Rej=ρfUjDe
µf
(14)
o` uNuret Rersont les nombres de Nusselt et Reynolds correspondant ` a la rotation pure de la
roue (sans ´ ecoulement du fluide), respectivement, et Nujet Rejsont les nombres de Nusselt et

Reynolds correspondant au jet pur du fluide (sans rotation de la roue), respectivement. La valeur
du nombre de Nusselt global est effectivement fiable pour Rer= 1975–7899,Rej= 655–
60237,L/d = 1–16 et De/d = 2–16. En passant par le domaine complexe et ensuite par la
s´ eparation des variables, la solution de l’´ equation de chaleur (5) s’´ ecrit :
θ(y, t) = θ1(y, t) + θ2(y, t)(15)
o` uθ1(y, t)est la solution pour un transfert thermique convectif ` ay= 0 et une condition adiaba-
tique ` ay=δ/2, et θ2(y, t)est la solution pour un transfert thermique convectif ` ay=δet une
condition adiabatique ` ay=δ/2, exprim´ ees comme suit :
θ1(y, t) = ΩC2exp rω
2a(2δ−y)sin ωt −Φ1+rω 2ay
+ΩC1exp rω
2a(δ−y)sin ωt −Φ2−rω 2a(δ−y)
+ΩC1exp rω
2aysin ωt −Φ2−rω 2ay (16)
+ΩC2exp rω
2a(δ+y)sin ωt −Φ1+rω 2a(δ−y)
θ2(y, t)=ΩC2exp rω
2a(δ+y)sin ωt −Φ1+rω 2a(δ−y)
+ΩC1exp rω
2aysin ωt −Φ2−rω 2ay
+ΩC1exp rω
2a(δ−y)sin ωt −Φ2−rω 2a(δ−y) (17)
+ΩC2exp rω
2a(2δ−y)sin ωt −Φ1+rω 2ay
Ω = AC1C2
C2
1+C2 2exp 2δpω
2a+ 2C1C2exp δpω 2acos(Φ1−Φ2+δpω 2a)(18)
C1=1
p1+2β+ 2√β(19)
C2=1
p1+2β−2√β(20)
Φ1= arctan 1
1 + 1
√β!(21)
Φ2= arctan 1
1−1
√β!(22)
β=ω
2aλ h2
(23)