Déduction Naturelle: quanticateurs et égalité

D´ eduction Naturelle: quanticateurs et ´ egalit´ e
D´ eduction Naturelle: quanticateurs et ´ egalit´ e
St´ ephane Devismes Pascal Lafourcade Michel L´ evy
Universit´ e Joseph Fourier, Grenoble I
19 Mars 2010
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D´ eduction Naturelle: quanticateurs et ´ egalit´ e
Motivation
Cas Propositionnel
Il y a des algorithmes pour d´ ecider si une formule est valide ou non
valide.
Cas Premier Ordre (FO : First Order)
il n’y a aucun algorithme pour d´ ecider si une formule est valide ou non
valide.
En admettant l’´ equivalence entre prouvable (sans environnement) et
valide, il n’y a pas d’algorithme qui, ´ etant donn´ e une formule, puisse
nous en construire la preuve, ou nous avertir que cette formule n’a pas
de preuve. (Church 1936 et Turing 1937)
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D´ eduction Naturelle: quanticateurs et ´ egalit´ e
Plan
Introduction
R` egles
Exemples
Conclusion
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Introduction
Rappel : R` egles «propositionnelle»
Tableau 3.1.1
Introduction ´
Elimination
[A]
...
B
A⇒B⇒IA A⇒B B⇒E
A B
A∧B∧IA∧B A∧E1
A∧B
B∧E2
A
A∨B∨I1A∨B A⇒C B⇒C C∨E
A
B∨A∨I2R`
egle du faux
⊥
AEfq
R` egle ` a l’absurde
¬¬A
ARAA
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D´ eduction Naturelle: quanticateurs et ´ egalit´ e
Introduction
Extension de la d´ eduction naturelle propositionnelle
◮D´
efinitions de brouillon de preuve, environnement, contexte,
formule utilisable restent inchang´
ees!
◮Une seule r`
egle pour enlever des hypoth` eses : →I.
R` egles en plus par rapport ` a DN «propositionnelle ».
◮les quantificateurs
◮l’´
egalit´ e
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