Mecanique quantique

David S´en´echal
M´ ECANIQUE QUANTIQUE
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l
m
kk′
(r)
ψ
a(k)|0 = 0
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NOTES DE COURS
(PHY-731)
Universit´e de Sherbrooke
Facult´e des Sciences
Avril 2000

M´ ECANIQUE QUANTIQUE
NOTES DE COURS
(PHY-731)
par
David S´en´echal
Professeur
D´epartement de physique
Facult´e des Sciences
Universit´e de Sherbrooke
Avril 2000
c
2000, David S´en´echal, Facult´e des Sciences, Universit´e de Sherbrooke.
Tous droits r´eserv´es.

Pr´eface
La nombre d’ouvrages portant sur la m´ecanique quantique est tr`es grand. Il est cependant
difficile d’en trouver un qui r´eponde `a tous les besoins d’un cours de deuxi`eme cycle, dans le cadre
d’un programme ayant un penchant pour la physique de la mati`ere condens´ee. C’est la raison
d’ˆetre de ce manuel. Son ambition n’est pas de concurrencer les vastes ouvrages g´en´eraux sur
la m´ecanique quantique, mais d’effectuer les rappels n´ecessaires des notions de bases et de les
compl´eter en mettant l’accent sur la deuxi`eme quantification et les syst`emes comportant un tr`es
grand nombre de degr´es de libert´e.
Les trois premiers chapitres constituent un rappel des principes de base et de quelques applica-
tions standards de la m´ecanique quantique. Le chapitre 2, sur la th´eorie de la sym´etrie, comporte
des ´el´ements plus avanc´es, comme des notions de th´eorie des groupes. Au chapitre 4, on explique
de mani`ere formelle le formalisme de la deuxi`eme quantification, ainsi que l’approximation de
Hartree-Fock. Au chapitre 5, on applique ce formalisme `a des syst`emes d’´electrons en interaction
dans un r´eseau cristallin, apr`es une rappel des concepts pr´eliminaires (r´eseaux, th´eor`eme de Bloch,
fonctions de Wannier). On y introduit le mod`ele de Hubbard et la th´eorie des ondes de spin. Au
chapitre 6, on ´etudie des syst`emes d’oscillateurs harmoniques coupl´es, ce qui m`ene naturellement
`a la th´eorie du champ et `a la quantification du champ ´electromagn´etique. On applique ensuite
les notions de sym´etrie `a des th´eories du champ. Ce chapitre constitue une autre avenue, plus
naturelle, `a la deuxi`eme quantification des bosons. Au chapitre 7, on ´etudie l’interaction de la
lumi`ere avec la mati`ere, dans le formalisme de la deuxi`eme quantification (´emission, absorption et
diffusion de photons). Au chapitre 8, on introduit la th´eorie relativiste de l’´electron (´equation de
Dirac) en partant de principes de sym´etrie (groupe de Lorentz). Enfin, au chapitre 9, on introduit
la quantification par int´egrale de chemins, ainsi que sa g´en´eralisation `a des syst`emes de bosons et
de fermions. On discute aussi de la relation formelle entre la m´ecanique statistique et la m´ecanique
quantique en temps imaginaire, en particulier pour des syst`emes ayant un grand nombre de degr´es
de libert´e.
`
A la fin de chaque chapitre on trouve un petit nombre d’exercices, de difficult´es in´egales. Je
remercie les ´etudiants qui ont lu avec attention ces notes de cours dans les ann´ees pass´ees et qui
ont daign´e me signaler des corrections `a effectuer. Je livre ce modeste cahier `a leurs successeurs,
en esp´erant qu’ils y trouveront mati`ere `a r´eflexion.

CHAPITRE 1
Principes Fondamentaux et Revision
1 Rappels de m´ecanique classique
1.1 ´ Equations de Lagrange
La configuration d’un syst`eme physique `a un moment donn´e est en principe sp´ecifi´ee par n
param`etres r´eels qu’on peut noter qi(i= 1,2, . . . , n) et qu’on appelle coordonn´ees g´en´eralis´ees.
Ces coordonn´ees d´ecrivent l’espace des configurations. La trajectoire du syst`eme est alors sp´ecifi´ee
par la d´ependance temporelle qi(t) des coordonn´ees. Cette trajectoire est d´etermin´ee par le principe
de la moindre action, qui stipule que le syst`eme ´evolue selon le trajet qui rend l’action stationnaire.
L’action Sest d´efinie habituellement comme l’int´egrale, sur le trajet, de la diff´erence entre l’´energie
cin´etique et l’´energie potentielle :
S=Zdt L( ˙qi, qi)L( ˙qi, qi) = T( ˙qi, qi)−V( ˙qi, qi) (1.1)
La fonction Lporte le nom de lagrangien et d´epend des qiet de leurs d´eriv´ees par rapport au
temps. La condition que l’action soit stationnaire par rapport `a une variation arbitraire δqi(t) de
la trajectoire m`ene aux ´equations de Lagrange :
d
dt
∂L
∂˙qi−∂L ∂qi
= 0 (1.2)
Cet ensemble d’´equations est du deuxi`eme ordre dans le temps, ce qui n´ecessite pour sa r´esolution
compl`ete la sp´ecification de 2nparam`etres : les conditions initiales qi(0) et ˙qi(0).
1.2 ´ Equations de Hamilton
Dans la m´ecanique dite de Hamilton, l’´etat d’un syst`eme physique ayant ndegr´es de libert´e
est sp´ecifi´e par ncoordonn´ees g´en´eralis´ees qi(i= 1, . . . , n) et nmoments conjugu´es (ou impulsions
g´en´eralis´ees) pi. Ces derniers sont d´efinies en fonction du lagrangien comme suit :
pi≡∂L
∂˙qi
(1.3)
On d´efinit ensuite la fonction de Hamilton ou hamiltonien:
H=X
i
pi˙qi−L(1.4)

1. Rappels de m´ecanique classique 3
qui peut ˆetre exprim´e en fonction des qiet des piseulement. Le passage de Lvers Heffectu´e par les
´
Eqs (1.3) et (1.4) est un cas particulier de transformation de Legendre. L’hamiltonien Hrepr´esente
l’´energie totale du syst`eme. L’´evolution dans le temps de l’´etat (la dynamique) est alors donn´ee
par les ´equations de Hamilton :
˙pi=−∂H
∂qi
˙qi=∂H
∂pi
(1.5)
Les ´equations de Hamilton sont du premier ordre, ce qui signifie que l’´evolution future du
syst`eme est compl`etement sp´ecifi´ee par l’´etat du syst`eme `a un moment donn´e: la sp´ecification des
2nquantit´es (pi, qi) au temps t=t0suffit `a d´eterminer les fonctions du temps pi(t) et qi(t).
L’espace math´ematique d´ecrit par les 2nquantit´es piet qiporte le nom d’espace des phases.
´
Etant donn´ees deux fonctions Fet Gsur cet espace, on d´efinit le crochet de Poisson [F, G] comme
[F, G]≡X
i
∂F
∂qi
∂G
∂pi−∂G ∂qi
∂F
∂pi
(1.6)
On v´erifie que
[F, G] = −[G, F ] (antisym´etrie)
[F, aG +bH] = a[F, G] + b[F, H] (lin´earit´e)
[F G, H] = [F, H]G+F[G, H] (diff´erentiation d’un produit)
[F, [G, H]] + [G, [H, F ]] + [H, [F, G]] = 0 (identit´e de Jacobi)
(1.7)
Les ´equations de Hamilton deviennent alors
˙pi= [pi, H] ˙qi= [qi, H] (1.8)
`
A l’aide des ´equations de Hamilton, on montre que la d´eriv´ee totale par rapport au temps d’une
fonction F(pi, qi, t) est
˙
F= [F, H] + ∂F
∂t (1.9)
o`u le premier terme provient du d´eplacement dans l’espace des phases du point (pi, qi) o`u est
´evalu´ee la fonction Fet le deuxi`eme terme provient de la d´ependance explicite de Fsur le temps.
En supposant que la fonction Fne d´epende pas explicitement du temps, elle sera conserv´ee,
c’est-a-dire constante lors de l’´evolution temporelle du syst`eme, si son crochet de Poisson avec H
s’annule : [F, H] = 0. Ceci est ´evidemment vrai de Hlui-mˆeme, d’o`u la conservation de l’´energie
si Hne d´epend pas du temps. Si Hne d´epend pas explicitement d’une coordonn´ee particuli`ere qj,
alors le moment conjugu´ee pjsera aussi conserv´e, comme il est ´evident d’apr`es les ´equations de
Hamilton.
La description donn´ee ci-dessus est faite en fonction de variables dites canoniques, `a savoir les
piet qi. On peut toutefois d´ecrire l’espace des phases `a l’aide d’autres variables, canoniques ou
non. L’important est la d´efinition d’un crochet de Poisson [F, G] satisfaisant aux propri´et´es (1.7) et
d’un hamiltonien H. Cependant, si les variables sont canoniques, l’expression explicite du crochet
de Poisson prend la forme simple (1.6) et on a
[qi, pj] = δij [pi, pj] = [qi, qj] = 0 (1.10)