LES CONFIGURATIONS DU PLAN 1. Le triangle.

CLASSE DE SECONDE ACTIVITES GEOMETRIQUES.
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A
BC
M
N
A
BC
C' B'
A'
G
LES CONFIGURATIONS DU PLAN
1. Le triangle.
1.1 Théorèmes des milieux.
1.1.1 Version1
Si M est le milieu de [AB], et si N est le milieu de [AC], alors les droites (MN) et
(BC) sont parallèles ?
1.1.2 Version 2
Si M est le milieu de [AB] et si (MN) est parallèle à (BC) alors elle coupe
[AC] en son milieu N.
1.1.3 Le segment des milieux.
Soit M et N les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC] du triangle ABC, alors MN = BC
2
1.2 Droites et points remarquables du triangle.
1.2.1 Médiatrices et cercle circonscrit.
Dans un triangle les médiatrices sont concourantes.
Leur point d’intersection est équidistant des trois sommets du triangle.
C’est donc le centre du cercle circonscrit au triangle.
1.2.2 Médianes et centre de gravité.
Dans un triangle, les médianes sont concourantes.
Leur point d’intersection G est appelé centre de gravité du triangle.
Il est situé aux deux tiers de chacune d’elle à partir du sommet.
22 2
AG = AA' ; BG = BB' ; CG = CC'
33 3
1.2.3 Hauteurs et orthocentre.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
Une droite issue d’un sommet et passant par l’orthocentre, est une hauteur du triangle.

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2
A
B
C
1.2.4 Bissectrices et cercle inscrit.
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est équidistant de chacun des trois côtés du
triangle.
Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
ABCD est un parallélogramme.
Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AD]
Démontrer que les droites (DI), (BJ) et (AC) sont concourantes.
ABCD est un parallélogramme
I est le projeté orthogonal de A sur (BC) et K celui de B sur (AC). Les droites (AI) et (BK)
se coupent en O.
Démontrer que les droites (OC) et (DC) sont perpendiculaires.
EXERCICE 1
 A chercher
EXERCICE 2
 A chercher
AB
CD

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B
C
O
A
2. Le triangle rectangle.
2.1 Le triangle rectangle et le cercle.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors A est sur le cercle de diamètre [BC]
Réciproquement :
Si A est un point du cercle de diamètre [BC], alors le triangle ABC est
rectangle en A.
2.2 Triangle rectangle et médiane.
Si ABC est rectangle en A, et si O est le milieu de [BC], alors 1
2
A
OBC=
La médiane relative à l’hypoténuse en mesure la moitié.
Réciproquement :
ABC est un triangle, et O est le milieu de [BC].
Si on a 1
2
A
OBC=, alors le triangle ABC est rectangle en A.
2.3 Théorème de Pythagore et réciproque.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors : 222
BC AB AC=+
Réciproquement : si dans un triangle on a : 222 BC AB AC=+ alors le triangle est rectangle en A.
2.4 Triangle rectangle et trigonométrie.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :
l l l
cos ; sin ; tan
BA AC AC
BBB
BC BC AB
, ou encore :
l l l
côté adjacent côté opposé côté opposé
cos ; sin ; tan
hypoténuse hypoténuse côté adjacent
BBB
Il faut retenir les valeurs remarquables suivantes :
3
cos30 2 °= 2 cos45 2 °= 1
cos60 2 °=
1
sin30 2 °= 2
sin45 2
°= 3
sin60 2
°=
3
tan30 3
°= tan45 1°= tan60 3°=

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4
O
d
d'
a
b
1. Calculer BC
2. a) En calculant de deux manières le cosinus de l’angle
n
A
BC , démontrer que : 2
BA BC BH=×
3. Déduisez-en HB, puis HC.
3. Les angles.
3.1 Somme des angles dans un triangle.
La somme des angles d’un triangle est égalez à 180°
3.2 Angles aigus d’un triangle rectangle.
Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. C’est à dire que leur somme est égale à 90°
3.3 Angles opposés par le sommet.
Les deux droites d et d’ sont sécantes en O.
Les angles opposés par le sommet
$
et ab
$ sont égaux.
EXERCICE 3
 A chercher
C
AB
H
6
8

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d
d'
a
b
c
d
e
f
O
AB
M
N
AB
O
M
3.4 Angles alternes-internes et correspondants.
Si d et d’ sont deux droites parallèles, alors :
les angles
$ $
et ainsi que et ab cd
$$
sont égaux comme étant alternes-
internes.
Les angles
l
et , ainsi que et ae d f
  sont égaux comme étant
correspondants.
Réciproquement, si dans une figure du type de celle ci-contre :
Deux angles alternes-internes sont égaux, alors d et d’ sont parallèles.
Deux angles correspondants sont égaux, alors d et d’ sont parallèles.
3.5 Angles inscrits et angles au centre.
3.5.1 Définitions :
C est un cercle de centre O.
Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle, et qui est
délimité par deux cordes du cercle.
Ainsi, les angles
n
n
et
A
MB ANB sont deux angles inscrits.
Les deux angles inscrits
n n
et
A
MB ANB , interceptent le même arc
p
A
B.
L’angle
n
A
OB est l’angle au centre qui est associé aux angles inscrits
n
n
et
A
MB ANB .
3.5.2 Propriétés :
Un angle inscrit a pour mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc.
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
Ainsi :
n n n
1
2
A
MB ANB AOB==
Cas particulier :
Si [AB] est un diamètre, alors
n
180AOB =°
Il en résulte que
n n
190
2
AMB AOB==°
D’où la propriété :
Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un côté, alors il est rectangle.