Arithmétique

HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
MASTER MATHEMATIQUES ET APPLICATIONS :
ENSEIGNEMENT ET FORMATION
mardi 27 septembre 2011
Eléments
d’histoire de
l’arithmétique
Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1508)
mardi 27 septembre 2011
Nous appelons Arithmétique l’étude élémentaire des propriétés des nombres
entiers et des nombres rationnels, établies avant le XVIIIe siècle, et Théorie
des nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce
XVIIIe siècle. Mais il n’y a pas de frontière bien précise entre ces deux
domaines.
Jean Itard, Arithmétique et Théorie des nombres, Que sais-je ? 1963
L' Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres
entiers : cette théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Euclide et
n'a pas été cultivée par ses successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée
dans les livres de Diophante dont l'injure du temps nous a privés); les
arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler.
Pierre Fermat, 1657
mardi 27 septembre 2011
ARITHMÉTIQUE
Terminologie confuse : arithmétique, arithmétique
supérieure/avancée, théorie des nombres
Selon les auteurs : problèmes concernant les nombres
entiers, les nombres entiers et rationnels, « leurs
généralisations » (ex : points à coordonnées rationnelles sur
des courbes, …)
Plus ou moins proches d’autres domaines (algèbre, analyse,
combinatoire, probabilités, ...)
Ex: Cours d’arithmétique, de J. P. Serre (1970),
mardi 27 septembre 2011
Problème historique des origines : où commencer ? On
pourrait lier à des problèmes actuels de théorie des
nombres en cours toutes les civilisations, cultures,
époques, … (ex : fractions égyptiennes, théorème des
«restes chinois», …). Mais pas nécessairement le même
objectif, le même contexte, les mêmes alternatives (ex:
fractions égyptiennes : pb de calcul numérique dans un
monde sans «autres nombres» => pb théorique sur les
entiers)
mardi 27 septembre 2011
Problème historique des origines : où commencer ? On
pourrait lier à des problèmes actuels de théorie des
nombres en cours toutes les civilisations, cultures,
époques, … (ex : fractions égyptiennes, théorème des
«restes chinois», …). Mais pas nécessairement le même
objectif, le même contexte, les mêmes alternatives (ex:
fractions égyptiennes : pb de calcul numérique dans un
monde sans «autres nombres» => pb théorique sur les
entiers)
mardi 27 septembre 2011
On part in medias res : XVIIe s. et on
cherche à comprendre les sources, les
pratiques, les résultats
choix du XVIIe s. : lien avec le programme
du secondaire (diviseurs, nombres premiers,
théorèmes de Fermat, de Bezout, ...) !
mardi 27 septembre 2011
PIERRE FERMAT (16??-1665)
Magistrat aisé à Toulouse
(et à Castres)
Contact avec les cercles
savants (Bordeaux, Paris),
correspondance avec
Mersenne, Descartes,
Pascal, Roberval, ...
mardi 27 septembre 2011
PAS SEULEMENT FERMAT
Marin Mersenne
Bernard Frenicle de Bessy
André Jumeau de Sainte-Croix
René Descartes
Blaise Pascal
William Brouncker
John Wallis
John Pell etc...
mardi 27 septembre 2011
PIERRE FERMAT (16??-1665)
Magistrat aisé à Toulouse
(et à Castres)
Contact avec les cercles
savants (Bordeaux, Paris),
correspondance avec
Mersenne, Descartes,
Pascal, Roberval, ...
mardi 27 septembre 2011
utilisation de l’algèbre pour
résoudre des problèmes de
géométrie et décrire des
courbes
calcul de centres de
gravité, aires, volumes
problèmes d’extrema
probabilités
mardi 27 septembre 2011
optique
théorie des nombres
LES DÉCOUVERTES DE FERMAT
«SUR LES NOMBRES»
Petit théorème de Fermat : p un nombre premier, a entier
premier à p, p divise ap-1 -1.
Grand «théorème de Fermat» (démontré en 1994...) : n entier
≥ 3, x, y, z, des entiers non nuls, alors xn+yn=zn est impossible
Tout nombre premier impair de la forme 4n+1 est somme de
deux carrés (et seulement ceux-ci), autres résultats sur les
formes (tout nombre est somme de quatre carrés)
Solutions rationnelles «en nombre infini» de certaines
équations à coefficients rationnels
mardi 27 septembre 2011
Presque pas de démonstrations publiées ou diffusées par lui
(mais il annonce plusieurs fois qu’il les a !)
Deux preuves connues «par descente infinie»
«Méthodes» de résolution, parfois expliquées par ses
correspondants (ex: Jacques de Billy, qui en publie sous le
titre de Inventum Novum …après la mort de Fermat) ou
laissées dans ses notes sur Diophante, elles aussi publiées
après sa mort
mardi 27 septembre 2011
QUELQUES SOURCES DE
FERMAT
Livres VII à X des Eléments d’Euclide et leurs commentaires
Les Arithmétiques de Diophante et leurs commentaires ou
réécritures
Fragments d’autres recherches (en particulier arabes) à
travers divers traités (Fibonacci, Stifel, Cardan, etc.)
mardi 27 septembre 2011
mardi 27 septembre 2011
Commentaire de Bachet
Traduction de Bachet
Observation de Fermat
mardi 27 septembre 2011
ARITHMÉTIQUE EUCLIDIENNE
«Est unité ce selon quoi chacune des choses existantes est
dite une. Et un nombre est la multitude composée d’unités.
Un nombre est une partie d’un nombre, le plus petit du plus
grand, quand il mesure le plus grand».
mardi 27 septembre 2011
Est unité ce selon quoi chacune des choses existantes est
dite une. Et un nombre est la multitude composée d’unités.
Un nombre est un diviseur d’un nombre, le plus petit du
plus grand, quand il divise le plus grand.
mardi 27 septembre 2011
ARITHMÉTIQUE EUCLIDIENNE
Définitions de la parité, de nombre premier (mesuré par une
seule unité), premiers entre eux, nombres carrés, cubes,
parfait (égal à la somme de ses diviseurs).
Les nombres sont représentés par des segments
Structure par définitions, axiomes, théorèmes, preuves
(fournit modèle de preuve). Un exemple simple :
mardi 27 septembre 2011
Prop. 23: Si deux nombres sont premiers entre eux, le nombre
qui mesure l’un d’entre eux sera premier avec celui qui reste
A
C
B
D
Soient deux nombres premiers entre eux A, B, et qu’un certain
nombre C mesure A. Je dis que C et B sont aussi premiers
entre eux.
Car si C et B ne sont pas premiers entre eux, un nombre
mesurera C, B. Qu’il les mesure et soit D. Puisque D
mesure C et que C mesure A, le D mesurera donc aussi A.
Mais il mesure aussi B; donc D mesure A, B, qui sont
premiers entre eux, ce qui est impossible. Donc aucun
nombre ne mesurera les nombres C, B. Donc C, B sont
premiers entre eux. Ce qu’il fallait démontrer.
mardi 27 septembre 2011
Prop. IX.20 : Les nombres premiers sont plus nombreux
que toute multitude de nombres premiers proposée.
B
A
C
E
D
F
Preuve (esquisse) : Soit A, B, C trois nombres premiers,
DE le plus petit nombre mesuré par les trois (=ppcm), DF
l’unité, alors EF est premier ou non. Dans le premier cas,
c’est fini, sinon soit G un nombre premier le mesurant, si
G= A, B ou C, alors G mesure DE, or G mesure EF, donc
G mesure DF l’unité, absurde.
mardi 27 septembre 2011
ARITHMETICA DE DIOPHANTE
Diophante a vécu entre - 150 et 350 environ...
2 ouvrages connus : les Arithmétiques et le Traité sur les
nombres polygonaux
13 livres annoncés au début des Arithmétiques : 6 en grec
dans des copies du XIIe-XIVe siècles = ceux connus à la
Renaissance en Europe, 4 traduits en arabe par Qusta ibn
Luqa au IXe siècle et retrouvés en Iran dans une copie du
XIIe s., c. 1970 !).
Nombreuses traductions, adaptations, pillages …
mardi 27 septembre 2011
Arithmetica : collection de résolutions en
nombres rationnels de problèmes
Utilise des abréviations pour désigner un
nombre inconnu et ses puissances. Par
exemple :
pour arithmos (nombre),
pour le carré
mardi 27 septembre 2011
Il se peut que la matière paraisse plus
difficile qu’elle ne l’est parce qu’elle n’est pas
encore connue, et que les débutants
désespèrent de réussir. Elle te deviendra
cependant facile à comprendre, grâce à ton
zèle et à ma démonstration ; car l’ambition
jointe à l’enseignement mène rapidement à
la science.
Diophante à Dionysius, Livre I des
Arithmetiques, trad. Ver Ecke
mardi 27 septembre 2011
Exemple, I. 28: Trouver deux nombres dont
la somme et la somme des carrés sont
données. Il faut toutefois que le double de la
somme des carrés des nombres excède d’un
carré le carré de la somme des nombres.
Proposons donc que la somme des nombres
forme 20 unités et que la somme de leurs
carrés forme 208 unités.
mardi 27 septembre 2011
Il faut toutefois que le double de la somme
des carrés des nombres excède d’un carré le
carré de la somme des nombres.
Diorisme (=conditions de possibilité
d’un problème)
mardi 27 septembre 2011
Proposons donc que la somme des nombres
forme 20 unités et que la somme de leurs
carrés forme 208 unités.
Problème toujours traité sur un exemple numérique
mardi 27 septembre 2011
Solution
Que la différence des nombres soit 2 arithmes. Que le plus grand soit 1 arithme,
augmenté de nouveau de la moitié de la somme des nombres, c’est-à-dire de 10
unités et que le plus petit nombre soit 10 unités moins 1 arithme ; ce qui établit de
nouveau que la somme des nombres est 20 unités, et que leur différence est 2
arithmes. Il faut encore que la somme des carrés des nombres forme 208 unités.
Mais la somme de leurs carrés forme 2 carrés d’arithme plus 200 unités. Ce que
nous égalons à 208 unités et l’arithme devient 2 unités. Revenant à ce que nous
avons posé, le plus grand nombre sera 12 unités, le plus petit nombre sera 8 unités,
et ces nombres satisfont à la proposition.
Autrement dit : on cherche X et Y, avec X+Y=20 et X2+Y2=208. On pose X-Y=2x et
aussi X =x+10 et Y = 10-x (ce qui est possible). Alors X2+Y2 = 2 x2+200 = 208, donc
x=2, ce qui donne X = 12 et Y =8.
mardi 27 septembre 2011
mardi 27 septembre 2011
CLAUDE GASPARD BACHET DE
MÉZIRIAC
poète, grammairien, mathématicien
Membre fondateur de l’Académie
française en 1634
Edition, traduction, commentaires
des Arithmétiques de Diophante
Problesmes plaisans et delectables
qui se font par les nombres
mardi 27 septembre 2011
1581-1638
>ROBLEMES
P
L
A
I
S
A
N
S
ET
DELECTABLES,
QVI
se font par les nombres.
Tarticrecueillis dediuers Autheurty partieìnuentex.
de nottueau auec leur démonstration.
I»ar CLAVDE GASPAR BACHET,$icut
deMcziriac.
Seconde
de plusieurs
Edition,reutue, etrri£ie>fo Augmentée
de
propositions,& plusieurs Problèmest par
lemefme Attthtur.
Trts-vtitepourtoutesforte*depersonnescurietiscs,qui
scsentent
fieMathématique.
<ic{'Arithmétique,
A
LTONy
Chez PIERRE RIGAVD & ASSOCIEZ > ÏU6
à
Mercière, au coing de ru'c Ferondiere,
l'Enseignedc UFort$r|§
mardi 27 septembre 2011
mardi 27 septembre 2011
Du côté des algébristes
Problème : Trouver
en nombres (a, b, c),
c et a + b soient des
un triangle rectangle
a2 + b2 = c2, tel que
carrés.
Pour engendrer un t.r.n.:
a = 2pqd,
b = d(p2 − q 2)
c = d(p2 + q 2)
avec p et q premiers entre eux, p > q, p−q
impairs.
Donc on veut une solution x, u, v de
1 + x 2 = u2
1 + 2x − x2 = v 2
avec x = q/p < 1.
mardi 27 septembre 2011
1
Méthode ordinaire (Diophante) :
u2 − v 2 = (u − v)(u + v) = x(2x − 2)
On identifie les facteurs afin d’éliminer les
termes constants :
Ceci conduit ici à : u = 32 x − 1,
13 , v = 17 .
donc x = 12
(>
1!),
u
=
5
5
5
Dans l’Inventum novum. . . , on pose
p = X + 5, q = 12;
on obtient
169 + 5746X + 169X 2 = U 2
169 + 10X + X 2 = V 2
La méthode ordinaire échoue encore.
mardi 27 septembre 2011
Méthode de Fermat: On identifie les
facteurs afin d’éliminer les termes en X 2.
U 2 − V 2 = (U − V )(U + V )
= BX(AX + 5736
B ),
soit A = 12, B = 14.
On a alors :
2372159
2048075
,U =
,
X=
20566
1582
2165017
V =
,
20566
donc p = 2 150 905, q = 246 792
et une solution pour le triangle rectangle
en nombres :
a = 1061652293520
b = 4565486027761
c = 4 687 298 610 289
mardi 27 septembre 2011
Si l'aire d'un triangle est un carré, sont donnés deux bicarrés dont la différence est un carré. Il
s'ensuit que sont également donnés deux carrés dont la somme et la différence sont des carrés.
Par conséquent, est donné un nombre égal à un carré, somme d'un carré et du
double d'un carré, avec la condition que les deux carrés qui le composent, fassent un carré.
Mais si un nombre carré est composé d'un carré et du double d'un carré, son
côté est également composé d'un carré et du double d'un carré, comme nous pouvons le
prouver facilement. On en conclura que ce côté est la somme des deux côtés de l'angle droit
d'un triangle rectangle, l'un des carrés le composant formera la base, et le double carré la
hauteur.
Ce triangle rectangle est donc formé par deux nombres carrés, dont la somme et la
différence sont des carrés. Mais on prouvera que ces deux carrés sont plus petits que les deux
premiers dont on a supposé que la somme et la différence soient des carrés. Donc, si sont
donnés deux carrés dont la somme et la différence font des carrés, on donne par là même, en
nombres entiers, une somme de deux carrés jouissant de la même propriété et inférieure. Et
par le même raisonnement, sera ensuite donnée une autre somme plus petite trouvée par la voie
de la précédente, et toujours en continuant indéfiniment se trouveront des nombres entiers de
plus en plus petits de même apparence. Ce qui est impossible, puisqu'un nombre entier étant
donné, il ne peut y avoir une infinité de nombres entiers plus petit que lui. La marge est trop
étroite pour recevoir la démonstration complète et avec tous ses développements.
mardi 27 septembre 2011
Un programme pour l’arithmétique
L'Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres entiers: cette
théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n'a pas été cultivée par ses
successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans les livres de Diophante dont
l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens ont donc à la développer ou à la
renouveler.
Fermat, 1657
Une méthode, la descente infinie : preuve de DFT, n= 4
Une différence de deux puissances quatrièmes ne peut être un carré.
u4-v4 =w2
(*) u2 + v2=s2 et u2 - v2=t2
t2 + 2v2=s2 et t2 + v2=u2
Point clé : m2 + 2n2=s
A partir de là, manipulations algébriques => une nouvelle solution plus petite
des équations (*)
On recommence : suite strictement décroissante d’entiers solutions de (*),
impossible dans N, d’où contradiction
mardi 27 septembre 2011
FERMAT ET SES CORRESPONDANTS
Vous m’avez envoyé 360 duquel les parties aliquotes sont au même nombre comme 9 à 4 et moi je
vous envoie 2016 qui a la même propriété. Fermat à Mersenne, 20 février 1639
La seconde question [de M. de Saint-Martin] est celle-ci : un nombre étant donné, déterminer
combien de fois il est la différence des côtés d’un triangle qui ait un quarré pour différence de son
petit côté au deux autres côtés. le nombre qu’il donne est 1 803 601 800. Je réponds qu’...il y a 243
triangles qui satisfont à la question.
Fermat à Mersenne, début 1643
Nous sommes icy à d’autres spéculations a scavoir donner quelques distances qu’on voudra entre
nombres donnés dans laquelle distance ou différence il ne se rencontre aucun nombre premier ; par
exemple donner 100000000000 nombres qui se suivent immédiatement dont nul ne soit premier. C’est
une chose effroyable que cette spéculation des nombres tant pour la difficulté que pour l’immensité. Et
je crois que Dieu est si immense que si nous envisagions un seul rayon de son immensité, nous
mourrions tout soudain ou d’effroy ou d’admiration et desesperation
Mersenne à Christiaan Huygens, 8 décembre 1646
mardi 27 septembre 2011
L'organisation de l'arithmétique
dans le cercle de Mersenne
• distinction classique entre problèmes et théorèmes (cf.
Proclus)
• Mersenne réclame des problèmes (transformation de
théorèmes en problèmes pour la correspondance)
"C'est contre le stile des Géomètres de proposer aux autres
des questions qu'ils ne peuvent soudre euxmêmes" (Descartes)
• évolution des échanges: problème, nombres, règles et
méthode
mardi 27 septembre 2011
Diviseurs et nombres
premiers
Partie aliquote = diviseur propre
s(k) : somme des parties aliquotes (ex: s(9)=1+3=4)
Nombres parfaits: s(k) =k (ex: 6, 28)
Nombres abondants : s(k) > k
(ex: "sous-double", s(k) =2k)
Nombres déficients : s(k) < k
(ex: puissance d'un nombre premier)
Euclide IX. 31: Si p =1+2+…+2k est premier, alors 2kp est parfait.
mardi 27 septembre 2011
Sous-doubles en progrès
•1631: Mersenne demande s'il existe d'autres sous-doubles que
le très connu 120: bof ?
•1636 : Fermat donne 672
•1638 : Sainte-Croix donne 523 776, Descartes 1 476 304 896
•1640 : Frenicle et Fermat échangent règles et exemples
•164? : Explications aux nouveaux-venus, étude de 2 -1:
k
“Je supplie votre Révérence de me donner l’intelligence de
cette question et de m’enseigner aussi la méthode pour trouver
des nombres parfaits” (Thibaut à Mersenne, 18 décembre
1646)
mardi 27 septembre 2011
Le petit théorème
de Fermat
Juin 1640 ("fondements des nombres parfaits")
Si k est composé, 2k-1 l'est aussi.
Si k (impair) est premier, 2k-2 est un multiple de 2k.
Si k (impair) est premier, et si p est un diviseur premier de 2k-1,
alors 2k divise p-1.
Octobre 1640
Si p est premier, pour tout a premier à p, p divise un des nombres
ak-1, où k divise p-1 (et tous ses multiples).
C'est le petit théorème de Fermat: ap-1
mardi 27 septembre 2011
1 (mod p)
Il m’importe de vous dire le fondement sur lequel
j’appuie les démonstrations de tout ce qui concerne
les progressions géométriques, qui est tel : Tout
nombre premier mesure infailliblement une des
puissances -1 de quelque progression que ce soit et
l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du
nombre premier donné -1; et après qu’on a trouvé
la première puissance qui satisfait à la question,
toutes celles dont les exposants sont multiples de
l’exposant de la première satisfont tout de même à
la question.
Fermat à Frenicle, 18 octobre 1640
mardi 27 septembre 2011
…pour des applications
rapides
•
•
•
Ecrit: 'Il n'y a pas de nombres parfaits de 20 chiffres'
Le candidat euclidien pour k=37 n'est pas parfait, autrement
dit 237-1 n'est pas premier
Seulement quelques diviseurs à tester:
•2x37+1= 75 (non premier),
•4x 37+1= 149 (ne donne pas un diviseur),
•6x 37+1= 223: donne 2 -1 =223x 616 318 177
37
mardi 27 septembre 2011
Factorisation
Pour factoriser un entier n, Fermat propose de
chercher à mettre n sous forme x2-y2=(x+y)(x-y).
Donc de chercher si x2-n est un carré, en testant
les entiers x (à partir de √n).
Ex : 2 027 651 281 = 46061 x 44021
mardi 27 septembre 2011
Du côté des arithméticiens
Un nombre étant donné, déterminer combien
de fois il est la différence des (plus grands)
côtés d'un triangle qui ait un quarré pour
différence de son petit côté aux deux autres
côtés. Le nombre qu'il donne est 1 803 601
800.
Pour engendrer un Triangle rectangle en
nombres
a=2pqd, b=d(p2-q2), c=d(p2+q2)
avec p et q premiers entre eux, p>q, p-q
impair.
La condition devient: a<b<c
b-a= d(p-q)2 -2q2) carré
c-a=d(p-q)2 carré
d'où d= carré et (p-q)2 -2q2=carré (=u2)
La différence des (grands) côtés est c-b=
d(2q2), d'où N=2q2=(p-q-u)(p-q+u)
mardi 27 septembre 2011
Si une décomposition de N en deux facteurs
est fixé, q est fixé, donc p, donc le triangle.
Il est facile de voir que les deux facteurs
doivent être pairs, sans facteur impair
commun, N doit être de la forme 8 x carré.
Le nombre de triangles dépend de la
décomposition de N en facteurs premiers.
ex: M=2(2a)2 , a impair premier
d=1 N= 2. 4a2 ou 4. 2a2
d=4 impossible
d=a2 N= 2.4
d=(2a)2 impossible
d'où 3 triangles
Plus généralement si M= 2(2xyz…)2, où x, y ,
z… sont r facteurs premiers impairs, on trouve
3r triangles solutions.
D'où ici:
1 803 601 800=2(2.3.5.7.11.13)2,
on trouve bien 35=243 triangles.
mardi 27 septembre 2011
Un problème de Fermat posé à Frenicle et Saint-Martin
Trouver un triangle rectangle en nombres (entiers) dont
l’hypoténuse et la somme des deux petits côtés soient des carrés
(d’entiers)
a2+b2 =c2 tel que c=x2 et a+b=y2 a, b, c, x, y entiers.
Plus petite solution
a=1 061 652 293 520
b= 4 565 486 027 761
c= 4 687 298 610 289
Ici, la méthode de Fermat est algébrique
mardi 27 septembre 2011
XVIIIE SIÈCLE
Le symbolisme algébrique cartésien s’impose
Leonhard Euler (1707-1783) démontre et généralise beaucoup
de propositions de Fermat.
Exemple : (petit) théorème de Fermat pour n quelconque
(avec la fonction indicatrice d’Euler)
Début de la théorie des formes quadratiques à deux
variables et à coefficients entiers par Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813)
mardi 27 septembre 2011
L. Euler (Académie de Saint-Petersbourg, de Berlin), 74 volumes d’Oeuvres
J.L. Lagrange (premier prof.
d’analyse à Polytechnique,
sénateur, Comte sous
l’Empire)
Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Académie de Paris
mardi 27 septembre 2011
Retour à la théorie
• "Une des meilleures têtes
mathématiques de
l'Europe" (Poinsot, 1807)
• contributions fondamentales
en théorie des nombres,
analyse, géométrie
différentielle, astronomie,
géodésique,…
• 1801: Disquisitiones
arithmeticae et prédiction de
l'emplacement de Cérès
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
mardi 27 septembre 2011
Recherches arithmétiques
• Vos Disquisitiones vous ont mis
tout de suite au rang des plus
grands géomètres (Lagrange,
1804)
• Mr Gauss a traité d'une manière
entièrement nouvelle toute cette
théorie [ des nombres] dans un
ouvrage singulièrement
remarquable dont il nous est
impossible de donner une idée
parce que tout y est nouveau,
jusqu'au langage et à la notation
(Rapport de l’Ac. des sciences à
Napoléon)
mardi 27 septembre 2011
• Congruences
• Formes quadratiques
• Application 1:
factorisation
• Application II:
inscription d'un
polygone régulier
dans un cercle
mardi 27 septembre 2011
Congruences
• Si n divise a-b, on dit que a et b sont congrus
modulo n, on écrit a≡ b (mod n)
égalités
• congruences
• étude des puissances 1, a, a , a , a ,…d'un
2
3
4
entier modulo n, (a, n) =1 (petit th. de Fermat,
racines primitives)
• étude des équations aux congruences ;
théorème fondamental dans le cas quadratique
(loi de réciprocité)
mardi 27 septembre 2011
Formes quadratiques
Exemples : x2+y2, 3x2+10xy+y2
2
2
En général : ax +2bxy+cy , avec a, b, c entiers
• Question 1: quels nombres sont représentés par une
forme donnée ? Est-ce que 21 est somme de deux
carrés ? Est-ce que 60n+11 divise3x2-5y2 ?
• Question 2 : classer les formes à changement de
variables (inversible) près
x=ux'+vy', y=u'x'+v'y', avec u, u', v, v' entiers et uv'-u'v=±1
Notion d'invariant, le déterminant b2-ac;
nombre de classes de déterminant fixé ;
bons représentants de chaque classe,
composition de formes , etc.
mardi 27 septembre 2011
Polygone régulier
inscriptible dans un cercle
• Dès l'Antiquité, triangle, carré, pentagone
inscrits dans un cercle à la règle et au compas.
• Gauss donne des conditions sur le nombre de
côtés n pour que cette inscription soit
possible : si n premier, on doit avoir n-1 =2m
k
(et m=2 ), donc n doit être un «nombre de
Fermat» (3, 5, 17, 257, 65537) ; en général, n
m
doit être produit de 2 et de premiers distincts
2m'+1
• La preuve utilise la théorie des congruences
pour recoder les points
mardi 27 septembre 2011
Polygone régulier inscriptible
dans un cercle
A0 point (1,0)
A1 point (cos 2π/5, sin2π/5)
A2 point (cos 4π/5, sin4π/5)
A3 point (cos 6π/5, sin6π/5)
A4 point (cos 8π/5, sin8π/5)
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=286850&t=286850
mardi 27 septembre 2011
Polygone régulier
inscriptible dans un cercle
• Nouveau codage des points à l'aide d'une racine
k'
primitive modulo 5 : si (k, 5)=1, k=2 mod 5.
(1,0)
A0
0iπ/5
e
a0
a0
A'0
a1
4
2
a
A'4
A1
(cos 2π/5, sin2π/5)
2iπ/5
e
A2
(cos 4π/5, sin4π/5)
e4iπ/5
2
a
1
2
a
A'1
(cos 6π/5, sin6π/5)
6iπ/5
e
a3
3
2
a
A'3
8iπ/5
e
4
a
2
2
a
A'2
A3
A4
mardi 27 septembre 2011
(cos 8π/5, sin8π/5)
Polygone régulier
inscriptible dans un cercle
• Le nouveau codage incite à regrouper
certains points :
1
2
a
3
2
a
5
2
a
1
2
=a
—>
—>
2
4
6
2
2
2
2
2
a —> a —> a =a
•
1
2
a
3
2
a
2
2
,a
A'4
A'1
4
2
a
+
+
sont racines
d'une équation quadratique, donc
constructibles à la règle et au
2
4
2
2
compas: a + a =cos 2π/5=(√5-1)/4
A'3
A'2
•On en déduit tous les sommets Ai
mardi 27 septembre 2011
A'1
Primalité et factorisation
•
mardi 27 septembre 2011
Le problème où l'on se propose de distinguer les nombres
premiers des nombres composés et de décomposer ceux-ci
en leurs facteurs premiers, est connu comme un des plus
importants et des plus utiles de toute l'Arithmétique…
Aussi nous ne doutons pas que les deux méthodes suivantes
dont nous pouvons affirmer la brièveté et l'efficacité
d'après une longue expérience , ne plaisent aux amateurs
de l'Arithmétique. (R. A., art. 329)
Primalité et factorisation
•
1ère méthode : Principe : si n est un carré x2 modulo M,
c'est un carré modulo m, pour tout m diviseur de M. Donc
1) on liste les restes ni de carrés mod M, 2) on exclut les m
pour lesquels un ni ne marche pas. Ex. pour M= 997331 :
les résidus ni = -6, 13, -14, 17, 37, -53 permettent déjà à eux
seuls d’exclure tous les m<127 et on trouve 997331 = 127 .
7853.
•
2ème méthode : Essayer d’écrire M comme diviseur de
formes quadratiques x2 +Dy2 et utiliser la théorie de ces
formes. Un ex donné par Gauss : M=4272943 est premier
(il utilise M= (1113)2 +286(103)2 =x2 +286y2)
mardi 27 septembre 2011
mardi 27 septembre 2011
mardi 27 septembre 2011
Algorithme dʼEuclide pour
le calcul du PGCD.
Congruences dans Z. On montrera lʼefficacité du langage
des congruences. On utilisera les notations : a≡b (n)
ou a≡b (modulo n), et on établira les compatibilités avec
lʼaddition et la multiplication.
Nombres premiers. Reconnaissance de la primalité dʼun
entier.
On démontrera que lʼensemble des nombres
premiers est infini.
Existence et unicité de la décomposition en produit
de facteurs premiers.
Théorème de Bézout.
Théorème de Gauss
Exemples simples dʼéquations diophantiennes.
Applications élémentaires à la cryptographie.
Application : petit théorème de Fermat.
mardi 27 septembre 2011
Algorithme dʼEuclide pour le calcul du PGCD.
Congruences dans Z. On montrera lʼefficacité du langage
des congruences. On utilisera les notations : a≡b (n)
ou a≡b (modulo n), et on établira les compatibilités avec
lʼaddition et la multiplication.
Euclide (c. -300)
Nombres premiers. Reconnaissance de la primalité dʼun
entier.
On démontrera que lʼensemble des nombres
premiers est infini.
Existence et unicité de la décomposition en produit
de facteurs premiers.
Pierre Fermat
(?-1665)
Théorème de Bézout.
Diophante (?)
Etienne Bézout
(1730-1783)
Théorème de Gauss
Exemples simples dʼéquations diophantiennes.
Applications élémentaires à la cryptographie.
Application : petit théorème de Fermat.
mardi 27 septembre 2011
Carl Friedrich
Gauss (1777-1865)
Algorithme dʼEuclide pour le calcul du PGCD.
Congruences dans Z. On montrera lʼefficacité du langage
des congruences. On utilisera les notations : a≡b (n)
ou a≡b (modulo n), et on établira les compatibilités avec
lʼaddition et la multiplication.
Nombres premiers. Reconnaissance de la primalité dʼun
entier.
On démontrera que lʼensemble des nombres
premiers est infini.
Existence et unicité de la décomposition en produit
de facteurs premiers.
Théorème de Bézout.
Euclide (c. -300)
Diophante (?)
Pierre Fermat
(?-1665)
Etienne Bézout
(1730-1783)
Théorème de Gauss
Exemples simples dʼéquations diophantiennes.
Applications élémentaires à la cryptographie.
Application : petit théorème de Fermat.
mardi 27 septembre 2011
Carl Friedrich
Gauss (1777-1865)
Difficultés
• Attribution d’un résultat à un auteur ?
• Enoncés vs preuve vs preuves
• Symbolisme, formulation
• Importance variable accordée à un résultat,
un domaine
mardi 27 septembre 2011