TS. Évaluation 2 - Correction ♣
EX1 : ( 3 points ) Les deux questions sont indépendantes.
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse
non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.
1. On considère l’arbre de probabilités suivant : •
AB
B
AB
B
0,2
0,8
0,68
0,32
0,6
0,4
Affirmation :la probabilité de l’événement Asachant que l’événement Best réalisé est égale à 0,32.
On a complété en rouge le premier arbre et on l’inverse :
•
BA
A
BA
A
?
0,32
Avec la formule des probabilités totales,
on calcule d’abord p(B).
p(B) =p(A ∩B)+p(A∩B)
=p(A) ×pA(B)+p(A)×pA(B)
=0,2×0,68+0,8×0,6 =0,616.
On peut ajouter 0,616 à la place du ? sur l’arbre inversé.
Enfin, la formule des probabilités conditionnelles : pB(A) =p(A ∩B)
p(B) =0,2×0,68
0,616 ≈0,22. Donc pB(A) 6= 0,32.
L’affirmation est fausse
2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les
boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules dans l’urne.
Affirmation : il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes est
égale à 9
22.
L’urne contient n+3 boules. L’univers est l’ensemble des paires de boules tirées. Comme elles sont « indiscer-
nables » au toucher, il y a équiprobabilité.
Le nombre de tirages possibles est Ãn+3
2!=(n+3)(n+2)
2.
Le nombre de tirages contenant 2 boules rouges est Ãn
2!.
Le nombre de tirages contenant 2 boules noires est Ã3
2!.
Le nombre de tirages contenant 1 boule de chaque couleur est Ãn+3
2!−Ãn
2!−Ã3
2!ou bien Ã3
1!×Ãn
1!=3n.
La probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes est donc 3n×2
(n+3)(n+2)
Le problème revient à résoudre 3n×2
(n+3)(n+2) =9
22 ⇐⇒ 3n2−29n+18 =0.
C’est une équation du second degré. On cherche une solution entière positive. Plusieurs façons de répondre ici :
– On peut calculer le discriminant, il est positif, puis les solutions 9 et 2
3...
– On peut aussi utiliser les variations que l’on connait bien ! On affiche la courbe, et on vérifie que 9 est OK.
L’affirmation est vraie
EX2 : ( 5 points ) On désigne par x un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 80].
Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges.
Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d’un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres
ont leurs faces marquées d’une étoile.
Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d’un cercle, x %ont leurs faces marquées d’un losange et les autres
ont leurs faces marquées d’une étoile.
Partie A : expérience 1 On tire au hasard un cube de l’urne.
1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à 0,12 +0,004x.