M´ETHODE SPECTRALE QUASI-STATIQUE EFFICACE

M´ ETHODE SPECTRALE QUASI-STATIQUE EFFICACE POUR LA
MOD ´ ELISATION EN INTENSIT ´ E DE LA DIFFUSION RAMAN STIMUL ´ EE
St´ ephane Blin1, Alain Mugnier2, David Pureur2, et Thierry Chartier1
1Laboratoire Foton, CNRS UMR 6082, Enssat, BP 80518, 22305 Lannion cedex, France
2Quantel ´
Etablissement R&D Lannion, 4 rue Louis de Broglie, Bˆ at. D, 22300 Lannion, France
[email protected]
R´ ESUM ´ E
Nous proposons une m´ ethode efficace pour la mod´ elisation quasi-statique en intensit´ e de
la propagation d’un spectre optique soumis ` a la diffusion Raman stimul´ ee dans une fibre
optique. Le mod` ele pr´ esent´ e offre un gain de temps de calcul d’un ordre de grandeur pour
l’´ etude de la propagation d’impulsions de largeurs temporelles sup´ erieures ` a la dizaine de
nanosecondes.
MOTS-CLEFS :Optique non lin´ eaire ; Fibre optique ; Mod´ elisation ; Diffusion Raman.
1. INTRODUCTION
Les lasers ` a fibre de puissance sont des outils de choix pour des applications telles que la gravure ou
le marquage de mat´ eriaux. Les impulsions optiques requises pour ces applications pr´ esentent typiquement
des largeurs temporelles sup´ erieures ` a la nanoseconde et des puissances crˆ etes sup´ erieures ` a la dizaine
de kilowatts. Augmenter la puissance de sortie de tels lasers tout en conservant des impulsions de qualit´ e
est principalement limit´ e par l’apparition de diffusion Raman stimul´ ee [1] lors de la propagation dans la
fibre optique. Afin de mieux appr´ ehender cette limitation, nous nous int´ eressons ici ` a la mod´ elisation de
la propagation d’un spectre optique en pr´ esence de diffusion Raman stimul´ ee. Si de telles descriptions
existent dans la litt´ erature [2, 3], nous proposons ici une formulation simple et efficace, formulation
originale ` a notre connaissance.
2. M ´ ETHODOLOGIE
La principale caract´ eristique de la diffusion Raman stimul´ ee est de transf´ erer la puissance d’une
fr´ equence optique dite pompe vers une fr´ equence inf´ erieure dite Stokes. Pour une fibre de silice, le
d´ ecalage Raman ∆νrest de -13 THz. L’onde Stokes g´ en´ er´ ee peut elle-mˆ eme pomper une onde Stokes
d’ordre plus ´ elev´ e. En r´ egime de pompage continu ou quasi-continu, l’´ evolution de l’intensit´ eInd’une
onde Stokes d’ordre net de fr´ equence νnest reli´ ee ` a l’intensit´ e lui servant de pompe In−1` a une fr´ equence
νn−1par l’´ equation diff´ erentielle [1], pr´ esent´ ee ici sous une forme discr´ etis´ ee dans l’espace :
δIn
δz= +νn−1 ν0
gr0In−1In, (1)
o` uδzrepr´ esente une distance de propagation infinit´ esimale, gr0est le coefficient de gain Raman pour un
pompage ` a la fr´ equence ν0. Le rapport de fr´ equences νn−1/ν0traduit la d´ ependance de l’amplitude du
coefficient de gain Raman avec la fr´ equence de pompage [4].
L’´ equation (1) n’offre qu’une description sommaire du spectre optique, car limit´ ee aux fr´ equences
pompe et Stokes. Souhaitant une description plus d´ etaill´ ee, nous d´ ecrivons le spectre optique par l’in-
tensit´ e optique I(ν)contenue autour d’une fr´ equence νdans une bande spectrale δ ν tr` es inf´ erieure au
d´ ecalage Raman ∆νr. Nous utiliserons aussi le spectre de gain Raman gr0(∆ν), o` u∆νrepr´ esente la
diff´ erence entre les fr´ equences sonde et pompe. Conform´ ement ` a l’´ equation (1), toute bande spectrale
d’intensit´ eI(νi)cr´ ee par diffusion Raman stimul´ ee le spectre SRSidont l’expression est :
SRSi(ν) = νi
ν0
gr0(ν−νi)I(νi)I(ν)δz.(2)

Notons que contrairement ` a l’´ equation (1), la fr´ equence de pompage νin’est pas limit´ ee au maximum du
spectre optique (typiquement ` a la fr´ equence dite pompe), car toute fr´ equence du spectre optique participe
`
a sa mesure ` a l’´ evolution du spectre optique par diffusion Raman stimul´ ee. Le spectre optique g´ en´ er´ e
par diffusion Raman stimul´ ee par l’ensemble des composantes spectrales du spectre optique initial est la
somme des spectres g´ en´ er´ es par chaque composante prise individuellement, soit :
SRS(ν) = ∑
i
SRSi(ν) = δz
ν0
I(ν)∑
i
gr0(ν−νi)νiI(νi) = δz
ν0
I(ν) [gr0∗P](ν). (3)
Nous utilisons le symbole ∗pour la convolution, et introduisons la fonction P:x7→ x I(x).
L’´ equation (2) d´ ecrit le spectre g´ en´ er´ e par un pompage Raman de fr´ equence νi. Afin de conserver
l’´ energie totale, l’intensit´ e de pompe I(νi)doit ˆ etre d´ epl´ et´ ee de la valeur DPL(νi)correspondant ` a la
somme des intensit´ es g´ en´ er´ ees par effet Raman, avec prise en compte du rendement quantique :
DPL(νi) = −∑
k
νi
νk
SRSi(νk) = −νi2δz
ν0
I(νi)∑
k
gr0(νk−νi)I(νk)
νk
=−νi2δz
ν0
I(νi) [gr0⊗Q](νi).(4)
Nous utilisons le symbole ⊗pour la corr´ elation, et introduisons la fonction Q:x7→ I(x)/x. La description
de la d´ epl´ etion par une simple corr´ elation est ` a notre connaissance un r´ esultat original.
Connaissant le spectre d’att´ enuation lin´ eique α(ν), l’utilisation des ´ equations (3) & (4) permet
d’obtenir le spectre en z+δzen fonction du spectre en zpour un choix de δzsuffisamment petit :
Iz+dz(ν) = Iz(ν) + δIz(ν) = Iz(ν)1+δz
ν0
[gr0∗P](ν)−δzν2
ν0
[gr0⊗Q](ν)−δzα(ν).(5)
Cette derni` ere ´ equation pr´ esente une grande efficacit´ e num´ erique, car le calcul de convolution ou de
corr´ elation dans des languages avanc´ es (Matlab par exemple) offrent une rapidit´ e incomparable par rap-
port ` a une m´ ethode traditionnelle bas´ ee sur un calcul it´ eratif. Nous avons ´ evalu´ e un gain de temps de
calcul ´ egal ` a 10 environ. Notons aussi que tous les ordres Stokes peuvent ˆ etre d´ ecrits en propageant
num´ eriquement un simple spectre optique en entr´ ee de fibre. Les seules autres grandeurs n´ ecessaires sont
le spectre du coefficient de gain Raman et le spectre d’att´ enuation de la fibre optique. Enfin, l’introduction
de l’´ emission spontan´ ee Raman peut se faire a priori sans difficult´ e majeure.
3. VALIDATION DU MOD ` ELE PAR L’EXP ´ ERIENCE
Afin de valider ce mod` ele nous avons mesur´ e le spectre optique en entr´ ee et en sortie d’une fibre
optique monomode (aire effective 36 µm2)` a maintien de polarisation de 70 m (Corning PM98), inject´ ee
par un laser continu polaris´ e´ emettant 16 W ` a 1064 nm. La figure 1(a) pr´ esente le spectre du laser en
entr´ ee (z=0) de la fibre optique. Le signal laser ` a 1064 nm est polaris´ e selon un axe propre de la fibre.
Un r´ esidu filtr´ e de l’´ emission spontan´ ee du laser est pr´ esent autour 1085 nm. Apr` es propagation dans la
fibre de 70 m, le spectre optique (z=70 m) pr´ esente une forte composante Raman autour de 1115 nm.
La connaissance des spectres d’entr´ ee et de sortie de la fibre permet de d´ eterminer le spectre du
coefficient de gain Raman pour cette fibre optique, avec un maximum mesur´ e de 25 10−14 m/W. Associ´ e
`
a l’att´ enuation de 0,70 dB/km mesur´ ee dans la fibre, l’´ equation (5) permet de calculer l’´ evolution du
spectre optique le long de la fibre, tel que repr´ esent´ e en figure 1(a). Pour cette mod´ elisation, la r´ esolution
spectrale est de 0,07 nm et la r´ esolution spatiale de 0,7 m. Nous observons un tr` es bon accord entre
le spectre exp´ erimental et celui issu de la mod´ elisation. L’´ elargissement de la composante ` a 1064 nm
observ´ e exp´ erimentalement est probablement dˆ u` a un ph´ enom` ene de m´ elange ` a quatre ondes.
Il est important de noter que l’accord entre le mod` ele et l’exp´ erience se d´ egrade fortement pour de
plus faibles puissances optiques inject´ ees dans la fibre. Puisque le gain Raman est r´ eduit d’un ordre de
grandeur si les polarisations des ondes pompe et Stokes sont orthogonales [5], nous pensons que le r´ esidu
d’´ emission spontan´ ee amplifi´ ee du laser, initialement non polaris´ e, se polarise parall` element ` a la pompe

60
0
70 -90
0
+90
Temps, ns
Puissance crête, W
Distance, m
Impulsion
d'entrée
(1064 nm)
Impulsion
pompe
(1064 nm)
Impulsion
Stokes
(1115 nm)
(a) (b)
z = 0
z = 70 m (modèle)
z = 70 m
(expérience)
Longueur d'onde, nm
Intensité optique, dB
100
80
60
40
1060 1080 1100 1120 1140 1160
Expérience
Modèle
FIG. 1 : Diffusion Raman stimul´ ee dans 70 m de fibre ` a maintien de polarisation. (a) Propagation du spectre optique
pour une puissance continue de 16 W ; (b) Propagation d’une impulsion de puissance crˆ ete 64 W.
au cours de la propagation. Ainsi, le coefficient de gain Raman ´ evoluerait au cours de la propagation. La
prise en compte des effets de polarisation dans notre mod` ele devrait permettre de v´ erifier ces hypoth` eses.
Enfin, ce mod` ele permet d’´ etudier l’´ evolution de la forme temporelle d’une impulsion en pr´ esence
de l’effet Raman pour des impulsions de dur´ ees suffisamment importantes devant le temps caract´ eristique
de l’effet Raman. Dans une approche quasi-statique, le spectre de sortie est calcul´ e` a diff´ erents instants
(puissances) de l’impulsion. Nous consid´ erons une impulsion gaussienne de 100 ns de largeur temporelle
et 64 W de puissance crˆ ete, tout autre param` etre ´ etant identique aux r´ esultats pr´ esent´ es en Fig. 1(a).
La figure 1(b) pr´ esente l’´ evolution de l’impulsion calcul´ ee autour de la fr´ equence de pompe, ainsi que
l’impulsion de sortie g´ en´ er´ ee autour de la fr´ equence Stokes. Au maximum de l’impulsion pompe en
entr´ ee, toute la puissance est convertie ` a la longueur d’onde Stokes, amenant ` a un d´ edoublement de
l’impulsion de pompe en sortie de fibre pouvant ˆ etre n´ efaste pour des applications de type marquage.
4. CONCLUSION
Nous avons pr´ esent´ e un mod` ele simple permettant de d´ ecrire la propagation d’un spectre optique
et d’une impulsion en pr´ esence d’effet Raman. Le formalisme du mod` ele permet de r´ eduire le temps
de calcul de la solution num´ erique d’un ordre de grandeur environ. Si ce mod` ele est restreint ` a la seule
pr´ esence de l’effet Raman, il permet d’appr´ ehender les probl´ ematiques rencontr´ ees pour des lasers ` a fibre
appliqu´ es au marquage de mat´ eriaux.
REMERCIEMENTS
Ces travaux ont ´ et´ e r´ ealis´ es dans le cadre du projet Hippocamp financ´ e par la R´ egion Bretagne.
Merci ` a T. Robin (iXFiber), M. Jacquemet (Quantel), et L. Provino (Perfos) pour leur aide.
R´ EF ´ ERENCES
[1] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 4th ed., New York, Ed. Academic press, 2006.
[2] R. H. Stolen, C. Lee, and R. K. Jain, “Development of the stimulated raman spectrum in single-mode silica
fibers,” J. Opt. Soc. Am. B, vol. 1, no. 4, p. 652, 1984.
[3] K. Liu and E. Garmire, “Understanding the formation of the SRS Stokes spectrum in fused silica fibers,”
Quantum Electronics, IEEE Journal of, vol. 27, no. 4, pp. 1022–1030, 1991.
[4] R. Hellwarth, J. Cherlow, and T.-T. Yang, “Origin and frequency dependence of nonlinear optical suscepti-
bilities of glasses,” Phys. Rev. B, vol. 11, no. 2, pp. 964–967, Jan 1975.
[5] R. Stolen, “Polarization effects in fiber Raman and Brillouin lasers,” Quantum Electronics, IEEE Journal
of, vol. 15, no. 10, pp. 1157–1160, 1979.