Méthode d`Euler Niveau 1S et TS

TS - Lycée Desfontaines Méthode d’Euler
Méthode d’Euler
Niveau 1S et TS
La méthode d’Euler (vue au lycée) est une méthode qui permet d’approcher par une ligne polygonale la
courbe représentative Cfd’une fonction f, (définie et dérivable sur un intervalle [a;b]), dont on sait l’exis-
tence mais dont on ne connait pas l’expression algébrique mais dont on connait une valeur (en général f(a)) et
– Cas 1 : soit sa dérivée : f′=goù gest une fonction connue.
(et donc la fonction finconnue est finalement une primitive de g)
– Cas 2 : soit une relation liant f′en fonction de f, du type f′=λf +µoù λet µsont des réels connus.
Cette méthode consiste à construire une suite finie de points (Pk)de coordonnées respectives (xk;yk)telles
que les abscisses xksoient uniformément réparties sur [a;b]et telles que yk≈f(xk).
Cette méthode repose entièrement sur l’approximation affine locale.
Supposons que nous connaissons la valeur prise en a, cad f(a).
Première étape :On place le premier point P0.
Le premier point P0est le seul point connu de Cf; c’est le point de coordonnées (a;f(a)).
Ainsi, x0=aet y0=f(a).
| |
−+
x0=ab
y0=f(a)
P0
Deuxième étape :On décide ensuite du nombre de points que l’on veut construire sachant qu’ils doivent être
uniformément répartis sur [a;b];
Si l’on en veut n, (P0, P1, P2,...,Pn−1), on découpe l’intervalle [a;b]en n−1intervalles de même longueur
(cette longueur étant alors nécessairement h=b−a
n−1) et on répartit alors les abscisses des points Pkréguliè-
rement dans l’intervalle [a;b]cad que la suite (xk)représente les premiers termes de la suite arithmétique de
raison het de premier terme x0=a.
On a ainsi ∀0≤k≤n−2, xk+1 =xk+het donc ∀0≤k≤n−1, xk=x0+kh.
| | | | | | |
−+
x0=a x1x2
h h hh . . .
xn−1=b
y0=f(a)
P0
Rq 1 : L’abscisse xn−1du dernier point Pn−1est bien égale à b:
En effet, xn−1=x0+ (n−1)h=a+ (n−1) b−a
n−1=a+b−a=b.
Rq 2 : nsera toujours choisi suffisamment grand pour que hsoit proche de 0.
Troisième étape : Il s’agit ensuite de déterminer la suite finie de réels (yk)(cad la suite des ordonnées des
points Pk) telle que ∀0≤k≤n−1, yk≈f(xk)
Comment définir cette suite ? On s’aide systématiquement de l’approximation affine locale.
fétant dérivable sur [a;b]et hétant choisi suffisamment proche de 0, on peut écrire pour tout entier kcompris
entre 0et n−2:
f(xk+h)≈f(xk) + hf′(xk)cad f(xk+1)≈f(xk) + hf ′(xk) (⋆)
Ensuite, tout dépend si l’on est dans le cas 1, cad si l’on connait f′ou si l’on est dans le cas 2, cad si l’on
connait une relation liant f′àfdu type f′=λf +µ.
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Supposons que nous soyons dans le cas 1 :
Cad qu’on connait l’expression de la dérivée : ∀x∈[a;b], f ′(x) = g(x)où gest une fct connue.
Alors en reprenant à partir d’(⋆), on a : ∀0≤k≤n−2, f (xk+1)≈f(xk) + hg(xk).
On définit alors la suite (yk)ainsi (y0=f(a)
∀0≤k≤n−2, yk+1 =yk+hg(xk)et on vérifie par un raisonnement
par récurrence que cette suite répond bien au pb d’Euler, cad ∀0≤k≤n−1, yk≈f(xk).
Pour k= 0,y0=f(a) = f(x0)donc la propriété est vraie au rang 0.
On suppose ensuite que la propriété est vraie pour un entier kcompris entre 0et n−2et on prouve qu’elle est vraie au rang k+ 1.
On suppose donc que yk≈f(xk)et on veut prouver que yk+1 ≈f(xk+1 ).
Or yk+1 =yk+hg(xk)donc yk+1 ≈f(xk) + hg(xk).
Or f(xk+1)≈f(xk) + hg(xk)donc yk+1 ≈f(xk+1).
D’où la propriété est vraie au rang k+ 1.
Elle est donc héréditaire et vraie au rang 0donc elle est vraie pour tt kcompris entre 0et n−1cad yk≈f(xk)
Interprétation géométrique :
Les points Pk(xk;yk)ainsi obtenus sont proches des points Mk(xk;f(xk)), situés sur Cf. En fait,pour k≥1,
chaque point Pkest situé sur la parallèle à la tangente à Cfen Mk−1, mais passant par Pk−1.
| | |
x0=ax1x2x3
| | || |
y0=f(a)P0
P1
M1P2
M2
P3
M3
Supposons que nous soyons dans le cas 2 :
Cad qu’on connait une relation liant f′àfdu type f′=λf +µoù λet µsont des réels connus.
Alors en reprenant à partir d’(⋆), on a : ∀0≤k≤n−2, f (xk+1)≈f(xk) + h(λf (xk) + µ)
cad f(xk+1)≈f(xk)(1 + λh) + µh.
On définit alors la suite (yk)ainsi (y0=f(a)
∀0≤k≤n−2, yk+1 =yk(1 + λh) + µh et on vérifie par un raisonnement
par récurrence que cette suite répond bien au pb d’Euler, cad ∀0≤k≤n−1, yk≈f(xk).
Pour k= 0,y0=f(a) = f(x0)donc la propriété est vraie au rang 0.
On suppose ensuite que la propriété est vraie pour un entier kcompris entre 0et n−2et on prouve qu’elle est vraie au rang k+ 1.
On suppose donc que yk≈f(xk)et on veut prouver que yk+1 ≈f(xk+1 ).
Or yk+1 =yk(1 + λh) + µh donc yk+1 ≈f(xk)(1 + λh) + µh.
Or f(xk+1)≈f(xk)(1 + λh) + µh donc yk+1 ≈f(xk+1 ).
D’où la propriété est vraie au rang k+ 1.
Elle est donc héréditaire et vraie au rang 0donc elle est vraie pour tt kcompris entre 0et n−1cad yk≈f(xk)
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Interprétation géométrique :
Les points Pk(xk;yk)ainsi obtenus sont proches des points Mk(xk;f(xk)), situés sur Cf. En fait,pour k≥1,
chaque point Pkest situé sur une droite passant par Pk−1et presque parallèle à la tangente à Cfen Mk−1.
| | |
x0=ax1x2x3
| || |
y0=f(a)P0
P1
M1
P2
M2
P3
M3
Quatrième étape : On place les points Pkde coordonnées (xk;yk)et on les relie par des segments. Cela donne
une ligne polygonale qui représent une approximation de la courbe Cf.
Remarque : Pour chaque pas hdiférent, on obtient alors une nouvelle ligne polygonale approchant la courbe de
la fonction f. A priori, plus le pas hest petit, plus la ligne obtenue est proche de la courbe de f; en fait, ce
n’est pas tt à fait exact : il existe un pas optimal.
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