Méthode d`Euler Niveau 1S et TS

TS - Lycée Desfontaines
Méthode d’Euler
Méthode d’Euler
Niveau 1S et TS
La méthode d’Euler (vue au lycée) est une méthode qui permet d’approcher par une ligne polygonale la
courbe représentative Cf d’une fonction f , (définie et dérivable sur un intervalle [a ; b]), dont on sait l’existence mais dont on ne connait pas l’expression algébrique mais dont on connait une valeur (en général f (a)) et
– Cas 1 : soit sa dérivée : f ′ = g où g est une fonction connue.
(et donc la fonction f inconnue est finalement une primitive de g)
– Cas 2 : soit une relation liant f ′ en fonction de f , du type f ′ = λf + µ où λ et µ sont des réels connus.
Cette méthode consiste à construire une suite finie de points (Pk ) de coordonnées respectives (xk ; yk ) telles
que les abscisses xk soient uniformément réparties sur [a ; b] et telles que yk ≈ f (xk ).
Cette méthode repose entièrement sur l’approximation affine locale.
Supposons que nous connaissons la valeur prise en a, cad f (a).
Première étape :On place le premier point P0 .
Le premier point P0 est le seul point connu de Cf ; c’est le point de coordonnées (a; f (a)).
Ainsi, x0 = a et y0 = f (a).
P0
y0 = f (a) −
+
|
|
x0 = a
b
Deuxième étape :On décide ensuite du nombre de points que l’on veut construire sachant qu’ils doivent être
uniformément répartis sur [a ; b] ;
Si l’on en veut n, (P0 , P1 , P2 , . . . , Pn−1 ), on découpe l’intervalle [a ; b] en n − 1 intervalles de même longueur
b−a
(cette longueur étant alors nécessairement h =
) et on répartit alors les abscisses des points Pk régulièn−1
rement dans l’intervalle [a ; b] cad que la suite (xk ) représente les premiers termes de la suite arithmétique de
raison h et de premier terme x0 = a.
On a ainsi ∀0 ≤ k ≤ n − 2, xk+1 = xk + h et donc ∀0 ≤ k ≤ n − 1, xk = x0 + kh.
P0
y0 = f (a) −
+
|
x0 = a
h
|
h
|
h
x1 x2
|
h
|
...
|
|
xn−1 = b
Rq 1 : L’abscisse xn−1 du dernier point Pn−1 est bien égale à b :
b−a
En effet, xn−1 = x0 + (n − 1)h = a + (n − 1)
= a + b − a = b.
n−1
Rq 2 : n sera toujours choisi suffisamment grand pour que h soit proche de 0.
Troisième étape : Il s’agit ensuite de déterminer la suite finie de réels (yk ) (cad la suite des ordonnées des
points Pk ) telle que ∀0 ≤ k ≤ n − 1, yk ≈ f (xk )
Comment définir cette suite ? On s’aide systématiquement de l’approximation affine locale.
f étant dérivable sur [a ; b] et h étant choisi suffisamment proche de 0, on peut écrire pour tout entier k compris
entre 0 et n − 2 :
f (xk + h) ≈ f (xk ) + hf ′ (xk ) cad f (xk+1 ) ≈ f (xk ) + hf ′ (xk )
(⋆)
Ensuite, tout dépend si l’on est dans le cas 1, cad si l’on connait f ′ ou si l’on est dans le cas 2, cad si l’on
connait une relation liant f ′ à f du type f ′ = λf + µ.
C.Gontard-C.David-H.Meillaud
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Méthode d’Euler
Supposons que nous soyons dans le cas 1 :
Cad qu’on connait l’expression de la dérivée : ∀x ∈ [a ; b], f ′ (x) = g(x) où g est une fct connue.
Alors en reprenant à partir d’(⋆), on(a : ∀0 ≤ k ≤ n − 2, f (xk+1 ) ≈ f (xk ) + hg(xk ).
y0 = f (a)
On définit alors la suite (yk ) ainsi
et on vérifie par un raisonnement
∀0 ≤ k ≤ n − 2, yk+1 = yk + hg(xk )
par récurrence que cette suite répond bien au pb d’Euler, cad ∀0 ≤ k ≤ n − 1, yk ≈ f (xk ).
Pour k = 0, y0 = f (a) = f (x0 ) donc la propriété est vraie au rang 0.
On suppose ensuite que la propriété est vraie pour un entier k compris entre 0 et n − 2 et on prouve qu’elle est vraie au rang k + 1.
On suppose donc que yk ≈ f (xk ) et on veut prouver que yk+1 ≈ f (xk+1 ).
Or yk+1 = yk + hg(xk ) donc yk+1 ≈ f (xk ) + hg(xk ).
Or f (xk+1 ) ≈ f (xk ) + hg(xk ) donc yk+1 ≈ f (xk+1 ).
D’où la propriété est vraie au rang k + 1.
Elle est donc héréditaire et vraie au rang 0 donc elle est vraie pour tt k compris entre 0 et n − 1 cad yk ≈ f (xk )
Interprétation géométrique :
Les points Pk (xk ; yk ) ainsi obtenus sont proches des points Mk (xk ; f (xk )), situés sur Cf . En fait,pour k ≥ 1,
chaque point Pk est situé sur la parallèle à la tangente à Cf en Mk−1 , mais passant par Pk−1 .
M3
b
b
P3
M2
b
b
M1
b
bP
y0 = f (a)
P2
1
bP
0
|
x0 = a
|
x1
|
x2
|
x3
|
Supposons que nous soyons dans le cas 2 :
Cad qu’on connait une relation liant f ′ à f du type f ′ = λf + µ où λ et µ sont des réels connus.
Alors en reprenant à partir d’(⋆), on a : ∀0 ≤ k ≤ n − 2, f (xk+1 ) ≈ f (xk ) + h(λf (xk ) + µ)
cad f (xk+1 ) ≈ f (xk )(1 + λh) + µh.
(
y0 = f (a)
On définit alors la suite (yk ) ainsi
et on vérifie par un raisonnement
∀0 ≤ k ≤ n − 2, yk+1 = yk (1 + λh) + µh
par récurrence que cette suite répond bien au pb d’Euler, cad ∀0 ≤ k ≤ n − 1, yk ≈ f (xk ).
Pour k = 0, y0 = f (a) = f (x0 ) donc la propriété est vraie au rang 0.
On suppose ensuite que la propriété est vraie pour un entier k compris entre 0 et n − 2 et on prouve qu’elle est vraie au rang k + 1.
On suppose donc que yk ≈ f (xk ) et on veut prouver que yk+1 ≈ f (xk+1 ).
Or yk+1 = yk (1 + λh) + µh donc yk+1 ≈ f (xk )(1 + λh) + µh.
Or f (xk+1 ) ≈ f (xk )(1 + λh) + µh donc yk+1 ≈ f (xk+1 ).
D’où la propriété est vraie au rang k + 1.
Elle est donc héréditaire et vraie au rang 0 donc elle est vraie pour tt k compris entre 0 et n − 1 cad yk ≈ f (xk )
C.Gontard-C.David-H.Meillaud
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Interprétation géométrique :
Les points Pk (xk ; yk ) ainsi obtenus sont proches des points Mk (xk ; f (xk )), situés sur Cf . En fait,pour k ≥ 1,
chaque point Pk est situé sur une droite passant par Pk−1 et presque parallèle à la tangente à Cf en Mk−1 .
M3
b
b
P3
M2
b
bP
2
M1
b
bP
y0 = f (a)
1
bP
0
x0 = a
|
x1
|
x2
|
x3
|
Quatrième étape : On place les points Pk de coordonnées (xk ; yk ) et on les relie par des segments. Cela donne
une ligne polygonale qui représent une approximation de la courbe Cf .
Remarque : Pour chaque pas h diférent, on obtient alors une nouvelle ligne polygonale approchant la courbe de
la fonction f . A priori, plus le pas h est petit, plus la ligne obtenue est proche de la courbe de f ; en fait, ce
n’est pas tt à fait exact : il existe un pas optimal.
C.Gontard-C.David-H.Meillaud
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