CHAPITRE I GENERALITES SUR LES ONDES

Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 2012
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Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences Kénitra Maroc
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CHAPITRE I
I.1- Onde Electromagnétique
On appelle onde électromagnétique (OE) le phénomène résultant de la propagation de
deux grandeurs vibratoires : le champ électrique
E
et le champ magnétique
B
.
On représente cette onde en tout point M de l’espace qu’elle atteint, à l’instant t, par le couple
de vecteurs (
E
(M, t) ;
B
(M, t)).
I.2- Onde Lumineuse
En optique, la lumière est décrite comme une perturbation de l’espace associée à la
présence d’un champ électromagnétique qui varie dans l’espace et dans le temps. La lumière
est donc une onde électromagnétique.
I.3- Equations de Maxwell
Ce sont quatre équations, aux dérivées partielles, du premier ordre, qui expriment des
relations entre les variations spatiales et temporelles des champs
E
et
B
. Elles s’écrivent dans
le vide parfait (en l’absence de toute charge et de tout courant) :
c étant la célérité de la lumière; c = 2.99792458 x 108m/s
Dans un milieu, autre que le vide, supposé homogène, transparent et isotrope (MHTI), la
vitesse de propagation est :
n
c
v
, n étant l’indice du milieu.
GENERALITES SUR LES ONDES
ELECTROMAGNETIQUES
0Ediv 
0Bdiv 
t
B
-Etro 
t
E
2
c
1
Btro 

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I.4- Equation de Propagation d’une OE
Pour établir l’équation vérifiée par le champ
E
seul, on élimine
B
en calculant:
)Erot(rot
. On obtient l’équation de propagation du champ électrique
E
:
Δ étant le Laplacien.
De la même façon, le calcul de
rot (rot B)
conduit à l’équation de propagation du champ
magnétique
B
:
0
t
B
c
1
-BΔ 2
2
2
Si, à l’instant t et au point M(x, y, z) d’un trièdre direct
)k,j,iO,(
, s(M, t) désigne l’une des
composantes du champ électromagnétique, on montre que :
2
1 s(M, t)
Δs(M, t) - s(M, t) 0
2 2
c t
□étant le d’Alembertien.
On remarque que
E
,
B
et s(M, t) vérifient la même équation dite équation de propagation des
ondes électromagnétiques ou tout simplement: équation d’onde.
I.5- Surface d’onde
On appelle surface d’onde Σtl’ensemble des points de l’espace représentant le même
état physique à un instant t donné, le champ électromagnétique étant le même sur cette
surface.
I.6- Onde Plane Progressive OPP
Une onde électromagnétique est qualifiée de plane lorsque ses surfaces d’onde sont à
tout instant t des plans. C’est le cas lorsque les coordonnées spatiales du champ
électromagnétique ne dépendent que d’un seul paramètre, z par exemple: l’onde se propage
alors selon l’axe des z. Appliquée à une onde plane se propageant selon cet axe, l’équation de
propagation se simplifie en une équation à une dimension :
0
t
E
c
1
-EΔ 2
2
2

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z
t)s(z,
2
2
-
t
t)s(z,
c
12
2
2
= 0
dont la solution générale s’écrit (voir T.D):
ou s(M, t) = f(
i.r
– ct) + g(
i.r
+ ct)
f et g étant deux fonctions arbitraires et
OMr 
.
La fonction f(z – ct) représente une onde plane dite progressive, c’est-à-dire se propageant
sans déformation dans un sens donné qui est dans notre cas le sens des z croissants.
La fonction g(z + ct) correspond à une onde plane progressive dans le sens des z décroissants.
La solution générale de l’équation d’onde à une dimension est donc une superposition de
deux ondes planes progressives en sens inverses.
Si la direction de propagation est définie par le vecteur
u
(Fig.I.1) et si la vitesse de
propagation est v, la solution générale s’écrit: s(M, t) = f(
u.r 
– vt) + g(
u.r 
+ vt)
Σtest définie par l’équation:
u.r 
=
OH
= Cte.
I.7- Onde Sphérique Progressive (OSP)
Dans ce cas, l’ensemble des points de l’espace représentant le même état physique, à
l’instant t, se trouve sur une surface sphérique. Les solutions de l’équation d’onde sont de la
forme (voir T.D) : s(r, t) = [f(r– ct) + g(r + ct)] / r
s(z, t) = f(z – ct) + g(z + ct)
Fig.I.1
Fig.I.1
Fig.I.2
Fig.I.2

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I.8- Structure d’une onde Plane dans le vide
On montre (voir T.D) que pour une onde plane se propageant dans le vide dans la
direction du vecteur unitaire
u
et à tout instant t:
- les champs
E
et
B
sont contenus dans le plan d’onde et constamment perpendiculaires ;
- leurs modules sont constamment proportionnels: E = cB ;
E
et
B
sont donc en phase ;
- (
E
,
B
,
u
) forme un trièdre direct (Fig.I.2).
On dit alors que l’onde lumineuse est une onde transversale.
I.9- Onde Plane Progressive Monochromatique OPPM
C’est une onde (dite aussi harmonique) caractérisée par une pulsation ω unique ou une
fréquence ν unique. Un cas particulier d’une OPPM se propageant à la vitesse v dans la
direction du vecteur unitaire
u
est une onde sinusoïdale de la forme:
s(z, t) = a cos k(vt - z) = a cos(ωt - φ)
l’origine des phases étant prise à l’origine des coordonnées; a est l’amplitude de l’onde; k est
une constante introduite pour que l’argument du cosinus soit sans unité; φ est la phase au
point M à t = 0.
Remarque
Pour simplifier les calculs, il est souvent plus commode d’utiliser la notation complexe: on
représente s(M, t) par la fonction:
z(M, t) = aej(ωt - φ) = ae-jφejωt
ae-jφ est l’amplitude complexe de l’onde.
On en déduit :
σ2π
λ
2π
vT
2π
v
ν2π
v
ω
K
;
r.Ku.r
λ
2π
λ
z2π
φ
;
λ est homogène à une distance, on l’appelle longueur d’onde: c’est la distance parcourue par
l’onde dans le milieu considéré, à la vitesse v, en une période T.
La lumière a donc une double périodicité :
- T: période temporelle ne dépendant que de la source de lumière;
- λ: période spatiale dépendant de la source et du milieu de propagation.
λ
1
σ
: est le nombre d’onde (ou pulsation spatiale);
K
: est le vecteur d’onde tel que le trièdre (
E
,
B
,
K
) est direct:
BωEK
;
u
λ
2π
K
λ = vT

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Remarque
Dans le vide, la longueur d’onde est: λ0= cT.
Dans un milieu homogène, isotrope et transparent, d’indice n, elle devient: λ = vT, si la
vitesse de l’onde est v dans ce milieu.
On en déduit la relation suivante:
n
λ
λ0
φ s’écrit alors :
L étant le chemin optique dans le milieu considéré.
En optique, on exprime généralement les longueurs d’onde en μm (1μ(micro) = 10-6). Ainsi,
le spectre visible (le domaine optique ayant pour détecteur l’œil humain) s’étend
approximativement du 0.380 à 0.780 μm.
Les tableaux ci-dessous donnent un ordre de grandeur de la longueur d’onde λodans le vide
des différents types d’ondes électromagnétiques et du spectre visible.
Ondes Électromagnétiques
domaine
Rayons γ
Gamma
Rayons X
UV
Ultra-
Violet
Visible
IR
Infrarouge
Micro-
ondes
Hertzien
λo
30 pm
30 nm
0,3 μm
0,6 μm
3 μm
cm, mm
mm, m,
km
(1p(pico) = 10-12 ; 1n(nano) = 10-9)
Spectre Visible
0,380 ≤ λo≤ 0,780
couleur
Violet
Indigo
Bleu
Vert
Jaune
Orange
Rouge
λo(μm)
0,40
0,43
0,48
0,54
0,58
0,60
0,65
Un ordre de grandeur : fréquence ν # 5 .1014 Hz correspond à λo= 0,60 μm.
L
λ
2π
nz
λ
2π
φ
00