CHAPITRE I GENERALITES SUR LES ONDES

Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CHAPITRE I
GENERALITES SUR LES ONDES
ELECTROMAGNETIQUES
I.1- Onde Electromagnétique
On appelle onde électromagnétique (OE) le phénomène résultant de la propagation de


deux grandeurs vibratoires : le champ électrique E et le champ magnétique B .
On représente cette onde en tout point M de l’espace qu’elle atteint, à l’instant t, par le couple


de vecteurs ( E (M, t) ; B (M, t)).
I.2- Onde Lumineuse
En optique, la lumière est décrite comme une perturbation de l’espace associée à la
présence d’un champ électromagnétique qui varie dans l’espace et dans le temps. La lumière
est donc une onde électromagnétique.
I.3- Equations de Maxwell
Ce sont quatre équations, aux dérivées partielles, du premier ordre, qui expriment des


relations entre les variations spatiales et temporelles des champs E et B . Elles s’écrivent dans
le vide parfait (en l’absence de toute charge et de tout courant) :

div E  0


B
rot E  t

div B  0

 1 E
rot B 
c 2 t
c étant la célérité de la lumière; c = 2.99792458 x 108 m/s
Dans un milieu, autre que le vide, supposé homogène, transparent et isotrope (MHTI), la
vitesse de propagation est : v  nc , n étant l’indice du milieu.
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
6
Kénitra Maroc
Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I.4- Equation de Propagation d’une OE


Pour établir l’équation vérifiée par le champ E seul, on élimine B en calculant:


rot (rot E) . On obtient l’équation de propagation du champ électrique E :

 1 2E
ΔE 0
c2  t2
Δ étant le Laplacien.
  
De la même façon, le calcul de rot (rot B) conduit à l’équation de propagation du champ

 1 2B

ΔB 0
magnétique B :
c2  t2
  
Si, à l’instant t et au point M(x, y, z) d’un trièdre direct (O, i , j , k) , s(M, t) désigne l’une des
composantes du champ électromagnétique, on montre que :
Δs(M, t) -
1 2s(M, t)
  s(M, t)  0
2
2
c
t
□ étant le d’Alembertien.


On remarque que E , B et s(M, t) vérifient la même équation dite équation de propagation des
ondes électromagnétiques ou tout simplement: équation d’onde.
I.5- Surface d’onde
On appelle surface d’onde Σt l’ensemble des points de l’espace représentant le même
état physique à un instant t donné, le champ électromagnétique étant le même sur cette
surface.
I.6- Onde Plane Progressive OPP
Une onde électromagnétique est qualifiée de plane lorsque ses surfaces d’onde sont à
tout instant t des plans. C’est le cas lorsque les coordonnées spatiales du champ
électromagnétique ne dépendent que d’un seul paramètre, z par exemple: l’onde se propage
alors selon l’axe des z. Appliquée à une onde plane se propageant selon cet axe, l’équation de
propagation se simplifie en une équation à une dimension :
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
7
Kénitra Maroc
Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 2s(z,t) - 1  2s(z,t) = 0
c2  t 2
 z2
dont la solution générale s’écrit (voir T.D):
s(z, t) = f(z – ct) + g(z + ct)
 
 
s(M, t) = f( r . i – ct) + g( r . i + ct)

f et g étant deux fonctions arbitraires et r  OM .
ou
La fonction f(z – ct) représente une onde plane dite progressive, c’est-à-dire se propageant
sans déformation dans un sens donné qui est dans notre cas le sens des z croissants.
La fonction g(z + ct) correspond à une onde plane progressive dans le sens des z décroissants.
La solution générale de l’équation d’onde à une dimension est donc une superposition de
deux ondes planes progressives en sens inverses.

Si la direction de propagation est définie par le vecteur u (Fig.I.1) et si la vitesse de
 
 
propagation est v, la solution générale s’écrit: s(M, t) = f( r . u – vt) + g( r . u + vt)
Fig.I.2
Fig.I.1
 
Σt est définie par l’équation: r . u = OH = Cte.
I.7- Onde Sphérique
Progressive (OSP)
Fig.I.1
Dans ce cas, l’ensemble des points de l’espace représentant leFig.I.2
même état physique, à
l’instant t, se trouve sur une surface sphérique. Les solutions de l’équation d’onde sont de la
forme (voir T.D) : s(r, t) = [f(r– ct) + g(r + ct)] / r
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
8
Kénitra Maroc
Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I.8- Structure d’une onde Plane dans le vide
On montre (voir T.D) que pour une onde plane se propageant dans le vide dans la

direction du vecteur unitaire u et à tout instant t:


- les champs E et B sont contenus dans le plan d’onde et constamment perpendiculaires ;


- leurs modules sont constamment proportionnels: E = cB ; E et B sont donc en phase ;
  
- ( E , B , u ) forme un trièdre direct (Fig.I.2).
On dit alors que l’onde lumineuse est une onde transversale.
I.9- Onde Plane Progressive Monochromatique OPPM
C’est une onde (dite aussi harmonique) caractérisée par une pulsation ω unique ou une
fréquence ν unique. Un cas particulier d’une OPPM se propageant à la vitesse v dans la

direction du vecteur unitaire u est une onde sinusoïdale de la forme:
s(z, t) = a cos k(vt - z) = a cos(ωt - φ)
l’origine des phases étant prise à l’origine des coordonnées; a est l’amplitude de l’onde; k est
une constante introduite pour que l’argument du cosinus soit sans unité; φ est la phase au
point M à t = 0.
Remarque
Pour simplifier les calculs, il est souvent plus commode d’utiliser la notation complexe: on
représente s(M, t) par la fonction:
z(M, t) = ae
jφ
ae-
j(ωt - φ)
jφ jωt
= ae- e
est l’amplitude complexe de l’onde.
On en déduit :
K
ω 2π ν 2π 2π



 2π σ
v
v
vT λ
;
φ
2π z 2π    

r .u  K . r
λ
λ
;
λ = vT
λ est homogène à une distance, on l’appelle longueur d’onde: c’est la distance parcourue par
l’onde dans le milieu considéré, à la vitesse v, en une période T.
La lumière a donc une double périodicité :
- T: période temporelle ne dépendant que de la source de lumière;
- λ: période spatiale dépendant de la source et du milieu de propagation.
1
: est le nombre d’onde (ou pulsation spatiale);
λ
 


  
K : est le vecteur d’onde tel que le trièdre ( E , B , K ) est direct: K  E  ω B ;
σ
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
9
 2π 
K
u
λ
Kénitra Maroc
Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Remarque
Dans le vide, la longueur d’onde est: λ0 = cT.
Dans un milieu homogène, isotrope et transparent, d’indice n, elle devient: λ = vT, si la
vitesse de l’onde est v dans ce milieu.
λ0
n
λ
On en déduit la relation suivante:
φ s’écrit alors :
φ
2π
2π
nz 
L
λ0
λ0
L étant le chemin optique dans le milieu considéré.
En optique, on exprime généralement les longueurs d’onde en μm (1μ(micro) = 10-6). Ainsi,
le spectre visible (le domaine optique ayant pour détecteur l’œil humain) s’étend
approximativement du 0.380 à 0.780 μm.
Les tableaux ci-dessous donnent un ordre de grandeur de la longueur d’onde λo dans le vide
des différents types d’ondes électromagnétiques et du spectre visible.
Ondes Électromagnétiques
domaine
λo
Rayons γ
Gamma
30 pm
UV
Rayons X
Ultra-
Visible
Violet
30 nm
0,3 μm
0,6 μm
IR
Micro-
Infrarouge
ondes
3 μm
cm, mm
Hertzien
mm, m,
km
(1p(pico) = 10-12 ; 1n(nano) = 10-9)
Spectre Visible
0,380 ≤ λo ≤ 0,780
couleur
Violet
Indigo
Bleu
Vert
Jaune
Orange
Rouge
λo (μm)
0,40
0,43
0,48
0,54
0,58
0,60
0,65
Un ordre de grandeur : fréquence ν # 5 .1014 Hz correspond à λo = 0,60 μm.
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
10
Kénitra Maroc
Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I.10- Etat de polarisation d’une OPPM
L’état de polarisation d’une onde caractérise la trajectoire décrite par l’extrémité du
champ électrique au cours de la propagation.
L’onde est dite polarisée rectilignement lorsque le vecteur champ électrique garde une
direction déterminée. C’est le cas d’une OPPM se propageant selon l’axe des z par exemple
(Fig.I.3).


Le plan défini par le champ électrique E et le vecteur d’onde K est appelé : plan de
polarisation.
Fig.I.3

Dans le cas général, le champ E peut être considéré comme la somme de deux champs


électriques perpendiculaires E x et E y d’amplitudes a et b et déphasé l’un de l’autre de Φ :


E x = a cosωt i


E y = b cos(ωt - Φ) j

La trajectoire décrite par l’extrémité de E est donnée par l’équation suivante :
2
2
ExEy
 Ex   Ey 
cos  sin2
    - 2
ab
 a   b 
C’est en général une ellipse inscrite dans le rectangle de côtés 2a et 2b (Fig.I.4) et dont les
axes OX et OY sont inclinés d’un angle α sur Ox et sur Oy respectivement.
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
11
Kénitra Maroc
Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Fig.I.4
Fig.I.5
Selon les valeurs de Φ et des amplitudes a et b, l’onde est polarisée elliptiquement,
circulairement ou rectilignement (Fig.I.5).
Cas particuliers :
1) Φ = 0 et a = b: la polarisation est rectiligne.
2) Φ =
π
3π
et Φ =
avec en plus a = b: l'ellipse devient un cercle, la polarisation de l’onde
2
2
est donc circulaire :
Φ=
π
: polarisation circulaire gauche
2
;
Φ=
3π
: polarisation circulaire droite.
2
Remarque
La lumière naturelle (polychromatique) est une superposition d’OPPM dont les champs
électriques sont déphasés d’une manière aléatoire. L’extrémité du champ électrique résultant
décrit alors une trajectoire quelconque: l’onde est donc dite non polarisée.
I.11- Intensité d’une onde lumineuse
Les récepteurs de lumière (œil, plaque photographique,…) ne sont pratiquement
sensibles qu’à la moyenne sur le temps du carré du champ électrique (puisque E = cB) en
raison de la très faible valeur de la période des ondes lumineuses (de l’ordre de 10-15 s). On
appelle cette moyenne: intensité lumineuse I (ou éclairement). C’est une grandeur
proportionnelle à l’énergie transportée par l’onde (voir cours d’électromagnétisme) donc

directement mesurable: I = < | E |2 >
Ainsi, pour une onde monochromatique de fonction d’onde: s(M, t) = acos(ωt – φ)
l’intensité est définie à un facteur multiplicatif près par :
I = a2
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
12
Kénitra Maroc
Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ce n’est donc que le carré de l’amplitude de l’onde considérée. C’est cette définition qui est
adoptée dans ce cours.
Remarque 1
On définit différentes grandeurs énergétiques d’une onde lumineuse selon que l’on s’intéresse
à la source de lumière ou au récepteur de cette onde. Ainsi, l’intensité (en candela) est définie
comme étant le flux lumineux émis dans un certain angle solide de la source alors que
l’éclairement (en lux) représente ce flux reçu sur une certaine surface du récepteur ; ces deux
grandeurs sont proportionnelles à l’énergie moyenne rayonnée, elle-même proportionnelle à la

moyenne < | E |2 >.
Remarque 2
Dans un milieu d’indice n, l’intensité est par définition: I = na2
I.12- Réflexion et réfraction d’une OPPM - Coefficients de réflexion et de transmission

Lorsqu’une OPPM dont le champ électrique (champ incident E i et vecteur d’onde


 

avec φi = K i . ri
K i ) s’écrit : E i = ai cos(ωt – φi) ei
tombe sur un dioptre plan séparant deux milieux diélectriques d’indices n1 et n2, elle se
décompose en deux ondes de même pulsation ω.
ωt - K

 . r ) e
- une onde réfléchie correspondant au champ électrique: E r  a r cos(
r
r
ωt - K

 . r ) e
- une onde transmise correspondant au champ électrique: E t  at cos(
t
t
avec : Ki = Kr = n1K0 et K2 = n2K0
;
K0 
2π
λ0
On définit les coefficients de réflexion r et de transmission t relatifs aux amplitudes par :
a
r r
ai
;
a
t t
ai
On les exprime en fonction des indices des milieux (voir cours d’électromagnétisme) par les
expressions suivantes:
n -n
r 1 2
n1  n 2
t
2n 1
n1  n 2
Lorsque la transmission de la lumière se fait dans le milieu n2.
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
13
Kénitra Maroc
Prof. H. NAJIB
Optique Physique
Version 3 : juillet 2012
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
On remarque que: - t est toujours positif,
- r est négatif si n1 < n2, ce qui se traduit par un déphasage de π de l’onde
réfléchie par rapport à l’onde incidente.
Remarque
Si on considère les coefficients relatifs à chaque face (sup et inf) du dioptre, on écrit :
r = r1.r2
et
t = t1.t2
2 n1n 2
Dans ce cas : r1  n1 - n 2   r2 et t 
n1  n 2
n1  n 2
I.13- Composition de deux ondes monochromatiques synchrones
Les trois méthodes de composition :
-
Méthode trigonométrique
-
Méthode des nombres complexes
-
Méthode de Fresnel
seront traitées en TD.
Univ. Ibn Tofaïl / Fac. Sciences
14
Kénitra Maroc