1.12 L’entropie du rayonnement
L’entropie du rayonnement est une grandeur utile en cosmologie pour
étudier l’histoire thermique de l’univers et la phase de l’inflation. La première
loi de la thermodynamique s’écrit
δQ = dU+ dτ= dU+PdV, (1.56)
δQ est l’énergie donnée au système et dτest le travail fourni par le système.
La deuxième loi de la thermodynamique s’écrit
dS=δQ
T.(1.57)
Considérons un milieu où le rayonnement domine P=Prad =1
3u=1
3aT 4,
TdS= d(uV ) + PdV= 4aT 3VdT+4
3aT 4dV(1.58)
dS= d 4
3aT 3V=S=4
3aT 3V(1.59)
On a posé la constante d’intégration égale à zéro. L’entropie par unité de
volume est s=4
3aT 3
Cherchons maintenant le lien entre l’entropie du rayonnement et le nombre
de photons dans un volume donné.
QUESTION 16 : Montrer qu’à l’équilibre, le nombre de photons
par unité de volume avec une longueur d’onde entre λet λ+ dλ
vaut
dnγ(λ) = 8π
λ4
dλ
exp hc
λkT 1.(1.60)
Utiliser la relation duν=4πIν
cdν, la fonction de Planck et le fait
que c=λν.
Le nombre total de photons par unité de volume est
nγ=Z
0dnγ= 0.37aT 3
k
photons
cm3.(1.61)
Dans un volume Vdonné, l’entropie vaut
S=4
3
k
0.37nγV=4
3
k
0.37Nγ.(1.62)
34
Dans un volume donné, l’entropie est proportionnelle au nombre
de photons qu’il contient.
QUESTION 17 : Que vaut l’entropie d’un mélange de gaz et
de photons ? Supposer que le gaz obéit à la loi des gaz parfaits.
Dans ce cas l’énergie U=3
2NkT +aT 4Vet P=N
VkT +1
3aT 4.
On trouve dans ce cas que
S=4
3aT 3V+Nk ln(T3/2V) = 3.604knγV+Nk ln(T3/2V).
(1.63)
Dans un volume donné, lors d’un changement de température, l’entropie varie
essentiellement avec le nombre de photons.
Les étoiles par leur rayonnement évacue de l’entropie dans le milieu inter-
stellaire 7. Ce rayonnement a un effet négligeable sur l’entropie de l’univers.
L’ entropie de l’univers demeure donc constante au cours de l’expansion.
QUESTION 18 : Calculer le nombre de photons par cm3associé
au rayonnement cosmique et la densité (par exemple en g cm3)
qui peut être associée à ce rayonnement.
7Cette émission d’entropie modifie l’entropie à l’intérieur de l’étoile. Son entropie dans
les régions intérieures diminue au cours du temps.
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Domaine Densité d’énergie Densité en nombre
de longueur d’onde de rayonnement [eV/m3] de photons [m3]
radio 5×102106
micro-ondes 3×1055×108
infra-rouge ? ?
visible 2×103103
ultra-violet ? ?
rayons X 75 3×103
rayons γ25 3×106
Tab. 1.2 – Densité d’énergie et densité en nombre de photons de rayonne-
ments dans différents domaines de longueur d’onde. Ce ne sont que des ordres
de grandeur (Longair, cours de Saas-Fee 1995).
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Chapitre 2
Transfert d’énergie rayonnante
Le transport de l’énergie dans un milieu peut se faire essentiellement par
trois moyens
L’énergie peut être transportée par le rayonnement électromagnétique,
on parle alors de transfert radiatif.
L’énergie peut être transportée par le mouvement macroscopique de la
matière, il s’agit du transfert convectif.
L’énergie peut être transportée par le mouvement microscopique de
la matière, plus précisément par le mouvement des électrons, on parle
alors de transport par la conduction.
Ces transferts auront toujours tendance à égaliser la température, c’est-à-dire
à transporter de l’énergie des régions plus chaudes aux régions plus froides.
Lorsqu’un état stationnaire est atteint, c’est-à-dire lorsque les températures
ont atteint leur valeur d’équilibre, on obtient, selon le mécanisme de transport
dominant (radiatif, convectif ou conductif) des gradients de température dif-
férents. C’est à la recherche de ces gradients de températures que s’attache le
présent chapitre, ainsi qu’à la recherche des conditions dans lesquelles chacun
de ces trois mécanismes domine.
L’équation de transfert est une équation qui exprime le fait que la diffé-
rence d’énergie entre l’énergie qui sort d’un élément de volume et l’énergie
qui y pénètre est égal à l’énergie produite dans l’élément de volume moins
l’énergie absorbée dans l’élément de volume. Dans le cas du transfert radia-
tif, cette équation nécessite donc de connaître les coefficients d’émission et
d’extinction du rayonnement.
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2.1 Coefficient d’extinction
I I
ds
ρ κν
νν (0) (ds)
Fig. 2.1 – Le rayonnement traverse une plaque d’épaisseur ds, de densité ρ.
L’équation 2.1 définit le coefficient d’absorption κν.
Lorsqu’ un rayonnement traverse de la matière, il subit une atténuation
dIνproportionnelle à Iνet à la densité de colonne ρds. Le coefficient κν, tel
que
dIν=κνIνρds(2.1)
est le coefficient d’extinction . Ses unités sont des cm2/g. Il résulte de divers
processus physiques intervenant dans le milieu (voir chapitre 3). Si κνet ρ
sont constants dans le milieu, on a
dIν
ds=κνρIν=Iν(s) = Iν(s0)eκνρ(ss0).(2.2)
La quantité l=1
κνρ, qui est la distance après laquelle l’intensité est réduite
d’un facteur e, est le libre parcours moyen. Dans l’intérieur du Soleil lvarie
entre 0.01 et 1 cm.
L’énergie absorbée lorsque le rayonnement a un angle d’incidence θest
dUabs
ν=|dIν|dνdσcos θdΩdt(2.3)
=κνρIνdνdsdσcos θdΩdt. (2.4)
Comme ρdsdσcos θest la masse traversée dm, on a
dUabs
ν=κνIνdνdmdΩdt. (2.5)
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