Résumé des résultats essentiels dans la théorie des

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
ALEXANDER GROTHENDIECK
Résumé des résultats essentiels dans la
théorie des produits tensoriels topologiques
et des espaces nucléaires
Annales de l’institut Fourier, tome 4 (1952), p. 73-112
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RESUME DES RESULTATS ESSENTIELS DANS LA THEORIE
DES PRODUITS TENSORIELS TOPOLOOIQUES
ET DES ESPACES NUCLÉAIRES
par A. GROTHENDIECK.
INTRODUCTION (*)
Sujet. — Cet article est destiné à donner un résumé, sans
démonstration, des principaux résultats contenus dans mon travail
« Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires » qui sera
publié dans les Mémoirs of thé Amer Math. Society (travail auquel
je réfère comme PTT). Dans PTT prédominait le souci d'être
exhaustif, tant pour traiter toutes les questions que posaient les
sujets traités, que pour ramener les résultats les moins faciles à des
théorèmes aussi généraux que possible. Aussi ce travail est-il assez
touffu et les idées simples importantes risquent-elles d'être parfois
obscurcies par les détails techniques. C'est pourquoi ce résumé
expurgé n'est peut-être pas inutile pour donner un aperçu plus
facilement assimilable de la théorie. Quelques compléments, inté-
ressants mais non nécessaires pour la compréhension générale de ce
résumé, ainsi que parfois des indications sur certaines démonstrations,
ont été placés entre des astérisques, comme * ... ^.
L'importance des produits tensoriels topologiqnes se manifeste
dans diverses directions :
a) La notion de produit tensoriel topologique est à la base d'une
bonne formulation générale et simple de la théorie de Fredholm,
englobant en plus du cas classique d'un opérateur intégral défini
par un noyau continu, beaucoup d'autres opérateurs définis dans les
espaces fonctionnels les plus importants (2). Je donnerai ailleurs un
développement systématique de cette théorie, qui est seulement
effleurée dans ce travail.
6) Les diverses variantes de la notion de produit tensoriel topo-
logique donnent lieu par dualité à la définition d'autant de classes
remarquables de formes bilinéaires et d'opérateurs linéaires, dont
(1) Les numéros entre crochets renvoient à la bibliographie placée à la fin de cet article.
(>2) Une telle formulation de la théorie de Fredholm semble avoir été aperçue pour la
première fois par A. Ruston, Direct Product of Ranach spaces and linear functional équa-
tions, Proc. ofthe London Math. Soc., (3), i, 1901. Mon travail sur ce sujet avait été conçu
indépendamment du sien (en automne i9&i), et en est assez différent.

7^4 GKOTUENDIECK
l'étude est seulement amorcée dans PTT, chap. i, ^ 4. En particu-
lier, les techniques exposées à cet endroit, convenablement systé-
matisées et exploitées, permettent d'obtenir des résultats tout à fait
inattendus dans la théorie des transformations linéaires entre des
espaces L1, L2 et L00 et leurs analogues vectoriels-topologiques
(résultats qui à l'heure actuelle ne sont pas encore définitifs, et pour
cette raison non publiés). Je pense revenir sur ce sujet, et me borne
à signaler, dans une voie assez différente, le travail systématique de
von Neumann-Schatten sur les classes remarquables d'opérateurs
compacts dans un espace de Hilberfc [8], chap. !\.
r) Du point de vue du travail actuel, la plus importante applica-
tion des produits tensoriels topologiques est la théorie des espaces
nucléaires. On y parvient à expliquer, à généraliser de façon étendue,
et à préciser en même temps le fameux (( théorème des noyaux »
de L. Schwartz, et de plus on trouve des propriétés nouvelles jusque
dans les espaces les plus classiques. Ici le calcul tensoriel topologique
prend son maximum de simplicité, car la plupart des variantes de
la notion de produit tensoriel topologique coïncident, et leurs pro-
priétés par suite s'ajoutent. Pour l'instant, les applications des
théorèmes généraux que nous obtenons à des théories particulières
ne sont pas encore nombreuses. La plus intéressante semble une
variante vectoriel-topologique du « théorème de Kùnneth », donnant
Fhomologie d'un complexe défini comme produit tensoriel de deux
complexes, variante qui semble utile en Topologie algébrique.
d) De façon générale, il me semble que les notions de produit
tensoriel topologique sont-tout indiquées pour fournir un langage
suggestif et maniable, qui a intérêt à être utilisé dans beaucoup de
situations en Analyse fonctionnelle, d'autant plus que nous avons à
notre disposition des théorèmes (dont certains non triviaux) pour
tirer profit de ce langage. J'espère que ce résumé, ou mieux le
travail PTT, arrivera à donner au lecteur une impression analogue,
avant la publication des articles promis ci-dessus.
Terminologie et notations. — De façon générale nous suivons la
terminologie et les notations de [3], sauf que nous appelons réflexifs
les espaces appelés semi-réflexils dans [3j. Nous n'envisageons, sauf
avis contraire, que des espaces localement convexes et séparés ; par
espace quotient d'un espace E, nous entendons le quotient de E
par un sous-espace vectoriel fermé. Le dual de E, noté E', est sup-
posé sauf avis du contraire muni de la topologie forte (t. e. la topo-

THEORIE DES PRODUITS TENSORIELS 73
logie de la convergence bornée). Le dual de E', ou bidual de E,
noté E", sera muni sauf avis du contraire de la topologie de la
convergence uniforme sur les parties équicontinues de E', topologie
qui induit donc sur E la topologie initiale. Il nous arrivera de faire
appela des notions définies et étudiées dans [6], et notamment à la
notion d'espace (2)^). Il nous suffira ici de savoir que le dual d'un
espace (Î) est un espace (3)^), que tout espace norme est un espace
(®^), enfin que le dual d'un espace (^f) est un espace (<?).
Soient E, F, G des espaces localement convexes. B(E, F; G)
(resp. A(E, F; G)) désigne l'espace des applications bilinéaires
continues (resp. séparément continues, i. e, continues par rapport à
chaque variable) de E X F dans G, L(E; F) désigne l'espace des
applications linéaires continues de E dans F. i^(.E,, F,) désigne
l'espace des formes bilinéaires séparément continues sur le produit
des duals faibles E, et F, de E et F, muni de la topologie de la
convergence biéquicontinue, i. e. la topologie de la convergence
uniforme sur les produits d'une partie équicontinue de E' par une
partie équicontinue de F'. Cet espace est complet si et seulement si
les espaces E, F sont complets.
On appelle application linéaire bornée (jresp. compacte, resp. faible-
ment compacte) de E dans F, toute application linéaire de E dans F trans-
formant un voisinage convenable de 0 en une partie bornée (resp.
relativement compacte, resp. relativement faiblement compacte) de F.
Pour abréger, si E est un espace vectoriel, nous appelons disque
ou ensemble disque dans E, une partie convexe et cerclée de E(3).
Soit E un espace localement convexe, A un disque borné de E, on
désigne par E^ l'espace vectoriel engendré par A, muni de la norme
||a?[|^:=Inf|^|. Si A est fermé alors la boule unité de E^ est A. Si A
a:€XA
est complet, alors E^ est complet. Soit V un voisinage disque de 0
dans E, Ey désignera l'espace norme obtenu par passage au quotient
à partir de la semi-norme ||.r[|y==Inf|>J.
xe\\
Rappelons qu'un espace localement convexe est dit quasi-complet
si ses parties fermées et bornées sont complètes, tonnelé (resp. quasi-
tonnelé) si les parties bornées de son dual faible (resp. de son dual
fort) sont équicontinues, bornologique si tout ensemble de formes
linéaires sur E, uniformément bornées sur toute partie bornée, est
équicontinue. Si E est quasi-complet, tonnelé équivaut à quasi-
tonnelé; en tout cas bornologique implique quasi-tonnelé.
(^ Cette teiiniiiolùgie in'u ('te î>ug^réo par R.E. Edwanla.

CHAPITRE PREMIER
PRODUITS TENSORIELS TOPOLOOIQUES
t. Généralités sur E§F (PTT chap. i, § i, n° i et n° 3). — La
définition axiomatique du produit tensoriel algébrique E <8) F de deux
espaces vectoriels E et F, et de l'application bilinéaire canonique
(x, y)—^x(S)y de E X F dans E® F, [i], pose que pour tout espace
vectoriel G, les applications bilinéaires de E X F dans G corres-
pondent biunivoquement aux applications linéaires y* de E^F dans
G, lorsqu'à / on fait correspondre l'application (rc, y)—^f(x^y).
THÉORÈME i. — Si E et F sont deux espaces localement convexes,
alors on peut munir E 0 F d'une topologîe localement convexe et
d'une seule, telle que pour tout espace localement convexe G, les
applications bilinéaires continues de E X F dans G correspondent
exactement aux applications linéaires continues de E ® F dans G.
Alors les parties équicontinues de B(E, F ; G) et de L(E ® F ; G) se
correspondent aussi exactement. Sauf mention du contraire, E®F
sera supposé muni de la topologie précédente, appelée produit ten-
soriel projectif des topologies de E et F; muni de cette topologie,
E <8 F prend le nom de produit tensoriel topologique projectif de E
et F.
Si E et F sont normes, E0 F est normable, et on peut même y
trouver une norme et une seule telle que, pour tout espace norme G,
risomorphisme ci-dessus entre B(E, F ; G) et L(E ® F ; G) conserve
les normes naturelles. Cette norme sur E 0 F, notée u-^||u||i quand
les normes de E et F sont sous-entendues, est la borne inférieure des
quantités S | M 11 Ml ' pour toutes les représentations de u ^ous la
(
forme u==^a?,0^ (norme déjà considérée dans [8]). C'est aussi la
i
jauge de l'ensemble r(U 0V), où U (resp. V) est la boule unité de E
(resp. F), et où U Ç^ V désigne l'ensemble des x^y avec acçU. y^\