Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
A. G ROTHENDIECK
Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires
Séminaire N. Bourbaki, 1951-1954, exp. no 69, p. 193-200
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Séminaire BOURBAKI
(Décembre 1952)
NUCLÉAIRES
PRODUITS TENSORIELS TOPOLOGIQUES ET ESPACES
par A. GROTHENDIECK
Les espaces vectoriels
Si
E
est
topologie
tel espace,
(resp.
désigne E
faible, E’ désigne le dual fort de E. Si
B(E, F)
Soit
A
une
A , muni
par
(resp. E’)
l’espace
des formes bilinéaires continues
des formes bilinéaires
l’espace
x
est
partie bornée
convexe
de la
~x Il
cerclé de 0 dans
E,
Ev
cerclée de
inf|03BB| .
E
muni de la
sont des espaces
F
sur
continues.
EA désigne l’espace engendré
E,
V
désigne l’espace normé qui
se
=
et
séparément
Soit
norme
séparés.
et
convexes
Er)
E
un
localement convexes,
E
topologiques envisagés sont localement
un
voisinage
convexe
déduit par passage
au
quotient de la semi-norme qui correspond à V .
1. Produits tensoriels
1. Définitions
et
E
F
topologiques.
générales. - (La
définition qui suit est due à R.
deux espaces de Banach. Il existe sur E ® F une norme
SCHATTEN).
~~l
Soient
et
seule telle que pour tout espace de Banach G, les applications bilinéaires
continues de E x F dans G correspondent exactement aux applications linéaires
une
continues de
Le
complété
de
à
E
et
E e F
de
dans
avec
pour cette
E 0 F
F ~ noté
G~
E e F.
conservation des
norme sera
Le dual de
E®
normes.
appelé produit
F
On
a
pour
u ~
tensoriel normé
s’identifie donc,
avec’ 8a
complété
.norme,
l’espace B(E , F) .
On
peut aussi condidére;r sur E@F la norme induite par l’espace B~E~ ~ F’)
des formes bilinéaires continues sur E’ x F’ , norme plus petite donc topologie
moins fine ; le complété pour cette norme est noté
Toute topologie localement
convexe raisonnable sur
sera
entre
les
deux topologies précédentes.
E0 F
comprise
E~F.
Soient
E ,
F
deux espaces localement convexes, il existe
sur
EOF
une
topologie localement convexe uniq ue T telle que pour tout espace localement
convexe
G ~ les applications bilinéaires continues de E x F dans G correspondent
exactement aux applications linéaires continues de E 0 F dans G. Alors aux
ensembles équicontinue d’applications bilinéaires correspondent les ensembles
193
équicontinus d’applications linéaires.
fondamentale de voisinage de 0 dans E
(enveloppe
).
yE1
cercléede l’ensemble
convexe
système
est une famille
(resp. (V.))
J
les
ensembles 0393 (U. ~ V.)
(resp. F),
J
des x B;J
avec
x EU. ,
forment
V.)
~y ,
1
J
(Ui)
Si
fondamental de
voisinage de 0 dans E ~ F . T est appelé le produit
tensoriel projectif des topologies données sur E , F , et le complété de E ® F
pour T , noté E ® F , est appelé produit tensoriel topologique projectif complété
un
de
E
.et
F . Le dual de
de
équicontinues
Sur
du dual
E (~ F ,
E’
de
de la
une
par
est noté
E ~F
et si
et
Soient
Fredholm de
sont
fort,
(alors
les
E’
topologie induite
séparément
faiblement continues
par
E’
sur
complets,
un
isomorphisme topologique
x
dans:
E
® F..~ (E’ , F’)
deux espa.ces localement convexes, on appelle application de
dans F une application linéaire définie par un élément d’un
E
où
A
est
une
partie bornée
cerclée
convexe
partie bornée convexe cerclée de F telle que
peut même supposer A et B compacts). Si E et
une
on
p arties
F
FB ,
B
formes bilinéaires.
~ E
F
n
espa,ce
aux
l’espace ~(ES
~ s , F’)
s
F’ , muni de la
convergence uniforme sur les produits d’une partie équicontinue
part3e équicontinue de F’ ("convergence équicontinue"),le complété
n
. On a une application linéaire continue canonique E
F
F
et
E
les
.~"
~
E
l’espace B(E, F)
ensembles équicontinus de
est donc
aussi considérer la
des formes bilinéaires
topologie
F
correspondeent
peut
on
E
applications de Fredholm de E dans F
Ci F . Z®s applications- de Fredholm de E
sont celles
E
dans
théorie de Fredholm. Le théorème q ui suit donne
une
complète
soit
FB
F
complet
Banachs,
les éléments
sont des
défini,es par
forment le
E’
de
champ
de
naturel de la
représentation concrète
de
ces
opérateurs.
2. Cas
particuliers.
THÉORÈME
lee
1. - Si
éléments
E
on
F
deE F sont
suites bornées dans
EF,
l1 .
et
E, F ,
peut prendre
sont du
ceux
et
t,yQe
(F) ,
E
QF
qui sont de la forme
03A3|03BBi|1
(xi) , (yl)
+
ao .
fixes et
Si
u
(03BBi)
est du
u
=
(F) ,
type
et
03A303BBi xi ~ yi (xi) , (yi)
parcourt un compact de
parcourant un compact de
n
Q F s’’identifie au dual de B (E , F) pour la topologie de la
convergence compacte, ou pour la topologie de la convergence uniforme sur les
produits d’un compact de E par un faiblement compact de F ~ ou d’un faiblement
compact de E par un compa,ct de F .
Par
suite,
THÉORÈME
E
2. -- Soit
.............
compact,
norme
à
et soit
E
h1 ( )
un
L1E( )
construit
sur une
espace de Banach. Alors
dés fonctions
mesure
1
l~
L1( )
sommables
sur un
espace localement
E
iSomorphe
est
â valeurs dans
E
J
avec
sa
Généralisation
évidente q uand
est
E
espace localement
un
convexe
quelconque. (Théorème
de
Dunford-Pettis).
les espaces
L’analogue pour
est
E
Si
un
00.)
+
est faux .
E’
espace de Hilbert, les éléments de
opérateurs de
partiellement
E ,
ou
E ~ sont les opérateurs de la forme U H, U
isométrique, H hermitien positif complètement continu avec une suite de valeurs
propres sommable (opérateurs étudiés par DIXMIER, SCHATTEN).
Fredholm dans
plus importants portent sur les espaces nucléaires (voir paraexemple, on a ~(V) ® E = ~,(V , E) (théorème des noyaux) (V ,
graphe 2).
E =-~V , E)
variété indéfiniment différentiable),
(V ~ variété
Les
exemples
les
Par
~(V) Q
holomorphe), (,c~) ® E =
ble
Rn
sur
(,~‘)E ((~) ,
à décroissance
rapide,
différentia-
espace des fonctions indéfiniment
(,~)E
espace de telles fonctions à valeurs dans
E),etc.
d’applicati.ons linéaires. -
3. Profit tensoriel
(i
calement convexes,
dans
F..
est
un
F.@(pour
E1
E2
sur
si
E. © E2
ui
dans
i = 1 ~ 2) ~
sur un
et
une
E2
alors
ul
C~
U2 comme
de
Ei
est
u2
sur un
un
sous-espace vectoriel dense de
sont du
E-
type
(~) ,
des espaces lo-
continue de
application
F1@
une
El 3 E2
aussi de
ou
E. , F.
application linéaire
façon évidente
homomorphisme topologique
E.
suivant).
1 , 2)
On définit de
continue de
ui
=
Soient
Ei
linéaire
Si
dans
sous-espace vectoriel dense de
de
homomorphismedonctopologique
homomorphisme
F 1 â F2 ’
un
qui est souvent utile (voir alinéa
général
isomorphismes topologiques
ce
produit tensoriel de deux
n’est en
E
dans F1 F . Pour E 0 E
â
pas un isomorphisme topologique de E
E1 E2z et
F1 F2 .
El E2
pas un c’est l’inverse : le produit
tensoriel de deux isomorphismes est un
F1 ® Fz ,
isomorphisme. le produit tensoriel de deux homomorphismes sur n’est pas un homomorphisme. Cela nous amène à distinguer au paragraphe 2 le cas où E F = E F .
Le
°
APPLICATIONS. - Une fonction vectorielle indéfiniment
porphe, ou
E du type
Si
D
sommable
est
(~) ,
un
différentiel
D 0
dans
dans
t(V) (resp. df(v»
(resp. holomorphe), qui
isomorphisme topologique,
1
holo-
prenant ses valeurs dans un espace quotient d’un espace
provient d’une fonction analogue, à valeurs dans E .
variété indéfiniment différentiable
ou un
ou
...
opérateur différentiel
topologique,
différentiable,
en
un
est de même de
V
est
une
homomorphisme
l’opérateur
(resp. ~(V ~ E)) des fonctions
(resp. holomorphes) sur V, à valeurs
l’espace ~(V , E)
vectorielles indéfiniment différentiable
il
est
où
dans
un
espace localement
sur, et si
Soit
f
E
une
(1),
type
est du
convexe
type
E
quelconque ; si D est un homomorphisme
D@ 1 est un homomorphisme sur.
application d’une partie fermée
telle que
pout
tout
E’ ,
K
de
V
dans
x’ >
restriction d’une fonction scalaire indéfiniment différentiable
définie
sur
tout
V ;3
alors
indéfiniment différentiable
2.
f
espace E
un
la fonction
du
soit la
(resp. holomorphe)
est la restriction d’une fonction vectorielle
(resp. holomorphe)
définie
sur
tout
V, eto.
Espaces nucléaires.
1. Caractérisations des espaces nucléaires.
DEFINITION 1. - Un espace localement
espace localement
à la
E
E,
connexe
si la
topologie
topologie de la
de
on a
convergence
topologique)
=
équicontinue
complété
son
3. - Les conditions suivantes
E’
sur
sur
E
E @
sur
F
est
identique
F’ .
x
l’est.
sont
équivalentes :
est nucléaire.
E
a.
E ~ F E (~ F (isomorphisme
produit tensoriel projectif
est nucléaire si et seulement si
THÉORÈME
est dit nucléaire si pour tout
E
convexe
b. La condition de la définition ci-dessus est vérifiée pour tout espace de
Banach F. Il suffit même de prendre pour F un seul espace de Banach convenablement
choisie
par
exemple
cation
B
F
=
t1 ,
est
et il suffit de supposer dans chaque
isomorphisme faible.
c. Pour toute partie équicontinue convexe cerclée A
telle que l’application canonique de
E’ dans
cas
que
l’appli-
un
de
E’ ,
soit
Ep
en
un
existe
une
opérateur
autre
de
Fredholm.
application linéaire continue u de E
provient d’une application de Fredholm d’un espace
d. Toute
convexe
Sous
sont
cerclé convenable de 0 dans
ces
conditions, E ® F
compléta,
on a
aussi
dans
un
_EV ,
où
espace de Banach
V
est
un
donc si
E
G ~
voisinage
E .
est denee
dans ~6 (E’ ~ F’) ,
et
F
E ~ F = ~(ES ,
et d.
prennent, quand E est quasi-tonnelé, la forme plus simple : toute
plication linéaire continue de B dans un espace de Banach est une application
Fredholm. Toute application linéaire continue d’un espace de Banach dans E’
c.
est
une
application de Fredholm.
apde
COROLLAIRE 1.. - Si
partie équicontinue
est
où B
A
nucléaire,
est
E’
de
E
est
E
est
convexe
précompacte.
"espace
un
est relativement
partie équicontinue
une
partie bornée de
et même du type
En
E
compacte dans
cerclée de
Si donc
de Schwartz"
est
E
E’),
un
(i.e,
toute
espace
particulier toute
quasi-complet, E eet réflexif,
en
.
particulier,
un
COROLLAIRE 2. - Si
espace de Banach nucléaire est de dimension finie.
quelconque, toute forme bilinéaire
F provient d’un élément d’un espace
El @ FB où A (resp. B)
est une partie équicontinue connexe cerclée de E’
(resp. F’). Si EO est
nucléaire, F quasi-complet, alors toute application linéaire bornée de E dans
F (i.e. transformant un voisinage de 0 en une partie bornée de F) est une
application de Fredholm.
continue
E
sur
E
est
nucléaire,
E
est
un
F
x
COROLLAIRE 3. -
Si
espace du
(3t)
type
tel que toute suite
commu-
tativement
convergente dans E soit absolument convergente, alors E est nucléaire
(et réciproquement). En particulier, si E est supposé normable, il est de dimension
finie (théorème
Je
F
ne
de
Dvoratzky-Rogers).
connais pas
d’exemple
de
cas
où
on
ait
E
f, 1
par
F =
E@
F
sans
E
que
ou
soit nucléaire.
Variante du corollaire 3
(en remplaçant
Lp) :
Si
M
est
un
espace
compact muni d’une mesure , toute application de M dans E (espace
nucléaire du type (F )) qui est scalairement dans LP, est ~ LpE ;
si 1 ~ p + ~
toute application linéaire continue de LP dans E provient d’un élément de l’espace
localement
Lp’E (1 p +
1 1) .
2. Théorèmes
THÉORÈME
de.permanence
4. - Soit
seulement si
son
E
un
et
exemples.
espace du
type (F) . Alors E
est nucléaire si et
dual fort est nucléaire.
D’ailleurs pour tous les espaces nucléaires
qu’on
rencontre
en
analyse,
les
duals forte sont aussi nucléaires.
THEOREME
Alors,
2. Le
F
5. - 1. Soit
est
E
nucléaire, et
un
si
nucléaire,
est fermé,
espace
F
F
un
est
sous-espace vectoriel.
nucléaire.
produit vectoriel topologique d’une famille quelconque d’espaces nucléaires est
nucléaire ainsi que la somme directe topologique d’une famille dénombrable d’espaces
nucléaires.
3. Si
F
et
E
4. Soit
E
sont
séparé
COROLLAIRE 1. - Un espace
E
E
COROLLAIRE 2. - Soit
F)
Lb(E,
alors
est
Ces résultats
en
et si par
type
exemple
(F) ,
un
espace
type
nucléaire,y
(’~’’) ,
(~ ) , (t’) ,
(C~M) ’ (C~0)
et les duals forts de
est donc de même de leurs sous-espaces,
exemple, l’espace
F
est aussi du
F
de voir facilement que les espaces
permettent
( ~ ) ’ (~~ ) ’ (~ ) ’ (.~~) ’
nucléaires. Il
d’espaces nucléaires
topologie est définie
est aussi nucléaire.
F)
des fonctions
holomorphes
sur
une
ces
derniers sont
quotients etc. Par
variété holomorphe
V
est nucléaire.
3.
Propriétés
de relèvement.
PROPOSITION 1. -
(resp.
F 2)
Soient E~ , E~
deux espaces localement convexes, soit
El (resp.
sous-espace vectoriel de
un
Alors toute forme bilinéaire continue
Fl
nucléaire.
E2) , supposons FI
est la restriction d’une forme
sur
application linéaire bornée de FI dans
G est la restriction d’une application linéaire bornée de
un espace quasi-complet
El dans G. Soit H un sous-espace vectoriel fermé de G,y supposons que toute
partie bornée de G/H soit l’image canonique d’une partie bornée de G ; alors
toute application linéaire bornée de
Fi dans G/H provient d’une application
bilinéaire continue
sur
linéaire bornée de
Ei
On
ou un
El
Toute
x
dans
G.
énoncé plus
général pour un ensemble équicontinu
ensemble "équiborné" d’applications linéaires.
a un
PROPOSITION 2. - Soient
ou
tous deux des duals
1. Toute
E, F deux
forts d’espaces
partie bornée
M
cerclée fermée d’un ensemble
de
-
E
(resp.
identique à
la
F).
topologie
de formes
bilinéaires’
espaces qui sont tous deux du type
du
de E (~ F
de dual fort de
(~ ) ,
E
est contenue dans
A @ B , où
B(E, F)
type
A
(resp. B)
topologie
E @ F .
la
sur
201420142014’~
Donc
et
est nucléaire.
espace nucléaire du
un
nucléaire,
Lb(E,
le dual fort de
quasi-tonnelé
est nucléaire.
dont la
E
convexe
E. nucléaires,
dans des espaces
espace nucléaire
un
q ui rendent continues des applications linéaires
la moins fine de celles
de
f.
F
type
limite inductive d’une suite
est nucléaire. Un espace localement
comme
est nucléaire.
(F) ,
B(E , F’) de E@F’
espace nucléaire du
un
alors le dual.fort
complet,
EQF
nucléaires,
(~)
nucléaire.
l’enveloppe convexe
une partie bornée
est
de la convergence bornée est
-
2. De
façon plus précise,
si
(x. )
suite
bornée
dans
cations linéaires
u = 03A303BBi
ait
on
E~
u .~ yl ( u)
suppose
H
convexe
. ) ~ ~"1 ~
et
dans
de
une
cerclé,
il existe
une
suite
équicontinue d’appli-
suite
F ~ tel s que pour
tout
u
e- M
xi ~ yi(u) .
COROLLAIRE. - Si
à
une
on
G
est
un
espace de
alors
Banach,
-
L(G, E F)
est isomorphe
E L(G , F) .
4.
Compléments
sur
(E nucléaire).
les produits
PROPOSITION 3. duals forts
Supposons E et
d’espaces du type ( ~ )
.
s’identifie à
PROPOSITION
E’
~ F’
~
tous deux du
(~’c)
t,ype
tous deux des
ou
nucléaire. Alors le dual fort
E
de E ê F
.
E
4. - Si
F
est
nucléaire,
F
complet,
E$F
pour que
soit reflexif
ou un espace de Schwartz, ou un espace
(resp. du type
nucléaire, ou uasiil
faut
et
il
suffit que F le soit.
normable),
(Pour la définition des espaces de Schwartz et des espaces quasi-normables voir
Grothendieck. Sur les espaces du type (F) et (F) [2]).
de E F (avec E nucléaire) est à peu près toujours
E © F = E ® F ; (si E , F sont complets) espace des applications
de
E’ dans F , de F’ dans E . On peut souvent
La détermination concrète
immédiate, grâce
à
linéaires continues
ou
~
~
s’aider du
LEMME. - Soit
fonctions
sur
E
un
un
espace localement
ensemble
T,
convergence simple, et soit
Alor s
E0F
que pour
et que
s’identifie à
y’ E- F’ ,
tout
f,
parcourt
une
F
avec
un
une
convexe
nucléaire et complet formé de
espace localement
l’espace
des
que la
topologie plus fine
applications
convexe
f
topologie de la
complet quelconque.
de
T
dans
f’(t) = f(t) , y’> sur
partie bornée de E quand y’ parcourt
T
la fonction
F
telle s
soit ~ E ,
une
partie
équicontinue de F’ . Cette dernière condition est vérifiée d’elleême si E est
du type (3~) ou la limite inductive (au sens général) d’une suite d’espaces du
type .(~ ) (et dans bien d’autres cas encore, grâce à une utilisation convenable
du théorème du graphe fermé).
Par
(dual
au
E
est l’un des espaces
exemple,
si
fort de
(~C )) , ~(V) ,
lecteur.
(~ ) , ((~) , (~) ~ (6M) ’ (C~.)
l’interprétation
de
E ~ F
est
immédiate!
et laissée
5.
Propriétés
de décroissance
rapide. -
En
composant un nombre suffisant
d’opérateurs de Fredholm, i.e. d’opérateurs qui peuvent s’obtenir par des séries
comme dans l’énoncé du théorème 1, on obtient un opérateur
pour lequel on a une
comme
dans
le
théorème
représentation
1, mais avec une suite
majorée par
où n est donné à l’avance. Cela donne, grâce au théorème 3, des précisions
sur la structure des parties équicontinues du dual d’un
espace nucléaire. On en
déduit par exemple que dans la proposition 2, on peut supposer la suite
et même à décroissance rapide si E et F sont du type
majorée par
~)
Oli)
(~) .
On
en
conclut aussi le
THEOREME 6. dans E .. Alors
son
Soit
E
un
espace nucléaire
est un opérateur
u
"déterminant de Fredholm"
det(1
quasi-complet,
de Fredholm
+
zu)
est
En particulier, la suite des valeurs propres de
u
(théorème 3,
une
u
un
opérateur borné
corollaire
2)
et
fonction entière d’ordre
est à décroissance
0 .
rapide.
BIBLIOGRAPHIE
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GROTHENDIECK (Alexandre). - Résumé des résultats essentiels dans la théorie des
produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, Ann. Inst. Fourier,
t. 4, 1952, p. 73-112.
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GROTHENDIECK
Math.,
[3]
t.
GROTHENDIECK
aires. -
(Alexandre). 3, 1954,
Sur les espaces
p. 57-123.
(F)
et
(DF) ,
Summa Brasil.
(Alexandre). -
Providence,
Soc., n°16).
Produits tensoriels topologiques et espaces nucléAmerican Mathematical Society, 1955 (Mem. Amer. math.
[Juin 1957]
200