COMBINATOIRE L`ordre lexicographique généralise l`ordre

COMBINATOIRE
IFT1065 – SEMAINE 8 – AUT. 2007
1. L’ORDRE LEXICOGRAPHIQUE
L’ordre lexicographique généralise l’ordre alphabétique ; il sert a comparer des listes ou des
chaînes. Que l’on ait des chiffres, des lettres, des lettres accentuées ou autre, on suppose que
deux caractères sont toujours comparables (par leur code ASCII, leur numéro unicode ou autre,
c’est sans importance).
Définition 1. Soient α=s1...spet β=t1... tqdeux chaînes, on dit que αest lexicographique-
ment inférieur àβet on note α<βsi
a. p <q et si=tipour 1≤i≤p
b. sinon, si pour le plus petit i pour lequel si6= ti, on a si<ti
On écrit α≤βpour dire α<βou α=β.
Exemple 1.
(1) Si α=132 et β=1324, alors α<β
(2) Si α=13246 et β=1342, alors α<β
(3) Si α=1324 et β=1342, alors α<β
Pour deux chaînes de chiffres de 1 à 9 de même longueur, l’ordre lexicographique correspond
à l’ordre entre les entiers représentés.
Pour dénoter une rcombinaison s1...sr, on utilisera la chaîne qui liste les éléments en ordre
croissant. Par exemple, la 4 combinaison correspondant à l’ensemble {5,3,2,6} est notée 2356.
Exemple 2. Si l’on met les 5-combinaisons de {1,2,3,4,5,6,7} en ordre lexicographique, quelle est
la chaîne qui suit 13467 ?
Exemple 3. Trouver la chaîne qui suit 2367 parmi les 4-combinaisons de {1,2,3,4,5,6,7}.
2. PERMUTATIONS ET COMBINAISONS GÉNÉRALISÉES
2.1. Permutations avec répétitions. On s’intéresse ici aux permutations de nobjets dont cer-
tains ne peuvent être distingués, par exemple les permutations des bits 11100 donnent toutes
les chaînes de 5 bits avec trois bits égaux à 1 (on sait qu’il y en a C(5,3)). Comment fait-on en
général ?
Exemple 4. Combien de chaînes peut-on faire en utilisant les lettres suivantes
M I S S I S S I P P I
Rem : on a 11 lettres : 4 “S”, 4 “I”, 2 “P” et 1 “M”.
1

Théorème 1. Si on a une suite Sde n éléments contenant n1éléments de type 1, . . ., ntééments
de type t et si n =n1+... +nt, alors le nombre de façon de les ordonner est
n!
n1!n2!...nt!
Exemple 5. Combien y a-t-il de facons de donner 5 livres à trois personnes A, B et C si A recoit 4
livres et B et C en recoivent chacun 2.
2.2. Sélections non ordonnées avec répétitions.
Exemple 6. Une bibliothèque a au moins 6 copies des livres A, B et C. De combien de façons
peut-on choisir 6 livres parmi ces derniers ? [C(8,2) = 28.]
Théorème 2. Le nombre de « partitions » d’un entier k comme somme de t entiers (ou encore le
nombre de façons de mettre k objets identiques dans t tiroirs) est
C(k+t−1, t−1) =C(k+t−1,k)=(t+k−1)!
k!(t−1)!
Une autre formulation utile (celle de Johnsonbaugh) :
Théorème 3. Si un ensemble Xcontient t éléments, alors le nombre de façon d’en choisir k sans
ternir compte de leur ordre est
C(K +t−1, t−1) =C(k+t−1,k)=(t+k−1)!
k!(t−1)!
Démonstration. X={x1,...,xt}. Si niest le nombre de fois qu’on choisit xi, il faut compter le
nombre de façons que n1+...+ntest égal à k, qui est donné par le théorème précédent. 
Exemple 7. Combien y a-t-il de facons de distribuer 12 livres identiques à Alf, Bill, Ca et D.
[C(15,3) =455.]
Exemple 8. On a une pile de billes rouges, une de billes bleues et une de billes vertes. Chaque pile
a au moins 8 billes
(1) De combien de façon peut-on choisir 8 billes ? [45]
(2) De combien de façon peut-on choisir 8 billes si on doit en choisir au moins une de chaque
couleur ? [21]
Exemple 9. Soit l’équation
x1+x2+x3+x4=29
(1) Combien cette équation a-t-elle de solutions entières non négatives ? [C(32,3) =4960.]
(2) Combien y a-t-il de solutions entières telles que x1≥1, x2≥2, x3≥3et x4≥0? [C(26,3) =
2600.]
Exemple 10. Combien de fois est exécutée l’instruction println dans l’algorithme suivant ?
for i1=1to n
for i2=1to i1
for i3=1to i2
...
for ik=1to ik−1
println(i1,i2,...,ik)
Les sorties sont les entiers i1,...,iktels que n≥i1≥i2... ≥ik≥1. C’est donc le nombre de façon
de choisir kentiers parmi navec répétitions possibles. Il y en a donc C(k+n−1,k).
2

3. COEFFICIENTS BINOMIAUX
Rappel :
C(n,k)=Ãn
k!=n! k!(n−k)! =Ãn n−k!=C(n,n−k)
3.1. Le théorème du binôme. Il généralise les formules connues (a+b)2=a2+2ab +b2et
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3:
Théorème 4.
(a+b)n=
n
X
k=0
C(n,k)an−kbk=
n
X
k=0Ãn
k!an−kbk=X
kÃn
k!an−kbk
Remarque : puisque (a+b)n=(b+a)net le produit est commutatif, on peut aussi écrire :
(a+b)n=
n
X
k=0
C(n,k)akbn−k=
n
X
k=0Ãn
k!akbn−k=X
kÃn
k!akbn−k
Exemple 11. Développer (3x−2y)4avec le binôme de Newton.
Exemple 12. Quel est le coefficient de x2y3z4dans le développement de (x+y+z)9? [1260]
Exemple 13. Montrez que
n
X
k=0
C(n,k)=2n
3.2. Le triangle de Pascal. Pascal a remarqué qu’on pouvait obtenir les coefficients binomiaux
en remplissant un triangle, appelé triangle de Pascal. En haut il y a C(0,0) =1. Sur la ligne sui-
vante il y a C(1,0) =1 et C(1,1) =1. La ligne 2 contient C(2,0) =1, C(2,1) =2, C(2,2) =1.
1
1 1
121
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
On remarque que chaque terme est la somme des deux immédiatement au dessus. Seuls les
1 en bordure semblent venir de nulle part ; de fait, si on ajoute des 0 à l’infini à gauche et à
droite sur chaque ligne, même les 1 “en bordure” sont la somme des deux entiers (0 et 1) juste
au dessus et on génère tout à partir de la première ligne.
Théorème 5 (Pascal).Pour tout n ≥0et tout k ∈Zon a
Ãn+1
k!=Ãn k−1!+Ãn k!
3

4. LE PRINCIPE DES TIROIRS OU DU PIGEONNIER
4.1. Le pigeonnier simple.
Théorème 6. Si n pigeons s’installent dans un pigeonnier avec k trous, k <n alors il y a un trou
avec au moins deux pigeons.
Théorème 7. Si Xet Ysont finis avec |Y| < |X|et si f : X →Yest une fonction, alors il existe x1et
x2tels que f (x1)=f(x2)et x16= x2.
Exemple 14. Si on a 20 processeurs qui sont interconnectés, au moins deux sont interconnectés
au même nombre de processeurs.
Exemple 15. Démontrez que s’il y a 151 cours d’info numérotés de 1 à 300, il y a au moins deux
cours avec numéros consécutifs.
Exemple 16. On a une liste de 80 items, numérotés de 1 à 80, et marqués “disponible” ou “non
disponible” et tels qu’exactement 45 sont marqués “disponible”. Montrez qu’il y a au moins deux
items disponibles dont les numéros diffèrent de 9.
4.2. Le pigeonnier général.
Théorème 8. Si f : X →Y,|X| = n et |Y| = m et k = dn/mealors il existe au moins k éléments
x1,...,xkde Xtels que
f(x1)=f(x2)=... =f(xk)
Une autre façon de dire est qu’il existe au moins un ytel que |f−1({y})| ≥ dn/mei.e. tel que le
nombre de xpour lequel f(x)=yest au moins dn/me.
Exemple 17. On veut envoyer des invitations de la même couleur à 334 personnes. Le magasin
solde un paquet de 1000 feuilles mélangées jaunes, vertes et roses. Va t-on acheter ?
Exemple 18. Un cadre reçoit une paye toutes les deux semaines (le jeudi). Montrez qu’il y a au
moins un mois où il reçoit trois payes.
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