chapitre 5 circuits lineaires en regime permanent

DEUG Sciences et Technologie 1er semestre
Electronique et Instrumentation
Université de Savoie
CHAPITRE 5
CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME PERMANENT
SINUSOIDAL
1.
PRÉSENTATION.....................................................................................................................................................36
2.
RÉGIME PERMANENT SINUSOÏDAL ..............................................................................................................36
2.1
2.2
2.3
2.4
3.
NOTATION COMPLEXE ......................................................................................................................................38
3.1
3.2
3.3
3.4
4.
DÉFINITION .............................................................................................................................................................36
EXEMPLE SUR UN SYSTÈME DU 1ER ORDRE...............................................................................................................36
GÉNÉRALISATION ....................................................................................................................................................36
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE : DIAGRAMME DE FRESNEL.....................................................................................37
RAPPELS SUR LES COMPLEXES.................................................................................................................................38
REPRÉSENTATION COMPLEXE..................................................................................................................................38
NOTATION ...............................................................................................................................................................39
CALCUL COMPLEXE.................................................................................................................................................39
EXTENSION DES LOIS DE KIRCHOFF AUX COMPLEXES .......................................................................39
4.1
4.2
LOI DES MAILLES .....................................................................................................................................................39
LOI DES NŒUDS .......................................................................................................................................................39
5.
EXTENSION DES THÉORÈMES FONDAMENTAUX AUX COMPLEXES................................................39
6.
DIPÔLES ...................................................................................................................................................................40
6.1 DIPÔLES PASSIFS .....................................................................................................................................................40
6.1.1
Impédance et admittance complexes ...........................................................................................................40
6.1.2
La résistance ................................................................................................................................................40
6.1.3
L’inductance.................................................................................................................................................40
6.1.4
Le condensateur ...........................................................................................................................................41
6.1.5
Conclusion....................................................................................................................................................41
6.2 DIPÔLES ACTIFS.......................................................................................................................................................41
7.
PUISSANCE EN RÉGIME SINUSOÏDAL...........................................................................................................41
7.1
7.2
8.
FACTEUR DE PUISSANCE - PUISSANCE ACTIVE.........................................................................................................41
EXPRESSION COMPLEXE DE LA PUISSANCE ..............................................................................................................42
QUADRIPÔLES LINÉAIRES................................................................................................................................42
8.1 DÉFINITIONS............................................................................................................................................................42
8.2 GRANDEURS CARACTÉRISTIQUES D’UN QUADRIPÔLE ACTIF ....................................................................................43
8.2.1
Modèle général d’un quadripôle.................................................................................................................43
8.2.2
Adaptation d’un quadripôle ........................................................................................................................44
9.
NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT.......................................................................................................45
9.1 DÉFINITION .............................................................................................................................................................45
9.2 EXEMPLES ...............................................................................................................................................................45
9.2.1
Circuit RC ....................................................................................................................................................45
9.2.2
Circuit RLC ..................................................................................................................................................46
9.2.3
Filtre actif.....................................................................................................................................................46
Chp-5 Analyse fréquentielle des signaux et systèmes
Circuits linéaires en régime permanent sinusoïdal
page 35
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1. Présentation
Dans ce chapitre on propose une seconde méthode de détermination du régime permanent dans le cas
de signaux sinusoïdaux. Cette méthode permet de résoudre les équations avec des régimes
sinusoïdaux comme on l’aurait fait avec des grandeurs continues, c’est à dire de façon très simple
d’un point de vue mathématique.
2. Régime permanent sinusoïdal
2.1 Définition
Le régime permanent sinusoïdal est le régime de fonctionnement des systèmes linéaires
correspondant à une excitation sinusoïdale établie depuis un temps infini (le régime transitoire est
complètement éteint).
2.2 Exemple sur un système du 1er ordre
Soit le circuit de la figure 5.1.
i(t )
R
e(t )
C
s (t )
Figure 5.1. Circuit RC.
On a : e = Ri + s et i = C
ds
, d’où :
dt
s(t ) + τ
ds
= e(t )
dt
où τ = RC .
Si l’on écrit e(t ) = E 2Cos (ωt ) et que l'on remplace cette solution dans l'ED, on obtient pour le
régime permanent :
s p (t ) = S 2Cos (ωt + ϕ )
avec : S =
E
1 + (τω )2
et tgϕ = −ωτ .
Le signal d’entrée du système e(t) et le signal de sortie s p (t ) auront donc, en régime permanent, soit
dès que le régime transitoire sera négligeable, la même allure sinusoïdale et la même pulsation.
S
s p (t ) est multiplié par le gain H =
et déphasé de ϕ par rapport à e(t) .
E
2.3 Généralisation
On peut montrer que toutes les grandeurs électriques d’un système linéaire (R,L,C) excité par un
signal sinusoïdal seront sinusoïdales et de même pulsation que le signal d’excitation.
En effet, l’équation différentielle d’un système linéaire possédant comme entrée e(t ) et comme sortie
s (t ) s’écrit :
d ne
d n −1e
de
d ms
d m −1 s
ds
b
a
...
a
a
e
t
b
+
+
+
+
(
)
=
+
+ ... + b1 + b0 s (t ) .
n −1
1
0
m
m −1
n
n −1
m
m −1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
ds
Pour un système du premier ordre, on a : s (t ) + τ
= Ke(t )
dt
an
Chp-5 Analyse fréquentielle des signaux et systèmes
Circuits linéaires en régime permanent sinusoïdal
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1 d 2 s 2ξ ds
+
+ s(t ) = Ke(t )
ω 02 dt 2 ω 0 dt
est sinusoïdal, alors s (t ) l’est également, et vice-versa. En effet, si
Pour un système du second ordre, on a :
Dans les deux cas, si e(t )
d 2s
ds
= − S 2ω .Sin (ωt + ϕ ),
= − S 2ω 2 .Cos (ωt + ϕ ) = −ω 2 .s (t ) ,
2
dt
dt
…toutes les dérivées font apparaître des fonctions Sinus ou Cosinus, s (t ) sera donc une fonction
s (t ) = S 2 .Cos (ωt + ϕ ) , alors
sinusoïdale de la forme s (t ) = S 2 .Cos (ωt + ϕ ) .
2.4 Représentation graphique de S et de ϕ : Diagramme de Fresnel
Un signal sinusoïdal est représenté par l‘équation suivante :
y (t ) = Y .Cos (ωt + ϕ )
On associe à cette grandeur sinusoïdale un vecteur tournant dans le sens trigonométrique avec une
vitesse angulaire ω, autour de l’origine O. Ce vecteur est nommé OY et sa longueur est
proportionnelle à Y . La projection de OY sur l’axe de référence représente l’évolution de y(t) (voir
figure 5.2).
ω
Y
0
axe de référence
Figure 5.2
Considérons deux signaux sinusoïdaux de même pulsation :
y1 (t ) = Y1 2Cos (ωt + ϕ 1 ) et y 2 (t ) = Y2 2Cos (ωt + ϕ 2 )
La représentation de Fresnel de ces 2 signaux à 2 instants différents est donnée sur la figure 5.3. Ces
représentations fournissent autant d’information l’une que l’autre à savoir l’amplitude des signaux et
le déphasage entre les signaux. φ = ϕ 2 − ϕ 1 représente le déphasage entre y 2 (t ) et y1 (t ) .
Y2
ϕ2
φ
0
ϕ1
Y2
ω
Y1
φ
Y1
ϕ2
ω
ϕ1
0
axe de référence
axe de référence
instant t = 0
instant t1 > 0
Figure 5.3.
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3. Notation complexe
3.1 Rappels sur les complexes
Un nombre complexe z s’écrit : z = a + jb avec j 2 = −1 . On appelle a la partie réelle de z et b la
partie imaginaire. On représente le lieu de z sur un plan complexe (figure 5.4).
Axe
Partie imaginaire Im z
( [ ])
b
Lieu de z
ϕ
0
Axe
Partie réelle Re z
( [ ])
a
Figure 5.4.
•
Le module de z s’écrit z = a 2 + b 2 ; il représente la « distance » du centre 0 du plan complexe
au lieu de z .
•
L’argument ϕ de z
se calcule simplement d’après la figure 5.4 : tg (ϕ ) =
b
ϕ = Arctg   .
a
•
Considérons le rapport de deux nombres complexes : z =
Le module de z s’écrit alors : z =
A2 + B 2 =
b
, donc
a
a + jb
.
c + jd
a + jb
a + jb
=
=
c + jd
c + jd
a 2 + b2
c2 + d 2
Le module du rapport de deux nombres complexes est égal au rapport des modules.
L’argument de z s’écrit :
B
b
d
ϕ = Arctg   = Arg (a + jb ) − Arg (c + jd ) = Arctg   − Arctg  
 A
a
c
L’argument du rapport de deux nombres complexes est égal à la différence des arguments.
3.2 Représentation complexe
On passe des graphes de la figure 5.3 à ceux de la figure 5.5 en remplaçant simplement l’axe de
référence par l’axe de la partie réelle, l’axe vertical représentant la partie imaginaire. Les vecteurs
sont remplacés par des complexes.
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Partie
Imaginaire
Y2 ( jω )
Partie
Imaginaire
ω
φ
ϕ1 Y1 ( jω )
0
Y1 ( j ω )
ω
ϕ2
φ
Y2 ( jω )
ϕ2
ϕ1
0
Partie Réelle
Partie Réelle
instant t = 0
instant t1 > 0
Figure 5.5.
Le plan trigonométrique est donc remplacé par un plan complexe.
Y1 ( jω ) et Y2 ( jω ) représentent les amplitudes complexes associées aux signaux réels y1 (t ) et
y 2 (t ) . Les amplitudes complexes ne dépendent que de la pulsation ω (pas du temps t).
3.3 Notation
Dans la suite, on écrira Y à la place de Y ( jω ) afin d’alléger les écritures.
3.4 Calcul complexe
On associe à un signal y (t ) le signal complexe y (ω ,t ) = Y e jωt . Y représente l’amplitude complexe
associée à y (t ) .
On revient à y (t ) à partir de y(ω ,t ) de la façon suivante (on prend la partie réelle de y(ω ,t ) ) :
[
]
[
]
y (t ) = Re y (ω ,t ) = Re Y e jωt .
Exemple : On considère le signal y (t ) = Y .Cos (ωt + ϕ ) ; y(ω ,t ) s’écrit alors : y (ω ,t ) = Y e jωt avec
[
]
[
]
[
]
[
]
Y = Ye jϕ . Soit y (t ) = Re y (ω ,t ) = Re Y e jωt = Re Ye jϕ e jωt = Re Ye j (ωt +ϕ ) = Y .Cos (ωt + ϕ ).
4. Extension des lois de Kirchoff aux complexes
Les lois de Kirchoff s’appliquent selon les mêmes règles que précédemment (voir chapitre 2).
4.1 Loi des mailles
∑ u (t ) = 0 devient ∑ U
k
k
k
=0 .
k
4.2 Loi des nœuds
∑ i (t ) = ∑ i (t ) devient ∑ I
e
k
s
k
k
e
= ∑ Is
k
5. Extension des théorèmes fondamentaux aux complexes
Le théorème de superposition et le théorème de Thévenin s’appliquent selon les mêmes règles que
précédemment (voir chapitre 2).
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6. Dipôles
6.1 Dipôles passifs
6.1.1 Impédance et admittance complexes
La loi d’Ohm complexe s'écrit : U = Z I . On définit l’impédance complexe par : Z =
U
.
I
I
1
étant l’admittance complexe : Y = .
Z
U
On peut alors représenter un dipôle de manière symbolique par le schéma de la figure 5.6.
La loi d’Ohm complexe peut s’écrire I = Y U , Y =
I
Z
U
Figure 5.6. Représentation symbolique d’un dipôle.
U et I sont les amplitudes complexes associées aux grandeurs u(t ) et i(t ) .
Z et Y étant des nombres complexes, on peut écrire :
Z = Ze jϕ et Y = Ye jθ .
1
• Z = est le module de l’impédance complexe. Il est égal au rapport des modules de U et de I ,
Y
donc des valeurs efficaces de u(t ) et i(t ) en régime permanent sinusoïdal :
1 U
Z= = .
Y
I
Z s’exprime en Ohms (Ω). C’est l’impédance du dipôle.
Y s’exprime en Siemens (S). C’est l’admittance du dipôle.
• ϕ = −θ est l’argument de l’impédance complexe.
ϕ = argU − arg I .
ϕ représente le déphasage entre la tension u(t ) et le courant i(t ) pris comme référence des phases.
6.1.2 La résistance
Pour une résistance, on a : u(t ) = Ri(t ) .
Si u(t ) est une tension sinusoïdale, i(t ) est un courant sinusoïdal et on peut écrire :
1
U = RI soit Z = R et Y = .
R
L’impédance complexe de la résistance est donc sa valeur R.
L’argument de Z étant nul, la tension u(t ) et le courant i(t ) sont en phase.
6.1.3 L’inductance
di
.
dt
Si u(t ) est une tension sinusoïdale, i(t ) est un courant sinusoïdal et on peut écrire :
Pour une inductance, on a : u(t ) = L
d i (ω ,t )
d
I e jωt = jLω I e jωt
=L
dt
dt
jωt
En identifiant à u (ω ,t ) = U e , on obtient :
u (ω ,t ) = L
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(
)
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U = jLω I
soit Z = jLω et Y =
1
jLω
L’impédance complexe d’une inductance est donc jLω .
π
π
L’argument de Z étant égal à , la tension u(t ) est en avance de
sur le courant i(t ) .
2
2
6.1.4 Le condensateur
1
idt .
C∫
Si u(t ) est une tension sinusoïdale, i(t ) est un courant sinusoïdal et on peut écrire :
Pour un condensateur, on a : u(t ) =
d u (ω ,t )
d
= C U e jωt = jCωU e jωt
dt
dt
jωt
En identifiant à i (ω ,t ) = I e , on obtient :
i (ω ,t ) = C
(
)
1
I
jCω
1
soit Z =
et Y = jCω
jCω
1
L’impédance complexe d’une inductance est donc
.
jCω
π
π
L’argument de Z étant égal à − , la tension u(t ) est en retard de − sur le courant i(t ) .
2
2
U=
6.1.5 Conclusion
On remarque que les relations établies ne font pas intervenir le terme « e jωt ». Cette remarque
peut être généralisée ; On peut donc omettre systématiquement ce terme dans les calculs complexes.
6.2 Dipôles actifs
L’extension des relations établies au chapitre 2 nécessite uniquement l’utilisation des notations
complexes. Leurs formes restent équivalentes.
7. Puissance en régime sinusoïdal
7.1 Facteur de puissance - Puissance active
la puissance instantanée dissipée dans un dipôle s’écrit : p(t ) = u(t )i(t ) .
En régime sinusoïdal, on a :
p(t ) = U 2 sin ωt . I 2 sin(ωt + ϕ ) = 2UI sin ωt .sin(ωt + ϕ ) = UI ( cosϕ − cos(2ωt + ϕ ))
La puissance moyenne dissipée pendant une période est donc :
1 T
P = ∫ p(t )dt = UI cos ϕ .
T 0
La puissance moyenne dissipée dans un dipôle est égale au produit UI des valeurs efficaces de
la tension à ses bornes et du courant qui le traverse par le facteur de puissance cosϕ , ϕ étant
le déphasage entre la tension et le courant.
Cette puissance moyenne est appelée « puissance active ».
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Remarque :
Nous avons vu au chapitre 2 qu’une inductance ou un condensateur ne dissipe aucune
π
puissance. La tension et le courant étant déphasés de ± , le facteur de puissance est nul
2
π
puisque cos = 0 et la puissance dissipée est effectivement P = 0 .
2
7.2 Expression complexe de la puissance
On remarque que P = UI cos ϕ peut être considéré comme la partie réelle du nombre complexe :
P = UIe jϕ = UI cos ϕ + jUI sin ϕ
ϕ étant le déphasage entre la tension et le courant.
En écrivant ϕ = ϕ u − ϕ i , ϕ u et ϕ i étant respectivement la phase de la tension et du courant :
u(t ) = U 2 sin(ωt + ϕ u ) et i(t ) = I 2 sin(ωt + ϕ i ) , on obtient, en notations complexes :
1 *
P = UIe jϕ = UIe j (ϕ u −ϕi ) = Ue jϕu Ie − jϕi = U I
2
où :
*
I représente le complexe conjugué de I
U = 2Ue jϕ u
I = 2 Ie jϕi
Seule la partie réelle de P = UI cos ϕ de P a une signification physique : elle correspond à la
puissance dissipée dans le dipôle. C’est comme on l’a dit la puissance active (exprimée en Watts
(W)).
La partie imaginaire Q = UI sin ϕ de P est la puissance réactive (exprimée en Volts-Ampères
réactifs (VAR)). Elle ne correspond pas à une puissance moyenne utilisable mais elle renseigne sur le
courant absorbé par un dipôle inductif ou capacitif.
Le module S = UI de Pc est la puissance apparente (exprimée en Volts-Ampères (VA)).
8. Quadripôles linéaires
8.1 Définitions
Un quadripôle est un ensemble d’éléments électriques aboutissant à quatre bornes (figure 5.7). Un
quadripôle est dit passif s’il ne comporte aucune source d’énergie, c’est à dire s’il ne contient que des
éléments passifs. Il est actif dans le cas contraire.
Un quadripôle est dit linéaire si les valeurs des éléments qui le composent sont constantes, c’est à
dire ne dépendent pas des tensions qui leur sont appliquées ou des courants qui les traversent.
I1
Convention
récepteur V1
I2
Q
V2
Convention
générateur
Figure 5.7. Schéma synoptique d’un quadripôle.
Convention de signe :
Sauf avis contraire, nous utiliserons la convention décrite sur la figure 5.7 pour le sens des courants
aux deux accès du quadripôle.
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8.2 Grandeurs caractéristiques d’un quadripôle actif
8.2.1 Modèle général d’un quadripôle
Le modèle général d’un quadripôle actif est décrit sur la figure 5.8.
I1
I2
Ze
V1
Av 0 .V1
Zs
ZL
V2
Figure 5.8. Modèle général d’un quadripôle actif.
•
Z e représente l’impédance d’entrée ;
•
Z s représente l’impédance de sortie ;
•
Av 0 représente le gain à vide.
8.2.1.1 Impédance d’entrée
C’est l’impédance équivalente à l’entrée du quadripôle lorsqu’il débite sur une charge Z L (figure
5.9).
I1
Ze
Q
V1
ZL
Figure 5.9. Impédance d’entrée d’un quadripôle.
V
Ze = 1 .
I1
8.2.1.2 Impédance de sortie
C’est l’impédance interne du générateur de Thévenin équivalent à la sortie du quadripôle lorsqu’il est
excité en entrée (figure 5.10).
ZG
I2
EG
Q
V1
V2
Zs
Figure 5.10. Impédance de sortie d’un quadripôle.
La détermination de Zs est plus complexe que celle de Ze .
On a :
V2 = Av 0 .V1 − Z s I 2
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Donc :
Zs =
V 
∆V2
ou bien Z s =  2 
∆ I2
 I2  EG = 0
Zs =
ou encore :
V20
I 2cc
V20 étant la tension à vide et I 2cc le courant de court-circuit.
8.2.1.3 Gain en tension à vide
On dit que le quadripôle est « à vide » lorsqu’il n’est pas chargé, soit lorsque la sortie est en circuit
ouvert (ou encore Z L → ∞ ).
On a alors V2 = Av 0 V1 , soit Av 0 =
V2
. Av 0 représente donc bien le gain à vide du quadripôle actif.
V1
La lettre « v » souligne qu’il s’agit d’un gain en tension, rapport de la tension de sortie sur la tension
d’entrée ;
Le chiffre « 0 » spécifie que l’amplificateur est non chargé (à vide).
8.2.1.4 Gain en tension en charge
V
Le gain en tension est le rapport de la tension de sortie sur la tension d’entrée : Av = 2 lorsque le
V1
quadripôle est chargé par une impédance Z L .
On a donc, d’après la figure 5.8 : V2 + Z s I 2 = Av 0 V1 et V2 = Z L I 2
Soit en combinant ces deux équations : Av =
V2
V1
= Av 0
ZL
ZL + Zs
.
*
On a donc un diviseur de tension. Le maximum de puissance est transmis lorsque Z L = Z T .
8.2.1.5 Gain en courant
I
Le gain en courant est le rapport du courant de sortie sur le courant d’entrée : Ai = 2 .
I1
8.2.1.6 Gain en puissance
Le gain en puissance est le rapport de la puissance de sortie sur la puissance d’entrée :
P
V I
Ap = 2 = 2 2 .
P1 V1 I1
8.2.2 Adaptation d’un quadripôle
On dit d’un quadripôle qu’il est adapté lorsque la puissance transférée de l’entrée vers la sortie est
maximum.
Nous montrons ici la relation devant lier l’impédance de charge à l’impédance de sortie du
quadripôle dans le cas d’impédances réelles, soit : Z s = Rs et Z L = R L excité par le générateur de la
figure 5.10 avec Z G réelle, soit : Z G = RG .
Le schéma est celui de la figure 5.11.
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RG
EG
I1
I2
V1
Re
Rs
Av 0 .V1
V2
RL
Figure 5.11.
8.2.2.1 Adaptation en entrée
E G Re
EG
Re
= EG2
Re + RG Re + RG
(Re + RG )2
Pour une résistance de source RG donnée, on montre facilement que P1 est maximum pour Re = RG .
La puissance reçue à l’entrée du quadripôle s’écrit : P1 = V1 I 1 =
8.2.2.2 Adaptation en sortie
De la même façon que pour l’entrée du quadripôle, on montre facilement que la puissance de sortie
est maximum pour Rs = RL .
8.2.2.3 Généralisation
On peut montrer que dans le cas où l’on considère des impédances complexes, la condition
*
*
d’adaptation s’écrit : Z e = Z G et Z s = Z L , Z G
des impédances de source et de charge.
*
*
et Z L et représentant le complexes conjugués
9. Notion de fonction de transfert
9.1 Définition
Par définition, on nomme fonction de transfert le rapport de deux amplitudes complexes. On
utilise souvent la lettre H pour définir les fonctions de transfert.
V
Pour le quadripôle de la figure 5.7, la fonction de transfert s’écrit : H = 2 .
V1
9.2 Exemples
9.2.1 Circuit RC
R
Ve
I
C
Vs
Figure 5.12.
On considère le circuit de la figure 5.12.
Les équations de ce circuit s’écrivent : Ve = R I + Vs (1) et Vs = Z c I (2) avec Z c =
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1
(3).
jCω
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
Vs
R 
1
,
soit
+ Vs = Vs 1 +
H
=
=

Zc
Ve 
R
 Zc 
1 +
 Z
c

1
1
avec τ = RC .
Donc, en utilisant (3) : H =
=
(1 + jRCω ) (1 + jτω )
Remarque : en utilisant la notion de diviseur de tension, on obtient directement :
Zc
H=
.
R + Zc
En remplaçant (2) dans (1), on a : Ve = R
Vs




9.2.2 Circuit RLC
L
R
I
C
Ve
Vs
Figure 5.13.
On considère le circuit de la figure 5.13.
Les équations de ce circuit s’écrivent : Ve = R I + Z L I + Vs (4) et Vs = Z c I (5) avec Z c =
1
(6)
jCω
et Z L = jLω (7).
En
H=
remplaçant
Vs
Ve
=
(5)
dans
(4),
on
a:
(
Ve = R + Z L
)VZ
s
c
 R + ZL
+ Vs = Vs 1 +
Zc


,


soit
1

R + ZL
1 +

Zc





Donc, en utilisant (6) et (7) : H =
1
=
2
1 + jRCω + ( jω ) LC
1
 jω 
2ξ

1+ j
ω + 
ωn
 ωn 
2
avec ω n = 1 / LC
R C
.
2 L
Remarque : en utilisant la notion de diviseur de tension, on obtient directement :
Zc
H=
.
R + Zc + ZL
et ξ =
9.2.3
Chp-5 Analyse fréquentielle des signaux et systèmes
Circuits linéaires en régime permanent sinusoïdal
page 46
DEUG Sciences et Technologie 1er semestre
Electronique et Instrumentation
Université de Savoie
Filtre actif
On étudie le montage à amplificateur opérationnel de la figure 5.14.
R2
I
R1
Zp
I
-
ε
Ve
C
+
Vs
Figure 5.14.
La contre réaction s ‘effectue sur la borne (-) de l’A.O., qui fonctionne donc en zone linéaire. Donc
ε ≈ 0.
Zp
Les équations s’écrivent alors : Ve = R1 I et Vs = − Z p I , d’où l’on tire : H = −
R1
L’impédance Z p représente l’impédance résultant de la mise en parallèle de la résistance R2 et du
1
R2
jCω
condensateur de capacité C. Soit donc : Z p =
=
1
1 + jR2 Cω
R2 +
jCω
R2
On tire alors : H = −
Zp
R1
=−
R2 / R1
1
.
avec ω 2 =
ω
R2 C
1+ j
ω2
Si l’on prend la limite de H pour les fréquences basses ( ω << ω 2 , soit
fréquences hautes ( ω >> ω 2 , soit
•
•
ω
<< 1 ) ou pour les
ω2
ω
>> 1 ), on obtient :
ω2
ω
<< 1 : H = − R2 / R1 , donc le signal d’entrée est restitué en sortie avec un gain égal à
ω2
R2 / R1 : on dira que « le signal passe».
ω
>> 1 : H = 0 , donc aucun signal n’est transmis de l’entrée vers la sortie : on dira que « le
ω2
signal ne passe pas ».
Conclusion : les signaux basse fréquence passent, les signaux haute fréquence ne passe pas. On a
donc réalisé un filtre Passe-Bas.
On pourrait également montrer que les circuits RC et RLC des figures 5.12 et 5.13 sont des filtres
Passe-Bas.
Chp-5 Analyse fréquentielle des signaux et systèmes
Circuits linéaires en régime permanent sinusoïdal
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