C5 : Théorème du moment cinétique

Lycée Newton - PTSI M5 - Théorème du moment cinétique
Mécanique
Chapitre 5 : Théorème du moment cinétique
Sommaire
Page
1 Théorème du moment cinétique par rapport à un point 1
1.1 Moment d’une force par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Définition................................................ 1
1.1.2 Interprétationphysique ........................................ 2
1.1.3 Notiondebrasdelevier ........................................ 2
1.1.4 Calcul du moment des forces dans le cas du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Influence du moment par rapport à un point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Momentcinétique................................................ 3
1.3.1 Définition................................................ 3
1.3.2 Interprétationphysique ........................................ 3
1.4 Enoncé du théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Exemple d’application : étude du mouvement d’un pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe 4
2.1 Axederéférence ................................................ 4
2.2 Moment d’une force par rapport à un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Définition................................................ 5
2.2.2 Interprétationphysique ........................................ 5
2.3 Moment cinétique par rapport à un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Définition................................................ 5
2.3.2 Interprétationphysique ........................................ 5
2.4 Exemple de conservation du moment cinétique : patinage artistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Exemple de l’intérêt de cette version du TMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Nous avons vu précédemment que dans les problèmes à un degré de liberté, le passage de la relation fondamentale de
la dynamique aux théorèmes énergétiques permettaient de lier simplement le mouvement à ses causes en se ramenant
à une équation scalaire.
Dans ce chapitre, nous allons proposer un théorème permettant de simplifier l’étude dans le cas des mouvements
de rotation : le théorème du moment cinétique.
Pour cela, nous allons définir le moment d’une force (par rapport à un point ou un axe), le moment cinétique
d’un point matériel (par rapport à un point ou un axe) puis déduire du principe fondamental de la dynamique les
théorèmes du moment cinétique.
On considérera tout au long du chapitre que le référentiel d’étude Rest galiléen.
1 Théorème du moment cinétique par rapport à un point
1.1 Moment d’une force par rapport à un point
1.1.1 Définition
Considérons un point matériel M, repéré par rapport à un point Opar le vecteur position r=OM :
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•
O
r
•
M
On cherche à trouver une grandeur traduisant l’influence d’une force extérieure Fsur le mouvement de rotation
autour de O. On peut constater sur les figures suivantes que le mouvement de rotation est directement relié aux
directions relatives du vecteur position et de la force appliquée :
•
O
r
•
M
F
Figure 1 – La force est dans le
même sens que le vecteur position.
La force n’a auun effet sur le mou-
vement de rotation.
•
O
r
•
M
F
Figure 2 – La force est dans le
sens opposé au vecteur position. La
force n’a aucun effet sur le mouve-
ment de rotation.
•
O
r
•
M
F
Figure 3 – La force est perpendi-
culaire au vecteur position. La force
a un effet maximal sur le mouve-
ment de rotation de Mautour de
O.
On est amené à définir le moment de la force Fpar rapport à Oà partir du produit vectoriel entre r=OM et F:
Moment d’une force par rapport à un point On définit le moment de la force Fpar rapport au point O
par l’expression :
MO=OM ∧F(1)
1.1.2 Interprétation physique
Le moment d’une force par rapport à un point Oreprésente la tendance de cette force à faire tourner le
point matériel autour du point Oselon une direction et un sens :
•La direction du moment donne l’axe autour duquel la force tend à faire tourner le point matériel.
•Le sens du moment donne le sens de rotation autour de cet axe.
•La norme du moment mesure la tendance de la force à faire tourner le point matériel.
Remarques :
•Si le point matériel est soumis à plusieurs forces : F=F1+F2, le produit vectoriel étant un opérateur linéaire,
on remarque que le moment de la somme des forces est égal à la somme des moments de chacune des forces :
M0(F) = OM ∧(F1+F2) = M0(F1) + M0(F2)(2)
•Le moment d’une force par rapport à un point dépend du point Oconsidéré. Si l’on connaît le moment M0(F)
d’une force Fpar rapport à un point O, il est possible d’exprimer le moment de cette même force par rapport
à un autre point O0:
.
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1.1.3 Notion de bras de levier
Afin de pouvoir exprimer de manière intuitive le moment d’une force par rapport à un point, considérons la droite
support de la force :
.
La distance du point Oà cette droite représente le bras de levier avec lequel la force s’applique. En notant dce
bras de levier, la norme du moment de la force peut s’écrire :
.
Pour déterminer complètement le moment de la force, on utilise ensuite des considérations physiques pour déter-
miner la direction et le sens du moment.
1.1.4 Calcul du moment des forces dans le cas du pendule simple
On peut calculer le moment d’une force par deux méthodes :
•Une méthode purement analytique : en exprimant les coordonnées des vecteurs dans la base du repère, puis
calculer les coordonnées des moments de chacune des forces.
•Une méthode géométrique : en repérant le bras de levier, on en déduit la norme du moment. Par des considé-
rations physiques, on détermine alors la direction et le sens du moment.
Dans le cas du pendule simple, il est clair que le point matériel effectue un mouvement de rotation (circulaire ici)
autour du point Od’attache du fil. Calculer le moment en Ode chacune des forces appliquées au point matériel M
en appliquant les deux méthodes :
.
1.2 Influence du moment par rapport à un point fixe
Considérons un système caractérisé par une impulsion pet soumis à la résultante des force F. La deuxième loi de
Newton peut s’écrire :
F=dp
dt(3)
En multipliant vectoriellement à gauche par r=OM, on obtient :
.
On est ainsi amené à introduire une grandeur caractérisant le mouvement de rotation : le moment cinétique :
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1.3 Moment cinétique
1.3.1 Définition
Moment cinétique Le moment cinétique du point matériel Md’impulsion ppar rapport au point Oest
défini par l’expression :
L0=OM ∧p(4)
Remarques :
•L’impulsion p=mvdu point matériel dépend du référentiel d’étude. Donc le moment cinétique du point
matériel est une grandeur relative : elle dépend du référentiel d’étude.
•Comme le moment d’une force, le moment cinétique du point matériel par rapport à un point dépend du point
Oconsidéré.
1.3.2 Interprétation physique
Le moment cinétique du point matériel Mpar rapport à un point Oreprésente la « quantité de rotation » du
point Mautour de Aselon une direction et un sens, à l’instant t.
•La direction du moment cinétique donne l’axe autour duquel le point matériel tourne à l’instant t.
•Le sens du moment cinétique donne le sens de rotation du point matériel autour de cet axe.
•La norme du moment cinétique représente « la quantité de rotation » du point matériel autour de cet axe
1.4 Enoncé du théorème du moment cinétique
Théorème du moment cinétique Dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle du moment cinétique
par rapport à un point fixe est égale au moment des forces extérieures par rapport à ce point :
dLO
dt=MO(5)
Le TMC répond bien à l’objectif de l’étude annoncé : le moment des forces extérieures fait varier la grandeur
cinétique qui traduit le mouvement de rotation.
Comme dans le cas du TEC, tout l’intérêt du TMC est de permettre une résolution simplifiée du problème dans
certains cas. En choisissant convenablement le point fixe O, le moment d’une ou plusieurs forces peut être nul. On
peut ainsi éliminer des équations des forces inconnues (tension d’un fil, réaction normale d’un support, ...). En outre,
l’utilisation du TMC dans le cas de mouvements à force centrale est très puissante, comme on le verra à la fin du
chapitre.
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1.5 Exemple d’application : étude du mouvement d’un pendule simple
Etablissons l’équation différentielle du mouvement du pendule simple en appliquant le TMC :
.
2 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe
2.1 Axe de référence
Dans certains cas (mouvement plan, rotation autour d’un axe), il est souvent plus pratique de considérer que
le point matériel est en rotation autour d’un axe, plutôt qu’autour d’un point. Bien qu’avec ce point de vue on ne
puisse pas toujours établir toutes les équations horaires du mouvement, cela permet parfois de dégager rapidement
des propriétés intéressantes du mouvement étudié.
Le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe nécessite au préalable d’identifier l’axe ∆de référence
et de l’orienter. La direction et le sens de l’axe ∆seront caractérisés par la donnée du vecteur unitaire u∆.
2.2 Moment d’une force par rapport à un axe fixe
2.2.1 Définition
Moment d’une force par rapport à un axe fixe Le moment d’une force Fpar rapport à un axe ∆orienté
par le vecteur unitaire u∆est défini comme étant la projection orthogonale sur l’axe ∆du moment de la
force Fpar rapport à un point Ode l’axe :
M∆(F) = MO(F)·u∆(6)
On peut montrer facilement que le moment M∆(F)ne dépend pas du point de l’axe considéré :
.
2.2.2 Interprétation physique
Le moment d’une force par rapport à un axe représente la tendance de cette force à faire tourner le système autour
de l’axe. Le moment d’une force par rapport à un axe est donc nul lorsque :
•la force est parallèle à l’axe :
.
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