Relativité par la Force. Introduction.

Une étude rigoureuse de la relativité générale avec des mathématiques de base.
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INTRODUCTION

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1 - APPROCHE INTUITIVE
1.1 - Formalismes classique et relativiste
La théorie de la relativité fait rêver par bien des aspects. On peut citer notamment
le génie de son concepteur Albert Einstein, les applications modernes qui
l'utilisent, et les œuvres de science-fiction qu'elle nourrit. Elle constitue une
rupture très importante dans l'histoire de la science en introduisant le fait que le
temps et les longueurs peuvent varier suivant l'endroit où l'on se trouve. Cette
rupture est apparue aussi par le besoin d'outils mathématiques très sophistiqués,
lesquels rendent l'abord de cette théorie très difficile d'accès aux non-spécialistes.
Commençons par brosser quelques étapes qui ont jalonné l'évolution de la
mécanique au cours des siècles. Dans les années 1600, Johannes Kepler élabore, à
partir d'observations, les lois qui décrivent le mouvement des planètes sur leur
orbite. En 1687, Isaac Newton formalise les lois de la gravitation, jetant ainsi les
bases de ce que nous appelons maintenant la mécanique classique (ou mécanique
newtonienne), capable d'expliquer et de calculer les lois précitées de Kepler. C'est
la mécanique que chacun d'entre nous a apprise dès son plus jeune âge, qui
concerne la plupart des situations que l'on rencontre dans la vie courante.
Le début des années 1900 voit une avancée majeure dans ce domaine avec les
publications d'Albert Einstein à propos de sa "théorie de la relativité" dans laquelle
on distingue :
* la relativité restreinte, qu'il publie en 1905, applicable lorsque la vitesse des
corps n'est pas négligeable par rapport à celle de la lumière, pour des repères non
accélérés sans gravité,
* la relativité générale qu'il présente en 1915, à utiliser lorsqu'il faut tenir compte
des effets de l'accélération ou de la gravité.
Dans la suite, nous distinguerons au sein de la théorie de la relativité :
* le formalisme einsteinien qui utilise divers concepts tels que la courbure de
l'espace-temps nécessitant des mathématiques très spécialisées. La notion de force
(définie à partir de la quantité de mouvement) y est très peu présente.
* le formalisme de la RpF (Relativité par la Force) qui met en œuvre une tout
autre définition de la force, et des notions très proches de celles de la mécanique
classique.

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1.2 - Bases de la relativité restreinte
Originalité de la RpF
Depuis notre enfance nous avons acquis des réflexes qui nous apparaissent
évidents. Par exemple, si l'on mesure la vitesse d'une onde sonore qui se déplace
dans l'air à une vitesse égale à 340 mètres par seconde, cette mesure sera modifiée
si on la réalise sur la plateforme (à l'air libre) d'un train qui roule à 30 mètres par
seconde. Suivant que le train se déplace dans le sens de l'onde ou dans le sens
contraire de l'onde, on mesurera respectivement 310 mètres par seconde ou 370
mètres par seconde. La nature nous a ainsi habitués à additionner (ou à soustraire)
les vitesses suivant la vitesse du référentiel dans lequel on effectue les mesures,
ces vitesses étant mesurées par rapport à "l'éther" qui supporte les ondes (l'air,
dans ce cas).
À la fin du XIXe siècle, une expérience est réalisée, avec une très grande
précision, par Michelson et Morley pour mesurer la différence de vitesse de la
lumière dans la direction du mouvement de la Terre et dans une direction
perpendiculaire. Contrairement à toute attente, cette expérience effectuée dans
l'espoir de caractériser "l'éther" supportant les ondes lumineuses ne montre aucune
différence de vitesse. Si l'on se réfère à la plateforme du train, on aurait pu
s'attendre à soustraire ou à additionner la vitesse de la Terre suivant que celle-ci se
déplace dans le sens de la propagation de la lumière, ou dans le sens contraire. En
fait, il n'en est rien : la vitesse de la lumière reste constante quelle que soit la
direction dans laquelle on la mesure. Lors de discussions, il est par exemple
imaginé que l'éther est entraîné par la matière (comme l'air dans le wagon d'un
train). Très rapidement, sous l'impulsion d'Einstein, la vitesse de la lumière
devient une constante et la notion d'éther est abandonnée (abandon généralement
toujours en vigueur à ce jour) pour la remplacer par un formalisme mathématique
(notamment fondé sur les équations de Lorentz).
Utilisant cette constance de la vitesse de la lumière, Einstein élabore alors sa
théorie de la relativité restreinte permettant d'expliquer comment il est possible de
concevoir le fait que la lumière conserve la même vitesse, quel que soit le
référentiel dans lequel on la mesure.

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Définition des unités de longueur et de temps
Il importe de bien se représenter ce que sont une mesure de longueur et une
mesure de temps. Ces grandeurs sont liées directement aux propriétés de la
matière, elles-mêmes liées aux lois de la physique. Dans la suite, on aura tout
intérêt à se représenter :
- un "mètre" comme un cristal (parfait) constitué d'une succession d'atomes que
l'on peut compter tout au long du mètre,
- une "seconde" comme un multiple du "temps" constitué par une "révolution" des
électrons autour d'un atome d'un corps particulier (dans une image très simplifiée
et naïve de l'atome).
Ce "mètre" est donc défini intrinsèquement par les lois de la physique qui assurent
la distance entre les atomes. Si en deux endroits différents les lois de la physique
changent, localement on ne se rendra pas compte des modifications de longueur,
dans la mesure où tous les constituants de la matière au voisinage de ces endroits
seront comprimés (ou dilatés) dans le même sens et selon la même quantité.
1 mètre
Les lois de la physique déterminent la distance "d" entre les atomes
de la matière constituant le mètre
Cette "seconde" est définie de manière très naïve par rapport à nos connaissances
actuelles en matière de constitution des atomes. Elle présente l'avantage d'être
visuellement très simple et de bien montrer sa liaison avec la matière, et donc avec
les lois de la physique.
Pour une image (très simplifiée), l'unité de temps élémentaire peut être représentée par la
durée de révolution d'un électron autour du noyau d'un atome