PROBABILITÉS 2014-15

PSI PROBABILITÉS 2014-15
1) Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.
a) Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.
Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tirée, il perd 3 points.
On note Xla variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches tirées.
On note Yle nombre de points obtenus par le joueur sur une partie.
Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
Déterminer la loi de Y, son espérance et sa variance.
b) Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans remise.
Déterminer les lois de Xet Y.
2) On admet, dans cet exercice, que :
∀q∈N∗,Xk
qxk−qk>q
converge et ∀x∈]−1,1[,
+∞
X
k=qk
qxk−q=1 (1 −x)q+1
Soit p∈]0,1[ et r∈N∗.
On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant t= 0 (le temps est exprimé en secondes).
On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte. Le premier rayon laser est envoyé à l’instant t= 1.
La bactérie a la probabilité pd’être touchée par le rayon laser. Les tirs de laser sont indépendants.
La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchée rfois par le rayon laser.
Soit Xla variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie.
a) Déterminer la loi de X.
b) Prouver que Xadmet une espérance et la calculer.
3) Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans N.
Elles suivent la même loi définie par : ∀k∈N, P (X=k) = P(Y=k) = pqkoù p∈]0,1[ et q= 1 −p.
On considère alors les variables Uet Vdéfinies par U= sup(X;Y)et V= inf(X;Y).
a) Déterminer la loi du couple (U;V).
b) Expliciter les lois marginales de Uet de V.
c) Uet Vsont-elles indépendantes ?
4) a) Soit (Yn)une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettant un moment
d’ordre 2. On pose Sn=
n
X
k=1
Yk
Prouver que : ∀a∈]0,+∞[, P 
Sn
n−E(Y1)
>a6V(Y1)
na2
b) Application : On effectue des tirages successifs, avec remise, d’une boule dans une urne contenant 2 boules
rouges et 3 boules noires.
Á partir de quel nombre de tirages peut-on garantir à plus de 95% que la proportion de boules rouges obtenues
restera comprise entre 0,35 et 0,45 ?
Indication : Considérer la suite (Yi)de variables aléatoires de Bernoulli où (Yi)mesure l’issue du iième tirage.
5) Soit λ∈]0,+∞[.
Soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs dans N∗. On suppose que ∀n∈N∗, P (X=n) = λ
n(n+ 1)(n+ 2)
a) Calculer λ.
b) Prouver que Xadmet une espérance, puis la calculer.
c) Xadmet-elle une variance ? Justifier.
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7) Soit N∈N∗. Soit p∈]0; 1[. On pose q= 1 −p.
On considère Nvariables aléatoires X1;X2; . . . ; XNdéfinies sur un même espace probabilisé (Ω; T;P),
mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p.
a) Soit i∈[[1, N]] et n∈N∗. Déterminer P(Xi6n), puis P(Xi> n).
b) On considère la variable aléatoire Ydéfinie par Y= min
16i6N(Xi), ie ∀ω∈Ω, Y (ω) = min(X1(ω), . . . , XN(ω)).
Soit n∈N∗. Calculer P(Y > n). En déduire P(Y6n), puis P(Y=n).
c) Prouver que Yadmet une espérance et la calculer.
8) On dispose de nboules numérotées de 1 à net d’une boîte formée de trois compartiments identiques également
numérotés de 1 à 3. On lance simultanément les nboules .
Elles viennent se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments.
Chaque compartiment peut éventuellement contenir les nboules.
On note Xla variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments
restés vides.
a) Préciser les valeurs prises par Xet déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer E(X). Déterminer lim
n→+∞
E(X). Interpréter ce résultat.
9) On dispose de deux urnes U1et U2.
L’urne U1contient deux boules blanches et trois boules noires.
L’urne U2contient quatre boules blanches et trois boules noires.
On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes :
•On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie.
•On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient.
•Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1.
Sinon le tirage suivant se fait dans l’urne U2.
Pour n∈N∗, on note Bnl’événement « la boule tirée au nième tirage est blanche ».
On pose également : ∀n∈N∗, pn=P(Bn).
a) Calculer p1.
b) Prouver que : ∀n∈N∗, pn+1 =−6
35pn+4 7
c) En déduire, pour tout entier naturel nnon nul, la valeur de pn.
10) On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut 1
2.
a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité
que ce dé soit pipé ?
b) Soit n∈N∗. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés.
On lance ce dé nfois et on obtient nfois le chiffre 6. Quelle est la probabilité pnque ce dé soit pipé ?
c) Déterminer lim
n→+∞
pn. Interpréter ce résultat.
11) Soit n∈N∗et Eun ensemble possédant néléments. On désigne par P(E)l’ensemble des parties de E.
a) Déterminer le nombre ade couples (A;B)∈(P(E))2tels que A⊂B.
b) Déterminer le nombre bde couples tels que A∩B=∅.
c) Déterminer le nombre cde triplets (A;B;C)∈(P(E))3tels que A,Bet Csoient deux à deux disjoints et
vérifient A∪B∪C=E.
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