Fonctions de référence. I Fonction valeur absolue II Fonctions u + k

Cours 1S Fonctions de référence.
I Fonction valeur absolue
Définition 1 (Valeur absolue d’un réel).La valeur absolue de x,
notée |x|, est la distance entre xet zéro. Ainsi :
•|x|=xsi xest positif ;
•|x|=−xsi xest négatif.
Propriété 1. Si Aet Bsont deux points d’abscisses respectives aet b
sur la droite des réels, alors AB =|a−b|=|b−a|.
y = |x|
0 1
1
II Fonctions u+ket ku
Définition 2 (Fonction u+k).Soit uune fonction définie sur un ensemble Det kun réel.
La fonction notée u+kest la fonction définie sur Dpar x7−→ u(x) + k.
Propriété 1. Dans un plan muni d’un repère (O;~ı ;~ ), la courbe Cu+kest l’image de la courbe Cupar
la translation de vecteur k~.
Définition 3 (Fonction ku).Soit uune fonction définie sur un ensemble Det kun réel.
La fonction notée ku est la fonction définie sur Dpar x7−→ k×u(x).
III Sens de variation d’une fonction
Définition 4. Soit fune fonction définie sur un intervalle I. On dit que fest :
•croissante sur Ilorsque pour tous les réels aet bdans I:a < b =⇒f(a)6f(b)
•strictement croissante :a < b =⇒f(a)< f(b)
•décroissante :a < b =⇒f(a)>f(b)
•strictement décroissante :a < b =⇒f(a)> f (b)
•monotone sur Ilorsque fest croissante sur Iou décroissante sur I.
Méthode : Déterminer le sens de variation d’une fonction.
Énoncé : Prouver que la fonction carré est croissante sur [0; +∞[.
Preuve : Soit fla fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = x2. Soit aet bdans [0; +∞[ avec a < b.
On veut comparer f(a) et f(b) pour cela on étudie le signe de leur différence :
f(a)−f(b) = a2−b2= (a+b
|{z }
>0
)(a−b
|{z }
<0
)<0.
Comme a>0 et b > 0, on a (a+b)>0. Comme a < b, on a (a−b)<0. Ainsi (a+b)(a−b)<0,
soit a2−b2<0 et donc a2< b2. On a prouvé que pour tous aet bdans [0; +∞[ on a l’implication :
a < b =⇒f(a)< f(b). Ainsi fest bien strictement croissante sur [0; +∞[.
Propriété 2. Soit uune fonction monotone sur un intervalle Iet kun nombre réel.
• La fonction u+ka le même sens de variation que usur I.
• La fonction ku a le même sens de variation que usur Isi k > 0et de sens contraire si k < 0.
IV Fonction racine carrée
Définition 5. La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = √x.
Propriété 2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Autres formulations :
• plus xest grand, plus √xest grand.
• Deux nombres positifs sont rangés dans le
même ordre que leurs racines carrées.
• Dans une inégalité avec des nombres posi-
tifs, on peut prendre la racine carrée des deux
membres sans en changer le sens.
Exemple : Je dis que : 1 <√2<2.
Preuve : 1 <2<4, donc : √1<√2<√4x
y
1
+
1+
0
1

Cours 1S Fonctions de référence.
Démonstration. Posons f(x) = √x. Soit aet bdeux réels tels que 0 6a < b.
Comparons f(a) et f(b) en étudiant le signe de leur différence :
f(a)−f(b) = √a−√b(Astuce !)
=(√a−√b)(√a+√b)
√a+√b=√a2−√b2 √a+√b=a−b √a+√b.
a−b < 0 et √a+√b > 0 donc f(a)−f(b)<0 donc f(a)< f (b).
Propriété 3 (Positions relatives de courbes).
•∀x∈[0 ; 1] : x26x6√x
•∀x∈[1 ; +∞[ : √x6x6x2.
Démonstration.
1er cas : On suppose que 0 6x61.
On muliplie chaque membre par x:x26x.
La fonction racine carrée est croissante sur R+donc
√x6√1 donc √x61.
On multiplie chaque membre par √x:x6√x
2nd cas : On suppose que 1 6x
On muliplie chaque membre par x:x6x2.
La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[
donc √16√xdonc 1 6√x.
On muliplie chaque membre par √x:√x6x.1
+
1+
0
y=√x
y=x2
y=x
Propriété 4. Si uest une fonction monotone et positive sur un intervalle I, alors la fonction √ua le
même sens de variation que usur I.
Démonstration. Dans le cas où uest croissante sur I. Soit aet bdeux réels de Itels que a < b.
uétant croissante sur I,u(a)< u(b). De plus, u(a)>0 et u(b)>0 et la fonction racine carrée est
croissante sur [0 ; +∞[ donc pu(a)6pu(b). Ainsi, la fonction √uest croissante sur I.
La démonstration est analogue lorsque uest décroissante sur I.
Propriété 5. Pour tout réel x, on a : √x2=|x|.
—Devoir en temps libre —
Exercice no1En s’inspirant des démonstrations du cours
On note fla fonction inverse définie sur R∗=] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f(x) = 1
x.
1. Démontrez que fest strictement décroissante sur chacun des intervalles ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[.
2. Soit uune fonction strictement positive et décroissante sur un intervalle I.
Prouvez que la fonction h=1
udéfinie sur Ipar h(x) = 1 u(x)est croissante sur I.
3. Si maintenant uest une fonction strictement positive et croissante sur l’intervalle I, dire sans
démonstration quel sera le sens de variation de h=1
usur I.
4. Complétez l’énoncé de la propriété dont on a démontré un cas et qui commence par :
Soit uune fonction strictement positive (ou strictement négative) et monotone. . .
Exercice no2Application. Différentes composées.
On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction u. Déterminez les tableaux de variation
des fonctions ci-dessous sur [−2; 3] en utilisant les propriétés vues en cours et à l’exercice précédent.
Il pourra être utile de faire des tableaux de variation intermédiaires.
1. f(x) = −3u(x) + 2.
2. g(x) = 1
u(x) + 1.
3. h(x) = −2pu(x) + 1.
x−2 0 3
u(x)
0❅❅❅❘−1
✒
4
2