Fonctions d`une variable complexe

Fonctions d’une variable complexe
Marc Lenoir
23 octobre 2007

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Table des mati`eres
1 Fonctions analytiques 7
1.1 S´eries num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 S´eries `a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 S´eries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 S´eries semi-convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 S´eries enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Op´erations alg´ebriques sur les s´eries enti`eres . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 D´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4 D´eveloppements en s´erie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.5 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Fonctions m´eromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Exemples de fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
A Substitution des s´eries enti`eres 33
B Trigonom´etrie 37
2 La th´eorie de Cauchy 39
2.1 La relation de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Int´egrales de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Changement de param´etrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.3 Composition des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 La th´eorie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Formule de Cauchy locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 D´eveloppement en s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.3 D´eveloppement en s´erie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Th´eorie globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.1 L’indice d’un point par rapport `a un lacet . . . . . . . . . . . . 57
2.5.2 La formule de Cauchy globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3

4 TABLE DES MATI` ERES
2.5.3 Le bord orient´e d’un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5.4 Le th´eor`eme de Cauchy homotopique . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.5 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C Connexit´e 75
D Calcul pratique de l’indice 79
3 Singularit´es des fonctions analytiques 83
3.1 Singularit´es isol´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Le th´eor`eme des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.1 Calcul pratique des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2 Le r´esidu `a l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.3 Localisation des z´eros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Inversion des fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.1 Le probl`eme local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.2 Le probl`eme global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.3 Coupures et d´eterminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
E Calculs d’int´egrales 107
E.1 Int´egrales de la forme R2π
0R(sin t, cos t)dt, . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
E.2 Int´egrales de la forme R+∞
−∞ R(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
E.3 Int´egrales de la forme R+∞
−∞ f(x)eix dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
E.4 La formule de Gauss R+∞
−∞ e−x2dx =√π. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
E.5 Fonctions pr´esentant des coupures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Transformations int´egrales 119
4.1 La transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.2 Analyticit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.3 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.1.4 Quelques transform´ees de Laplace usuelles . . . . . . . . . . . . 125
4.1.5 Transform´ee de Laplace d’un produit de convolution . . . . . . 128
4.1.6 Transform´ees de Laplace des fonctions . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.7 Inversion de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.8 Equations de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.9 Equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.1.10 Equations aux d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5 Espaces de fonctions holomorphes 145
5.1 La sph`ere de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1.1 Compactification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1.2 La droite projective complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.3 Projection st´er´eographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

TABLE DES MATI` ERES 5
5.1.4 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.5 Le th´eor`eme des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.2.1 Propagation de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2.2 S´eries de fonctions m´eromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.3 Produits infinis de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . 154
5.3 Approximation des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6 Transformations conformes 165
6.1 Applications holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2 Groupes d’automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.1 Automorphismes de C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.2 Automorphismes de P1(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.3 Automorphismes du demi-plan sup´erieur . . . . . . . . . . . . . 169
6.2.4 Automorphismes du disque unit´e D. . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3 Repr´esentation d’un ouvert simplement connexe . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.1 Prolongement au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.4 Le principe de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
F Les homographies 177
F.1 Les transformations de M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
F.1.1 L’inversion sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
F.1.2 La transformation de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
G La transformation de Schwarz-Christoffel 185
7 Les fonctions harmoniques 189
7.1 Fonctions harmoniques dans un disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.2 Probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192