DM bis no 3

ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
DM bis no 3
DM bis no 3
Exercice 1 (Edhec 2013)
Dans cet exercice, la lettre n désigne un entier naturel.
On dispose d'une urne contenant au départ n boules blanches et (n + 2) boules noires. On dispose également d'une réserve innie de boules blanches et de boules noires.
Pour tout entier naturel j , on dit que l'urne est dans l'état j lorsqu'elle contient j boules blanches et
(j + 2) boules noires. Au départ, l'urne est donc dans l'état n.
On réalise une succession d'épreuves, chaque épreuve se déroulant selon le protocole suivant :
Pour tout entier naturel j non nul, si l'urne est dans l'état j , on extrait une boule au hasard de l'urne.
• Si l'on obtient une boule blanche, alors cette boule n'est pas remise dans l'urne et on enlève de plus
une boule noire de l'urne, l'urne est alors dans l'état (j − 1).
• Si l'on obtient une boule noire, alors cette boule est remise dans l'urne et on remet en plus une boule
blanche et une boule noire dans l'urne, l'urne est alors dans l'état (j + 1).
1. Dans cette question, on suppose que n = 1 (l'urne contient donc une boule blanche et 3 boules
noires) et on note X1 la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans
l'urne après la première épreuve et X2 la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches
encore présentes dans l'urne après la deuxième épreuve.
On admet que X1 et X2 sont dénies sur un certain espace probabilisé (Ω, A, P) que l'on ne cherchera
pas à détermine.
(a) Donner la loi de X1 .
(b) Utiliser la formule des probabilités totales pour déterminer la loi de X2 .
(c) Simulation informatique de l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.
Compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans cet exercice et pour qu'il ache les valeurs des variables aléatoires X1 et X2 .
tirage=floor(4*rand())
if tirage==0 then
X1= ......
else X1=......
end
if (X1=0) then
X2=......
else tirage=floor(6*rand())
if tirage<=1 then
X2=......
else X2=......
end
end
disp(X1,X2)
On revient au cas général (n est donc un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1) et on décide que
les tirages s'arrêtent dès que l'urne ne contient plus de boules blanches.
Pour tout j de N, on note alors Ej l'évènement : l'urne est dans l'état j initialement et les tirages
s'arrêtent au bout d'un temps ni . On pose ej = P(Ej ) et l'on a bien sûr e0 = 1.
1
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2. Montrer, en considérant les deux résultats possibles du premier tirage (c'est-à-dire au début du jeu
lorsque l'urne est dans l'état n) que :
∀n ∈ N∗ ,
en =
n+2
n
en−1 +
en+1 .
2n + 2
2n + 2
3. (a) Montrer par récurrence que : ∀n ∈ N, en > en+1 .
(b) En déduire que la suite (en ) est convergente.
On admet pour la suite que lim en = 0.
n→+∞
4. Pour tout entier naturel n, on pose un = (n + 1)en .
(a) Pour tout entier naturel n de N∗ , écrire un+1 en fonction de un et un−1 .
(b) En déduire l'expression de un en fonction de n et e1 .
1
n
+ n+1
.
(c) Montrer enn que l'on a : ∀n ∈ N, en = (2e1 − 1) n+1
Déterminer la valeur de e1 , puis en déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de en en fonction
de n.
Exercice 2 (Edhec 2013)
1. On note B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et on considère l'endomorphisme f de R3 dont la
matrice dans la base B est :


2
A = −1
−1
1
−1
0
2
−1
−1
(a) Vérier que l'on a A2 6= 0 et calculer A3 .
(b) Déterminer une base (a) de Ker f ainsi qu'une base (b, c) de Im f .
(c) Montrer que Im f 2 = Ker f .
Dans la suite, on considère un endomorphisme g de R3 tel que : g 2 6= 0 et g 3 = 0, ce qui signie que g ◦ g
n'est pas l'endomorphisme nul, mais que g ◦ g ◦ g est l'endomorphisme nul.
En désignant par M la matrice de g dans la base canonique B de R3 , on a donc :
M 2 6= 0 et M 3 = 0
On se propose de montrer, dans ce cas plus général, que Im g 2 = Ker g .
2. (a) Montrer que 0 est la seule valeur propre possible de g .
(b) Montrer, en raisonnant par l'absurde, que 0 est eectivement la seule valeur propre de g .
(c) En déduire, toujours en raisonnant par l'absurde, que g n'est pas diagonalisable.
3. (a)
(b)
(c)
(d)
Justier qu'il existe un vecteur u de R3 tel que g 2 (u) 6= 0.
Montrer que ( u, g(u), g 2 (u) ) est une base de R3 , que l'on notera B0 .
Donner la matrice N de g dans la base B0 .
Déterminer Im g et donner sa dimension. En déduire une base de Ker g . Pour nir, déterminer
Im g 2 puis conclure.
2
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Problème 1 (Edhec 2007)
On lance une pièce équilibrée. (la probabilité d'obtenir "pile" et celle d'obtenir "face" étant toutes deux
égales à 12 ) et on note Z la variable aléatoire égale au rang du lancer où l'on obtient le premier "pile".
Après cette série de lancers, si Z a pris la valeur k (k ∈ N∗ ), on remplit une urne de k boules numérotées
1, 2, · · · , k, puis on extrait au hasard une boule de cette urne.
On note X la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée après la procédure décrite ci-dessus.
1. On décide de coder l'événement obtenir un "pile" par 1 et l'événement obtenir un "face"
par 0.
On rappelle que la fonction random renvoie, pour un argument k de type integer (où k désigne un
entier supérieur ou égal à 1) un entier aléatoire compris entre 0 et k − 1.
(a) Compléter le programme suivant pour qu'il ache la valeur prise par Z lors de la première
partie de l'expérience décrite ci-dessus.
z=0 , hasard=0
while (hasard=0) do
z=...... , hasard=......
end
disp(z)
(b) Quelle instruction faut-il rajouter avant la dernière ligne de ce programme pour qu'il simule
l'expérience aléatoire décrite dans ce problème et ache la valeur prise par la variable aléatoire
X?
2. Etablir la convergence de la série de terme général
1 k
2
1
k
(k ∈ N∗ ).
3. Rappeler la loi de Z ainsi que son espérance et sa variance.
4. (a) Pour tout couple (i, k) de N∗ × N∗ , déterminer la probabilité P[Z=k] (X = i)
(b) En déduire que ∀i ∈ N∗ , P (X = i) =
+∞
P
k=i
(c) On admet dans cette question que
1 k
2
1
k
+∞
P +∞
P
=
i=1 k=i
.
+∞
k
P P
. Vérier que
k=1 i=1
+∞
P
P (X = i) = 1
i=1
i−1
5. (a) Montrer que, pour tout entier naturel i non nul, on a : iP (X = i) 6 12
(b) En déduire que X possède une espérance.
P
(c) Montrer, en admettant qu'il est licite de permuter les symboles comme dans la question 4c),
que
E (X) =
3
2
6. (a) Utiliser le résultat de la question 5a) pour montrer que X a un moment d'ordre 2.
P
(b) Etablir, alors, toujours en admettant qu'il est licite de permuter les symboles
comme dans
la question 4c), que
+∞
1X
E X2 =
(k + 1) (2k + 1)
6
k=1
k
1
2
(c) Déterminer les réels a, b et c tels que : ∀k ∈ N∗ , (k + 1) (2k + 1) = ak (k − 1) + bk + c.
(d) En déduire la valeur de E X 2 et vérier que V (X) =
11
.
12
7. (a) Ecrire l'inégalité de Bienaymé-Chebychev, pour la variable X .
(b) En déduire P (X > 3) 6
11
27
8. On se propose de calculer P (X = 1) , P (X = 2) et P (X > 3) .
(a) Ecrire explicitement en fonction de x et n la somme
non nul et x un réel diérent de 1).
n
P
xk−1 (n désignant un entier naturel
k=1
3
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(b) En déduire que : ∀n ∈ N∗ :
n
P
k=1
1
k
1 k
2
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= ln (2) −
x
(c) Montrer que ∀n ∈ N∗ : 0 6 0 1−x
dx 6
R 1/2 xn
En déduire la valeur de lim 0 1−x dx
R 1/2
n
R 1/2
0
xn
1−x dx
1 n
2
n→+∞
(d) Etablir alors que P (X = 1) = ln (2) puis donner la valeur de P (X = 2).
(e) Utiliser les résultats précédents pour calculer P (X > 3), puis donner une valeur approchée de
P (X > 3) en prenant ln 2 ' 0, 7. Que peut-on en déduire en ce qui concerne le majorant trouvé
à la septième question ?
Problème 2 (Edhec 2005)
Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d'un axe d'origine O.
Au départ, le mobile est à l'origine.
Le mobile se déplace selon la règle suivante : s'il est sur le point d'abscisse k à l'instant n, alors, à l'instant
(n + 1) il sera sur le point d'abscisse (k + 1) avec la probabilité p (0 < p < 1) ou sur le point d'abscisse 0
avec la probabilité 1 − p.
Pour tout n de N, on note Xn l'abscisse de ce point à l'instant n et l'on a donc X0 = 0.
On admet que, pour tout n de N Xn est dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ).
Par ailleurs, on note T l'instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l'origine (sans compter
son positionnement au départ).
Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, alors on a
T = 1. Si les abscisses successives sont : 1, 2, 3, 0, 0, 1, alors on a T = 4.
On admet que T est une variable aléatoire dénie sur (Ω, A, P).
1. (a) Pour tout k de N× , exprimer l'évènement (T = k) en fonction d'évènements mettant en jeu
certaines des variables Xi .
(b) Donner la loi de X1 .
(c) En déduire P (T = k) pour tout k de N× , puis reconnaître la loi de T .
2. (a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Xn (Ω) = [[0, n]].
(b) Pour tout n de N× , utiliser le système complet d'évènements (Xn−1 = k)06k6n−1 pour montrer
que : P (Xn = 0) = 1 − p.
3. (a) Établir que : ∀n ∈ N, ∀k ∈ {1, 2, . . . n + 1} , P (Xn+1 = k) = pP (Xn = k − 1).
(b) En déduire que : ∀n ∈ N× , ∀k ∈ {0, 1, 2 . . . , n − 1} , P (Xn = k) = pk (1 − p) .
En déduire également la valeur de P (Xn = n). Donner une explication probabiliste de ce dernier
résultat.
(c) Vérier que
n
P
P (Xn = k) = 1.
k=0
1
4. Dans cette question et dans cette question seulement, on prend p = .
3
On rappelle que random(3) renvoie au hasard un entier de {0, 1, 2}.
Compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience aléatoire étudiée et ache la valeur
prise par Xn pour une valeur de n entrée par l'utilisateur.
n=input('Donner la valeur de n : ')
X=0
for k=1:n do
u=floor(3*rand())
if u==2 then
X=......
else X=......
end
end
disp(X)
5. (a) Montrer que : ∀n > 2,
n−1
P
k=1
kpk−1 =
(n − 1) pn − n pn−1 + 1
(1 − p)
2
.
4
ECE 2 - Mathématiques
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(b) En déduire que E (Xn ) =
DM bis no 3
p (1 − pn )
.
1−p
6. (a) Montrer, en utilisant la question 3a), que : ∀n ∈ N,
2
E Xn+1
= p E Xn2 + 2E (Xn ) + 1 .
(b) Pour tout entier naturel n, on pose un = E Xn2 + (2n − 1)
Montrer que un+1 = pun +
pn+1
.
1−p
p (1 + p)
.
1−p
(c) En déduire l'expression de un , puis celle de E Xn2 en fonction de p et n.
(d) Montrer enn que : V (Xn ) =
p
2
(1 − p)
1 − (2n + 1) pn (1 − p) − p2n+1 .
5