Champ et Potentiel lectrostatiques

Table des matières 1109
Première période
Mécanique 7
Chapitre 1 – Description et paramétrage d’un
mouvement et paramétrage d’un point 9
Rappels de cours 9
1. Espace et temps d'un observateur 9
2. Déplacement élémentaire, vitesse et accélération d'un point
matériel dans les différents systèmes de coordonnées 10
2.1. Trajectoire d'un point matériel 10
2.2. Vecteurs vitesse et accélération du point P dans (R) 10
2.3. Les différents systèmes de coordonnées 11
Exercices 13
1. Course de motos 13
2. Dérivation de vecteurs. Vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques et sphériques 17
3. Système bielle-manivelle 19
4. Distance de sécurité 21
5. Relations de Binet. Application 22
6. Trajectoire plane de deux points matériels (d'après
concours) 25
7. Mouvement d'un point matériel sur une sextique 28
8. Cylindre rétrécissant 31
9. Loxodromie 34
10. Trajectoire d'un satellite. Projection cylindrique perspective
et projection de Mercator 38
Chapitre 2 – Dynamique du point en Référentiel
Galiléen 46
Rappels de Cours 46
I. Première loi de Newton ou principe d'inertie 46
2. Deuxième loi de Newton, loi fondamentale de la dynamique
ou principe fondamental de la dynamique 46
3. Troisième loi de Newton, loi des actions réciproques ou loi
des actions mutuelles 47
4. Tension d'un ressort 47
5. Fil idéal et poulie idéale 47
6. Puissance d'une force 48
7. Travail d'une force 48
8. Théorème de l'énergie cinétique 48
4.1. Énergie cinétique 48
4.2. Théorème de la puissance cinétique 49
4.3. Théorème de l'énergie cinétique 49
Outils mathématiques 49

1110 Table des matières
Champ scalaire - Champ vectoriel 49
Résolution d'équations différentielles usuelles du premier et du
deuxième ordre 49
Exercices 54
1. Smash de volley-ball 54
2. Chute verticale 56
3. Frottement fluide 58
4. Chute d'un caillou dans un puit 60
5. L'oiseau et le chasseur 62
6. Écureuil et chasseur 65
7. Masse suspendue par deux ressorts 67
8. Ressorts en parallèle et en série 68
9. Tension d'un fil 70
10. Masses et poulie 72
11. Vélodrome 73
12. Étude du comportement d'un skieur 74
13. Enroulement d'un fil sur un cylindre 77
14. Voilier solaire (d'après concours) 79
15. Freinage d'une automobile 82
16. Ralentissement d'un navire 84
17. Glissade sur un igloo 86
18. Looping 88
19. Ressort et énergie potentielle élastique 89
Chapitre 3 – Problème à un degré de liberté 91
Rappels de Cours 91
1. Énergie potentielle 91
1.1. Champ de forces conservatif 91
1.2. Énergie potentielle 91
2. Exemples usuels d'énergies potentielles 91
2.1. Énergie potentielle de pesanteur 91
2.2. Énergie potentielle élastique 91
3. Intégrale première de l'énergie 92
4. Équilibres et stabilité 92
4.1. Recherche des positions d'équilibre 92
4.2. Stabilité des positions d'équilibre 92
4.3. Petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable 93
5. Approche du portrait de phase 94
6. Système du premier ordre 94
7. Évolution libre des systèmes du second ordre 96
8. Propriétés générales des trajectoires de phase pour le
second ordre 96
8.1. Unicité de la trajectoire de phase 96
8.2. Signification physique de la tangente 96

Table des matières 1111
8.3. Sens de parcours d'une trajectoire de phase 97
9. Équation différentielle linéaire et invariance par dilatation 97
10. Systèmes conservatifs 98
10.1. Conséquences de la conservation de l'énergie 98
10.2. Trajectoires de phase fermées 100
11. Systèmes dissipatifs 101
11.1. Propriétés générales 101
11.2. Évolutions libres, attracteur ponctuel 102
11.3. Trajectoires de phase d'un oscillateur harmonique amorti 102
Conseils pratiques 104
Exercices 105
1. Différentes approches de l'oscillateur harmonique 105
2. Masse fixée à deux ressorts verticaux 106
3. Pendule asymétrique 109
4. Pendule de Holweck et Lejay 113
5. Étude d'un oscillateur relié à un chariot en mouvement 115
6. Comportement d'un aimant dans un puits de potentiel
anharmonique 118
7. Énergie potentielle de pesanteur : le pendule de Mach 123
8. L'oscillateur de LANDAU (d'après concours) 125
Électrocinétique 129
Chapitre 4 – Lois générales dans le cadre de
l’approximation des régimes quasi-stationnaires 131
Rappels de Cours 131
I. Lois générales dans le cadre de l'approximation quasi-
stationnaire 131
I.1. Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) 131
1.2. Intensité du courant électrique 131
1.3. Loi des nœuds 131
1.4. Loi des mailles 132
2. Le dipôle électrocinétique 132
2.1. Conventions d'orientation 132
2.2. Caractéristique statique courant-tension d'un dipôle 133
2.3. Dipôles passifs linéaires 133
2.4. Dipôles actifs linéaires, les générateurs 134
2.5. Association de dipôles 135
3. Réseaux électriques linéaires en régime continu 1136
3.1. Étude par les lois de Kirchhoff 136
3.2. Outils usuels permettant la simplification de l'étude des
circuits 137
Conseils pratiques 138
Exercices 139
1. Détermination d'une résistance équivalente 139

1112 Table des matières
2. Calcul de résistance équivalente par considération de
symétrie 139
3. Transformation triangle-étoile et étoile-triangle 142
4. Utilisation du théorème de Kennelly 144
5. Résistance itérative 146
6. Résistance d'un conducteur tronconique 148
7. Pont de Wheatstone 149
8. Modèles de Thévenin et de Norton 150
9. Comparaison de diverses méthodes 152
10. Un circuit tout rond 157
Chapitre 5 – Circuits linéaires en régime
transitoires 161
Rappels de Cours 161
I. Régime transitoire d'un circuit RC 161
I.1. Réponse libre d'un circuit RC 162
I.2. Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension. Réponse
indicielle 163
I.3. Bilan énergétique 163
2. Régime transitoire d'un circuit RL 164
2.1. Réponse libre d'un circuit RL 164
2.2. Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension. Réponse
indicielle 165
2.3. Bilan énergétique 165
3. Régime transitoire d'un circuit RLC série 166
3.1. Réponse libre d'un circuit RLC série 166
3.2. Réponse d'un circuit RLC série à un échelon de tension.
Réponse indicielle 168
3.3. Bilan énergétique 169
Outils mathématiques 170
Conseils pratiques 171
Exercices 171
1. Étude théorique et expérimentale d'un circuit RC 171
2. Étude de circuits RL (d'après ENAC Pilotes 99) 176
3. Régimes transitoires 178
4. Décharge d'un condensateur dans un autre condensateur 182
5. Mesure de résistances de fortes valeurs 184
6. Étincelle de rupture 187
7. Étude d'un circuit RC alimenté par un signal en créneau 188
8. Couplage de circuits par une bobine 191
9. Étude d'un tube au néon 194
10. Réponse indicielle d'un circuit de Wien 196
11. Étude d'un circuit RLC parallèle (extrait des Mines d'Alès
93) 200

Table des matières 1113
Optique 205
Chapitre 6 – Réflexion et réfraction 207
Rappels de Cours 207
Bases et principes de l'optique géométrique 207
Outils mathématiques 208
Conseils pratiques 208
Exercices 208
1. Observation de la quille d'un bateau 208
2. Coins rétroréflecteurs 210
3. Lame à faces parallèles 210
4. Réflexion totale 211
5. Prisme à réflexion totale 212
6. Bloc sous l'eau 213
7. Principe d'un réfractomètre 214
8. Dièdre réfléchissant 215
9. Étude du prisme (d'après concours) 218
10. Arc-en-ciel (d'après concours) 221
11. Fibre optique (d'après concours) 225
Chapitre 7 – Miroirs sphériques et lentilles minces
dans l’approximation de Gauss 229
Rappels de Cours 229
I. Objets, images réels et virtuels 229
2. Miroirs sphériques dans l'approximation de Gauss 230
2.1. Caractéristiques 230
2.2. Constructions graphiques 234
3. Lentilles minces dans l'approximation de Gauss 235
3.1. Caractéristiques 235
3.2. Constructions graphiques 238
3.3. Associations 240
Conseils pratiques 241
Exercices 241
1. Miroirs sphériques 241
1. Tracé d'un rayon quelconque 242
2. Image par un miroir sphérique 243
3. Détermination de la distance focale d'un miroir sphérique 243
4. Cavité optique 244
5. Observation d'objets célestes (d'après concours) 246
1I. Lentilles minces et associations 248
6. Déterminations simples de la distance focale d'une lentille
mince convergente 248
7. Lentille et miroir plan 250
8. Détermination de la nature d'une lentille mince 251