Ecoulements et transferts thermiques

ECOULEMENTS ET TRANSFERTS
THERMIQUES
MEC 566
Année 2008-2009
Hervé Lemonnier
Commissariat à l’Energie Atomique
CEA/Grenoble, DTN/SE2T, 38054 Grenoble Cedex 9, France
Version of 9th March 2009
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ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Preface
Ecoulements et transferts de chaleur
L’objectif de ce cours est d’aborder les méthodes rationnelles de modélisation des écoulements
avec transferts de chaleur ou de masse. Ce cours est nouveau et sera sûrement l’objet de
réglages, c’est pourquoi le support de cours proposé est réduit à l’essentiel.
L’essentiel du message porté par le cours est méthodologique. La modélisation des systèmes
de production d’énergie peut être pratiquée à différentes échelles et les problèmes à résoudre
leur sont spécifiques. Une caractéristique commune à toutes ces échelles est que la modélisation
ne peut reposer que sur l’application des principes fondamentaux, ce qui ne permet pas, en
général, de résoudre entièrement le problème. En effet, déjà à l’échelle du milieu continu, ces
équations ne sont pas fermées et une modélisation est nécessaire. Lorsque l’on veut décrire
uniquement les grandeurs moyennes comme la vitesse, la pression et les températures moyennes,
le problème de fermeture est toujours présent et le recours à l’expérience est fréquemment
indispensable. Cette étape de modélisation est importante pour assurer la qualité des résultats
et la l’application de principes rigoureux pour la modélisation, la qualification et la vérification
des modèles est un pré-requis à l’analyse et au dimensionnement des dispositifs industriels.
Les écoulements diphasiques comme ceux qui se déroulent dans une chaudière ou un réacteur
nucléaire en conditions accidentelles montrent une diversité inédite par rapport aux écoulements
monophasiques et bien comprendre les structures qui apparaissent dans ces écoulements permet
de mieux appréhender leur description. Une part importante du cours sera dédié à la description
phénoménologiques de ce ces écoulements et des transferts de chaleur, notamment, dont ils sont
le siège.
L’ensemble des notions abordées sont les suivantes :
1. Thermodynamique et changement de phase. Rappel des principes, relations utiles, équilibre
thermodynamique des corps purs et des mélanges, conditions de stabilité thermodynamique. (PC : Bilans sur un système ouvert, règle de Leibniz, détente d’un mélange
réactif)
2. Equations de bilan monophasiques, pour les transferts de chaleur et de masse. Fermeture
des flux par la TPI, Enoncé des principes pour un système ouvert, équations locales, forme
convective, flux totaux et flux diffusifs, sources d’entropie, fermeture. (PC : démonstration
des conditions de stabilité, calcul des propriétés de saturation à partir de l’énergie libre
pour l’eau)
3. Transferts de chaleur et de masse : mécanismes élementaires. Conduction, convection,
analogies de Reynolds, Chilton-Colburn (PC : Eckert et Jackson NACA-TR-1015 : convection naturelle turbulente le long d’une plaque verticale)
4. Ecoulements diphasiques. Occurrence industrielle et régimes d’écoulements (et leurs
modèles) (PC : Pressurisation d’une enceinte)
4
PREFACE
5. Instrumentation pour les écoulements diphasiques, et les modèles simple de taux de vide
(PC analyse de données RMN)
6. Equations de bilan locales 1D instationnaires et moyennées en temps et 3D moyennées
en temps. Problématique de la fermeture, aire interfaciale, flux. (PC: exemple des
écoulements dispersés, refroidissement des gaz chauds par injection de liquide)
7. Les modèles 1D modèle à deux fluides, modèles à flux de dérive et modèle homogène. La
loi topologique (cohérence physique et nature différentielle des modèles à deux équations
d’impulsion) L’instabilité de Kelvin-Helmholtz. (Mise en oeuvre de modèles simples HEM,
HRM)
8. Phénoménologie des transferts de chaleur en ébullition et condensation pour les fluides
purs. (PC : Analyse de données de Sultan RJH)
9. Le blocage de débit en écoulement diphasique, propagations et points critiques. (PC : étude
simplifiée de la décompression d’un réacteur nucléaire)
La version initiale du support de cours comprend les bases, ch 1, 2, 6, soit principalement
les équations et des annexes (démonstrations, la tension de surface, propriétés thermodynamiques et de transport de l’eau) La description des écoulements diphasiques et des
des transferts de chaleur pour les réacteurs nucléaire est décrite en détail dans le livre, en
français, de Delhaye (2008) que je recommande absolument.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Section 1
Eléments de thermodynamique
1.1
Introduction
L’objet de ce chapitre est de décrire les concepts thermodynamiques permettant de prendre
en compte le changement de phase d’un fluide pur ou composé. La chaleur de changement de
phase ou de réaction, sont des propriétés thermodynamiques des fluides. Lorsque l’on utilise
un fluide pour transporter de la chaleur, la convertir en énergie mécanique, on va décrire ces
transformations à l’aide d’équations de bilan. Ces équations de bilan expriment les principes
fondamentaux de la mécanique et de la thermodynamique pour un fluide quelconque. Les
propriétés particulières du caloporteur considéré sont apportées, en partie, par son modèle
thermodynamique.
Cette section est davantage conçue comme un formulaire permettant les calculs techniques
plutôt qu’un cours de thermodynamique. On suppose connu l’énoncé des deux principes de la
thermodynamique ainsi que la notion de variable d’état et de fonction d’état. Les ouvrages de
premier cycle contiennent l’essentiel de ce qui est utile en transferts de chaleur et de masse
(voir par exemple Dreyfus & Lacaze, 1971, Annequin & Boutigny, 1973).
La difficulté essentielle, en transferts de chaleur, provient d’une confusion répandue entre
l’énergie interne, l’enthalpie et la température. On utilise souvent, sans vraiment y réfléchir, les
relations, u = CV T ou h = CP T qui laisseraient penser qu’il y a une grande similitude entre
ces trois quantités. Ces approximations, souvent utiles, et parfois justifiées, cachent la richesse
des informations dont on dispose lorsque l’enthalpie, h(T, p) est connue. Par exemple, pour un
fluide pur, sa connaissance permet de déterminer entièrement les comportements suivants.
• Pour une pression et une température donnée, le corps pur peut exister sous forme liquide
ou vapeur, parfois les deux en même temps. Dans d’autres cas il n’ y a qu’un seul état
possible.
• Il existe des conditions particulières de coexistence des phases, c’est-à-dire les conditions
d’équilibre liquide-vapeur : l’eau bout vers 100o C, sous une atmosphère.
• Il faut 2 MJ environ créer un kg de vapeur d’eau à partir d’un kg d’eau liquide : le coût
énergétique du changement de phase est aussi déterminé par le modèle thermodynamique.
Un mélange de gaz peut brûler. La chaleur de réaction et les conditions d’équilibre chimique
de la réaction sont également entièrement déterminées par la donnée de l’enthalpie h(T, p).
Les mélanges binaires, comme ceux formés d’eau et d’alcool éthylique, possèdent davantage
de degrés de libertés qu’un fluide pur. Le modèle thermodynamique apporte les informations
suivantes,
• Le mélange d’un litre d’alcool pur et d’un litre d’eau donne moins de 2 litres de mélange.
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ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
• Le mélange de l’acide sulfurique et de l’eau dégage de la chaleur.
• Un mélange d’eau et d’alcool bout entre 80 et 100o C environ à la pression atmosphérique.
Pour une composition donnée du liquide, à une pression et une température données, la
vapeur formée est un toujours un mélange de vapeur d’eau et d’alcool. Sa composition ne
dépend que de celle du liquide.
Pour les fluides purs et courants, les données thermodynamiques sont nombreuses et
précises. On dispose alors de descriptions thermodynamiques représentant fidèlement tous les
comportements possible du fluide. En revanche, les mélanges de fluide sont souvent moins bien
connus, s’il n’ont pas été étudiés pour leur intérêt pratique. On possède alors des modèles
thermodynamiques partiels, reposant sur des approximations thermodynamiques.
Parmi les approximations les plus importantes, au regard des applications, il y a le modèle
de gaz parfait et le mélange idéal. Ces modèles sont importants et sous-tendent les modèles
de gaz réels et de mélanges réels ; les seconds prenant en compte les écarts des premiers par
rapport à la réalité. Il est donc fondamental de bien comprendre les modèles simplifiés pour
utiliser correctement les modèles réels. Nous nous limiterons à la description des modèles
simplifiés et on appréciera toutefois leur richesse.
Parmi les informations que ne contiennent pas les modèles thermodynamiques, il y a les propriétés de transport. La thermodynamique décrit les états d’équilibre d’un système. Le temps
n’est pas une variable significative en thermodynamique classique. Même si le second principe
permet de décrire le sens d’évolution d’un système, le modèle thermodynamique ne comporte
aucune des informations permettant de déterminer la vitesse d’évolution des phénomènes. Les
caractéristiques des matériaux qui contrôlent la vitesse de transformation du système sont souvent des propriétés de transport. Ces propriétés déterminent en grande partie l’intensité des
transferts de chaleur et de masse. Un modèle thermodynamique ne donne pas les informations
suivantes,
• Une cuillère en argent brûle rapidement les mains si on s’en sert pour remuer des pates
pendant leur cuisson. En revanche, une cuiller en bois est beaucoup plus sûre.
• Le sirop de menthe et l’eau d’un verre mettent plusieurs jours à se mélanger si on arrive à
les y introduire séparément. Les gaz se mélangent 1000 fois plus vite, toutes choses étant
égales par ailleurs.
• Une bouteille d’eau se vide plus vite qu’une bouteille d’huile.
• On peut laisser pendant longtemps un mélange d’hydrogène et d’oxygène dans un récipient
sans observer de changement notable. Toutefois, si on chauffe un peu, un inflammation ou
une explosion peut intervenir et transformer le mélange en vapeur d’eau.
• Au bout de quelques heures après l’ouverture d’une bouteille de champagne, les bulles
disparaissent. Toutefois, si on chauffe ou secoue la bouteille, la disparition des bulles est
beaucoup plus rapide.
1.2
Définitions des variables de composition
La quantité de matière dans un mélange est décrite de deux points de vue.
• Le point de vue mécanique où seul l’effet de la masse inerte importe. La qualité chimique
des éléments est sans importance, seule leur masse importe. On appelle les variables et
unités associées, les variables et unités massiques.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
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• Le point de vue de la chimie, où les réactions sont considérés comme des processus
d’appariement ou de fractionnement d’un ensemble d’atomes regroupés en molécules diverses. On comptera la matière dans une unité qui est directement représentative d’un
nombre donné d’atomes ou de molécules. On appelles les variables et unités associées, les
variables et unités molaires.
• Masse et quantité de matière sont proportionnelles. Ce sont toutefois des grandeurs fondamentales indépendantes.
La quantité de matière s’exprime dans le système international en mole (symbole mol). C’est
par définition la quantité de matière correspondant à N entités identiques,
N = 6, 022045 1023 mol-1
(1.1)
où N est le nombre d’Avogadro. La constante de proportionnalité entre la masse et la quantité
de matière d’un corps pur, composé ou d’un mélange définit sa masse molaire,
m
(1.2)
M=
n
Pour une substance donnée, la masse molaire est le quotient de la masse, m, à la quantité
de matière, n, contenue dans le système. Par exemple la masse molaire de l’eau liquide comme
de sa vapeur est de 18 g/mol environ.
1.2.1
Masse volumique et concentration
Considérons un volume déterminé V contenant un mélange de N constituants. Désignons par
l’indice α les composants de même nature chimique du mélange. On définit la masse volumique
du composant α par le quotient de la masse mα du constituant considéré par le volume considéré.
mα
ρα ,
, [kg/m3 ]
(1.3)
V
La norme (AFNOR, 1979, p. 148) recommande d’appeler cette variable la concentration
en masse du constituant α. Pour éviter les confusions et, au regard de la définition de cette
grandeur, nous l’appellerons la masse volumique du constituant α. En anglais, on utilise indifféremment mass concentration ou density. Notre usage est conforme au dernier terme anglais.
On définit la concentration de l’espèce α, cα , comme le quotient de la quantité de matière
de l’espèce considérée dans le volume considéré.
nα
, [mol/m3 ]
(1.4)
cα ,
V
La norme (AFNOR, 1979, p. 150) recommande d’appeler cette variable la concentration
en quantité de matière. En anglais on utilise molecular concentration. Nous désignerons cette
variable par le nom court de concentration de l’espèce α, puisqu’il n’a aucune confusion possible
avec la masse volumique.
La masse volumique du mélange est définie selon l’usage courant en mécanique. On a de
plus,
X
ρ=
ρα
(1.5)
α
La concentration (totale) du mélange est définie comme le quotient de la quantité de matière
contenue dans le volume par la mesure du volume considéré. On a aussi,
X
c=
cα
(1.6)
α
8
ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
ρ= m
V =
ρA = mVA
ρB = mVB
ωA = ρρA
ωB = ρρB
Paramètres massiques
cM
masse volumique
= cA MA masse volumique de A
= cB MB masse volumique de B
fraction massique de A
fraction massique de B
ωA =
xA MA
M
Paramètres molaires
c= =
concentration totale
ρA
cA = nVA = M
concentration
espèce A
A
ρB
nA
cB = V = MB concentration espèce B
xA = ccA
fraction molaire de A
cB
xB = c
fraction molaire de A
n
V
xA MA
xA MA +xB MB
MA MB
∇xA
M2
=
ρ
M
xA =
∇ωA =
ωA /MA + ωB /MB = 1/M
ρA + ρ B = ρ
ωA + ωB = 1
ωA /MA
1/M
ωA /MA
ωA /MA +ωB /MB
M2
MA MB ∇ωA
=
∇xA =
xA MA + xB MB = M
cA + cB = c
xA + xB = 1
Tableau 1.1: Relation entre les paramètres de composition massiques et molaires. Par souci de simplification,
on s’est limite à deux constituants.
1.2.2
Fractions massiques et molaires
On définit la composition du mélange dans chaque système de grandeurs massique ou molaire.
On appelle fraction massique 0 6 ωα 6 1, le quotient de masse volumique du composant α à la
masse volumique du mélange.
ωα =
ρα
ρ
(1.7)
Le terme anglais est identique (mass fraction). On définit de même la fraction molaire, x pour
un liquide ou un solide et y pour un gaz par,
xα =
cα
c
cα
yα =
c
pour un liquide ou un solide
(1.8)
pour un gaz
On a évidemment 0 6 x 6 1. En anglais on utilise le terme non-ambigu de mole fraction. Le
tableau 1.1 résume les relations entre ces différents variables pour un système à deux constituants
seulement.
Cas particulier important des gaz parfaits.
d’état,
Un gaz parfait est défini par son équation
pV = nR̃T
(1.9)
où p est la pression, T est la température absolue, n est la quantité de matière contenue dans le
volume V , R̃ est la constante molaire des gaz parfaits,
R̃ = 8, 31451 J/mol/K
(1.10)
Si on considère maintenant la masse, m contenue dans le volume V considéré, l’équation
d’état s’écrit,
b
pV = mRT
(1.11)
b = R̃/M est la constante massique des gaz parfaits. Cette dernière dépend de la nature du
R
b = 287, 04 J/kg/K environ.
gaz ou de sa composition. Pour l’air on a R
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ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Un mélange de gaz parfaits est un gaz parfait. On définit la pression partielle d’un constituant
d’un mélange de gaz parfaits, pα , par l’équation des gaz parfaits. C’est la pression qu’aurait le
gaz, s’il occupait seul le volume du mélange V .
pα V = nα R̃T
(1.12)
Noter que l’on ne sait pas définir une pression partielle simplement en dehors du cadre des gaz
parfaits. On voit, en effectuant le quotient membre à membre de (1.12) et (1.11), que pour un
gaz parfait,
pα
yα =
(1.13)
p
On notera deux autres formes pratiques de l’équation des gaz parfaits.
pṼ = R̃T
(1.14)
p
R̃
b
= pVb =
T = RT
ρ
M
(1.15)
où Ṽ est le volume molaire, et
où Vb = v est le volume massique qui est également l’inverse de la masse volumique ρ. On notera
b est différente pour chaque corps purs,
à nouveau que la constante des gaz parfaits massique R,
et dépend de la composition pour un mélange. Son appellation de constante dans ce cas est
passablement abusive. Finalement, en divisant la relation des gaz parfaits (1.11) par le volume
considéré, on obtient,
p = cR̃T
(1.16)
Dans un mélange de gaz à pression et températures constantes, la concentration totale est
constante.
On notera également que pour un gaz parfait, la somme des fractions molaires des constituants est 1 et qu’en conséquence la somme des des pressions partielles est la pression du mélange
p.
X
X
yα = 1 ⇒
pα = p
(1.17)
α
α
La pression partielle d’un constituant d’un gaz parfait est indépendante de la présence
des autres gaz. Cela est cohérent avec le modèle de gaz parfait qui considère qu’il n’y a pas
d’interactions entre les constituants du mélange.
1.3
1.3.1
Les deux principes de la thermodynamique
Objet de la thermodynamique
L’objet principal de la thermodynamique est de décrire les systèmes en équilibre et de donner
des relations, énergétiques notamment, entre ces états. Les états d’équilibres d’un système, sont
caractérises par les observations suivantes.
• Pour un état d’équilibre, on sait définir (mesurer) des variables d’état, p, T , V , etc.
• contre-exemples : diffusion de la chaleur dans une barre : la température (donc unique)
du système n’est pas définie puisque variable spatialement. Toutefois on comprend qu’on
pourra étendre la notion de variable d’état et la considérer comme un champ. Toutefois,
nous verrons que la situation considérée ici n’est pas une situation d’équilibre. D’une façon
générale les situations où existent des gradients dans le système ne sont pas des situations
d’équilibre.
10
ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
• Les variables d’état d’un système en équilibre sont liés par une relation d’état comme par
exemple : f (p, V, T ) = 0. Cette observation est une constatation expérimentale.
• Certaines variables d’état s’additionnent lorsque l’on réuni deux système. C’est le cas de
masse ou de la quantité de matière par exemple. Ces variables sont dites extensives.
• D’autres comme celles qui apparaissent dans l’équation d’état ne possèdent pas cette
propriété, elle définissent la qualité du système : si deux systèmes possédant la même
température sont réunis, alors leur réunion possède également cette température. Ces
variables sont appellees intensives.
Les deux principes de la thermodynamique, comme les autres principes fondamentaux,
s’appliquent à un système fermé, c’est-à-dire, un système qui n’échange pas de masse avec
l’extérieur. On verra qu’on peut les étendre, par un transformation mathématique simple, à un
système ouvert. Le volume matériel de la mécanique des milieux continus est un exemple de
système fermé. En conséquence, sa masse reste constante.
1.3.2
Le premier principe : équivalence de la chaleur et du travail mécanique
Le premier principe considère et relie deux états d’équilibres (A-B) et postule l’existence de U
, l’énergie interne du système, qui exprime le coût énergétique de la transformation de A à B.
D’après le principe, le coût est indépendant de la façon dont on est passé de A à B. On peut,
sur tout le trajet, rester à chaque étapes à l’équilibre (transformation réversible) ou non, auquel
cas on ne peut pas définir, lors des étapes intermédiaires la valeur des variables d’état.
On doit considérer toutes les formes d’énergie, pour un système mécanique on considère
l’énergie mécanique (ou cinétique) et l’ensemble des contributions provenant des mouvements
divers du fluide par rapport au centre de masse que l’on regroupe globalement sous une forme
unique : l’énergie interne.
UBt − UAt = ∆U t = W + Q
(1.18)
où on note respectivement W et Q le travail fourni et la quantité de chaleur apportée au
système. U t représente l’énergie totale du système, somme de l’énergie interne et mécanique.
C’est une variable extensive.
Vu du premier principe, le travail et la chaleur sont indiscernables, d’où parfois le nom de
principe d’équivalence du travail et de la chaleur que l’on donne parfois au premier principe.
1.3.3
Le second principe : sens dévolution des systèmes
Le second principe postule l’existence d’une seconde fonction d’état, S, l’entropie du système.
Elle est définie par sa variation pour un système fermé, lors d’une transformation réversible,
c’est-à-dire à tout moment à l’équilibre. Pour une transformation réversible donc, la variation
d’entropie est liée à la quantité de chaleur apportée au système par,
∆S ,
Qrev
T
(1.19)
où Qrev représente la chaleur apportée reversiblement au système et T est la température
commune du système et de la source de chaleur.
Le second principe considère une transformation quelconque au cours de laquelle on apporte
la quantité de chaleur, Q, au système et T est la température de la source de chaleur. Alors
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
11
pour cette transformation,
∆S >
Q
T
(1.20)
Le second principe s’énonce sous la forme d’un inégalité. Il est souvent plus commode de
l’écrire sous une autre forme équivalente. On associe à l’apport de chaleur, l’apport d’entropie
venant de l’extérieur que l’on définit par,
∆Se =
Qrev
T
(1.21)
Pour une transformation quelconque, la variation d’entropie comprend un contribution correspondant au transfert de chaleur réversible est un complément que l’on note ∆Si , qui correspond
à une création d’entropie interne au système, le second principe peut encore s’écrire,
∆S = ∆Se + ∆Si , avec ∆Si > 0
(1.22)
Pour une transformation réversible, l’inégalité (1.20) devient une égalité et on a ici, ∆Si = 0.
Les conséquences du second principe sont les suivantes,
• L’entropie d’un système fermé et isolé thermiquement (Q = 0) ne peut que croı̂tre.
• L’état d’équilibre est atteint quand l’entropie du système est maximum, puisqu’alors elle
ne peut plus croı̂tre.
La second principe complète le premier principe et permet de déterminer si la transforation
A-B est possible. Il permettra notamment de déterminer les conditions d’équilibre thermodynamique d’un système. On verra, de plus, qu’il impose les conditions nécessaires au le retour à
l’équilibre d’un système qui aurait été écarté de ses conditions d’équilibre.
1.4
Système ouvert, système fermé
Les deux premiers principes, comme ceux de la mécanique des milieux continus, sont exprimés
pour un système fermé. En mécanique des milieux continus, on considère également des
volumes matériels dont la frontière se déplace avec la vitesse du milieu. Par définition, un
volume matériel possède une masse constante puisqu’au aucun débit ne le traverse. Le principe
de conservation de la masse appliqué à un volume matériel s’énonce donc de la façon suivante :
la masse d’un volume matériel est constante.
Le premier principe de la thermodynamique peut être appliqué à un système matériel,
puisque c’est un système fermé. Dans ce cas il s’énonce : la variation d’énergie totale d’un
système matériel, Vm (t) est égale à la puissance mécanique et thermique apportée au système
(la puissance est par définition une énergie par unité de temps). L’expression mathématique
correspondant à ces deux énoncés est,
• Pour le bilan de masse :
d
dt
Z
ρdV = 0
(1.23)
Vm (t)
• Pour le premier principe :
d
dt
1 2
ρ u + v dV = Ẇ + Q̇
2
Vm (t)
Z
(1.24)
12
ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
W , Q
1
V
2
v
p
Figure 1.1: On considère une système ouvert auquel on apporte une puissance mécanique Ṗ et thermique Q̇.
On considère un volume matériel à deux instants proches (vert et rouge)
où u est l’énergie interne du fluide par unité de masse et 21 v 2 est l’énergie mécanique par unité
de masse. Ẇ et Q̇ représentent respectivement la puissance mécanique et thermique apportée
au système.
Pour trouver une expression simple du bilan de masse et du premier principe pour un système
ouvert en régime permanent, on peut raisonner sur le système ouvert décrit à la figure 1.1. Il
comporte une entrée (1) et une sortie (2). On considère un volume matériel dont les positions à
deux instant proches, séparée par la durée τ , ont été matérialisées par ses limites en vert et en
rouge. Sur ce volume matériel, le bilan de masse et le premier principe s’écrivent selon (1.23) et
(1.24). On considère de plus les hypothèses suivantes,
• les vitesses sont uniformes dans les conduites d’entrée et de sortie,
• on ne considère que l’action de la pression sur les sections d’entrée et de sortie,
• les frontières du système autres que celles correspondant à l’entrée et à la sortie sont
imperméables et fixes,
• les frontières du volume matériel se déplacent avec la vitesse supposée uniforme du fluide
en entrée et sortie.
Considérons la masse contenue dans le volume matériel au premier instant, M1 . Elle comprend d’une part la masse contenue dans le volume V , fixe, commun aux deux positions du
volume matériel et la contribution de la masse correspondant au volume balayé par la frontière
mobile à l’entrée, pendant le temps τ . Au second instant la masse, M2 est constituée de la
contribution du volume V et du volume balayé par la frontière mobile en sortie. On a alors,
Z
Z
M1 =
ρdV + A1 ρ1 v1 τ, M2 =
ρdV + A2 ρ2 v2 τ
(1.25)
V
V
où A1 et A2 sont respectivement les sections de passage du fluide en entrée et sortie. Le taux
de variation de la masse du volume matériel est donnée par,
Z
dM
d
= lim (M2 − M1 ) =
ρdV + A2 ρ2 v2 − A1 ρ1 v1
(1.26)
τ →0
dt
dt V
On notera que la quantité Ai ρi vi représente le débit masse, ṁi , traversant la section correspondante (kg/s). Par le même raisonnement, on peut calculer le taux de variation de l’énergie
totale du volume matériel en considérant l’énergie totale du volume matériel aux deux instants,
Z
1 2
1 2
t
U1 =
ρ u + v dV + A1 ρ1 v1 τ u1 + v1 ,
2
2
V
Z
1
1 2
t
2
U2 =
ρ u + v dV + A2 ρ2 v2 τ u2 + v2 ,
(1.27)
2
2
V
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
13
et en passant à la limite,
dU t
d
= lim (U2 − U1 ) =
τ →0
dt
dt
Z
V
1 2
1 2
1 2
ρ u + v dV + A2 ρ2 v2 u2 + v2 − A1 ρ1 v1 u1 + v1 ,
2
2
2
(1.28)
où on notera que les deux derniers termes s’interprètent comme les débits d’énergie (J/s≡ W)
sortant et entrant de V . Un débit d’énergie est homogène à une puissance.
En régime permanent, la masse du volume V ne varie pas. En conséquence, le bilan de masse
s’écrit (1.26),
Z
dM
d
=
ρdV + A2 ρ2 v2 − A1 ρ1 v1 = 0, ṁ2 − ṁ1 = 0
(1.29)
dt
dt V
Les débits masse entrant et sortant sont égaux. De même, la variation d’énergie totale du volume
matériel devient dans les même conditions,
dU t
1
1
1
1
= A2 ρ2 v2 u2 + v22 − A1 ρ1 v1 u1 + v12 = ṁ2 u2 + v22 − ṁ1 u1 + v12
dt
2
2
2
2
(1.30)
L’application du premier principe requiert de faire l’inventaire des apports d’énergie au
système matériel. Ce dernier reçoit d’une part la puissance mécanique Ẇ et thermique Q̇ et,
d’autre part, la puissance des efforts de pression s’appliquant sur les sections d’entrée et de
sortie. La force appliquée est Ak pk , dirigée vers le volume et la puissance correspondante est
donnée par le produit scalaire de la force par la vitesse. En tenant compte des signes respectifs
des contributions, on a,
dU t
= Ẇ + Q̇ + A1 p1 v1 − A2 p2 v2 .
dt
En utilisant, la relation établie précédemment (1.30), il vient,
1 2
1 2
ṁ2 u2 + v2 − ṁ1 u1 + v1 = Ẇ + Q̇ + A1 p1 v1 − A2 p2 v2 .
2
2
(1.31)
(1.32)
En regroupant les différents termes, on fait apparaı̂tre la quantité,
h,u+
p
ρ
(1.33)
Cette quantité est une autre fonction d’état et s’appelle l’enthalpie. Elle est ici rapporté à
l’unité de masse, c’est l’enthalpie assidue. En introduisant cette nouvelle fonction, le premier
principe appliqué à un système ouvert en régime permanent s’exprime par,
1 2
1 2
ṁ2 h2 + v2 − ṁ1 h1 + v1 = Ẇ + Q̇.
(1.34)
2
2
En introduisant l’enthalpie totale, définie comme l’énergie interne totale, somme de
l’enthalpie et de l’énergie cinétique par unité de masse,
1
ht , h + v 2 ,
2
(1.35)
on observe que le premier principe s’exprime sous la forme d’un bilan d’enthalpie,
ht2 − ht1 =
Ẇ + Q̇
,
ṁ
(1.36)
14
ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
où on a aussi pris en compte le bilan de masse (1.29) et le membre de droite représente la
quantité de chaleur et le travail mécanique (autre que celui des forces de pression appliquées en
entrée et sortie) par unité de masse traversant le système.
Cette relation permet de faire le bilan d’énergie entrée-sortie des composants constituant
une machine de production d’énergie. Dans la chaudière, on apporte de la chaleur mais pas
de travail. Le premier principe fournit le bilan thermique du réacteur, l’enthalpie croı̂t au
passage du réacteur. Dans la turbine, le fluide fournit à l’extérieur (l’arbre de l’alternateur) un
travail mécanique (W < 0), l’enthalpie décroı̂t au passage de la turbine. Dans un échangeur de
chaleur, la chaleur perdue par un fluide est transférée à l’autre, ces transformations sont encore
décrites par le bilan thermique.
On notera que les bilans de masse (1.26) et d’énergie totale (1.28) ont été établis ici avec
des hypothèses restrictives et un procédé approximatif. On verra plus loin que ces résultats sont
plus généraux et s’établissent par équivalence en utilisant la règle de Leibniz.
1.5
Les potentiels thermodynamiques
Pour un fluide pur et de composition constante et présent sous une seule phase, l’état d’un
système contentant le fluide ne dépend que de 2 variables d’états (??). On a vu que le ”niveau”
d’énergie du système était caractérisé par deux fonction d’état,
• l’énergie interne, U
• l’enthalpie, H
On a égalent vu que le second principe définit une autre fonction d’état, l’entropie, liée
étroitement aux apports de chaleur vers le système. Pour une transformation infinitésimale
réversible, l’apport de chaleur vaut T dS et le travail mécanique des forces de pression vaut
−pdV (lorsque l’on comprime, dV < 0, on apporte du travail au système). D’après le premier
principe, la variation d’énergie interne du système est donnée par,
dU = T dS − pdV,
U (S, V )
(1.37)
Cette relation montre que l’énergie interne est une fonction de 2 variables d’état : S et V .
Le premier principe postule que U est une fonction d’état. En conséquence l’énergie interne U
ne dépend que de l’état du système, caractérisé, par exemple ici, par les variables S et V . Même
si l’établissement de (1.37) repose sur la caractère réversible de la transformation considérée, la
relation U (S, V ) est unique et, en conséquence sa différentielle totale est exacte, quelque soit la
nature des transformations considérées. Une conséquence des deux principes est que la relation
(1.37) est toujours vraie, quelque soit l’évolution considérée.
1.6
Critère de stabilité thermodynamique des mélanges de fluides
On considère un mélange de fluides comportant N constituants. On considère de plus, un
système fermé et isolé qui n’échange rien avec l’extérieur. On en isole une petite partie, E,
qui peut échanger avec le reste du système, E0 , du travail, de la chaleur et de la matière. On
considère une transformation de E qui produit une variation d’énergie interne ∆U . On cherche
la condition pour que cette transformation quelconque, donc potentiellement irréversible,
soit possible. On suit ici les développements de Landau & Lifchitz (1967, §58) qui sont
remarquables en raison de l’élégance de l’algèbre. Ils généralisent ceux décrits par Jamet (2003)
et Landau & Lifchitz (1971, §21) pour un fluide pur.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
15
On considère E0 de grande taille de telle sorte que les échanges avec E, bien plus petit, ne
modifient pas sa nature : ses paramètres extensifs, p0 , T0 , µi0 , le potentiel chimique de chaque
constituant restent invariables et E0 reste à l’équilibre. Si E0 est à la pression p0 , le travail
fourni à E par E0 est donné par,
∆W = −p0 ∆V
(1.38)
où ∆V est la variation du volume de E. Si E0 apporte à E une quantité de chaleur ∆Q à la
température T0 , la variation d’entropie réversible ∆Se est donnée par,
∆Q = T0 ∆Se .
(1.39)
Pour un système fermé qui n’échange que du travail et de la chaleur, on a,
∆U = ∆W + ∆Q
(1.40)
Considérons pour l’instant des transformations particulières pour lesquelles, E et E0 n’échangent
qu’un seul constituant. Pour ce système ouvert, la variation d’énergie interne comporte une
contribution supplémentaire liée au potentiel chimique de l’espèce échangée,
∆U = ∆W + ∆Q + µ0 ∆n
(1.41)
où µ0 est le potentiel chimique du constituant échangé et ∆n la quantité de matière relative
à l’espèce échangée. De plus, le second principe impose que dans une transformation réelle, la
variation d’entropie soit donnée par,
∆S = ∆Se + ∆Si ,
avec ∆Si > 0.
(1.42)
l’égalité étant atteinte si la transformation est réversible. En reportant l’expression du travail
(1.38) et de la chaleur (1.39) échangés dans la variation d’énergie interne (1.41), on obtient,
∆U = −p0 ∆V + T0 ∆Se + µ0 ∆n.
(1.43)
Pour la transformation considérée, on a donc,
∆U = −p0 ∆V + T0 ∆S + µ0 ∆n − T0 ∆Si ,
(1.44)
∆U + p0 ∆V − T0 ∆S − µ0 ∆n = −T0 ∆Si .
(1.45)
soit encore,
En toute généralité, pour les transformations considérées, ∆U , ∆V , ∆S et ∆n ne peuvent
pas varier arbitrairement. Seules sont possibles celles pour lesquelles ∆Si > 0. En conséquence,
ne sont possibles que les transformations vérifiant,
∆U + p0 ∆V − T0 ∆S − µ0 ∆n 6 0.
(1.46)
Pour que le système E soit stable, il faut et il suffit que toutes les transformations considérées
soient impossibles, c’est à dire que la quantité U + p0 V − T0 S − µ0 n soit minimale. Le critère
de stabilité de E est donc,
∆U + p0 ∆V − T0 ∆S − µ0 ∆n > 0.
(1.47)
ce qui exprime bien que la quantité U + p0 V − T0 S − µ0 n est minimale. Plaçons nous au
voisinage de l’équilibre et supposons qu’il soit possible de décrire encore E par l’équation d’état
à l’équilibre U (S, V, n). En supposant les variations petites, on développe U au second ordre
16
ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
autour des valeurs relative au système E. On notera que l’on ne développe pas autour des
valeurs à l’équilibre de E0 . Considérons que U est une fonction d’état et que sa différentielle est
totale, on a les relations connues,
dU = −pdV + T dS + µdn
∂U
∂U
∂U
= −p,
= T,
=µ
∂V
∂S
∂n
(1.48)
(1.49)
où p, T et µ sont relatifs à E au voisinage de l’équilibre. On obtient alors en reportant dans le
critère de stabilité (1.47),
(T − T0 )∆S + (p0 − p)∆V + (µ − µ0 )∆n +
1 ∂2U
∆xi ∆xj > 0
2 ∂xi ∂xj
(1.50)
où xi représentent respectivement S, V et n. Les termes du premier ordre changeant de signe,
il est nécessaire que leurs coefficients soient nuls. On obtient donc les conditions nécessaires
d’équilibre,
T = T0 ,
p = p0 ,
µ = µ0
(1.51)
Une condition nécessaire et suffisante, compte tenu de (1.51), est en plus que,
1 ∂2U
∆xi ∆xj > 0
2 ∂xi ∂xj
(1.52)
où les dérivées sont maintenant calculées à l’équilibre. On omet dans la suite les indices 0
2U
devenus inutiles. Cette conditions signifie que la forme quadratique de coefficients aij = ∂x∂i ∂x
j
est définie positive. Une condition nécessaire et suffisante est donnée par le critère de Sylvester(a) :
une forme quadratique de coefficients aij est définie positive et non dégénérée si et seulement si
chaque déterminant d’ordre p, det(aij, 16i,j6p ) > 0 pour p = 1, · · · , n. En explicitant aij et en
utilisant (1.49), on obtient,

 





∂2U
∂S∂S
∂2U
∂S∂V
∂2U
∂S∂n
∂2U
∂V ∂S
∂2U
∂V ∂V
∂2U
∂V ∂n
∂2U
∂n∂S
∂2U
∂n∂V
∂2U
∂n∂n
∂T
∂T
∂V
∂T
∂n
∂µ
∂S
∂P
− ∂V
∂µ
∂V
− ∂P
∂n
∂µ
∂n
∂T
∂S
∂T
∂V
∂T
∂n
∂P
∂S
∂µ
∂S
∂P
∂V
∂µ
∂V
∂P
∂n
∂µ
∂n
  ∂S
  ∂P
 =  − ∂S
 




(1.53)
Le critère de Sylvester donne alors,
∂T
∂S
> 0,
∂T
∂S
∂T
∂V
∂P
∂S
∂P
∂V
< 0,
<0
(1.54)
La première dérivée s’obtient à partir de la forme différentielle de dQ = Cv dT + ldV , soit
dS = Cv /T dT + l/T dV d’ou on déduit,
∂S
Cv
=
> 0, Cv > 0
(1.55)
∂T V,n
T
La seconde peut se mettre sous la forme d’un jacobien de la transformation T, P → S, V ,

∂p
∂(T,p)
∂V
∂p
∂(T, p)
∂(T,V ) 
T,n
,
= ∂S <0
(1.56)
= ∂(S,V )
∂V T,n
∂(S, V ) n
∂T
∂(T,V )
(a)
n
V,n
On peut en trouver une démonstration sur Wikipédia, à la rubrique forme quadratique définie positive
17
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
où on aura remarqué que le terme présent au dénominateur est positif d’après la première
condition (1.55). La dernière condition s’écrit
∂µ
∂(T,p,µ)
∂n T,p
∂(T, p, µ)
∂µ
∂(T,p,n)
< 0,
= ∂(S,V,n) =
>0
(1.57)
∂(S,V )
∂(S, V, n)
∂n T,p
∂(T,p,n)
∂(T,p)
n
en tenant compte de la seconde inégalité (1.56). Les deux premières conditions sont identiques
à celles déjà connues pour un fluide pur. La troisième est nouvelle.
On notera que ce procédé est récurrent et qu’il n’est inutile de se limiter aux transformations dans lesquelles E n’échange qu’une seule espèce avec E0 . Pour amorcer la récurrence,
considérons que deux espèces sont maintenant échangées. Il faut alors ajouter la contribution
de la seconde espèce à l’énergie interne (1.47), puis le raisonnement étant le même, la condition
nécessaire (1.50) impose l’égalité des pressions, températures et des deux potentiels chimiques.
La condition suffisante (1.52) est maintenant relative à une forme linéaire d’ordre 4 et la
nouvelle condition du critère de Sylvester s’écrit,
∂(T, p, µ1 , µ2 )
<0
∂(S, V, n1 , n2 )
(1.58)
En utilisant le même pocédé,
∂(T, p, µ1 , µ2 )
=
∂(S, V, n1 , n2 )
∂(T,p,µ1 ,µ2 )
∂(T,p,µ1 ,n2 )
∂(S,V,n1 ,n2 )
∂(T,p,µ1 ,n2 )
=
∂µ2
∂n2
n1 ,T,p
∂(S,V,n1 ,n2 )
∂(T,p,µ1 ,n2 )
=
∂µ2
∂n2
n1 ,T,p
∂(S,V,n1 )
∂(T,p,µ1 ) n
<0
(1.59)
2
Le terme du dénominateur de la dernière égalité est exactement celui qui serait calculé à la
troisième condition, voir (1.57). Il est donc aussi négatif. On en déduit,
∂µ2
>0
(1.60)
∂n2 T,p,n1
Par récurrence, on en déduit les conditions de stabilité pour un mélange à N constituants,
p = p0 , T = T0 , µi0 = µi , i = 1, . . . , N
∂p
∂µi
Cv > 0,
< 0,
> 0, i = 1, N
∂V T,ni
∂ni p,T,nj ,j6=i
(1.61)
(1.62)
La positivité du coefficient de diffusion binaire D défini par (2.111) repose sur la contrainte
imposée à α et sur le signe de la quantité,
∂µ
µ1
µ2
, avec µ =
−
et dω = dω1 = −dω2 .
(1.63)
∂ω p,T
M1 M 2
En remplaçant µ et ω par leurs valeurs, on a
∂µ
1 ∂µ1
1 ∂µ2
=
+
∂ω
M1 ∂ω1 M2 ∂ω2
(1.64)
l’ensemble étant p et T constants. L’enthalpie libre G(p, T, n1 , n2 ) est une fonction homogène
de degré 1 relativement
aux paramètres de composition. En conséquence, le potentiel chimique
∂G
µi (p, T, n1 , n2 ) = ∂n
est homogène et de degré 0 relativement aux mêmes variables.
i
T,p,nj
Cela signifie notamment,
µi (p, T, n1 , n2 ) = µi (p, T, nx1 , nx2 ) = µi (p, T, x1 , x2 )
(1.65)
18
ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
Pour un mélange de deux constituants, on a
∂µ1
∂µ1
∂µ1 dω1
∂µ1 M1 M2
=
=
=
∂n1
∂x1
∂ω1 dx1
∂ω1 M 2
où on a utilisé la relation dω1 = (M1 M2 /M 2 )dx1 et (1.65).
symétrique pour µ2 , on en déduit,
(1.66)
En considérant l’expression
∂µ
M 2 ∂µ1
M 2 ∂µ2
= 2
+
>0
∂ω
M1 M2 ∂n1 M1 M22 ∂n2
1.7
Conditions d’équilibre thermodynamique d’un fluide, et sa stabilité
1.7.1
Cas d’un système monophasique
1.7.2
Cas d’un système diphasique
1.8
(1.67)
Les variables d’état et les potentiels thermodynamiques
On résume dans ce paragraphe les notations relatives aux différentes variables thermodynamiques et fonctions d’état. On cite aussi quelques résultats nécessaires à l’établissement des
équations de bilan des fluides. Pour un exposé synthétique, on peut consulter Claudel (1996).
Pour un exposé synthétique et plus approfondi Corriou (1984, 1985a,b)
L’expérience montre qu’un système donné est décrit par un ensemble de variable d’état. Le
nombre de variables indépendantes est données par la règle des phases.
1.9
Equilibre liquide vapeur
1.10
Equilibre chimique
1.11
Quelques relations utiles
La thermodynamique est connue comme étant une discipline nécessitant de nombreuses transformations algébriques : elle est même caricaturée pour cela. Les paragraphes qui suivent détaillent
les relations strictement nécessaires à l’obtention des résultats présentés dans ce cours.
1.11.1
La relation de Gibbs-Duhem
Pour démontrer cette relation importante, on suit le raisonnement de Dreyfus & Lacaze (1971, p.
83-84). Considérons un système homogène à une seule phase et N constituants dont l’enthalpie
libre est,
G = G(T, p, n1 , n2 , · · · , nN )
(1.68)
où ni , i = 1, N sont les quantités de matière le constituant. Si le système est homogène,
l’enthalpie libre étant une quantité extensive, en ne considérant qu’une fraction λ du système,
on a,
G = G(T, p, λn1 , λn2 , · · · , λnN )
(1.69)
pour tout λ. On dit que G est homogène de degré 1 par rapport aux variables nα qui déterminent
la qualité du système. On peut lui appliquer le théorème d’Euler, qui consiste à dériver (1.69)
par rapport à λ,
X
α
nα
∂
G(T, p, λn1 , λn2 , · · · , λnN ) = G(p, T, n1 , n2 , · · · , nN )
∂nα
(1.70)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
19
En particulier pour λ = 1,
X
α
nα
∂
G(T, p, n1 , n2 , · · · , nN ) = G(p, T, n1 , n2 , · · · , nN )
∂nα
(1.71)
Comme (1.70) est vraie quelque soit λ, on en déduit que les dérivées de G sont des fonctions
homogènes de degré 0 par rapport aux nα (c’est aussi une conséquence du théorème d’Euler),
∂
∂
G(T, p, λn1 , λn2 , · · · , λnN ) =
G(T, p, n1 , n2 , · · · , nN )
∂nα
∂nα
(1.72)
On a défini que l’enthalpie libre molaire était le potentiel chimique µα . L’équation (1.72)
montre que la dépendance du potentiel chimique vis-à-vis de la composition ne se fait que par
les proportions entre les différents constituants (λ = 1/n, par example).
µα (T, p, n1 , n2 , · · · , nN ) = µα (T, p, x1 , x2 , · · · , xN )
(1.73)
L’homogénéité de l’enthalpie libre a donc pour conséquence,
G(T, p, n1 , n2 , · · · , nN ) =
X
nα Gα =
α
X
nα µα
α
En différenciant cette définition, on a
X
X
dG =
µα dnα +
nα dµα
α
(1.74)
(1.75)
α
d’une part et en différenciant G(T, p, n1 , n2 , · · · , nN ), on a d’autre part,
X ∂g
∂G
∂G
dp +
dT +
dnα
∂p
∂T
∂nα
α
X
dG =V dp − SdT +
µα dnα
dG =
(1.76)
(1.77)
α
En comparant (1.75) et (1.77), on obtient la relation dite de Gibbs-Duhem,
X
nα dµα = V dp − SdT
(1.78)
α
Cette relation signifie que les variations de T , p et µα ne sont pas indépendantes. L’une des
conséquences importantes de cette relation contribue à l’établissement de la règle des phases
donnant le nombre de paramètres indépendants dans les conditions d’équilibre d’un mélange de
plusieurs constituants pouvant être présents sous plusieurs phases existant simultanément.
Autres formes de la relation de Gibbs-Duhem Une autre conséquence sera la mise en
évidence des forces motrices pour la diffusion, voir section 2.7.2. La relation de Gibbs-Duhem
peut être exprimée sous différentes formes équivalentes. Curtiss & Bird (1999) utilisent la forme
suivante,
p X µ 1
α
Ud
+Vd
−
d
=0
(1.79)
T
T
T
α
En développant les produits dans les termes différentiels, on obtient,
!
!
X
X
dT
1
nα dµα
− 2 U + pV −
nα µα +
V dp −
T
T
α
α
(1.80)
20
ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
Le premier terme entre parenthèses vaut U + pV − G = H − G = T S, On obtient alors,
!
X
1
dT
+
V dp −
nα dµα = 0
(1.81)
−S
T
T
α
qui n’est rien d’autre que (1.78) divisée par T .
Cette dernière relation permettra d’obtenir un résultat nécessaire à l’établissement de
l’expression des forces motrices contrôlant la diffusion. On développe le second terme de (1.79),
on replace U + pV = H par l’enthalpie qui est homogène vis-à-vis de la composition et que l’on
remplace ensuite par son expression en fonction des enthalpies molaires partielles,
X
X
1
V
Gα
nα H α d
+ dp −
nα d
=0
(1.82)
T
T
T
α
α
On remplace les quantités de matière par les masses, ni = mi /Mi , puis on divise par le
volume V . Après changement de signe du résultat, on obtient, les deux formes suivantes,
X
X Hα 1
1 µα
1
ρα d
− dp +
ρα
dT = 0
(1.83)
T Mα
T
Mα T 2
α
α
1X
1 µα
1
Hα 1
ρα T d
− dp +
dT = 0
(1.84)
T α
T Mα
ρ
Mα T
1.11.2
Variables extensives, molaires et massiques
Il s’agit pour un système quelconque de masse m, correspondant à une quantité de matière
n, non nécessairement constantes, d’établir les relations entre une variable extensive, comme
par exemple V , avec Vb et Ve et leurs dérivées. On a par définition des quantités massiques et
molaires,
V = mVb = nVe
(1.85)
Comme V est homogène et de degré 1 par rapport à la quantité de matière de chaque
constituant,
V =
X
nα H α =
X mα H α
α
α
Mα
,
(1.86)
d’où,
Ve =
Vb =
X
xα H α
(1.87)
X ωα H α
(1.88)
α
α
Mα
Considérons V (T, p, n1 , n2 , · · · , nN ) dont la différentielle est,
dV =
X
∂V
∂V
dT +
dp +
V α dnα
∂T
∂p
α
(1.89)
en prenant en compte la définition du volume molaire partiel. Considérons V = mVb dont la
différentielle est,
dV = mdVb + Vb dm
(1.90)
21
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
On a alors, en considérant que nα = mα /Mα et mα = ωα m,
mdVb =
=
X
∂V
∂V
dT +
dp +
V α dnα − Vb dm
∂T
∂p
α
X V α dmα
∂V
∂V
dT +
dp +
− Vb dm
∂T
∂p
M
α
α
X Vα
∂V
∂V
=
dT +
dp + m
dωα +
∂T
∂p
Mα
α
X V α ωα
Mα
α
− Vb
!
dm
où le dernier terme est nul, en raison, justement de l’homogénéité de V (1.88). En conséquence,
dVb =
X Vα
1 ∂V
1 ∂V
dT +
dp +
dωα
m ∂T
m ∂p
Mα
α
(1.91)
En comparant avec la différentielle de Vb , on obtient,
∂ Vb
∂T
!
p,ωβ
1
=
m
∂V
∂T
∂ Vb
∂p
,
p,nβ
!
1
=
m
T,ωβ
∂V
∂p
∂ Vb
∂ωα
,
T,nβ
!
Vα
Mα
(1.92)
=Vα
(1.93)
=
T,p
Par un calcul semblable, on montre que,
∂ Ve
∂T
!
p,xβ
1
=
m
∂V
∂T
∂ Ve
∂p
,
p,nβ
!
T,xβ
1
=
m
∂V
∂p
∂ Ve
∂xα
,
T,nβ
!
T,p
On en déduit de plus, que les variables massiques, molaires et molaires partielles ne dépendent
de la composition que par l’intermédiaire des fractions molaires ou massiques.
Dépendance de l’enthalpie massique en température pression et composition.
L’établissement de l’équation de la chaleur nécessitera d’éliminer l’enthalpie massique au profit
de la température, de la pression et de la fraction massique, ωα des différents constituants.
Cette transformation algébrique, est détaillée ici et sert d’exemple pour d’autres transformations analogues. Une autre manière de procéder est suggérée par Bird et al. (2007, ex. 19D.2,
p. 608-609), on la trouve un peu lourde. On propose d’arriver au même résultat en utilisant les
résultats du paragraphe précédent à titre d’illustration.
b
∂H
∂T
b
∂H
∂p
!
!p,ωβ
b
∂H
∂ωα
!T,ωβ
T,p
Cp
∂H
bp
=
=C
∂T p,nβ
m
!
e
1 ∂H
∂
V
=
= Ve − T
m ∂p T,nβ
∂T
1
=
m
(1.94)
p,ωβ
Hα
=
Mα
en conséquence, on peut écrire directement,

b =C
bP dT + Vb − T
dH
∂ Ve
∂T
!
p,ωβ

 dp +
X Hα
dωα
Mα
α
(1.95)
22
ELÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE
Dépendance de l’énergie interne massique en entropie pression volume et composition. L’établissement de l’expression des sources d’entropie nécessitera d’éliminer l’énergie
interne au profit de l’entropie, du volume et de la composition. L’esprit de cette transformation
est analogue aux précédentes. L’entropie et le volume sont des variables extensives, l’énergie
interne aussi, On a,
X
dU = T dS − pdV +
µα dnα
(1.96)
α
b , S = mS,
b V = mVb et nα = mα /Mα ,
On pose U = mU
b = T dSb − pdVb +
dU
X
µα dnα +
α
X µα
e + T Se − pVe +
−U
fα
M
α
Le lecteur pourra vérifier que le coefficient de dm vaut,
X µα ωα
b
−G
M
α
α
!
dm
m
(1.97)
(1.98)
Le potentiel chimique étant défini comme étant l’enthalpie libre molaire partielle, ce terme est
identiquement nul en raison du caractère homogène de l’enthalpie libre vis-à-vis des paramètres
de composition,
X
X µα
X µα
b=U
b + pVb − T Sb =
µα nα =
mα , G
ωα .
(1.99)
G=
Mα
Mα
α
α
α
On peut donc écrire,
b = T dSb − pdVb +
dU
1.12
Pour en savoir plus
*** Le marque page est ici ***
X µα
dωα
Mα
α
(1.100)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Section 2
Equations de bilan monophasiques
2.1
Introduction
Au deux principes de la thermodynamique, on ajoute maintenant le principe de conservation
de la masse et le principe fondamental de la dynamique. Ces quatre principes, à l’aide de
transformations mathématiques produisent les équations locales de la mécanique des fluides et
des transferts de masse et de chaleur.
Pour exprimer les principes en terme d’équations locales, on utilise deux théorèmes : la
règle de Leibniz et le théorème de Gauss. On passe de l’expression des principes aux équations
locales en pratiquant par équivalence et leur contenu est donc identique à celui des principes de
départ.
2.2
Le théorème de Gauss et la règle de Leibniz
La règle de Leibniz fait intervenir la vitesse d’un point attaché à une surface et notamment sa
composante normale que l’on appelle la vitesse géométrique de déplacement de la surface.
2.2.1
La vitesse géométrique d’une surface
Une surface S est définie par la données des coordonnées d’un point M la décrivant en fonction
de deux paramètres, et du temps, t, si celle-ci n’est pas fixe,
S : M = M(u, v, t).
(2.1)
La vitesse d’un point attaché à la surface est par définition, voir, figure 2.1, sa vitesse à
coordonnées fixées sur la surface,
∂M
vS ,
.
(2.2)
∂t u,v
On peut par ailleurs définir la surface S par une équation implicite,
f (x, t) = 0.
(2.3)
Une normale à la surface S en un point M peut être calculée en différenciant (2.3),
df = ∇f dx +
∂f
dt = 0,
∂t
(2.4)
qui montre qu’à t donné (dt = 0), le vecteur ∇f est orthogonal au plan tangent à S en M . On
obtient un vecteur unitaire normal à S en M par,
n=
∇f
|∇f |
(2.5)
24
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
v
S
S
M
V
n
Figure 2.1: Description schématique d’un volume fluide, V , limité par une surface S. n est la normale à la
surface S orientée vers l’extérieur du volume V . vS est la vitesse d’un point attaché à la surface S. Si le volume
est matériel vS = v, la vitesse du fluide. En général vS 6= v.
Pour analyser le déplacement d’un point M donné de S à l’instant t, il suffit de développer
l’équation implicite de la surface (2.3) au premier ordre en temps et en espace. Le déplacement
du point M , dx à l’instant dt est donné implicitement par,
f (x + dx, t + dt) = f (x, t) + ∇f dx +
∂f
dt + · · ·
∂t
(2.6)
Si le point est initialement sur S, f (x, t) = 0, et qu’il reste encore à l’instant t + dt, f (x +
dx, t + dt) = 0, le déplacement et l’intervalle de temps sont liés par,
∇f dx +
∂f
dt = 0.
∂t
(2.7)
En divisant par |∇f | et en tenant compte de (2.5), on observe que seule la composante
normale de la vitesse d’un point attaché à S est donnée par l’équation (2.7),
∂f
∇f dx
= n vS = − ∂t .
|∇f | dt
|∇f |
(2.8)
La vitesse de déplacement de la surface ne dépend pas du paramétrage de la surface, son
expression est donc unique, tandis que la vitesse d’un point attaché à la surface S dépend du
paramétrage. L’exemple suivant illustre ces propriétés.
Exemple de calcul de la vitesse géométrique d’une surface. Considérons un cercle
C(t) de rayon unité roulant sans glisser sur le plan y = 0 (figure 2.2). Le centre du cercle est
initialement placé en x = 0 (C0 ). Soit θ l’angle polaire d’un point de C0 et soit φ l’angle polaire
de ce même point sur le cercle à l’instant t. Si le cercle roule sans glisser sur le plan, on a,
φ(t) = θ − t,
(2.9)
Et les coordonnées du point M1 sont,
M1 (θ, t) =
x = t + cos(θ − t)
y = 1 + sin(θ − t)
(2.10)
En revanche, si le cercle est en translation simple avec la même vitesse, l’angle polaire de
M2 est invariant et on a,
φ(t) = θ,
(2.11)
25
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
y
C
M
0
C (t)
0
L
M
K
2
B
G
P (t)
M
x
1
Figure 2.2: Cercle roulant sans glisser sur un plan.
Translation et roulement sans glissement
2
Position y
1.5
1
0.5
M1(π/2,t)
M2(π/2,t)
M1(0,t)
M2(0,t)
0
0
1
2
3
Position x
4
5
6
Figure 2.3: Position du point M1 , qui appartient à un cercle roulant sans glisser sur le plan et d’un point M2
appartenant à un cercle en translation à la même vitesse. Tracé pour deux positions initiales du point : θ = π/2
et 0.
et on aura le mouvement suivant,
M2 (θ, t) =
x = t + cos(θ)
y = 1 + sin(θ)
(2.12)
La figure 2.3 montre les trajectoires des points M1 et M2 placés initialement sur C0 (figure
2.2) à θ = π/2 et θ = 0. La vitesse d’un point attaché au cercle est dans le cas du roulement
sans glissement,
∂M1
v1 =
= [1 + sin(θ − t)]ex − cos(θ − t)ey = ex − v
(2.13)
∂t θ
où u et v sont respectivement les directions normales et tangentes au cercle (voir figure 2.2).
Dans le cas de la translation on a,
∂M2
v2 =
= ex .
(2.14)
∂t θ
La vitesse d’un point attaché à C est bien la composition d’une translation et d’une rotation
dans le premier cas tandis que l’on ne retrouve que la translation dans le dernier cas. Cette
vitesse est tangente aux trajectoires de la figure 2.3. La vitesse géométrique de déplacement de
chaque point est identique, on a,
v1 n = v2 n = ex u = cos φ,
(2.15)
26
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
en particulier, elle est nulle en deux points pour φ = ±π/2 où le mouvement s’effectue dans le
plan tangent de la surface. Pour les deux mouvements l’équation implicite(a) du cercle C(t) est
la suivante,
C(t) : f (x, y) = (x − t)2 + (y − 1)2 − 1 = 0,
(2.16)
on a alors,
∇f =
2(x − t) = 2 cos(φ)
2(y − 1) = 2 sin(φ)
(2.17)
∂f
= −2(x − t) = −2 cos(φ)
∂t
(2.18)
v n = cos φ
(2.19)
et en conséquence selon (2.8),
2.2.2
Le théorème de Gauss
Le théorème de Gauss ou dit de la divergence ou encore d’Ostrogradski, s’énonce pour tout
vecteur, B, ou tenseur, M, différentiable dans un volume V comme celui représenté à la figure
2.1 et limité par une surface S par,
Z
Z
∇ B dV =
n B dS.
(2.20)
V
S
où n est la normale unitaire extérieure à V . On donne une démonstration de ce théorème pour
les vecteurs et les tenseurs en annexe au paragraphe A.2. Ce théorème permet de transformer
certaines intégrales de surface en intégrales de volume.
2.2.3
La règle de Leibniz
La règle de Leibniz s’énonce pour toute fonction f définie dans un volume V (figure 2.1) limité
par la surface S par,
Z
Z
Z
d
∂f
f dV =
dV +
f vS n dS
(2.21)
dt V (t)
V (t) ∂t
S(t)
où vS n est la vitesse géométrique de la surface S. Une démonstration en est proposé en
annexe au paragraphe A.3. Cette règle permet la commutation de la dérivation temporelle et
de l’intégration spatiale.
Si le volume considéré est matériel, c’est-à-dire si tout point attaché à V et S se déplace à la
vitesse du fluide, cette règle porte le nom de théorème de transport de Reynolds. Elle s’énonce
pour un volume matériel Vm (t) limité par un surface matérielle Sm (t) où on rappelle que par
définition la vitesse d’un point attaché à la surface et égale à la vitesse du fluide.
Z
Z
Z
∂f
d
f dV =
dV +
f v n dS.
(2.22)
dt Vm (t)
Vm (t) ∂t
Sm (t)
Ce théorème s’interprète de façon simple. La variation de l’intégrale de volume est égale à
l’intégrale de la variation de f sur le volume augmentée du flux net de la quantité f v sutrant
du volume Vm (t).
(a)
L’équation n’est pas unique sous cette forme. Elle est indéterminée à une constante multiplicative près. On
suppose implicitement qu’on la choisit de façon à ce que la normale soit dirigée vers l’extérieur
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
2.3
27
Les bilan globaux
Dans cette section, on propose de rappeler l’expression mathématique des bilans globaux dans
l’hypothèse du modèle à un fluide. Ce modèle considère que pour chaque espèce on peut définir
un champ de vitesse vα . Le bilan masse ou de matière de chaque espèce fait intervenir la
vitesse de chaque espèce. Pour les autres bilans on ne raisonne que sur la vitesse moyenne
du mélange, v. L’expérience montre que cette description est suffisante pour les situations
courantes. Bird et al. (2007) proposent l’un des exposés les plus cohérents sur ce sujet.
L’helium-II est un contre-exemple intéressant. Landau & Lifchitz (1971, §128, p.633)
modélise les propriétés particulières de l’hélium-II en considérant qu’il se comporte comme le
mélange d’un fluide parfait, la partie suprafluide, et d’un fluide ordinaire visqueux. Chaque
”partie” du fluide est alors décrite par des équations de bilan différentes, la partie suprafluide
n’interagissant pas avec la partie normale. C’est à notre connaissance une des premières
apparition du modèle dit à deux fluides qui sera à l’origine de la modélisation des écoulements
diphasiques.
On préférera l’expression équation de bilan à équation de conservation. Par exemple le
bilan de masse exprime la conservation de la masse et dans ce cas il y a identité entre les deux
expressions. En revanche, le bilan de quantité de mouvement, n’exprime la conservation de
quantité de mouvement que dans le cas où il n’a pas de forces appliquées. La dénomination
d’équation de bilan est plus générale et à notre avis plus précise (balance equation en anglais).
Il y a deux façons d’exprimer les principes fondamentaux. Soit on les exprime sur un système
fermé, c’est-à-dire un volume de contrôle, qui n’échange pas de masse avec son extérieur, soit
sur un système ouvert quelconque. Un système ouvert ou fermé peut, en outre, échanger du
travail et de la chaleur avec l’extérieur. La description lagrangienne de la mécanique des milieux
continus suggère la notion de volume ou de système matériel que l’on suit dans son mouvement.
La masse d’un système matériel est constante par définition. Les expressions volume matériel
de la mécanique et système fermé de la thermodynamique sont équivalentes de ce point de vue
pour un système homogène.
Nous avons choisi d’énoncer les principes sur un système quelconque, bien que cela ne
corresponde pas à l’usage courant en mécanique des milieux continus. Le système matériel est
assez abstrait et malcommode pour décrire les mélanges de fluides, c’est pourquoi de nombreux
auteurs comme Bird et al. (2007) préfèrent les énoncer sur un système ouvert, éventuellement
infinitésimal ou fixe. Il est clair que les deux points de vue sont strictement équivalents et
produisent les mêmes équations locales pour des fluides homogènes. L’énoncé des principes sur
un volume fixe ou matériel est considéré comme un cas particulier de l’expression des principes
pour un système ouvert.
Les équations de la mécanique privilégie les variables massiques. On utilisera ici des minusb , v = Vb , etc.
cules pour les représenter afin d’alléger la présentation, u = U
2.3.1
Vitesse et vitesses moyennes
Pour un mélange de fluides, on raisonne avec deux ensembles de grandeurs : massiques et molaires. On définit, dans les deux systèmes de variables, les vitesses moyennes responsables de
la convection et les vitesses de diffusion, mesurant l’écart à la moyenne. D’une façon générale,
on tente de rester cohérent en notant les quantités massiques avec des minuscules et les quantités molaires avec des majuscules. C’est l’un des usages les plus répandus, (voir par exemple
Bird et al. , 2007, Welty et al. , 2001)
28
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
Description massique. Chaque constituant étant animé par un champ de vitesse individuel,
on définit le flux(a) de masse de chaque espèce par,
nα = ρα vα
(2.23)
Cette quantité représente le débit-masse du constituant α par unité d’aire de la surface
considérée. Elle s’exprime en kg/m2 /s. La vitesse moyenne du mélange, v, est donnée par,
X
ρα vα
(2.24)
n = ρv =
α
où ρ est la masse volumique du mélange. La vitesse moyenne ainsi définie est conforme à l’usage
en mécanique, elle représente la quantité de mouvement par unité de masse du mélange. En
exprimant ce résultat avec les fractions massiques, on a,
X
v=
ωα vα
(2.25)
α
On définit la vitesse de diffusion de l’espèce α comme l’écart à la vitesse moyenne.
vDα = (vα − v)
(2.26)
On définit le flux(a) massique de diffusion par,
jα = ρα (v − vα )
(2.27)
Dans le cas particulier d’un mélange à deux constituants, A et B, la théorie cinétique des
gaz et d’autres arguments que l’on développera plus loin, suggèrent que le flux de diffusion est
proportionnel au gradient de concentration. Les mêmes arguments servent en mécanique des
fluides pour justifier la relation entre le tenseur des contraintes visqueuses et le gradient des
vitesses. De toutes façons, dans de nombreuse situations, cette relation permet d’interpréter
correctement l’expériences. Cette loi de comportement, s’appelle la loi de Fick,
jA = −ρDAB ∇ωA
(2.28)
où DAB est le coefficient de diffusion binaire de A dans B. Elle n’est valable sous cette forme
que pour un mélange binaire où lorsque que le constituant d’intérêt existe à l’état de trace dans
un mélange comme la vapeur d’eau dans l’air ambiant.
Description molaire. La description en terme de masse est malcommode lorsque l’écoulement
est le siège d’une réaction chimique homogène ou hétérogène, comme au contact d’une paroi qui
limite l’écoulement. Le système des grandeurs molaires est alors mieux adapté. On définit le
flux molaire de l’espèce α,
Nα = cα vα
(2.29)
On définit la vitesse molaire moyenne par,
N = cV =
X
cα vα
(2.30)
α
(a)
Plus précisément, il s’agit d’une densité de flux. On raccourcit le nom en flux, en suivant l’usage anglo-saxon
de flux. Quand on veut explicitement parler de flux, on utilise le terme débit (flow-rate)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Paramètres massiques
v = ωA vA + ωB vB vitesse moyenne
vA − v
vitesse de diffusion
jA = ρA (vA − v)
flux de diffusion
jA = −ρDAB ∇ωA
loi de Fick
nA = ρA vA
flux total
nA = −ρDAB ∇ωA + ωA (nA + nB )
29
Paramètres molaires
V = xB vA + xB vB vitesse moyenne
vA − V
vitesse de diffusion
JA = cA (vA − V)
flux de diffusion
JA = −cDAB ∇xA
loi de Fick
NA = cA vA
flux total
NA = −cDAB ∇xA + xA (NA + NB )
Tableau 2.1: Paramètres de vitesse et de flux pour un mélange binaire. Voir aussi les paramètres de composition
au tableau 1.1.
On définit la vitesse de diffusion molaire comme l’écart à la moyenne,
VDα = (vα − v)
(2.31)
On définit le flux(a) molaire de diffusion par,
Jα = cα (v − vα )
(2.32)
La loi de Fick pour un mélange binaire s’exprime aussi en variables molaires par,
JA = −cDAB ∇xA
(2.33)
On notera que pour un mélange de gaz parfaits à pression et température constantes (1.16),
l’expression molaire est plus simple car la concentration totale c est constante.
Les deux énoncés simplifiés de la loi de Fick pour un mélange binaire (2.28) et (2.33) sont
équivalents. On laisse le soin au lecteur de le vérifier à l’aide des formules de transformation des
variables massiques et molaires résumées aux tableaux 1.1 et 2.1.
2.3.2
Le bilan de masse
Quelque soit le volume considéré dans le système fluide, la variation de sa masse, M est égale
au débit net de masse entrant dans le volume,
Z
Z
dM
d
=
ρ dV = − ρ(v − vS ) n dS.
(2.34)
dt
dt V (t)
S
où vS n est la vitesse géométrique de déplacement de la surface S.
2.3.3
Le bilan des espèces
On considère maintenant uniquement l’espèce α. Quelque soit le volume considéré, pour l’espèce
considérée, la variation de la masse du constituant α contenu dans le volume V est égale à la
somme au débit net entrant et de la production de l’espèce α,
Z
Z
Z
d
ρα dV = − ρα (vα − vS ) n dV +
rα dV,
(2.35)
dt V
S
V
où rα représente le taux de production volumique de l’espèce considérée. On notera que tous
les taux de production ne sont pas indépendants,Ppuisque en sommant les bilans des espèces, la
production totale de masse doit être nulle, P = α Pα = 0. Il n’y a donc jamais de production
nette de masse mais, plutôt, une redistribution de la masse sur les différents constituants du
mélange.
30
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
En effet, si l’écoulement est le siège d’une réaction chimique, les taux de production locaux
des espèces sont liés par la relation stoechiométrique. Lorsque certains constituants réagissent,
on a l’habitude de rendre compte de ce phénomène par l’équation de réaction chimique suivante,
aA + bB cC + dD,
(2.36)
où le membre de gauche représente les réactifs et le membre de droite les produits. En général,
plusieurs réactions se déroulent simultanément. On en considère notamment plusieurs centaines
pour décrire la combustion dans un foyer d’un turbo-réacteur. On ne considère que la réaction
de bilan globale de toute ces réactions que l’on écrit symboliquement,
X
X
a0α Aα a00α Aα .
(2.37)
α
α
où aα = a00α − a0α sont les coefficients stoechiométriques.(b) La différence est effectuée dans le
sens produits moins réactifs. Si une espèce ne réagit pas, on dit quelle est inerte et pour cette
espèce, on a nécessairement, aα = 0 et rα = 0.
Le schéma reactional indique symboliquement la relation entre les différents taux de production molaire des constituants. Pour toutes les espèces participant à la réaction, donc non
inertes, aα 6= 0, on a
R1
R2
Ri
=
= ···
= · · · = R,
a1
a2
ai
i ∈ [1, N ]/ai 6= 0
(2.38)
où le taux de production molaire est lié au taux de production massique par,
Rα = rα /Mα
(2.39)
Pour un système homogène, R représente la vitesse de réaction volumique. Avec les conventions de signe adoptées,
R > 0 lorsque la réaction se produit dans le sens de la lecture. On notera
P
qu’en général, α Rα 6= 0. Par exemple la réaction de formation de l’eau, 2H2 + O2 2H2 0
produit de la quantité de matière : pour trois moles consommées, deux moles sont produites.
2.3.4
Le bilan de quantité de mouvement
Quelque soit le volume considéré, le taux de variation de la quantité de mouvement est égal à
la somme des flux net entrant de quantité de mouvement et des forces appliquées. On distingue
en mécanique les actions de contact, décrites par le tenseur des contraintes, T, et les forces de
volume, g, comme la gravité par exemple.
Z
Z
Z
Z
d
ρv dV = − ρv(v − vS ) n dS +
n T dS +
ρg dV
(2.40)
dt V
S
S
V
On notera que P
si les forces de volume sont différentes selon les espèces en présence, il faut
remplacer ρg par
α ρα gα . Ce cas se présente notamment si le fluide contient des ions de
charges différentes soumis à un champ électrique.
2.3.5
Le bilan de moment de quantité de mouvement
En mécanique, les efforts appliqués sont représentés par le torseur des efforts. Pour que la
description mécanique soit complète, il faut également écrire le bilan des moments de la quantité
(b)
Il n’est pas toujours possible de réduire le schéma de réaction à une seule équation de type (2.37). En général
plusieurs équations de ce type sont nécessaires.
31
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
de mouvement. Dans les applications courantes de la mécanique des fluides, les couples appliqués
ne résultent que du moment des forces appliquées. Quelque soit le volume considéré,
Z
Z
Z
Z
d
ρr × v dV = − ρr × v(v − vS ) n dS +
r × (n T) dS +
r × ρg dV
(2.41)
dt V
S
S
V
où r est le vecteur position. Si des molécules polaires, c’est-à-dire possédant un moment dipolaire électrique, sont soumises à un champ électrique, ou des substances magnétiques, possédant
une aimantation, sont plongées dans un champ magnétique, il convient alors d’ajouter ces contributions supplémentaires.
2.3.6
Le bilan d’énergie totale
Le premier principe de la thermodynamique exprime l’équivalence entre travail et chaleur. Il
stipule que la variation d’énergie totale d’un système fermé, c’est-à-dire la somme de l’énergie
interne u et de son énergie mécanique 21 v2 , où v est le module de la vitesse, est égale à la somme
de la puissance des efforts appliqués et de la puissance thermique apportée. La chaleur est soit
apportée à la frontière du système par un certain flux de chaleur q où par un chauffage volumique
caractérisé par des sources volumiques q 000 . On précisera par la suite la nature de ces sources.
Pour un système ouvert, quelque soit le volume considéré, on considère le principe suivant,
Z
Z Z
Z
d
1 2
1 2
ρ u+ v
dV = − ρ u + v (v − vS ) n dS + (n T) v dS + ρg v dV
dt V
2
2
S
V
ZS
Z
000
− q n dS + q dV
(2.42)
S
V
b est l’énergie interne du fluide par unité de masse, q est le flux de chaleur et où le
où u = U
signe moins rappelle que la normale à S est dirigée vers l’extérieur de V . Le premier terme du
membre de droite représente le débit net d’énergie totale entrant dans le système.
Il convient à ce point d’ajouter les remarques suivantes.
• Pour calculer le membre de gauche du bilan d’énergie et le premier terme du membre de
droite, on a admis que l’on savait déterminer l’énergie interne. On a simplement considéré
qu’au lieu d’avoir une valeur déterminée, comme pour un système homogène, on avait
un champ de u. Quand cela sera nécessaire, on supposera que u, et les autres variables
d’état s’expriment en fonction des valeurs locales des paramètres d’état. Cela signifie
notamment que ces variables ont un sens, c’est-à-dire (i) qu’on sait les définir et (ii)
que leurs valeurs permettent de déterminer l’énergie interne ou tout autre fonction d’état
selon la relation établie pour un système homogène à l’équilibre. Or, rien n’assure que
l’équilibre thermodynamique existe dans l’élément de volume, on postulera néanmoins
que l’on peut utiliser les relations à l’équilibre. Ce postulat est classiquement nommé ,
l’hypothèse d’équilibre local . Il signifie que les déséquilibres sont petits. Landau & Lifchitz
(1967) discutent en détail du sens qu’il faut donner à cette expression.
• Si les forces de volume sont différentes pour chaque espèce, on doit
Pconsidérer que chaque
champ gα travaille avec sa propre vitesse et remplacer ρg v par α ρα gα vα
• Si les forces de volume dérivent d’un potentiel indépendant du temps, g = −∇Ep , on
peut choisir d’incorporer la puissance des forces de volume dans les deux premiers termes
du bilan en ajoutant à l’énergie totale ut , l’énergie potentielle Ep . On peut aussi décider
d’incorporer le potentiel dans la description thermodynamique du fluide. Par exemple
dans le cas de la gravité, on aura Ep = −gz z et on ajoute l’altitude z aux variables
thermodynamiques. Les deux choix décrits s’excluent mutuellement.
32
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
• Les sources volumiques considérées sont, par exemple, le chauffage par effet Joule,
l’absorbtion de rayonnement électro-magnétique où la chaleur dégagée par une réaction
nucléaire à l’exclusion formelle de la chaleur liée aux réactions chimiques qui est déjà
décrite par la dépendance de l’énergie interne par rapport à la composition (Bird et al. ,
2007, p. 589).
2.3.7
Le second principe et le bilan d’entropie
On montrera plus loin que sous l’hypothèse de l’équilibre local, le bilan d’entropie s’obtient
à partir des équations de bilan que nous avons écrites jusqu’à présent. On dit que le bilan
d’entropie est une équation de bilan secondaire car elle n’est pas indépendante des équations de
bilans dites primaires obtenues à partir du bilan de masse, de quantité de mouvement, de son
moment et d’énergie.
Pour appliquer le second principe à un système quelconque, qui est un principe indépendant
des précédents, on doit distinguer l’apport d’entropie de la source d’entropie interne liée à
l’irréversibilité des phénomènes. De plus, on va encore invoquer l’hypothèse d’équilibre local
pour l’entropie en tant que fonction d’état. Quel que soit le volume considéré, le second principe
s’énonce sous la forme d’une inégalité,
Z
Z
Z
Z 000
Z
d
q
ρs dV = − ρs(v − vS ) n dS − n js dS +
dV + σ dV,
dt V
S
S
V T
V
σ>0
(2.43)
où s = Sb est l’entropie par unité de masse. On notera, js , le flux diffusif d’entropie. Il représente
l’apport d’entropie venant de l’extérieur du système. Ce flux, à l’image de ceux intervenant dans
les autres équations de bilan, n’est pas déterminé par les principes fondamentaux. σ représente
la source volumique interne d’entropie autre que celle liée aux sources volumiques de chaleur
q 000 . Elle mesure le caractère irréversible de l’évolution du système. Si l’évolution est réversible,
c’est-à-dire qu’à chaque instant le fluide est dans un état d’équilibre thermodynamique, alors
σ = 0.
2.4
Les équations locales primaires
Pour chaque équation de bilan, on applique la règle de Leibniz (2.21) au membre de gauche. Le
lecteur pourra vérifier que toutes les équations de bilan se mettent sous la forme,
Z
Z
Z
Z
∂ρψ
dV = − n ρvψ dS −
n jψ dS +
φψ dV.
(2.44)
V ∂t
S
S
V
On dit que ρvψ est le flux convectif associé à la quantité ψ et que jψ est le flux diffusif
correspondant. On l’appelle diffusif car il résulte de l’agitation moléculaire au sein du fluide.
La théorie cinétique des gaz permet de donner une expression à ces flux, pour les gaz dilués
seulement. La quantité φψ est la source volumique associée à la grandeur ψ. Le tableau 2.2
donne leur définition ansi que celle de ψ, la quantité transportée.
On applique ensuite le théorème de Gauss (2.20) à chaque intégrale de flux. On peut alors
regrouper tous les termes sous le même signe somme,
Z ∂ρψ
+ ∇ (ρvψ) + ∇ jψ − φψ dV = 0
(2.45)
∂t
V
Comme l’énoncé des principes à été donné quel que soit le volume considéré dans le domaine fluide, l’intégrale doit être nulle quelque soit son support d’intégration. En conséquence,
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Bilan
Masse
Esp. α
Q. de M. linéaire
Q. de M. angulaire
Energie totale
Entropie
ψ
1
ωα
v
r×v
u + 12 v2
s
jψ
φψ
jα
−T
−T R
q−Tv
rα
ρg
r × ρg
ρg v + q 000
000
σ + qT
js
T
33
Tableau 2.2: Définition des variables pour l’équations de bilan monophasique généralisée (2.44). v est la vitesse,
T est le tenseur des contraintes, g représente les forces de volume, q est le flux de chaleur et u, s sont respectivement
l’énergie interne massique et l’entropie massique et R est le tenseur antisymétrique associé au vecteur position r,
Rij = ijk rk . Si les forces de volume sont différentes sur chaque constituant, il faut tenir compte des remarques
faites aux paragraphes 2.3.6 et 2.3.4 sur le forces de volume et leur puissance.
l’expression sous le signe somme est identiquement nulle, ce qui donne les équations de bilan
locales et instantanées,(c)
∂ρψ
= −∇ (ρvψ) − ∇ jψ + φψ
∂t
(2.46)
On notera que les flux diffusifs ne sont pas, à ce point, spécifiés comme la source volumique
d’entropie. Les équations de bilan ne sont pas fermées. Elles expriment sous une forme locale
équivalente les bilans globaux. En intégrant l’équation locale (2.46) sur un volume fixe ou
un volume matériel, et en utilisant la règle de Leibniz et le théorème de Gauss, on obtient
respectivement, les équations de bilan exprimées sur un volume fixe ou un volume matériel. On
laisse le soin au lecteur d’effectuer cette transformation.
Il est important de considérer que les équations locales sont strictement équivalentes aux
principes de départ. Pour la résolution des problèmes pratiques, il est souvent plus efficace
d’appliquer directement les principes fondamentaux plutôt que de prendre les équations locales
comme point de départ.
Note sur le bilan du moment de la quantité de mouvement On montre à l’annexe B
que si deux des trois propositions suivantes est vérifiée, alors la troisième résulte,
• Le bilan de quantité de mouvement est vérifié
• Le tenseur des contraintes est symétrique
• Le bilan de moment de la quantité de mouvement est vérifié
Comme en mécanique des fluides, le tenseur des contraintes est généralement symétrique pour
des fluides ordinaires, il est inutile de prendre en compte le bilan du moment de la quantité de
mouvement qui est automatiquement lorsque l’on a déjà écrit le bilan de quantité de mouvement.
Pour que cette proposition soit vraie il est nécessaire que les couples appliqués au fluide ne résulte
que du moment des forces appliquées.
2.5
Les différentes formes des équations locales
Les équations locales sous la forme (2.46) sont appelées les équations locales primaires car elles
découlent directement de l’expression des principes fondamentaux. On qualifie parfois leur forme
de forme de conservative, car elles font intervenir la quantité volumique ρψ qui intégrée sur le
(c)
On a implicitement supposé que le domaine ne comportait pas de surface de discontinuité. Ces cas importants
pour les applications seront traités lors de la modélisation des écoulements diphasiques.
34
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
Bilan
flux total
jtψ
n=
nα =
φ=
e=
jts =
Masse
Espèce
Q. de mvt
Energie
Entropie
flux convectif
ρψv
ρv
ρωα v
ρvv ρv u + 12 v 2
ρsv
flux diffusif
jψ
jα
−T
q−Tv
js
Tableau 2.3: Expression des flux totaux pour l’équation de bilan (2.47).
volume donne la quantité directement impliquée dans le bilan considéré : masse, quantité de
b est une quantité massique (par
mouvement, énergie totale et entropie. On notera que ψ = Ψ
unité de masse) tandis que ρψ est une quantité volumique. Il y a deux autres formes des
équations locales qui sont utiles à connaı̂tre :
• la forme dite des flux totaux
• la forme dite convective, n’impliquant que les flux diffusifs et les sources.
2.5.1
La forme dite des flux totaux
Cette forme est commode pour considérer des systèmes ouverts en régime permanent. On
introduit la notion de flux total, somme du flux convectif et du flux diffusif. Pour chaque
equation primaire, le flux total est défini au tableau 2.3. Les équations de bilan locales et
instantanés peuvent ainsi s’écrire,
∂ρψ
= −∇ jtψ + φψ
∂t
(2.47)
Pour un système macroscopique ouvert en régime permanent, les bilans sont simples à écrire
puisqu’il se résument à un bilan de flux total : flux net sortant égale production.
On peut également interpréter l’équation locale sous la forme (2.47) comme l’application des
principes fondamentaux à un volume fixe infinitesimal.
2.5.2
La forme dite convective
Cette forme est pratique pour obtenir les équations secondaires comme le bilan d’énergie
mécanique et entre autres le bilan d’énergie interne. Elle consiste à combiner le bilan de masse
local avec toutes les autres équations de bilan primaires. En développant les produits dans de
la dérivée temporelle et dans la divergence du flux convectif (2.46), il vient,
ρ
∂ψ
∂ρ
+ψ
= −ψ∇ (ρv) − ρv ∇ψ − ∇ jψ + φψ
∂t
∂t
(2.48)
On observe que les deux termes de part et d’autre du signe égal, se compensent exactement
puisqu’il représentent ψ fois le bilan de masse. En conséquence on a aussi,
ρ
∂ψ
= −ρv ∇ψ − ∇ jψ + φψ
∂t
(2.49)
En introduisant la dérivée convective(d) ,
Dψ
∂ψ
,
+ v ∇ψ
Dt
∂t
(d)
Une dérivée droite suffirait, on suit encore ici l’usage anglo-saxon.
(2.50)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
35
les équations de bilan adoptent la forme suivante,
ρ
Dψ
= −∇ jψ + φψ
Dt
(2.51)
On peut également interpréter l’équation locale sous la forme (2.51) comme l’application des
principes fondamentaux à un volume matériel infinitesimal.
Note sur une forme particulière du bilan de masse En thermodynamique, on introduit
le volume come variable d’état. Le volume massique Vb est défini comme le quotient du volume
par la masse qu’il contient. On le note souvent, v,
1
v = Ve =
ρ
(2.52)
La divergence du champ de vitesse est égale à la variation relative du volume massique de la
particule fluide. Le bilan de masse sous forme primaire (2.46) s’écrit,
∂ρ
= −∇ ρv = −ρ∇ v − v ∇ρ
∂t
(2.53)
que l’on peut écrire sous la forme suivante,
Dρ
= −ρ∇ v
Dt
(2.54)
En changeant de variable v = 1/ρ, on obtient une équation du volume massique,
ρ
2.6
Dv
=∇v
Dt
(2.55)
Les équations locales secondaires
L’application des principes fondamentaux produit 4 équations de bilan locales et instantanées rigoureusement équivalentes aux équations globales correspondantes. On les appelle les
équations locales primaires. Pour les besoins de la section suivante, on les explicite dans leur
forme convective,
2.6.1
Les équations primaires sous forme convective
Le bilan masse peut s’écrire,
Dv
=∇v
Dt
(2.56)
Dωα
= −∇ jα + rα
Dt
(2.57)
ρ
Le bilan des espèces peut s’écrire,
ρ
Le bilan de quantité de mouvement peut s’écrire,
ρ
X
Dv
=∇T+
ρα gα
Dt
α
(2.58)
où on a pris en compte le caractère éventuellement différent des forces de volume sur chaque
constituant.
36
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
En mécanique des milieux continus, on décompose le tenseur des contraintes en partie
visqueuse et partie isotrope liée à la pression. Pour un fluide parfait, on a simplement T = −pI,
où I est le tenseur unité. La décomposition du tenseur des contraintes s’écrit,
T , −pI + V
(2.59)
ce qui définit le tenseur des contraintes visqueuses, V. On admettra qu’au voisinage de l’équilibre
thermodynamique, p est aussi la pression thermodynamique. La forme convective du bilan de
quantité de mouvement s’écrit alors,
ρ
X
Dv
= −∇p + ∇ V +
ρα g α
Dt
α
Le bilan d’énergie totale s’écrit sous la même forme,
X
D
1
ρ
u + v2 = −∇ q + ∇ (T v) +
ρα gα vα .
Dt
2
α
(2.60)
(2.61)
L’interprétation de cette équation est identique au bilan global qui lui est équivalent : la
variation d’énergie totale d’une particule fluide est égale à la somme de la puissance thermique
apportée et de la puissance mécanique apportée au système : actions de contact et forces de
volume.
2.6.2
Les équations secondaires
Les équations locales dites secondaires sont des combinaisons des équations locales primaires. Elles ne sont donc pas indépendantes des premières et n’apportent pas d’informations
supplémentaires. Toutefois, elles renseignent sur les différents transferts entre forme d’énergie.
Elles permettent également d’obtenir l’expression des sources d’entropie au voisinage de
l’équilibre thermodynamique ce qui permet d’identifier le caractère irréversible de certains transferts.
Le bilan d’énergie mécanique. Cette équation s’obtient en multipliant scalairement le bilan
de quantité de mouvement par v, la vitesse moyenne,
vρ
X
Dv
= (∇ T) v +
ρα g α v
Dt
α
En réorganisant le premier membre, on obtient,
X
D 1 2
ρ
v = (∇ T) v +
ρα g α v
Dt 2
α
(2.62)
(2.63)
Le bilan d’énergie interne. Le bilan d’énergie interne s’obtient en retranchant du bilan
d’énergie totale (2.61), le bilan d’énergie mécanique (2.63). Cette opération nécessite en outre
de développer la divergence du produit T v. En composantes on a,(e)
∂
∂
∂
Tij vj = vj
Tij + Tij
vj ,
∂xi
∂xi
∂xi
(e)
∇ (T v) = (∇ T) v + T : ∇v
(2.64)
En toute rigueur, le produit doublement contracté de deux tenseurs vaut Aij Bji . On aurait alors, ∇.(T.v) =
(∇.T).v +t T.∇v. On a utilisé la symétrie du tenseur des contraintes.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
37
X
Du
= −∇ q + T : ∇v +
ρα (vα − v) gα
Dt
α
(2.65)
On obtient alors,
ρ
En décomposant le tenseur des contraintes (2.59), on obtient,(e)
(−pδij + Vij )
∂
∂
∂
vj = −p
vi + Vij
vj ,
∂xi
∂xi
∂xi
T : ∇v = −p∇ v + V : ∇v
(2.66)
En reportant dans le bilan d’énergie interne (2.65), on obtient finalement,
ρ
X
Du
= −∇ q − p∇ v + V : ∇v +
j α gα
Dt
α
(2.67)
Cette équation représente le bilan d’énergie interne d’un volume matériel infinitesimal, c’est
ce que l’on nomme aussi habituellement une particule fluide. On notera que le dernier terme
est nul lorsque les forces de volume sont identiques sur chaque constituant ou que le fluide ne
comporte qu’un seul constituant.
En introduisant la décomposition (2.64) et (2.66) dans le bilan d’énergie mécanique, on
obtient une interprétation plus claire de ce bilan,
X
D 1 2
ρ
v = ∇ (T v) +
ρα gα v + p∇ v − V : ∇v
(2.68)
Dt 2
α
Cette équation s’interprète conformément au théorème de l’énergie cinétique. Les deux
premiers termes représentent la puissance des forces extérieures (actions de surface et de volume)
et les deux derniers représentent la puissance des forces intérieures. On reconnaı̂t ces deux
derniers termes dans le bilan d’énergie interne (2.67) mais avec des signes opposés. Il représentent
donc des transferts entre énergie mécanique et énergie interne.
• La puissance de compression du fluide par unité de volume −p∇ v = −p/v Dv
Dt , voir (2.55).
Ce terme est positif lorsque le fluide est comprimé (dv < 0), c’est alors un puits d’énergie
mécanique et une source pour l’énergie interne. Le signe de ce terme n’est pas contraint
par le second principe. Comme on le vera plus loin. Il représente un transfert reversible
entre énergie interne et énergie mécanique.
• V : ∇v représente la puissance volumique dissipée en chaleur par les contraintes visqueuses.
On verra plus tard que le second principe impose à ce terme d’être non négatif, ce qui signe
son caractère irréversible et strictement dissipatif. C’est donc toujours une source pour
l’énergie interne et un puits pour l’énergie mécanique : l’énergie mécanique consommée
par cet effet est perdue de façon irréversible et transformée en chaleur.
• On notera que ces deux termes d’échange n’apparaissent pas dans le bilan d’énergie totale
(2.61). Ce qui est une autre façon de dire que ce sont des termes de redistribution.
Sous certaines conditions, le bilan d’énergie mécanique permet d’obtenir l’équation de
Bernoulli.
Bilan d’enthalpie. Le flux total d’énergie, e, ne fait apparaı̂tre que l’enthalpie. C’est
pourquoi on préfère souvent écrire l’équation d’énergie (2.67) avec l’enthalpie, h , u + p/ρ =
u + pv. Cette equation permettra d’établir une équation d’évolution de la température qui est à
38
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
la base de la modélisation des transferts de chaleur. En différenciant la définition de l’enthalpie
et en utilisant la forme particulière du bilan de masse (2.55), on obtient,
ρ
Du
Dh Dp
=ρ
−
− p∇ v
Dt
Dt
Dt
b est l’enthalpie massique. Le bilan d’enthalpie a pour expression,
où h = H
Dh
Dp X
ρ
= −∇ q + V : ∇v +
+
j α gα
Dt
Dt
α
(2.69)
(2.70)
L’équation de la température s’obtient en explicitant la dépendance de l’enthalpie massique
avec la température, la pression et la composition (1.95),
!
DT
∂v
Dp X H α Dωα
Dh
= cP
+ v−T
+
(2.71)
Dt
Dt
∂T p,ωβ Dt
Mα Dt
α
bp . En utilisant les bilans des espèces (2.57), on obtient finalement,
où on a posé cP = C
bp DT = −∇ q + V : ∇v + T
ρC
Dt
v
∂v
∂T
p,ωβ
X
Dp X H α
+
(∇ jα − rα ) +
jα gα
Dt
Mα
α
α
(2.72)
Bird et al. (2007) proposent une liste exhaustive des différentes formes que peuvent prendre
les différents équations d’énergie.
Bilan d’entropie. On admet que la relation générale entre l’énergie interne u, l’entropie s, le
volume massique v et la quantité de matière nα , obtenue pour des états d’équilibre est encore
valable au voisinage de l’équilibre thermodynamique (hypothèse d’équilibre local). Sous cette
condition expresse, ces grandeurs sont liées par la relation différentielle (1.100). En l’appliquant
aux dérivées convectives, on obtient,
Du
Ds
Dv X µα Dωα
=T
−p
+
(2.73)
Dt
Dt
Dt
Mα Dt
α
En substituant les dérivées convective par leurs expressions déduites du bilan de matière
(2.57) et en reportant le résultat dans le bilan d’énergie interne (2.67), on obtient le résultat
suivant,
Tρ
X
X µα
Ds
= −∇ q + V : ∇v +
j α gα +
(∇ jα − rα )
Dt
Mα
α
α
(2.74)
qui représente le point de départ,
• De l’analyse des conditions d’équilibre thermodynamique,
• et de la fermeture des équations locales instantanées.
2.7
Fermeture des équations locales
Les équations de bilan locales primaires et secondaires ne sont pas fermés. Deux attitudes
complémentaires sont alors couramment rencontrées.
• L’expérience ou des modèles microscopiques comme la théorie cinétique des gaz permettent
de trouver ou de suggérer des formes pour les différents flux et sources présentes dans les
équations de bilan. On vérifie ensuite que ces lois de comportement sont compatibles avec
l’expression du second principe. La loi de Fick, la loi de Navier et la loi de Fourier sont
des exemples de ce type de fermeture.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
39
• Une autre attitude consiste rechercher les formes de ces relations à partir d’une interprétation étendue des principes fondamentaux. C’est l’objet de la thermodynamique
des phénomènes irréversibles (TPI).
On se limitera, par la suite, au cas d’un mélange de deux constituants et on suivra en partie
les développements de Landau & Lifchitz (1971, §58-59). Cette limitation permet, dans un
premier temps, de réduire sensiblement les calculs et de fournir une interprétation physique
complète des phénomènes. Le cas des mélanges réels à N constituants est traité par Bird et al.
(2007, Ch. 24) et la technique de calcul algébrique est notablement plus compliquée. On
conseille alors de suivre les étapes intermédiaires de ce calcul données par Curtiss & Bird (1999).
On citera toutefois les résultats utiles dans le cas général. On trouvera, de plus, un exposé des
principes de la thermodynamique des phénomènes irréversibles dans Dreyfus & Lacaze (1971,
Ch. XIV) ou avec davantage de domaines d’application, notamment pour le génie chimique,
dans Zahra & Mathieu (1989). Landau a également travaillé personnellement sur ce sujet. On
trouve un exposé de cette théorie dans Landau & Lifchitz (1971, §58) avec plusieurs références
à Landau & Lifchitz (1967).
Notre principal objectif est, ici, de justifier les expressions des flux de chaleur et de masse
fournies sans trop de détail, c’est un doux euphémisme, par Welty et al. (1976, eq. 26-63) ou
Lienhard IV & Lienhard V (2008) encore dans le cas particulier des mélanges de fluides parfaits
pour les applications de combustion par Kuo (2005, eq. 3-61). On a jugé souhaitable de décrire
la manière dont sont obtenues ces expressions pour permettre d’apprécier les approximations
leur correspondant.
Il ne faut pas perdre de vue que ce problème de fermeture à l’échelle moléculaire,
quoiqu’important du point de vue fondamental, ne résout pas l’intégralité des problèmes
pratiques. En effet, l’immense majorité des applications industrielles mettent en oeuvre
des écoulements turbulents pour lesquels les phénomènes moléculaires ne jouent pas un rôle
prépondérant à l’exception, cependant, du voisinage immédiat des parois. Pour décrire ces
phénomènes, on a recours à des équations moyennés en temps ou plus généralement filtrées
en temps et en espace. L’opération de moyenne introduit un second problème de fermeture
à l’échelle du filtre, c’est de loin la problématique la plus contraignante pour la modélisation
des écoulements turbulents, diphasiques avec ou sans changement de phase et éventuellement
réactifs.
On revient rapidement sur le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles.
2.7.1
Application de la thermodynamique à la mécanique des milieux continus
L’objet principal de la thermodynamique est de décrire les systèmes en équilibre et de donner
des relations, énergétiques notamment, entre ces états.
• Les états d’équilibres d’un système, sont caractérises par les observations suivantes.
– Pour un état d’équilibre, on sait définir (mesurer) des variables d’état, p, T , V , etc.
– contre-exemples : diffusion de la chaleur dans une barre : la température du système
n’est pas définie puisque variable, et les situations où existent des gradients dans le
système.
• Les états d’équilibre sont liés par une relation d’état f (p, V, T ) = 0. Cette observation est
une constatation expérimentale.
• Le premier principe relie des états d’équilibres (A-B) et postule l’existence de U , l’énergie
interne, qui exprime le coût énergétique de la transformation de A à B. D’après le principe,
40
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
le coût est indépendant de la façon dont on est passé de A à B. On peut, sur tout le trajet,
rester à chaque étapes à l’équilibre (transformation réversible) ou non, auquel cas on ne
peut pas définir, lors des étapes intermédiaires la valeur des paramètre d’état.
• Le second principe permet de distinguer l’état initial de l’état final, soit le sens de
l’évolution. Il postule l’existence de S, l’entropie. Pour un système fermé et isolé, l’entropie
ne peut que croı̂tre. L’état d’équilibre de ce système est atteint quand l’entropie est maximum.
• Conséquences
– La plupart des formules différentielles de thermodynamiques ne sont valables que
pour des successions d’états d’équilibres (transformations réversibles). Notamment
celle relative à la chaleur.
– On ne peut pas calculer la vitesse d’évolution du système : ni le temps, ni les propriétés de transport n’apparaissent en thermodynamique.
La thermodynamique des processus irréversibles a pour objet de lever certaines restrictions
de la thermodynamique classique et de faciliter son application à la mécanique des milieux
continus. Elle permet, sous certaines hypothèse, de fermer les équations de bilan locales.
• On sait définir (mesurer) localement p, T , V , etc. On admet que dans un système ces
grandeurs sont représentées par des champs.
• Postulat de quasi-équilibre local : L’équation d’état ou la fonction caractéristique du
système s’appliquent encore à ces états locaux. (gradients petits). Notamment,
– Les états locaux sont liés par la relation d’état, f (p, V, T ) = 0, établie pour un système
à l’équilibre.
– On peut calculer U et S par les formules reliant les états d’équilibre.
• Le second principe est appliqué et permet l’interprétation de l’équation d’évolution de
l’entropie.
• Les flux non convectifs : q, V, jα sont la conséquence des forces motrices qui les engendrent
∇T , ∇v, ∇µα .
• La relation entre les flux et les forces est linéaire (Onsager) pour de faibles écarts à
l’équilibre. Elle est symétrique en général.
• Les couplages entre forces et flux sont restreints par le principe de Curie (≈ même ordre
tensoriel entre forces et flux)
2.7.2
Flux et sources d’entropie
Le point de départ de cette discussion est le bilan d’entropie (2.74). On distingue les actions
extérieures (flux d’entropie) des sources car ils s’expriment dans une équation locale sous la
forme de la divergence d’un certain vecteur, les seconds étant des termes source volumiques.
Une des décompositions possibles est la suivante,
!
X µα jα
1
js =
q−
(2.75)
T
/Mα
α
µ g X µ r
1
∇T
V : ∇v X
α
α
α α
jα σ = −q 2 +
−
∇
−
−
(2.76)
T
T
M
T
T
M
T
α
α
α
α
41
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Chaleur
Mécanique
Masse
Réaction
Forces
∇T
T2
∇v
T
∇µ0
T
A
T
Flux
q − µj
V
j
dξ
dt
Ordre
1
2
1
0
Tableau 2.4: Définitions des forces et des flux pour la source d’entropie dans le cas d’un mélange à deux
constituants.
On notera que cette expression fait intervenir les gradients de la température et des potentiels
chimiques. La relation de Gibbs-Duhem (1.78) montre que ces derniers ne sont pas indépendants.
C’est pourquoi, on préfère mettre le résultat précèdent sous la forme,
!
X S α jα
1
js =
qT −
(2.77)
T
Mα
α
T σ = −qT X µα
e
∇T
V : ∇v X
cRT
+
−
jα dα −
rα
T
T
ρα
Mα
α
α
(2.78)
où les dα sont de somme nulle, ce qui exprime clairement et symétriquement leur dépendance
et le flux thermique à proprement parler qT est défini comme le flux total auquel on a retranché
la contribution liée au transfert de masse,
qT = q −
X H α jα
α
e dα = cα T ∇
cRT
Gα
T
(2.79)
Mα
X
∇T
− ωa ∇p + ρα gα − ωα
ρβ gβ
+ cα H α
T
(2.80)
β
Pour obtenir cette seconde forme, on suit les étapes du calcul fournies par Curtiss & Bird
(1999). Il faut notamment remarquer que les variations de la température, de la pression et des
potentiels chimiques sont liées par la relation de Gibbs-Duhem dont l’une des conséquences est
la relation (1.83). L’interprétation de ce résultat est le suivant,
• Le flux diffusif d’entropie est lié à l’apport de chaleur d’origine thermique venant de
l’extérieur et de la contribution convective des différents constituants, le flux total convectif
étant défini avec la vitesse moyenne.
• Il y a 4 sources d’entropie indépendantes. Elles sont chacune sous la forme d’un produit
d’une variable mesurant de déséquilibre par un flux qui lui correspond.
• Pour le transfert de masse, l’effet moteur de la diffusion est regroupé dans un seul terme
unique comportant 4 contributions liées à la non-uniformité du potentiel chimique, de la
température, de la pression et des forces de volume sur chaque constituant.
2.7.3
Interprétation des sources d’entropie : forces et flux généralisés
Conditions de l’équilibre thermodynamique. Le premier résultat significatif apporté par
l’expression des sources d’entropie sont les conditions d’équilibre thermodynamique. De plus,
cette expression met en évidence le moteur des mécanismes de transfert. Pour que l’équilibre
thermodynamique soit assuré, il faut et il suffit que les sources d’entropie soient nulles. En
conséquence,
42
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
• La température doit être uniforme, ∇T = 0.
• Une condition suffisante est que la vitesse soit uniforme, ∇v = 0.
• Le potentiel chimique doit être uniforme, ∇µα = 0.
• La vitesse des réactions chimiques doit être nulle, rα = 0.
De plus ce résultat exhibe les quatre sources de déséquilibre et la nature des flux associés. Les
sources sont sous la forme d’un produit de d’une force généralisée qui cause le déséquilibre et le
flux correspondant qui, selon l’expérience, restaure l’équilibre (selon la terminologie de la TPI).
On peut alors interpréter le second principe, c’est-à-dire la positivité des sources d’entropie,
comme une condition nécessaire assurant le retour à l’équilibre.
Association des déséquilibres et des flux. Pour restaurer l’équilibre selon le type de
déséquilibre, des flux associés naissent pour retrouver l’équilibre, c’est-à-dire l’uniformité.
• S’il y a des différences de température, le système va être le siège d’un flux de chaleur pour
uniformiser ces différences.
• S’il y a du cisaillement, le fluide est le siège de contraintes visqueuses ce qui uniformisera
les vitesses.
• S’il y a des différences de potentiel chimique, le système va engendrer des flux de matière
pour l’uniformiser.
• S’il le système n’est pas à l’équilibre chimique, des réactions chimiques se mettent en
oeuvre jusqu’à ce qu’on le retrouve.
Si les déséquilibres sont petits, on peut accepter une relation linéaire entre les déséquilibres
et les flux. La règle de Curie exprime que les relations linéaires entre tenseurs ne sont possibles
qu’entre des tenseurs possédant une différence d’ordre pair. On partage donc la discussion
suivante entre
• La diffusion visqueuse et la réaction chimique
• La diffusion thermique et massique
Diffusion visqueuse et réaction chimique Le tenseur visqueux exprime la diffusion
de quantité de mouvement résultant de l’agitation moléculaire. On notera au passage que
Bird et al. (2007) préfèrent à la place de T = −pI + V, −π = −pδ − τ . La contrainte de
cisaillement s’écrit alors, pour ces auteurs, de façon cohérente avec les autres flux : jy = −ρD ∂ω
∂y ,
∂u
∂T
τxy = −µ ∂y , qy = −k ∂y , le signe moins rappelant que les tous transferts ont lieu contre le
gradient. En mécanique on a plutôt l’habitude de la convention, Vxy = µ ∂u
∂y .
Le couplage entre réaction chimique et écoulement n’est pas interdit par la règle de Curie.
Cependant, il ne semble pas à ce jour qu’il ait été étudié. On va considérer les deux phénomènes
indépendamment.
Pour le tenseur visqueux les résultats sont classiques. On va simplement les citer.
• La relation la plus générale entre V et ∇v implique 81 coefficients de viscosité différents. Si
l’on exclue les comportements non linéaires, plastiques, visco-élastiques, ce sont des vraies
constantes. On peut pour un fluide homogène et isotrope n’en garder que 2 car,
– La nullité de V pour un mouvement solide impose de garder de ne garder que ∇v+v∇
et ∇ v comme combinaison des composantes.
43
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
– On a l’habitude de noter µ et ζ − 2/3µ ces deux constantes, car la théorie cinétique
des gaz prédit que ζ = 0 pour un gaz mono-atomique.
V = (ζ − 23 µ)(∇ v)I + µ(∇v
+ v∇) ∂vj
2 ∂vk
∂vi
Vij = (ζ − µ)
δij + µ
+
3 ∂xk
∂xj
∂xi
(2.81)
• La substitution de cette expression dans la source d’entropie correspondante et sa condition
de positivité impose (e)
µ > 0 et ζ > 0.
(2.82)
Pour la réaction chimique, les résultats sont un peu moins connus dans la communauté
mécanique. On citera aussi les résultats sans démonstration.
Si une ou plusieurs réactions chimiques ont lieu au sein de l’écoulement (2.37), il n’y a qu’un
seul taux de réaction molaire Rα ou une seule vitesse de réaction molaire Rk indépendante par
réaction. Les taux de production molaires des produits et réactifs impliqués sont liés par la
relation stoechiométrique correspondante (2.38). La source d’entropie chimique peut alors être
mise sous la forme,
−
X µα rα
X Ak R k
=−
Mα T
T
α
(2.83)
k
où Ak , l’affinité chimique de réaction numéro k est une combinaison linéaire des potentiels
chimiques des constituants dans les proportions stoechiométriques aki , voir (2.38),
X
Ak =
aki µi
(2.84)
où Ak est l’affinité de la réaction k. Les conditions d’équilibre thermodynamique sont simplement,
Ak = 0
(2.85)
On peut monter par exemple que pour une réaction chimique simple de type,
A1 + A2 A3 + A4
(2.86)
qui a lieu dans un gaz parfait, l’affinité chimique s’écrit,
A = RT ln
p3 p4
+ ∆G0 (T )
p1 p2
(2.87)
e 03 + G
e 04 − G
e 01 + G
e 02 représente la différence d’enthalpie libre entre les produits
où ∆G0 = G
(à droite au sens de la réaction) et les les réactifs (à gauche) et pi la pression partielle des
constituants. C’est aussi la variation d’enthalpie libre à T et p constants consécutive à la
réaction totale dans le sens direct. La condition d’équilibre thermodynamique s’écrit A = 0, ce
qui donne la relation connue sous le nom de la loi d’action de masse,
RT ln
p 3 p4
+ ∆G0 (T ) = 0
p1 p2
(2.88)
Cette relation définit la constante d’équilibre de la réaction,
p3 p4
= Kp (T ),
p1 p2
(e)
∂vi
La preuve repose sur l’identité ( ∂x
+
j
∂vj
∂xi
−
RT ln Kp + ∆G0 (T ) = 0
∂vi
2 ∂vl
δ )( ∂x
3 ∂xl ij
j
+
∂vj
∂xi
−
2 ∂vl
δ )
3 ∂xl ij
∂vi
= 2( ∂x
+
j
(2.89)
∂vj
∂xi
−
∂v
2 ∂vl
δ ) j
3 ∂xl ij ∂xi
44
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
la dernière relation étant un autre énoncé de la loi d’action de masse liant la constante
d’équilibre à la variation d’enthalpie libre de la réaction. De plus Kp n’est fonction que de la
température pour un gaz parfait.
Zahra & Mathieu (1989) étudient les réactions chimiques en dehors des conditions
d’équilibre, c’est-à-dire toutes les situations intermédiaires où la réaction très lente ou très
rapide (composition gelée ou à l’équilibre). Les modèles cinétiques simples donnent pour une
réaction comme (2.86), une vitesse de réaction qui est le bilan des deux demi-réactions,
P = k10 y3 y4 − k20 y1 y2
(2.90)
où P est le taux de production global (P = RV , où V est le volume du réacteur) et k10 et k20 sont
les coefficients cinétiques dans le sens de la réaction et dans le sens inverse. Pour le mélange
de gaz parfaits, on peut aussi l’écrire en pression partielle. C’est légitime ici car la réaction ne
produit pas de moles et et la réaction n’est pas influencée par la pression totale.
P = k1 p3 p4 − k2 p1 p2
(2.91)
Les constantes doivent être déterminées par l’expérience. Toutefois, k1 et k2 sont contraintes
par la condition d’équilibre. En effet, à l’équilibre P = 0 et donc k2 /k1 = Kp . On peut donc
écrire, en choisissant la réaction dans le sens direct comme échelle,
k2 p1 p2
A
P = k1 p3 p4 1 −
= PE 1 − exp −
(2.92)
k1 p3 p4
RT
où PE = k1 p3 p4 représente le taux de production au voisinage de l’équilibre. Pour un faible
écart à l’équilibre, A/RT 1, on a,
P =−
PE A
RT
(2.93)
où PE est la vitesse de réaction au voisinage de l’équilibre. Cette expression assure la positivité
de la source d’entropie pour
k1 > 0,
(2.94)
et montre qu’au voisinage de l’équilibre le taux de production, P (le flux généralisé) est proportionnel à l’affinité (la force généralisée). De plus cette relation donne l’échelle mesurant l’écart
à l’équilibre (RT ). La condition de petitesse de l’écart, A/RT 1, est manifestement violée
lorsque les réactifs sont purs notamment au démarrage d’une réaction homogène. L’équation
(2.92) montre alors que la vitesse de réaction est indépendante de l’affinité (A/RT → ∞).
On peut de plus monter que les lois de modification des équilibres chimique (voir par exemple
Annequin & Boutigny, 1973, p. 210-213) résultent entièrement de la positivité de −AP . Si l’on
écarte de l’équilibre un mélange réactif par élévation de température, augmentation de la pression
ou addition d’un réactif, l’affinité, initialement nulle prend alors une valeur non nulle. Le sens
de la réaction pour le retour à l’équilibre, c’est-à-dire le signe de la production P est déterminé
par la condition AP < 0.
Diffusion thermique et massique Il existe une différence de points de vues entre les auteurs.
Ils diffèrent par le choix des variables de déséquilibre. Bird et al. (2007) et Zahra & Mathieu
(1989) choisissent les gradients de 1/T , µ/T ou d, tandis que Landau & Lifchitz (1971)
choisissent ∇T et ∇µα . Ces différences n’affectent que la forme des sources d’entropie mais pas
le flux d’entropie.
L’une des conséquences de ces différents points de vue est qu’il y a selon Bird et al. (2007)
4 moteurs pour le transfert de masse, regroupés dans une force motrice unique d.
45
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
• Le gradient de µ/T .
• Le gradient de température.
• Le gradient de pression.
• Le forces de volume différentes.
La linéarité entre forces et flux va donc imposer quatre contributions au transfert de masse,
• la première liée, au gradient de concentration, la loi de Fick,
• la thermodiffusion,
• la diffusion barotrope,
• la diffusion forcée.
Ces trois derniers types de transferts sont notamment mis en oeuvre pour la séparation
isotopique par diffusion gazeuse, l’ultra-centrifugation et l’électrophorèse.
En revanche, Landau & Lifchitz (1971) considèrent comme source de déséquilibre ∇µ et
∇T . Les flux associés q et j leurs sont liés linéairement. En exprimant la dépendance du
potentiel chimique vis-à-vis de la composition, de la température et de la pression, ces auteurs
retrouvent les quatre modes de diffusion cité plus haut. Il faut donc retenir que le résultat final
possède la même signification physique.
Bien que la théorie de Bird et al. (2007) soit plus moderne et probablement plus générale,
notamment pour décrire la diffusion dans les alliages, on va exposer celle des premiers auteurs
en raison de la simplicité de l’algèbre qu’elle nécessite.
Diffusion thermique et massique pour un écoulement à deux constituants. Nous
allons suivre les développements de Landau & Lifchitz (1971, §59) en nous limitant à deux
constituants. On pose alors,
j = j1 = −j2 ,
r = r1 = −r2 ,
µ=
µ1
µ2
−
,
M1 M 2
g = g1 − g2
(2.95)
L’énergie interne massique et l’enthalpie libre massique, g = u + pv − T s, deviennent avec
ces notations,
du = T ds − pdv + µdω
(2.96)
dg = −sdT + vdp + µdω.
(2.97)
Les sources d’entropie (2.76) deviennent alors,
σ = − (q − µj) ∇T
V : ∇v
j
rµ
+
− (∇µ − g) −
2
T
T
T
T
(2.98)
On élimine les sources liées à la réaction chimique et aux gradient de vitesse qui viennent
d’être étudiées. Si les forces de volume dérivent d’un potentiel, il est toujours possible d’écrire
g = −∇V et d’incorporer l’effet des forces de volume dans µ0 = µ + V et on a alors,
σ = − (q − µj) ∇T
∇µ0
−
j
T2
T
(2.99)
46
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
La relation linéaire la plus générale entre deux vecteurs a et b est de la forme a = A b où A
est un tenseur d’ordre 2. C’est le cas pour la conduction dans des milieux anisotropes. Pour un
fluide, cette propriété est moins courante, si bien qu’on peut se limiter à des relations scalaires,
∇µ0
∇T
− βT 2 2
T
T
∇µ0
∇T
q − jµ = − δT
− γT 2 2
T
T
j = − αT
(2.100)
(2.101)
Le principe d’Onsager impose la symétrie des relations entre les forces et les flux, ce qui
implique,
βT 2 = δT
(2.102)
il n’y a donc que trois coefficients indépendants. En reportant cette équation dans la relation
flux-force, on obtient,
j = − α∇µ0 − β∇T
0
q − jµ = − βT ∇µ − γ∇T
(2.103)
(2.104)
Cette relation ne dépend plus que des trois coefficients phénoménologiques, α, β et γ.
Landau & Lifchitz (1971) proposent pour simplifier les calculs d’éliminer le gradient de µ0 dans
l’expression du flux de chaleur.(f) On obtient alors,
j + β∇T
j = − α∇µ0 − β∇T, ∇µ0 = −
α
βT
β2T
q= µ+
j − κ∇T, κ = γ −
α
α
(2.105)
(2.106)
En absence de transfert de masse, j = 0, le flux de chaleur ne dépend que de ∇T et on
identifie κ avec la conductivité thermique. Grâce à cet artifice de calcul, la source d’entropie
peut maintenant être exprimée très simplement en fonction de ∇T et j (au lieu de ∇T et ∇µ0 ).
Son signe peut ensuite être analysé très directement.
∇µ0 q − µj
σ =−j
−
∇T
2
T
T j + β∇T
βT
∇T
= j
−
j − κ∇T 2
αT
α
T
2
2
j
∇T
=κ 2 +
T
αT
(2.107)
La positivité des sources d’entropie impose deux conditions dont la première est identique à
celle déjà connue pour les écoulements à un seul constituant,
κ > 0,
α>0
(2.108)
Le potentiel chimique est fonction de p, T et de la composition, voir (2.97). On peut
maintenant analyser la dépendance du flux de diffusion par rapport à ces variables. On a
∇µ0 = ∇µ − g.
∂µ
∂µ
∂µ
0
∇µ =
∇ω +
∇T +
∇p − g
(2.109)
∂ω p,T
∂T p,ω
∂p ω,T
(f)
Landau réduit toujours les calculs à leur plus simple expression, c’est un don rare...
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
En reportant dans l’expression du flux de matière (2.105), on obtient,
" !
#
∂µ
β
∂µ
∂µ
j = −α
∇ω +
+
∇T +
∇p − g
∂ω p,T
∂T p,ω α
∂p ω,T
47
(2.110)
En posant,
α
α
∂µ
∂ω
=ρD
(2.111)
p,T
∂µ
kT
+ β =ρD
∂T p,ω
T
∂µ
kP
α
=ρD
∂p ω,T
p
(2.112)
(2.113)
on peut réécrire (2.110),
"
kp
kT
j = −ρD ∇ω +
∇T + ∇p − g
T
p
∂µ
∂ω
−1 #
(2.114)
p,T
Avec ces notations, D est le coefficient de diffusion binaire. Comme on sait montrer que
∂µ
> 0 (voir la section 1.6), on en déduit que D est un coefficient phénoménologique
∂ω
T,p
toujours positif (2.108) qui doit être soit mesuré où prédit en dehors de la thermodynamique,
par la cinétique des gaz, par exemple, comme c’est la cas également pour la viscosité et la
conductivité. Le premier terme de (2.114) permet de justifier la loi de Fick.
Le second terme correspond à la thermo-diffusion ou effet Soret. Il exprime l’effet du
gradient de température sur le transfert de masse. kT est sans dimension et s’appelle le rapport
de thermodiffusion. kT D = DT est appelé le coefficient de thermodiffusion. Le signe de kT n’est
pas contraint par le second principe. D’après Bird et al. (2007, tableau 24-2-3), ce coefficient
et de l’ordre de quelques % pour les gaz et très variable mais au plus d’ordre 1 pour les liquides.
C’est avec cet effet que l’on a commencé à séparer les isotopes.
Le troisième terme correspond à la diffusion barométrique, c’est-à-dire la création d’un flux
de matière par un gradient de pression lié à l’écoulement. kP D est appelé le coefficient de
diffusion barométrique. On notera que d’après (2.111) et (2.113), le coefficient kp ne dépend pas
de α et ne dépend que de l’équation d’état du fluide. On peut notamment le calculer pour un
gaz parfait. Les deux coefficients doivent kT et kP dépendent de la concentration. Notamment,
ils doivent s’annuler pour des fluides purs. L’ultra-centrifugation repose sur ce dernier effet.
Le dernier terme correspond à l’effet de la diffusion forcée. Un transfert de masse peut
intervenir en absence de tous gradients quand les forces de volume agissant sur les espèces sont
différentes. C’est le cas des ions notamment sous un champ électrique.
On notera que kp est entièrement déterminé par l’équation d’état du fluide. On peut notamment le calculer pour un mélange de gaz parfaits. En faisant le quotient membres à membres
de (2.113) et (2.111), on obtient,
∂µ
∂v
∂p ω,T
kp
∂ω p,T
= = (2.115)
∂µ
∂µ
p
∂ω
p,T
∂ω
p,T
48
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
En raison de la définition de l’enthalpie libre (2.97), on a aussi,
∂µ
∂2g
∂v
=
=
∂p T,ω
∂ω∂p
∂ω p,T
(2.116)
ce qui prouve la seconde égalité de (2.115).
Le flux de chaleur peut à son tour être exprimé en fonction des variables thermodynamiques.
En calculant β par (2.112), on évalue la quantité,
βT
∂µ
ρD
µ+
=µ−T
+ kT
(2.117)
α
∂T p,c
α
Puis en utilisant (2.106), on obtient,
"
q = −κ∇T + j µ + kT
∂µ
∂ω
−T
p,T
∂µ
∂T
#
(2.118)
p,ω
Les deux premiers termes peuvent encore être regroupés en remarquant par le même procédé
que pour (2.116),
∂µ
∂2g
∂s
=
=−
(2.119)
∂T p,ω
∂ω∂T
∂ω p,T
On a donc,
∂µ
∂s
∂g
∂s
∂(g + T s)
µ−T
=µ+T
=
+T
=
∂T p,ω
∂ω p,T
∂ω p,T
∂ω p,T
∂ω
p,T
En reconnaissant h = g + T s, l’enthalpie massique, on obtient,
∂µ
∂h
µ−T
=
∂T p,ω
∂ω p,T
(2.120)
(2.121)
Par définition des grandeurs molaires partielles, on a,
H(p, T, n1 , n2 ) = n1 H 1 + n2 H 2
(2.122)
En divisant par la masse volumique, ρ, pour obtenir l’enthalpie massique, on obtient
ω1
ω2
ω
1−ω
h(p, T, ω1 , ω2 ) =
H1 +
H2 =
H1 +
H2
(2.123)
M1
M2
M1
M2
dont on déduit,
H1
H2
∂µ
µ−T
=
−
(2.124)
∂T p,ω
M1 M2
Le flux de chaleur (2.118) peut en conséquence s’écrire,
"
#
H1
H2
∂µ
q = −κ∇T + j
−
+ kT
M1 M2
∂ω p,T
(2.125)
On voit donc qu’au flux de chaleur purement conductif s’ajoute une contribution liée au
transport moléculaire d’enthalpie. Au moins pour deux constituants, il est bien de la forme
P
Hα
α jα Mα . Ce terme s’annule identiquement lorsque les deux espèces sont identiques.
On remarque aussi une dernière contribution au flux de chaleur provenant de l’effet croisé
symétrique de l’effet Soret (2.102). C’est effet se nomme l’effet Dufour et prédit une modification du transfert de chaleur lié au transfert de masse. Le signe de cet effet n’est pas contraint.
L’équation (2.125) complète et justifie les équations (26-63) de Welty et al. (1976) et (3-61)
de Kuo (2005). C’est l’analogue de l’équation (24-2.6) de Bird et al. (2007).
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
2.8
49
Quelques remarques sur les résultats généraux
Dans le cas d’un écoulement à deux constituants, on a montré que la loi de Navier, la loi de
Fick et la loi de Fourier sont des cas particuliers de relation linéaire entre flux et déséquilibres
thermodynamiques. De plus des effets supplémentaires connus sont également décrits par la
TPI. On peut considérer les premières comme une approximation des secondes, et que la TPI
place l’ensemble des observations dans un cadre cohérent.
Lorsque le fluide contient plus de deux constituants, Bird et al. (2007, p. 767-770) montre
qu’au lieu de trois coefficients phénoménologiques : la conductivité thermique, la P
diffusion binaire
et la diffusion thermique, il y a (N − 1) coefficients de diffusion thermique ( α DαT = 0) et
N (N − 1)/2 coefficients de diffusion binaire indépendants (les coefficients sont symétriques et
P
α ωα Dαβ = 0),
j α = ρα
X
∇T
T
(2.126)
+ qD
(2.127)
Dαβ dβ + DαT
β
q = −k∇T +
X H α jα
α
Mα
Les différences essentielles entre un mélange binaire et un mélange quelconque sont illustrées
par la relation (2.126) qui généralise la loi de Fick. On notera que l’effet moteur, principalement
le gradient de concentration, n’est plus nécessairement aligné avec les flux de matière. On peut
donc observer les situations suivantes.
• Une espèce peut diffuser dans le sens du gradient de sa concentration : c’est la diffusion
inverse.
• Une espèce peut diffuser, alors que sa concentration est uniforme : c’est la diffusion osmotique
• La diffusion d’une espèce peut être bloquée alors que le gradient de sa concentration est
non nul : c’est le phénomène de barrière de diffusion.
On retiendra, pour le flux de chaleur, qu’en plus du terme habituel de la loi de Fourier,
on observe une contribution liée à la diffusion des espèces. Le dernier terme représente l’effet
Dufour et son expression n’a pas été détaillée ici : il est souvent négligeable devant des deux
autres termes.
Lorsque l’on inverse la relation flux-force (2.126), on obtient l’équation de Maxwell-Stefan
généralisée. En effet dans le cas des gaz, la théorie cinétique des gaz, produit une relation
analogue dit de Maxwell-Stefan,
∇xα =
X xα xβ jα
jβ
−
Dαβ ρα ρβ
(2.128)
β
où Dαβ sont les coefficients de diffusion binaires des espèces prises deux à deux. La TPI permet
donc d’étendre la validité de cette relation à toutes les conditions. Toutefois, rappelons qu’elle ne
donne aucune information notamment sur la valeur des coefficients de diffusion et surtout sur leur
dépendance vis-à-vis de la température de la pression et de la composition. L’expérience montre
que pour un gaz, les coefficients de diffusion ∝ T 1,5÷1,8 /p et sont pratiquement indépendant de
la composition. Pour les liquides, on observe en général une grande influence de la composition.
50
2.9
EQUATIONS DE BILAN MONOPHASIQUES
Synthèse des résultats importants
On a montré comment les équations locales exprimaient de façon équivalente les principes
fondamentaux pour un volume fixe infinitésimal ou un volume matériel infinitésimal.
La thermodynamique des processus irréversibles propose une fermeture des équations locales
et permet de distinguer nettement les propriétés de transport des propriétés qui découlent du
modèle thermodynamique. Cette théorie généralise des résultats plus anciens connus pour les
gaz et les place dans un cadre cohérent.
De nombreux modèles plus ou moins empiriques permettent de déterminer les propriétés
de transport des corps purs ou des mélanges et leur dépendance vis-à-vis de la pression et de
la température. Bird et al. (2007) en font un exposé quasi exhaustif distribué sur plusieurs
chapitres de leur livre. On notera l’exposé plus compact de Lienhard IV & Lienhard V (2008)
et de Perry & Green (1999). Toutes ses dernières références sont, à notre avis, inconfortables
pour un approfondissement du sujet que l’on n’a fait que survoler ici.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Section 3
Les équations des écoulements diphasiques
3.1
Etablissement des équations locales et instantanées
L’établissement des équations locales des écoulements diphasiques repose sur l’application des
principes fondamentaux sur un volume matériel comprenant une interface qui est considérée
comme une surface de discontinuité des différentes variables.
On utilise ensuite une extension de la règle de Leibniz appliquée à un volume matériel
comprenant une surface de discontinuité. Cette règle qui d’après Aris (1962, p. 86) est due à
Truesdell et Toupin s’énonce de la façon suivante.
Considérons un volume matériel Vm (t) traversé par une surface de discontinuité Ai (t) non
nécessairement matérielle (voir figure 3.1). Le volume matériel est constitué par la réunion des
deux volumes contenant chaque phase, Vm (t) = V1 (t)∪V2 (t) et est limité par la surface matérielle
Sm (t) = A1 (t) ∪ A2 (t). Alors,
d
dt
Z
f dV =
Z
Vm (t)
Vm (t)
∂f
dV +
∂t
Z
f v n dS +
Sm (t)
Z
(f1 vAi n1 + f2 vAi n2 ) dS.
(3.1)
Ai (t)
où f1 and f2 sont respectivement les valeurs de f de part et d’autre de la discontinuité nk ,
k = 1, 2, est la normale à la surface de discontinuité Ai (t) orientée vers l’extérieur de Vk (t) et
vAi n est la vitesse géométrique de déplacement de l’interface Ai (t).
Cette identité est une conséquence directe de la règle de Leibniz appliquée successivement
aux volumes V1 (t) et V2 (t). On obtient, en notant que Vk est limité par les surfaces Ak et Ai ,
pour V1 ,
d
dt
Z
V1 (t)
f dV =
Z
V1 (t)
∂f
dV +
∂t
Z
f v n dS +
A1 (t)
f1 vAi n1 dS,
(3.2)
Ai (t)
8 J
) 1J
Z
n
) E J 8 1J
) J
Figure 3.1: Volume matériel comprenant une interface considérée comme une surface de discontinuité. Les bilans
de masse, de quantité de mouvement, d’énergie totale et d’entropie sont écrit pour ce volume.
52
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
puis sur V2 , on a,
Z
Z
Z
Z
d
∂f
f dV =
dV +
f v n dS +
f2 vAi n2 dS.
dt V2 (t)
V2 (t) ∂t
A2 (t)
Ai (t)
(3.3)
En additionnant membres à membres (3.2) et (3.3), on démontre l’extension de la règle de
Leibniz (3.1).
En appliquant, de plus, le théorème de Gauss successivement au volumes V1 puis V2 à la
fonction f v n, on a, pour le premier volume,
Z
Z
Z
f v n dS =
∇ (f v) dV −
f v n dS.
(3.4)
A1 (t)
V1 (t)
Ai (t)
En substituant cette expression dans (3.2) et l’expression analogue pour V2 dans (3.3) on
obtient l’identité suivante,
d
dt
3.1.1
Z
f dV =
Vm (t)
X Z
k=1,2 Vk (t)
X Z
∂fk
+ ∇ (fk vk ) dV −
fk (vk − vAi ) nk dS.
∂t
Ai (t)
(3.5)
k=1,2
Le bilan de masse
La variation de masse du volume diphasique matériel de la figure 3.1 est nulle (2.34). En
appliquant l’identité (3.5), on obtient,
Z
d
ρ dV =
dt Vm (t)


Z
X Z
X
∂ρk

+ ∇ (ρk vk ) dV −
ρk (vk − vAi ) nk  dS = 0
(3.6)
∂t
Vk (t)
Ai (t)
k=1,2
3.1.2
k=1,2
Le bilan de quantité de mouvement
La variation de quantité de mouvement du volume matériel diphasique de la figure 3.1 est égale
à la somme des forces de volume et de surface appliquées sur ce domaine (2.40). En appliquant
l’identité (3.5), on obtient,
Z
d
ρv dV =
dt Vm (t)
X Z
X Z
∂ρk vk
+ ∇ (ρk vk vk ) dV −
ρk vk (vk − vAi ) nk dS =
∂t
k=1,2 Vk (t)
k=1,2 Ai (t)
X Z
X Z
nk Tk dS +
ρk Fk dV
(3.7)
k=1,2 Ak (t)
k=1,2 Vk (t)
Par souci de simplicité, l’effet des tensions de surfaces n’a pas été pris en compte. La prise
en compte de la tension superficielle est décrite par ?. En appliquant le théorème de Gauss à
l’intégrale des contraintes sur A1 puis A2 , on obtient,
X Z
∂ρk vk
+ ∇ (ρk vk vk ) − ∇ Tk − ρk Fk dV
∂t
k=1,2 Vk (t)


Z
X

−
ρk vk (vk − vAi ) nk − nk Tk  dS = 0
(3.8)
Ai (t)
k=1,2
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
3.1.3
53
Le bilan d’énergie totale
La variation de d’énergie totale (énergie interne et énergie cinétique) du volume matériel
diphasique de la figure 3.1 est égale à la somme de la puissance des forces de volume et de
surface appliquées sur ce domaine et de la puissance thermique apportée au volume de contrôle
(1.18). En appliquant l’identité (3.5), on obtient,
Z
d
1 2
ρ u+ v
dV =
dt Vm (t)
2
X Z
1 2
1 2
∂
ρk uk + vk + ∇ ρk vk uk + vk
dV
∂t
2
2
k=1,2 Vk (t)
X Z
1 2
−
ρk uk + vk (vk − vAi ) nk dS =
2
k=1,2 Ai (t)
Z
Z
X Z
X
X
(nk Tk ) vk dS +
ρk Fk vk dV −
qk nk dV
(3.9)
k=1,2 Ak (t)
k=1,2 Vk (t)
k=1,2 Vk (t)
où par souci de cohérence avec le bilan de quantité de mouvement, l’effet de la tension superficielle
n’a pas été prise en compte. En appliquant le théorème de Gauss aux intégrales de surface
relatives au flux de chaleur et à la puissance des contraintes sur A1 et A2 , on obtient,
XZ
∂
1 2
1 2
ρk uk + vk +∇ ρk vk uk + vk −∇ (Tk vk )−ρk Fk vk +∇ qk dV
∂t
2
2
k=1,2 Vk (t)


Z
X
1

−
ρk uk + vk2 (vk − vAi ) nk − nk (Tk vk ) + qk nk dS = 0
(3.10)
2
Ai (t)
k=1,2
3.1.4
Le bilan d’entropie
Le milieu diphasique comprend des sources d’entropie dans chaque phase et également une
source d’entropie à l’interface. En effet le changement de phase s’accompagne généralement de
phénomènes irréversibles. Le bilan d’entropie du volume matériel diphasique s’énonce donc,
Z
Z
d
q
ρs dV +
n dS =
dt Vm (t)
T
Sm (t)
X Z
X Z
∂
+
ρk sk + ∇ ρk sk vk dV −
ρk sk (vk − vAi ) nk dS
∂t
k=1,2 Vk (t)
k=1,2 Ai (t)
Z
X Z
X Z
qk
+
nk dS =
∆k dV +
∆i dS.
(3.11)
Tk
Ak (t)
Vk (t)
Ai
k=1,2
k=1,2
En appliquant le théorème de Gauss aux intégrales de surface représentant la source
d’entropie relative au flux de chaleur sur A1 et A2 , et en regroupant les différents termes,
on obtient,
X Z
∂
qk
+
ρk sk + ∇ ρk sk vk + ∇ − ∆k dV
∂t
Tk
k=1,2 Vk (t)
!
X Z
qk
−
+ ∆i dS = 0
(3.12)
ρk sk (vk − vAi ) nk + nk Tk
Ai (t)
k=1,2
Le second principe se résume à,
∆k > 0 et ∆i > 0
(3.13)
54
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Bilan
Masse
Q. de M. linéaire
Q. de M. angulaire
Energie totale
ψk
1
vk
r × vk
uk + 12 vk2
Entropie
sk
Jk
φk
−Tk
−Tk R
qk − Tk vk
qk
Tk
Fk
r × Fk
Fk vk
∆k
ρk
φi
∆i
Tableau 3.1: Définition des variables pour les équations de bilan diphasiques généralisées d’après ?. L’indice
k est relatif à la phase k, v est la vitesse, T est le tenseur des contraintes, F sont les forces de volume, q est le
flux de chaleur et u et s sont respectivement l’énergie interne massique et l’entropie massique et R est le tenseur
antisymétrique associé au vecteur position r, Rij = ijk rk .
3.1.5
Forme générale des bilans globaux et les équations locales
Les différents bilans globaux que nous venons d’établir (3.6), (3.8), (3.10) et (3.12) peuvent se
mettre sous la forme générale suivante (Delhaye et al. , 1981, p. 101)
X Z
∂
(ρk ψk ) + ∇ (ρk ψk vk ) + ∇ Jk − ρk φk dV
∂t
k=1,2 Vk (t)
Z
X
+
(ṁk ψk + nk · Jk + φi ) = 0
(3.14)
Ai (t) k=1,2
où la définition des différentes quantités est donnée au tableau 3.1. On a introduit dans cette
équation la notation,
ṁk = ρk (vk − vAi ) nk
(3.15)
où ṁk représente la densité de flux de masse à l’interface. En effet, intégrée sur toute l’interface,
cette quantité représente la masse quittant le domaine Vk c’est-à-dire la phase k, à travers de
l’interface.
L’équation (3.14) doit être vérifiée quelque soit le volume matériel considéré, c’est-à-dire quels
que soient les volumes V1 (t), V2 (t) et la position de l’interface Ai (t). En conséquence, chaque
expression apparaissant dans les intégrales de volume et de surface doit être identiquement nulle.
Ce qui donne les équations locales phasiques qui doivent être satisfaites en tous points des phases,
∂
(ρk ψk ) + ∇ (ρk ψk vk ) + ∇ Jk − ρk φk = 0,
∂t
et les relations qui doivent être satisfaites en tous points de l’interface,
X
(ṁk ψk + nk · Jk + φi ) = 0.
(3.16)
(3.17)
k=1,2
Les équations locales sont semblables à celles des écoulements monophasiques (??) et
possèdent donc la même signification. En revanche, les relations de saut à l’interface sont
la conséquence des principes fondamentaux appliqués à un milieu comprenant des interfaces
considérées comme des surfaces de discontinuité. Ces équations représentent donc une caractéristique originale des écoulements diphasiques.
3.2
Les équations locales et les relations de saut aux interfaces
L’application des principes fondamentaux conduit à l’établissement d’équations locales devant
être satisfaites en tout point des phases et à des relations de saut aux interfaces. On qualifie
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
55
ces équations et relations de primaires lorsqu’elles découlent immédiatement de l’application
des principes fondamentaux. Les équations primaires sont indépendantes. Les équations
obtenues par combinaison de plusieurs équations primaires sont qualifiées de secondaires. Les
équations secondaires sont la conséquence directe des équations primaires et n’en sont donc pas
indépendantes.
3.2.1
Equations locales primaires
Elles sont données par l’équation générale (3.16). En les explicitant à l’aide du tableau 3.1, on
obtient les relations suivantes.
Bilan de masse
∂ρk
+ ∇ (ρk vk ) = 0
∂t
(3.18)
Cette équation est aussi connue sous le nom d’équation de continuité.
Bilan de quantité de mouvement linéaire
∂ρk vk
+ ∇ (ρk vk vk ) − ∇ Tk − ρk Fk = 0
∂t
(3.19)
Dans le cas d’un fluide Newtonien où le tenseur des contraintes est donné par la loi de
Navier et comprend une partie, −pI, liée à la pression hydrostatique, p et une partie visqueuse,
V linéaire en vitesse de déformation du milieu qui est nulle en l’absence de mouvement. On a
alors en notation vectorielle et en composantes,
T = −pI + V
Tij = −pδij + Vij
(3.20)
La partie visqueuse est composée d’une partie isotrope liée à la viscosité de volume ζ et une
partie de cisaillement pur liée à la viscosité classique µ. Dans la plupart des applications on
peut négliger la viscosité de volume (Relation de Stokes selon ?, p. 112). ?, p. 79 indiquent par
ailleurs que ζ est nul pour les gaz monoatomiques à basse pression et fournit quelques références
permettant d’estimer sa valeur dans d’autres cas.
V = (ζ − 32 µ)(∇ v)I + µ(∇v
+ v∇) ∂vj
2 ∂vk
∂vi
Vij = (ζ − µ)
δij + µ
+
3 ∂xk
∂xj
∂xi
(3.21)
Le bilan de quantité de mouvement (3.19), fermé par les équations de Navier (3.20) et (3.21)
donne les équations de Navier-Stokes.
Bilan de quantité de mouvement angulaire
L’annexe B montre que lorsque le tenseur des contraintes est symétrique, le bilan de quantité de mouvement angulaire est une conséquence du bilan de quantité de mouvement linéaire.
Réciproquement, pour vérifier le bilan de quantité de mouvement angulaire, il suffit que le
tenseur des contraintes soit symétrique.
Tij = Tji
C’est le cas notamment des fluides newtoniens (3.20) et (3.21).
(3.22)
56
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Bilan d’énergie totale
∂
1 2
1 2
ρk uk + vk + ∇ ρk vk uk + vk − ∇ (Tk vk ) − ρk Fk vk + ∇ qk = 0
∂t
2
2
(3.23)
Inégalité entropique
∂
qk
ρk sk + ∇ (ρk sk vk ) + ∇ = ∆k > 0
∂t
Tk
3.2.2
(3.24)
Equations locales secondaires
En combinant les équations précédentes, on peut obtenir le bilan d’énergie mécanique (équation
de Bernoulli), le bilan d’énergie interne et d’enthalpie (équation de la chaleur). En combinant
ces dernières équations on peut en déduire le bilan d’entropie et identifier les sources d’entropie.
L’application du second principe introduit alors des contraintes sur les lois constitutives des
fluides.
Bilan d’énergie mécanique
Le bilan de quantité de mouvement combiné avec le bilan de masse (3.18) peut s’écrire,
∂vk
+ ρk vk ∇vk − ∇ Tk − ρk Fk = 0.
(3.25)
∂t
En multipliant scalairement ce bilan de quantité de mouvement par la vitesse on obtient,
∂ 1 2
1 2
ρk
v + ρk vk ∇ vk − (∇ Tk ) vk − ρk Fk vk = 0.
(3.26)
∂t 2 k
2
ρk
En combinant à nouveau cette équation avec le bilan de masse (3.18), on obtient le bilan
d’énergie mécanique,
∂ 1
1
2
2
ρk vk + ∇ ρk vk vk − (∇ Tk ) vk − ρk Fk vk = 0.
(3.27)
∂t 2
2
Le troisième terme se décompose en utilisant l’identité,
∇ (T v) =
∂vj
∂
∂
Tij vj = vj
Tij + Tij
= v (∇ T) + T : ∇v
∂xi
∂xi
∂xi
Ce qui donne une expression cohérente avec le théorème de l’énergie cinétique,
∂ 1
1
2
2
ρk vk + ∇ ρk vk vk − ∇ (Tk vk ) − ρk Fk vk + Tk : ∇vk = 0.
∂t 2
2
(3.28)
(3.29)
La variation d’énergie mécanique est égale à la puissance des forces de contact, des forces de
volume et des contraintes intérieures. Le dernier terme peut encore être décomposé en utilisant
la décomposition du tenseur des contraintes en partie visqueuse et contribution de la pression
(3.20),
Tk : ∇vk = −pk ∇ vk + Vk : ∇vk ,
(3.30)
où la puissance des contraintes intérieures comprend une partie réversible liée au travail de
compression du fluide et une partie dissipative liée à la puissance des contraintes visqueuses. En
notant que d’après le bilan de masse,
pk ∂ρk
pk dρk
d
1
pk ∇ vk = −
+ vk ∇ρk = −
= ρk p k
,
(3.31)
ρk ∂t
ρk dt
dt ρk
on montre que le premier terme du membre de droite de (3.30) est bien lié à la puissance des
efforts de compression du fluide.
57
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Bilan d’énergie interne
En soustrayant le bilan d’énergie mécanique (3.29) au bilan d’énergie totale, on obtient le bilan
d’énergie interne,
∂
ρk uk + ∇ ρk vk uk + ∇ qk − Tk : ∇vk = 0.
∂t
(3.32)
Cette équation est cohérente avec le premier principe. En utilisant le bilan de masse et (3.30) et
en rappelant que la dérivée convective d’une fonction quelconque, f , en suivant le mouvement
du fluide (A.29) est donnée par
∂f
df
=
+ v ∇f
dt
∂t
(3.33)
le bilan d’énergie interne devient,
∂
ρk uk + ∇ ρk vk uk = ρk
∂t
∂uk
+ vk ∇uk
∂t
+ uk
ρk
∂ρk
+ ρk ∇ vk
∂t
=
duk
= −pk ∇ vk + Vk : ∇vk − ∇ qk (3.34)
dt
La variation d’énergie interne est égale à la somme de la puissance des efforts de compression
et des puissances thermiques apportées au fluide par la dissipation visqueuse et le flux de chaleur.
Lorsque le flux de chaleur est fermé par la loi de Fourier,
qk = −kk ∇Tk ,
(3.35)
où kk est la conductivité thermique de la phase k. Le bilan d’énergie interne donne l’équation
de la chaleur.
Bilan d’enthalpie
En introduisant l’enthalpie massique, ik définie par,
uk = ik −
pk
,
ρk
(3.36)
et la décomposition de la puissance des efforts intérieurs (3.30), on obtient,
∂
∂pk
(ρk ik ) + ∇ (ρk vk ik ) −
− vk ∇pk + ∇ qk − Vk : ∇vk , = 0.
∂t
∂t
(3.37)
Bilan d’entropie et sources d’entropie
En effectuant la manipulation du bilan d’énergie interne (3.34) sur l’inégalité entropique (3.24),
on obtient,
ρk
dsk
qk
+∇
= ∆k .
dt
Tk
(3.38)
En rappelant la relation thermodynamique de Gibbs,
du = T ds − pdv
(3.39)
où v est le volume spécifique (v = 1/ρ) et en considérant le mouvement du fluide et le bilan de
masse (3.31), on obtient,
duk
dsk
d
1
dsk
pk
= Tk
− pk
= Tk
− ∇ vk .
(3.40)
dt
dt
dt ρk
dt
ρk
58
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
En reportant cette équation dans le bilan d’énergie interne (3.34), on obtient le bilan
d’entropie,
ρk
1
1
dsk
= − ∇ qk + Vk : ∇vk .
dt
Tk
Tk
(3.41)
En rapprochant cette équation de l’inégalité entropique, on identifie les sources d’entropie,
∆k = qk ∇
1
1
+ Vk : ∇vk > 0.
Tk
Tk
(3.42)
Cette équation justifie le caractère irréversible attribué à la dissipation visqueuse (Vk : ∇vk ).
Pour que l’inégalité (3.42) soit vérifiée quelles que soient les évolutions du fluide, il faut que
chaque terme soit positif, ce qui impose au flux de chaleur d’être opposé au gradient de
température, la chaleur doit aller du chaud vers le froid et à la fonction de dissipation d’être
non négative.
En considérant un fluide obéissant à la loi de Fourier (3.35) et de Navier (3.21) le calcul des
sources d’entropie donne,
(∇Tk )2
ζk
∆k = kk
+
2
Tk
Tk
∂vi
∂xi
2
µk
+
2Tk
∂vj
∂vi
2 ∂vl
+
−
δij
∂xj
∂xi 3 ∂xl
∂vj
∂vi
2 ∂vl
+
−
δij .
∂xj
∂xi 3 ∂xl
(3.43)
Les coefficients de kk , ζk , µk étant strictement non négatifs(a) l’inégalité entropique impose,
kk > 0 , µk > 0 et λk > 0
3.2.3
(3.44)
Relations de saut primaires
Masse
En utilisant le tableau 3.1, la relation de saut relative à la masse (3.17) exprime le bilan de
masse à l’interface,
ṁ1 + ṁ2 = 0,
(3.45)
soit en prenant en compte la définition (3.15) de ṁk ,
ρ1 (v1 − vAi ) n1 + ρ2 (v2 − vAi ) n2 = 0.
(3.46)
Lorsque qu’il n’y a pas de changement de phase à l’interface,
ṁ1 = ṁ2 = 0,
(3.47)
ainsi, en conséquence de la définition (3.15) de ṁk ,
v1 n1 = v2 n1 = vAi n1 ,
(3.48)
les vitesses normales à l’interface sont continues et égales à la vitesse géométrique d’interface.
Cette condition parfois appelée condition cinématique régit les vitesses au voisinage de
l’interface d’un gaz et d’un liquide. De plus lorsque l’on admet la condition d’adhérence à
l’interface, les composantes tangentielles des vitesses sont aussi égales et alors v1 = v2 .
(a)
La preuve repose simplement sur l’identité que l’on obtient en distribuant le second terme du produit
∂v
∂v
∂v
∂v
∂vl
∂vl
∂vl
∂vi
∂vi
+ ∂xji − 23 ∂x
δij
+ ∂xji − 23 ∂x
δij = 2 ∂x
+ ∂xji − 23 ∂x
δij ∂xji
∂xj
j
l
l
l
∂vi
∂xj
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
n
v
59
) E
Figure 3.2: Schéma d’un récipient ouvert contenant un liquide dont la surface libre baigne dans la vapeur du
fluide considéré.
Dans le cas contraire, les trois vitesses apparaissant à l’interface sont toujours différentes.
Dans ce cas plus général, on peut à partir de la définition (3.15) de ṁk et du bilan de masse à
l’interface exprimer la composante normale de la vitesse en fonction de l’intensité du changement
de phase et et de la vitesse géométrique de l’interface,
ṁ1
,
ρ1
ṁ1
n1 +
.
ρ2
v1 n1 = vAi n1 +
(3.49)
v2 n1 = vAi
(3.50)
Le saut de vitesse normale à l’interface est alors,
1
1
(v2 − v1 ) n1 = ṁ1
−
.
ρ2 ρ 1
(3.51)
Considérons la situation simple l’un liquide (fluide 1) disposé dans un récipient ouvert (figure
3.2) dont la surface libre est baignée par la vapeur du liquide (fluide 2). Supposons que le liquide
est au repos (v1 = 0) et que les écoulements restent monodimensionnels. Les équations (3.49)
et (3.50) donnent la vitesse géométrique de l’interface,
vAi n1 = −
ṁ1
.
ρ1
(3.52)
S’il y a évaporation, (ṁ1 > 0), on s’attend en effet à ce que la surface libre descende. La
vapeur s’échappe du récipient à la vitesse,
1
1
v2 n1 = ṁ1
−
.
(3.53)
ρ2 ρ1
Pour un liquide et sa vapeur, on a ρ1 > ρ2 , la vitesse de la vapeur est donc positive.
Quantité de mouvement
En utilisant le tableau 3.1, la relation de saut relative à la quantité de mouvement linéaire (3.17)
exprime l’équilibre mécanique de l’interface,
ṁ1 v1 + ṁ2 v2 − n1 T1 − n2 T2 = 0.
(3.54)
En prenant en compte la décomposition du tenseur des contraintes (3.20) et le bilan de masse
à l’interface (3.45) on a,
ṁ1 (v1 − v2 ) + (p1 − p2 )n1 − n1 (V1 − V2 ) = 0.
(3.55)
En décomposant la vitesse en une partie normale et tangente à l’interface,
vk = (vk n1 )n1 + vkt = vkn + vkt
(3.56)
60
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
La relation de saut vectorielle vectorielle peut se projeter sur la direction normale à l’interface,
ṁ1 (v1n − v2n ) + (p1 − p2 ) − n1 (V1 − V2 ) n1 = 0,
(3.57)
et sur une direction quelconque, t, appartenant au plan tangent de l’interface,
ṁ1 (v1t − v2t ) t − n1 (V1 − V2 ) t = 0,
(3.58)
Ainsi en absence de tension superficielle et de changement de phase, on obtient
n1 T1 + n2 T2 = 0,
(3.59)
la contrainte normale est continue à l’interface.
Pour des fluides non visqueux, on obtient,
ṁ1 (v1n − v2n ) + (p1 − p2 ),
v1t
=
v2t ,
(3.60)
(3.61)
les composantes tangentielles des vitesses sont égales et il existe un saut de pression lié au
changement de phase. Ce saut de pression conserve la même expression même en présence de
fluides visqueux, lorsque la situation est monodimensionnelle. Par exemple, lorsque l’interface
est plane et que les écoulements sont perpendiculaires à l’interface, la vitesse ne comporte qu’une
seule composante uniforme selon la direction de la normale, en conséquence V est identiquement
nul. En prenant en compte la relation (3.51) déduite du bilan de masse à l’interface on a,
2 ρ1 − ρ2
p1 − p2 = ṁ1 (v2 − v1 ) n1 = ṁ1
.
(3.62)
ρ 1 ρ2
La pression est toujours plus forte dans le fluide le plus dense quelque soit le sens du
changement de phase. Cet effet est notable lorsque l’on évapore un liquide sous vide sous
l’action d’un rayonnement intense. La surface libre du bain se creuse sous la tache éclairée.
L’équation (3.62) exprime l’effet de recul induit par l’augmentation de la vitesse au passage
de l’interface lié au changement de phase. De même, lorsqu’une bulle croı̂t au voisinage d’une
paroi chauffante, l’essentiel du changement de phase a lieu au voisinage immédiat de la paroi
et l’effet de recul a tendance à augmenter la surface de base de la bulle.
Lorsque le tension de surface doit être prise en compte (?), le bilan de quantité de mouvement
à l’interface s’écrit (voir annexe ??),
ṁ1 v1 + ṁ2 v2 − n1 T1 − n2 T2 = −∇S σ + σn∇S n,
(3.63)
où σ est la tension superficielle,∇S et ∇S sont respectivement les opérateurs de gradient et de
divergence de surface et n est la normale définie par le système de coordonnées choisi sur la
surface (voir annexe ??).
Les deux nouveaux termes dans le bilan de quantité de mouvement permettent d’interpréter
deux effets élémentaires: la pression capillaire et l’effet Marangoni.
La pression capillaire.
La figure 3.3 montre que le liquide contenu dans un tube de petit diamètre monte par
capillarité. L’effet est d’autant plus grand que le diamètre du tube est petit et que le liquide
mouille facilement la paroi. La loi de Jurin montre expérimentalement que la montée capillaire
est inversement proportionnelle au diamètre du tube et dépend de la nature du fluide et de la
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
61
Figure 3.3: Montée capillaires dans des tubes de différents diamètres, illustration de la loi de Jurin (d’après ?).
paroi du tube.
En en considérant l’équilibre statique du système, on se convainc facilement qu’en absence
de mouvement dans le fluide la répartition de pression au sein du liquide est hydrostatique.
La pression du gaz qui baigne l’interface peut être considérée constante en raison de sa masse
volumique beaucoup plus faible. La pression atmosphérique s’applique aussi à l’extrémité
inférieure du tube. L’équilibre statique de cette situation peut être analysé à l’aide de la figure
3.4. En première approximation, en considérant l’interface à peu près plane, la même pression
s’appliquant à chaque extrémité du tube, le poids de la colonne n’est pas équilibré par la
résultante des efforts de pression appliqués à chaque extrémité du tube.
L’interface se comporte comme ”une peau” qui s’accroche à la paroi du tube. Cette peau se
tend et développe une tension dirigée vers le haut, appliquée à l’intersection de l’interface et de
la paroi. La résultante de ces efforts de tension équilibre le poids de la colonne d’eau,
2πRT = ρL gπR2 h
(3.64)
où T est la tension, R est le rayon du tube, h est la hauteur de la colonne d’eau et g l’intensité
de la pesanteur. La montée capillaire est bien reproduite par le bilan simple (3.64), en effet,
h=
2T
ρl gR
(3.65)
La hauteur est bien inversement proportionnelle au rayon du tube. En prenant comme
image de l’interface une membrane d’une baudruche, on comprend que l’existence d’une tension
s’accompagne nécessairement d’un saut de pression à l’interface. On montre que la surpression
interne d’une membrane sphérique est liée à la tension (voir annexe ??) que l’on notera σ
dorénavant par,
∆p =
2σ
R
(3.66)
En absence de changement de phase et de mouvement, le bilan de quantité de mouvement à
l’interface (3.63) se réduit à,
p1 n1 + p2 n2 = −∇S σ + σn∇S n,
(3.67)
62
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
2 R
T
n
2
1
z
1
r
h
P
Figure 3.4: Schéma décrivant la surface libre d’un liquide mouillant la paroi d’un tube. Le liquide est en dessous
(1) et est baigné par un gaz (2).
On montre que le premier terme qui est un gradient de surface est situé dans le plan tangent à
l’interface. La tension est pour une membrane ce qu’est la pression pour un fluide, une membrane
en équilibre statique développe une tension uniforme (?). En conséquence lorsque l’interface est
en équilibre, le premier terme du membre de droite de (3.67) est identiquement nul. Le second
est dirigé selon la normale à l’interface et peut équilibrer les termes du membre de gauche. De
plus, on a l’identité suivante,
∇S n = −2H
(3.68)
où H est la courbure moyenne de l’interface. La courbure moyenne est une grandeur géométrique
signée dont le sens ne dépend que du choix des paramètres décrivant la surface. L’annexe ??
indique les procédures de calcul pratique de 2H et n. On y montre notamment que pour une
sphère représentée en coordonnées cylindriques ou cartésiennes, on a en tous points,
2
2Hn = − n
R
(3.69)
et que la normale n définie par le choix des coordonnées est orientée vers l’extérieur de la sphère.
On a donc en l’occurrence n = n1 . Quoi qu’il en soit, avec l’image de la baudruche en tête,
il est simple de se souvenir que la surpression capillaire s’exerce toujours dans la concavité de
l’interface indépendamment de la nature des phases qu’elle sépare. Le bilan de quantité de
mouvement relatif à l’interface de la situation décrite à la figure 3.4 s’écrit,
p1 − p2 = −
2σ
<0
R
(3.70)
La tension de surface de l’eau et de l’air est de 72 mN/m environ à température ambiante
ce qui prédit une montée capillaire de 14 mm environ dans un tube de 1 mm de diamètre. C’est
bien l’ordre de grandeur observé à la figure 3.3.
L’effet Marangoni
La tension de surface d’une membrane en équilibre mécanique est uniforme. Toutefois
cette dernière varie en fonction de la température et peut être modifiée en présence de produit
tensioactifs. Notamment en présence d’un gradient de température, un gradient de tension
de surface peut se développer et il en résulte une contrainte de cisaillement appliquée sur les
fluides environnants.
Une expérience simple permet de mettre en évidence ce phénomène (figure 3.5). Dans un
récipient on place de l’eau sur laquelle on dépose des petites particules comme par exemple
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
63
z
C
x
0
Figure 3.5: Schéma décrivant l’effet des tension de Marangoni induites par une variation de concentration
d’éléments tensioactifs à l’interface.
du poivre en poudre. On dépose au centre du récipient un tensioactif ménager. Le tensioactif
généralement abaisse la tension de surface,
dσ
<0
dC
(3.71)
où C est la concentration de surface en tensioactifs. La concentration en tensioactifs est initialement nulle, si bien qu’aux premiers instants, la concentration à l’interface décroı̂t du centre vers
les bords. Sur la partie droite de la figure,
∂C
∂σ
dσ ∂C
<0⇒
=
> 0.
∂x
∂x
dC ∂x
(3.72)
L’expérience montre que l’on induit un mouvement centrifuge des particules déposées sur la
surface libre. Ce mouvement est donc accompagné d’une contrainte de cisaillement appliquée
au liquide par l’interface (figure 3.5) dirigée vers les bords du récipient. Sur la partie droite, on
a
Vxz = µL
∂vx
> 0.
∂z
(3.73)
Le mouvement cesse assez rapidement. En effet, le tensioactif peuple rapidement l’interface
et la tension de surface se stabilise alors à une nouvelle valeur, en général plus faible, mais
uniforme. Une tension non uniforme dans une membrane n’est pas une situation d’équilibre,
elle ne peut être équilibrée que par une contrainte de cisaillement appliquée à sa surface. C’est
précisément ce qu’indique le bilan de quantité de mouvement à l’interface (3.63). Pour une
interface plane on a,
−n1 T1 − n2 T2 = −∇S σ.
(3.74)
La projection sur la normale de cette équation indique que les pressions (plus précisé-ment la
contrainte normale totale) est continue à l’interface et la projection sur la direction ex , parallèle
à l’interface donne,
n1 T1 ex + n2 T2 ex = ∇S σ ex .
(3.75)
En négligeant le cisaillement coté air (2), on a,
V1zx = µL
∂vx
∂σ
= ∇S σ ex =
∂z
∂x
(3.76)
L’effet Marangoni peut également se développer si la tension de surface varie avec la
température (figure 3.6). La tension de surface diminue généralement avec l’augmentation de la
température. La structuration interne d’une interface est responsable de la tension de surface.
64
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
z
x
Figure 3.6: Schéma décrivant la convection par effet Marangoni. On chauffe à gauche et on refroidit à droite.
Le transport induit par l’effet Marangoni est orienté du chaud vers le froid.
(a) Isothermes
(b) Fonction de courant
Figure 3.7: Simulation numérique la convection Marangoni, d’après ?. La paroi chaude est à gauche et la paroi
froide est à droite.
C’est la raison pour laquelle sa disparition au delà de la température critique d’un fluide est
corrélée à la disparition des interfaces.
dσ
< 0.
dT
(3.77)
Si l’on chauffe à gauche et que l’on refroidit à droite, alors la température décroı̂t selon x, et
∂T
< 0.
∂x
(3.78)
Dans ces conditions, le bilan de quantité de mouvement à l’interface et toujours donné par
(3.76) et on a,
V1zx = µL
∂vx
dσ ∂T
= ∇S σ ex =
> 0.
∂z
dT ∂x
(3.79)
Une illustration du transport par effet Marangoni est présentée à la figure 3.7. On observe
nettement la déformation des isothermes induite par le mouvement de convection qui s’effectue
du chaud vers le froid au voisinage de l’interface. La convection Marangoni est présente dans de
nombreux procédés industriels comme le soudage, l’élaboration de matériaux comme le silicium
monocristalin et l’évaporation des métaux sous vide.
Energie totale
En utilisant le tableau 3.1, la relation de saut relative à l’énergie totale (3.17) exprime d’une
certaine façon l’équilibre thermique de l’interface,
1
1
ṁ1 (u1 + v12 ) + ṁ2 (u2 + v22 ) + q1 n1 + q2 n2 − (n1 T1 ) v1 − (n2 T2 ) v2 = 0.
2
2
(3.80)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
65
Inégalité entropique
En utilisant le tableau 3.1, la relation de saut relative à l’entropie (3.17) exprime d’une certaine
l’évolution thermodynamique de l’interface,
−ṁ1 s1 − ṁ2 s2 −
3.2.4
1
1
q1 n1 − q2 n2 = ∆i > 0.
T1
T2
(3.81)
Relations de saut secondaires
L’intérêt de disposer de relations de saut secondaires est double. Ces dernières permettent de
déterminer le saut d’enthalpie à l’interface ce qui est une relation plus commode que le saut
d’énergie totale (3.80) pour les calculs pratiques. En effet, les tables thermodynamiques (voir
annexe C) fournissent en général l’enthalpie d’un liquide et de sa vapeur pour une pression et
une température donnée.
Le second intérêt est plus fondamental. Il consiste à identifier les sources d’entropie interfaciale, c’est-à-dire les sources d’irréversibilité liées au changement de phase. Ce problème a été
abondamment traité par exemple par ? et ?, ch. 2. Ces deux approches diffèrent légèrement et
ne permettent pas de constituer un ensemble de relations fermées dans le cas général. Chaque
auteur doit introduire des propriétés matérielles aux interfaces, comme une masse, un tenseur
des tensions, une énergie interne et une entropie. Il faut ensuite considérer des équations d’état
pour l’interface. Ces relations définissent une température d’interface. L’objectif de cette
procédure est de justifier des conditions aux limites que l’on suppose ordinairement sur les
interfaces comme la continuité de la température (3.86) et de la vitesse tangente (3.84) et la
relation entre la température des phases et la température de saturation.
La nature ouverte des relations aux interfaces est facile à comprendre. Supposons que l’on
dispose d’un modèle très fin permettant de décrire chacune des phases et la zone interfaciale
considérée maintenant comme une zone de transition progressive. Supposons que loin de
l’interface ce modèle fin dégénère sur les équations phasiques (3.16). Il serait alors possible de
déterminer, comme le fait par exemple ?, p. 187 en écoulement monophasique compressible,
le saut d’entropie à l’interface. Il est aussi possible de définir des grandeurs interfaciales. Ces
grandeurs sont définies par intégration sur toute l’épaisseur de la zone interfaciale ce qui n’est
autre chose qu’une prise de moyenne.
Dans un modèle à interfaces discontinues, la structure fine de l’interface n’est pas décrite et
elle a été perdue par la schématisation retenue. Il en résulte un problème de fermeture pour les
quantités interfaciales.
Bilan d’enthalpie totale
En partant du saut d’énergie totale à l’interface (3.80) et en introduisant la définition de
l’enthalpie (3.36) et en séparant la partie visqueuse du tenseur des contraintes on obtient.
1
1
ṁ1 (i1 + v12 ) + ṁ2 (i2 + v22 ) + q1 n1 + q2 n2 − (n1 V1 ) v1 − (n2 V2 ) v2
2
2
= −(p1 vAi n1 + p2 vAi n2 ). (3.82)
Dans la plupart des circonstances, la variation d’énergie cinétique est négligeable devant
la variation d’enthalpie. Une évaporation intense donnant une vitesse de vapeur de 100 m/s
correspond, à une pression de 1 bar, à une variation d’énergie cinétique de 5kJ/kg environ alors
que la variation d’enthalpie correspondante, iV − iL est de 2,26 MJ/kg environ. La variation
d’enthalpie est 450 fois environ plus grande que la variation d’énergie cinétique. Ce rapport
66
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
augmente encore avec l’augmentation de la pression, pour la même valeur de ṁ. Si en revanche
l’évaporation a lieu sous vide, on peut atteindre la vitesse du son et l’interface n’est plus à
l’équilibre thermodynamique.
Considérant que le saut de pression à l’interface est faible, on peut également négliger le
membre de droite de (3.82) dans tous les cas. Dans ces conditions on obtient la relation suivante,
ṁ1 i1 + ṁ2 i2 + q1 n1 + q2 n2 ≈ 0
(3.83)
Conditions approchées d’équilibre thermodynamique de l’interface
L’analyse des sources d’entropie interfaciales permet dans certaines conditions de justifier les
hypothèses suivantes.
• Adhérence des fluides à l’interface,
• Equilibre thermodynamique à l’interface
Dans tous les cas pratiques où la vitesse de la vapeur est faible devant la vitesse du son, ces
hypothèses sont raisonnables. Elles se traduisent par les relations suivantes.
vt1 = vt2
(3.84)
TV = Tsat (pV )
(3.85)
TL = TV
(3.86)
ρV = ρsat (pV )
(3.87)
ρL = ρ(pL , TL )
(3.88)
hV = hsat (pV )
(3.89)
hL = h(pL , TL )
(3.90)
où vtk = vk − vk nk est la composante tangentielle de la vitesse de chaque phase à l’interface et
l’indice sat est relatif aux conditions de saturation. Des tables des propriétés thermodynamique
de l’eau sont données à l’annexe C.
3.2.5
Exemples d’utilisation des relations de saut
Evaporation sur une surface plane
Lors de la discussion du bilan de masse à l’interface, nous avons évoqué simplement le cas d’un
liquide contenu dans un récipient et analysé le sens de variation des vitesses en fonction du
signe du changement de phase (paragraphe 3.2.3).
En considérant la figure 3.2 (page 59), supposons maintenant que le liquide soit chauffé par
le dessous du récipient avec une puissance thermique P de 1kW. Supposons par ailleurs que le
récipient soit cylindrique (10 cm de diamètre) et qu’il contienne une hauteur d’eau, h, de 10 cm.
Pour simplifier supposons que le flux de chaleur soit uniquement transmis à travers le liquide
par conduction. La densité de flux apportée au récipient et transmise au liquide est donc,
qL =
P
S
(3.91)
où S est l’aire du fond du récipient. Si les parois latérales du récipient sont isolantes et que
le flux est distribué de façon uniforme, le flux apporté au fond du récipient est intégralement
transmis à l’interface. En supposant que dans la vapeur la température est à peu près uniforme,
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
67
on peut négliger le flux de chaleur à l’interface du coté vapeur et le bilan d’enthalpie à l’interface
donne,
ṁ1 (h1 − h2 ) + qL = 0
(3.92)
ce qui permet de déterminer l’intensité du changement de phase à l’interface,
ṁ1 =
P
qL
=
.
h2 − h1
S(h2 − h1 )
(3.93)
En considérant l’interface à la température de saturation pour 1 bar (≈ la pression atmosphérique), on calcule l’enthalpie de changement de phase à 100o C à l’aide des tables (annexe
C) et on trouve,
1000
P
=
= 12, 7 W/cm2
S
π × (0, 1)2 /4
12, 7 104
ṁ1 =
= 56, 4 g/m2 /s
(2676 − 419)103
qL =
(3.94)
(3.95)
Lorsque l’on chauffe, ṁ1 qui représente la densité de flux de masse quittant la phase 1, est
positive. Il y a donc évaporation (!). En appliquant la formule (3.52) déduite du bilan de masse
à l’interface on peut en déduire la vitesse de l’interface,
vi n1 = −
ṁ1
56, 4 10−3
=−
= 59µm/s ≈ 3, 5mm/min
ρ1
958
(3.96)
Et finalement ce calcul nous permet de calculer le temps au bout duquel l’interface atteint le
fond du récipient,
t=
h
0, 1
=
≈ 1700s ≈ 28 min
|vi n1 |
5, 88 10−6
(3.97)
Deux commentaires s’imposent. D’une part si l’objet du calcul avait été de déterminer
simplement le temps au bout duquel le récipient est vide, on peut penser qu’une solution plus
rapide aurait été choisie. En effet. La puissance fournie au récipient sert à vaporiser le liquide.
En conséquence un bilan global d’enthalpie donne directement le résultat. Si ML = ρL VL est
la masse de liquide à vaporiser où VL est le volume de fluide contenu par le récipient et P t est
l’énergie fournie, on déduit immédiatement le temps nécessaire par,
P t = ML (HV − HL ) ⇒ t =
VL ρL (HV − HL )
P
(3.98)
où on a négligé l’énergie nécessaire pour porter l’eau à la température d’ébullition.
Un second commentaire s’impose sur la représentativité du modèle de l’ébullition dans une
casserole que l’on s’est donnée. La conductivité thermique de l’eau à 100o C est également
donnée dans les tables (annexe C). On peut en déduire la température du fond du récipient
nécessaire à l’application du flux de chaleur par conduction seule,
Tsat (p) − TF
∂T
= −kL
)⇒
∂x
h
qL h
12, 7 104 × 0, 1
TF = Tsat (p) +
= 100 +
≈ 18800 K,
kL
0, 68
qL = −kL
(3.99)
(3.100)
où TF est la température du fond du récipient. Etonnant n’est-ce-pas ! La situation de chauffage
par le dessous est en effet instable et dès que les forces de flottablité sont suffisamment intenses
pour vaincre la résistance au mouvement liée à la viscosité et la convection naturelle s’organise.
68
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Le rapport de ces deux forces est mesurée par le nombre de Rayleigh. Dès que ce dernier dépasse
une valeur critique de quelques milliers l’équilibre instable (chaud donc léger dessous et lourd
dessus) est rompu et on peut estimer le transfert de chaleur par la corrélation proposée par ?,
(
1/4
0, 54RaL
104 < RaL < 107
N uL =
(3.101)
1/3
0, 15RaL
107 < RaL < 1011
où le nombre de Rayleigh est défini par,
RaL =
gβL ∆Tsat L3
νL αL
(3.102)
et où l’échelle de longueur est définie par L = A/P avec A l’aire de la partie chauffante et P
son périmètre. Pour un récipient cylindrique, on a L = D/4. Les propriétés physiques issues
des tables sont nécessaires. En toute rigueur, il faudrait calculer ces propriétés à la température
de film (TF + Tsat )/2, nous commencerons par estimer RaL à la température de saturation. Les
tables fournissent
• viscosité du liquide : µL = 282 10−6 Pa s
• conductivité thermique du liquide : kL = 679 10−3 W/m/K
• masse volumique du liquide : ρL = 958,4 kg/m3
• chaleur spécifique à pression constante du liquide : CP L = 4217 J/kg/K
• coefficient d’expansion thermique du liquide : βL = 0,00075 K−1
dont on déduit,
• viscosité cinématique du liquide : νL = 0, 294 10−6 m2 /s
• diffusivité thermique du liquide : αL = 0, 168 10−6 m2 /s
• échelle de longueur du problème : L = 0,025 m
Il est clair que le calcul du nombre de Rayleigh nécessite la connaissance de la surchauffe de la
paroi qui n’est connue que lorsque le nombre de Nusselt est donné. On rappelle que le nombre
de Nusselt est défini par,
N uL =
qL L
.
kL ∆Tsat
(3.103)
Un calcul itératif est donc nécessaire
∆Tsat = 60, 1o C, N uL = 77, 8.
(3.104)
Le nombre de Rayleigh et égal à 1,4 108 ce qui correspond au régime turbulent. Cette
surchauffe de la paroi est très importante et comme on le verra plus loin, elle est largement
nécessaire pour déclencher l’ébullition nuclée en paroi qui se traduit par des valeurs du coefficient
de transfert de chaleur bien supérieurs à ceux de la convection naturelle et en conséquence
prédit une température de paroi beaucoup plus proche de la température de saturation.
Ce calcul présente toutefois un intérêt supplémentaire car il permet d’interpréter la phase
initiale de chauffage où l’eau est encore froide dans le récipient. On observe que pour une
température moyenne de l’ordre de 40o C, le fond du récipient atteint la température de saturation. Lorsque la température moyenne s’élève d’une dizaine de o C, la température de paroi en
fait autant et la surchauffe est largement suffisante pour faire apparaı̂tre les premières bulles.
Ces bulles se développent sur le fond et certaines se détachent. Dès qu’elles s’élèvent elle rencontrent de l’eau froide et la vapeur se condense très rapidement. Ce phénomène est responsable
du chant des bouilloires.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
69
Croissance d’une petite bulle : équation de Rayleigh-Plesset
Le problème est discuté par Delhaye dans ?, p. 56 et des applications numériques selon la
méthode développée par ? sont données par ?.
70
3.3
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Les équations instantanées moyennées sur la section d’une conduite
Les écoulements dans les conduites possèdent une direction privilégiée et les détails des profils
de vitesse et de température ne sont pas de première importance pour la résolution des
problèmes pratiques comme la détermination des pertes de pression ou des transferts de chaleur
en convection forcée. Des équations simplifiées sont donc utiles pour modéliser des conduites
dans l’esprit de ce qui est fait en hydraulique.
L’objet de ce paragraphe est de montrer comment s’établissent les équations aux valeurs
moyennes dans la section. L’établissement repose sur l’introduction d’un opérateur de moyenne
spatial et de l’utilisation de formes limites des théorèmes de Gauss et de la règle de Leibniz pour
une section de conduite. L’opération de moyenne fait disparaı̂tre la structure de l’écoulement et
on discutera plus loin du problème de fermeture qui en résulte. Ce paragraphe décrit les travaux
de ? sur ce sujet.
3.3.1
Définition des opérateurs de moyenne spatiaux
Les opérateurs de moyenne utilisés en écoulement diphasique ont été présentés au chapitre
précédent. Pour établir les équations aux valeurs moyennes, on utilise principalement deux
types de moyennes sur la section. La première est la moyenne ordinaire sur la section. Pour
toute grandeur f on note,
Z
1
<
| f>
| 2=
f dS,
(3.105)
A A
où A représente l’aire de la section droite de la conduite et l’indice 2 indique la dimension du
domaine d’intégration. On définit également la moyenne spatiale phasique par,
Z
1
< f >k2 =
f dS,
(3.106)
Ak Ak
où l’indice k est relatif à la phase considérée. Pour cette dernière moyenne, le domaine
d’intégration est limité à la fraction de la section de conduite occupée par la phase k considérée.
3.3.2
Les outils mathématiques
Les équations aux valeurs moyennes seront établies en intégrant sur la section occupée par la
phase k les équations locales démontrées précédemment (3.16). Cette intégration fera apparaı̂tre
des intégrales de termes comportant des dérivées par rapport au temps ou à l’espace. Nous
devrons inverser l’ordre de l’intégration et de la dérivation pour obtenir des termes relatifs aux
grandeurs moyennes. Une règle permettant cette transformation est nécessaire.
Pour les termes temporels, la forme limite de la règle de Leibniz établie au paragraphe A.5
permet de transformer les termes de la forme,
Z
Z
∂f
∂
∂
dS =
f dS + · · · = Ak < f >k2 + · · ·
(3.107)
∂t
∂t
∂t
Ak
Ak
où les points de suspension recouvrent des termes dont la forme particulière dépend du détail
de la définition de la section de conduite considérée.
Pour une conduite de forme quelconque (figure 3.8) dont la section occupée par la phase k,
Ak (z, t), est placée à la cote z (figure 3.8) et dont la forme dépend du temps, la forme limite de
la règle de Leibniz s’énonce, pour toute quantité f ,
Z
Z
Z
Z
d
∂f
vi nk
vC nk
f dV =
dS +
f
dl +
f
dl,
(3.108)
dt Ak (z,t)
Ak (z,t) ∂t
C(z,t) nkC nk
Ck (z,t) nkC nk
71
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
C
A
C
k
z
k
n
k
n
i
n
C
k C
n
k
i
k
C
n
k
n
k C
k
Figure 3.8: Schématisation d’une section de conduite qui est le siège d’un écoulement diphasique. C est
l’intersection de l’interface avec le plan de coupe, Ck est l’intersection de la fraction de la conduite mouillée
par la phase k et Ak est la fraction de la section de la conduite occupée par la phase k.
où Ck (z, t) représente l’intersection de la conduite mouillée par la phase k par le plan de cote z,
C(z, t) est l’intersection de l’interface par le plan de cote z, nk est la normale unitaire extérieure
à la phase k, nkC est la normale unitaire à la courbe plane C ou Ck , située dans le plan de cote
z et dirigée vers l’extérieur de la phase k et vC n, et vi n sont respectivement la vitesse de
déplacement géométrique de la conduite et de l’interface.
L’intégration sur la section fait également apparaı̂tre des intégrales de dérivées spatiales.
Une autre règle permettant d’intervertir le sens des opérations d’intégration et de dérivation est
nécessaire. La forme limite du théorème de Gauss (voir paragraphe A.4) permet cette opération,
Z
Z
∂
∂
∇ B dS =
B ez dS + · · · =
Ak < B ez >k2 + · · ·
(3.109)
∂z
∂z
Ak
Ak
où ez et le vecteur unitaire orientant l’axe de la conduite (z) et les points de suspension recouvrent
des termes dont la forme particulière dépend également du détail de la définition de la section
de conduite considérée. Pour la conduite représentée à la figure 3.8, la forme limite du théorème
de Gauss s’énonce, pour tout vecteur B ou tenseur M,
Z
Z
Z
Z
∂
B nk
B nk
∇ B dS =
Bz dS +
dl +
dl.
(3.110)
∂z Ak (z,t)
Ak (z,t)
C(z,t) nkC nk
Ck (z,t) nkC nk
où Bz est la composante du vecteur B selon z (Bz = B ez ).
3.3.3
Equations instantanées moyennées dans la section
Munis des définitions des opérateurs de moyenne et des formes limites du théorème de Gauss et
de la règle de Leibniz, l’établissement des équations aux valeurs moyennes débute en intégrant
le bilan local phasique généralisé (3.16) sur la fraction de la section de la conduite occupée par
la phase k,
Z
∂
(ρk ψk ) + ∇ (ρk ψk vk ) + ∇ Jk − ρk φk dS = 0,
(3.111)
Ak (z,t) ∂t
où la signification des grandeurs ψk , φk et Jk est donnée au tableau (3.1). En utilisant les formes
limites des théorèmes de Gauss et de la règle de Leibniz, on obtient,
∂
∂
∂
Ak < ρk ψk >2 + Ak < ρk ψk wk >2 + Ak < ez Jk >2 −Ak < ρk φk >2
∂t
∂z
Z∂z
Z
dl
dl
=−
(ṁk ψk + nk Jk )
−
(nk Jk )
(3.112)
nk nkC
nk nkC
C(z,t)
Ck (z,t)
où wk est la composante axiale de la vitesse (wk = vk ez ) et on rappelle que la densité de flux
de masse à l’interface quittant le phase k, ṁk , est définie par (3.15). Pour établir cette équation
on a supposé que la paroi de la conduite est imperméable,
ṁk = 0, sur Ck
(3.113)
72
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Bilan de masse moyenné sur la section
Le bilan de masse instantané moyenné sur la section s’écrit à partir de (3.112) et du tableau
(3.1),
∂
∂
Ak < ρk >2 + Ak < ρk vk >2 = −
∂t
∂z
Z
C(z,t)
ṁk dl
nk nkC
(3.114)
où le membre de droite représente le taux de production de la phase k par unité de longueur de
conduite (kg/s/m). Dans un système comprenant un liquide et sa vapeur ce terme représente
l’intensité du changement de phase. En absence de changement de phase ce terme est nul.
Bilan de quantité de mouvement moyenné sur la section
Le bilan de quantité de mouvement linéaire instantané moyenné sur la section s’écrit à partir de
(3.112) et du tableau (3.1),
∂
∂
∂
Ak < ρk vk >2 + Ak < ρk wk vk >2 − Ak < ez Tk >2 −Ak < ρk Fk >2
∂t
∂z
∂z
Z
Z
dl
dl
=−
(ṁk vk − nk Tk )
+
(nk Tk )
nk nkC
nk nkC
C(z,t)
Ck (z,t)
(3.115)
où le membre de droite est composé de deux termes. Le premier représente l’apport de quantité
de mouvement lié au changement de phase et la résultante des contraintes appliquées sur la
phase k à l’interface tandis que le second représente les efforts appliqués à la phase k par la
fraction de la paroi qu’elle mouille.
Le bilan de quantité de mouvement est une relation vectorielle. Le mouvement dans la
direction de la conduite est celui qui importe. Pour obtenir l’équation qui le régit, on projette
(3.115) sur l’axe des z. Par la même occasion, on sépare le tenseur des contraintes en partie
visqueuse et pression selon (3.20). Les termes de pression moyenne sur la section, sur la paroi
et l’interface peuvent être regroupés. Pour cela on utilise une identité déduite du théorème de
Gauss (3.110) appliqué au vecteur B = pk ez ,
∂pk
∂
Ak <
>2 =
Ak < pk >2 +
∂z
∂z
Z
ez nk
pk
dl +
nkC nk
C(z,t)
Z
Ck (z,t)
pk
ez nk
dl.
nkC nk
(3.116)
Le bilan de quantité de mouvement moyenné sur la section et projeté sur l’axe de la conduite
s’énonce,
∂
∂
Ak < ρk wk >2 + Ak < ρk wk2 >2
∂t
∂z
∂
∂pk
+Ak <
>2 − Ak < ez Vk ez >2 −Ak < ρk Fk >2
∂z
∂z
Z
Z
dl
dl
=−
(ṁk wk − nk Vk ez )
+
nk Vk ek
nk nkC
nk nkC
C(z,t)
Ck (z,t)
(3.117)
Bilan d’énergie totale moyenné sur la section
Le bilan d’énergie totale instantané moyenné sur la section s’écrit à partir de (3.112) et du
tableau (3.1). En introduisant l’enthalpie (3.36) et en séparant le tenseur des contraintes en
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
partie liée aux effets de pression et en partie visqueuse (3.20), on obtient,
∂
1
∂
∂
1
Ak < ρk ik + vk2 >2 − Ak < pk >2 + Ak < ρk wk ik + vk2 >2
∂t
2
∂t
∂z
2
∂
∂
+ Ak < ez qk >2 − Ak < ez Vk vk >2 −Ak < ρk Fk vk >2
∂z
∂z
Z
1 2
dl
=−
ṁk uk + vk + nk qk − nk Tk vk
2
n
k nkC
C(z,t)
Z
dl
−
(nk qk − nk Tk vk )
nk nkC
Ck (z,t)
73
(3.118)
où le membre de droite est composé d’un terme relatif à l’interface et d’un terme relatif à la
fraction de la paroi mouillée par la phase k. Le premier terme représente l’apport d’énergie
totale lié au changement de phase, additionné de celui relatif au flux de chaleur et à la puissance
des contraintes appliquées à l’interface. Le second représente l’apport d’énergie lié au flux de
chaleur pariétal et à la puissance de contraintes appliquées par la paroi sur le fluide. Lorsque
la paroi du tube est rigide et indéformable ce dernier terme est identiquement nul (vk = 0 à la
paroi).
Le terme de puissance des efforts lié à la déformation de la conduite s’exprime par exemple
lors des coups de bélier dans les conduites où le passage des ondes de pression comprime le milieu
diphasique et déforme la conduite. Dans ce cas, ce terme représente une partie de l’échange
d’énergie mécanique entre l’écoulement et la conduite. En appliquant la règle de Leibniz (3.108)
à la fonction pk , on obtient l’identité suivante,
Z
Z
∂
∂pk
pk vi nk
pk vΣ nk
Ak < pk >= Ak <
>+
dC +
dC.
(3.119)
∂t
∂t
C(z,t) nkC nk
Ck (z,t) nkC nk
En additionnant cette identité à l’équation d’énergie (3.118), on obtient une forme de
l’équation d’énergie où le travail des forces de pression n’apparaı̂t plus explicitement,
∂
1 2
∂pk
∂
1 2
Ak < ρk ik + vk >2 −Ak <
>2 + Ak < ρk wk ik + vk >2
∂t
2
∂t
∂z
2
∂
∂
+ Ak < ez qk >2 − Ak < ez Vk vk >2 −Ak < ρk Fk vk >2
∂z
∂z
Z
dl
1 2
=−
ṁk ik + vk + nk qk − nk Vk vk
2
nk nkC
C(z,t)
Z
dl
−
(nk qk − nk Vk vk )
.
(3.120)
n
k nkC
Ck (z,t)
3.4
Les équations locales moyennées sur un intervalle de temps
La simulation des écoulements diphasiques tridimensionnels nécessite d’établir des équations aux
valeurs moyennes temporelles des vitesses des pressions et des enthalpies. Cette procédure de
moyenne temporelle qui ressemble aux moyennes de Reynolds pour les écoulements turbulents
nécessite d’introduire deux opérateurs de moyenne. L’objet de ce paragraphe est de montrer
comment s’établissent les équations locales utilisées par les outils de CFD. Ce paragraphe décrit
les travaux de ? sur ce sujet.
3.4.1
Définition des opérateurs de moyenne
Les opérateurs de moyenne temporels ont également été introduits au chapitre précèdent. Une
variable relative à une phase n’est définie, en principe, qu’aux instants où la phase considérée
74
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
[T k]
fk
+
+
+
+
+
J
t
t-T /2
t1
t2k
t2k+
1
T
t2n
t+ T /2
Figure 3.9: Représentation d’une fonction définie sur un intervalle de temps. T est le temps d’intégration de
la fonction f (x, t), [T ] est l’intervalle de temps de largeur T centré sur le temps de prise de moyenne, t, [Tk ] est
l’ensemble des intervalles de temps où la phase k est présente au point considéré et on note t2k les instants où le
point considéré entre dans la phase k et t2k+1 les instants où il en sort.
est présente au point considéré. Les grandeurs diphasiques sont donc des fonctions définies sur
des intervalles de temps (voir figure 3.9). Soit [T ], l’intervalle de temps de durée T centré sur
l’instant t, on définit la moyenne temporelle d’une grandeur f sur l’intervalle de temps [T ] par,
Z
1
f=
f dt.
(3.121)
T [T ]
Soit [Tk ], l’ensemble des intervalles de temps inclus dans [T ] où la phase k est présente au
point x, on définit la moyenne temporelle de phase par,
Z
1
X
f =
f dt.
(3.122)
Tk [Tk ]
3.4.2
Les outils mathématiques
Les équations aux valeurs moyennes sont établies en intégrant sur l’intervalle de temps
[Tk ] les équations locales pour chaque phase (??). Cette intégration fait apparaı̂tre des
intégrales de termes comportant des dérivées par rapport au temps ou à l’espace. Comme
lors de l’établissement des équations moyennées dans la section, il faudra inverser l’ordre de
l’intégration et de la dérivation pour obtenir des termes relatifs aux grandeurs moyennes. Deux
autres règles permettant ces transformations sont nécessaires.
Pour les termes temporels, la forme limite de la règle de Leibniz établie au paragraphe A.6
permet de transformer les termes de la forme,
Z
Z
∂fk
∂
∂
X
fk dt + · · · = Tk fk + · · · .
dt =
(3.123)
∂t
∂t
∂t
[Tk ]
[Tk ]
Pour une grandeur relative à la phase k (voir figure 3.9) définie sur un ensemble d’intervalles
de temps [Tk ] inclus dans l’intervalle de prise de moyenne [T ], de durée T , centrée sur l’instant
t, la forme limite de la règle de Leibniz s’énonce,
Z
Z
X
∂fk
∂
vi nk
dt =
fk dt −
fk
(3.124)
∂t
∂t
|v
i nk |
[Tk ]
[Tk ]
disc.∈[T ]
75
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
où la sommation est relative à tous les instants appartenant à [T ] où le point considéré entre
ou sort de la phase k.
L’intégration temporelle fait également apparaı̂tre des intégrales de dérivées spatiales. Une
autre règle permettant de changer l’ordre des opérations d’intégration et de dérivation est
nécessaire. La forme limite du théorème de Gauss (voir paragraphe A.7) permet cette opération,
Z
Z
X
∇ Bk dt = ∇ Bk dt + · · · = αk T ∇ Bk + · · ·
(3.125)
[Tk ]
[Tk ]
où on rappelle que le taux de présence local αk = Tk /T . Pour tout vecteur Bk défini et
différenciable sur un ensemble d’intervalles de temps [Tk ] inclus dans l’intervalle de prise de
moyenne [T ], de durée T , centré sur l’instant t, la forme limite du théorème de Gauss s’énonce,
Z
Z
X Bk nk
∇ Bk dt = ∇ Bk dt +
(3.126)
|vi nk |
[Tk ]
[Tk ]
disc.∈[T ]
où, comme pour la forme limite de la règle de Leibniz, la sommation est relative à tous les
instants appartenant à [T ] où le point considéré x entre ou sort de la phase k.
3.4.3
Equations locales moyennées sur un intervalle de temps
l’établissement des équations locales moyennés en temps débute par l’intégration sur le temps
[Tk ], l’ensemble des intervalles de temps où la phase k est présente pendant la période
d’intégration [T ], des équations locales (3.16) où l’on rappelle que la signification des différentes
grandeurs est indiquée au tableau 3.1,
Z
∂
(ρk ψk ) + ∇ (ρk ψk vk ) + ∇ Jk − ρk φk dt = 0.
(3.127)
[Tk ] ∂t
En appliquent la règle de Leibniz (3.124) au terme comportant la dérivée temporelle et le
théorème de Gauss (3.126) aux deux intégrales de la divergence, on obtient en introduisant la
définition de la moyenne temporelle (3.122),
∂
1
X
X
X
X
αk ρk ψk + ∇ αk ρk ψk vk + ∇ αk Jk − αk ρk φk = −
∂t
T
X
disc.∈[T ]
ṁk ψk + Jk nk
|vi nk |
(3.128)
Delhaye souligne (?, chap. 2) que la prise de moyenne en temps simple induit un comporteX
∂
ment singulier du terme ∂t
ρk ψk . En effet ce dernier n’est pas continu en raison de la nature
discontinue du signal : les variables moyennées sont seulement de classe C0 et leur dérivées
temporelles possèdent des points de discontinuité en tl . Pour pallier cette difficulté on peut soit
introduire une seconde opération de moyenne avec le même opérateur où introduire une fonction
de pondération bien choisie de support temporel [Tk ]. Les détails de ces opérations et l’analyse
de leurs conséquences sur la modélisation sont donnés par ?.
Bilan de masse local moyenné sur un intervalle de temps
Le bilan de masse se déduit de l’équation générale (3.128) et du tableau 3.1,
∂
1
αk ρk X + ∇ αk ρk vk X = −
∂t
T
X
disc.∈[T ]
ṁk
|vi nk |
(3.129)
où le membre de droite représente le taux de changement de phase local, c’est-à-dire le taux de
production local de la phase k (en kg/m2 /s).
76
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Bilan de quantité de mouvement local moyenné sur un intervalle de temps
Le bilan de quantité de mouvement se déduit de l’équation générale (3.128) et du tableau 3.1.
En séparant le tenseur des contraintes en partie visqueuse et contribution de la pression on
obtient,
∂
X
X
αk ρk vk X + ∇ αk ρk vk vk X + ∇αk pk X − ∇ αk Vk − αk ρk Fk
∂t
1 X ṁk vk − Tk nk
=−
T
|vi nk |
(3.130)
disc.∈[T ]
où le membre de droite représente d’une part l’apport de quantité de mouvement lié changement
de phase et l’action cumulée sur l’intervalle de temps [T ] des efforts appliqués aux interfaces sur
la phase k. En appliquant le théorème de Gauss (3.125) au tenseur pk I et en divisant par T , on
obtient l’identité suivante,
αk ∇pk X = ∇αk pk X +
1
T
X
disc.∈[T ]
pk nk
.
|vi nk |
(3.131)
En substituant cette relation dans le bilan de quantité de mouvement, on obtient une autre
forme du bilan de quantité de mouvement,
∂
X
X
αk ρk vk X + ∇ αk ρk vk vk X + αk ∇pk X − ∇ αk Vk − αk ρk Fk
∂t
1 X ṁk vk − Vk nk
=−
T
|vi nk |
(3.132)
disc.∈[T ]
où n’apparaı̂t dans le second membre que la contribution de la partie visqueuse du tenseur des
contraintes
Bilan d’énergie totale local moyenné sur un intervalle de temps
Le bilan d’énergie totale se déduit de l’équation générale (3.128) et du tableau 3.1,
X
∂
1 2
αk ρk uk + vk
+∇
∂t
2
αk ρk vk
X
=−
1
T
1
uk + vk2
2
X !
X
−∇ αk Tk vk + ∇ αk qk X − αk ρk Fk vk
X 1 2
1
ṁk uk + vk + qk nk − nk Tk vk
2
|vi nk |
(3.133)
disc.∈[T ]
où le membre de droite représente l’apport d’énergie totale à travers de l’interface lié au changement de phase, la contribution du flux de chaleur à l’interface et la puissance des contraintes
appliquées à l’interface.
3.4.4
La décomposition de Reynolds
Pour effectuer sans difficulté la séparation entre valeur moyenne et fluctuation il faut définir la
fluctuation et que l’opérateur de moyenne satisfasse les conditions dites de Reynolds (?). On
définit la fluctuation comme l’écart à la valeur moyenne,
f (t) = f (t) + f 0 (t)
(3.134)
77
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
2
Signal
Bruit
Valeur moyenne
Fluctuation
signal filtré 2 fois
1.5
1
Variables
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
0.5
1
1.5
2
Temps sans dimension
2.5
3
3.5
Figure 3.10: Exemple naı̈f d’application d’un filtre temporel de largeur unité sur le signal défini à l’équation
(3.138). L’échelle de temps est T. Le signal à une période égale à 3,5T (n = 3, 5) et le bruit a une fréquence égale
à 3,5/T (m = 3, 5).
où f est la valeur moyenne de f qui dépend du temps et qui est obtenu par l’application d’un
opérateur de moyenne comme (3.121) par exemple et f 0 (t) est la fluctuation. Les axiomes de
Reynolds sont les suivants,
a=a
(3.135)
λf + µg = λf + µg
(3.136)
f =f
(3.137)
où a, λ et µ sont des constantes et f et g sont des fonctions du temps. Les deux
propriétés sont pratiquement toujours vérifiées par tous les opérateurs de moyenne
qui sont de filtres linéaires. En revanche, l’idempotence (3.137) est plus délicate
Elle n’est pas vérifiée en particulier par la moyenne temporelle sur un intervalle de
(3.121).
premières
classiques
à vérifier.
temps [T ]
Il est simple de vérifier sur un exemple qu’il faut une séparation des échelles de temps
significative entre le ”signal” que l’on cherche à extraire par l’opération de moyenne et le ”bruit”
que l’on cherche à confiner dans la fluctuation. Un exemple naı̈f permet d’illustrer cette difficulté.
Choisissons T comme échelle de temps. Soit une variable f (t) composée d’un signal s(t) et d’un
bruit b(t). On désire séparer le signal du bruit par l’opération de moyenne temporelle (3.121).
Si on choisit par exemple,
f (t) = sin(
2πt
) + sin(2mπt)
n
(3.138)
où le premier terme représente le signal et le second le bruit. On a,
n sin(π/n)
2πt
sin(mπ)
f (t) =
sin(
)+
sin(2mπt)
π
n
mπ
2πt
sin(mπ) 2
n sin(π/n) 2
f (t) =
sin(
)+
sin(2mπt)
π
n
mπ
(3.139)
(3.140)
La figure 3.10 montre clairement que le bruit n’est pas entièrement capturé par l’opératueur
de moyenne et que le signal filtré comporte une fluctuation importante. Par ailleurs la double
moyenne n’est atténuée par rapport au signal original.
78
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Ces considérations sont développées par ? pour l’opérateur de moyenne phasique (3.122) qui
préconise des règles de choix de la largeur du filtre temporel en fonction du contenu fréquenciel
du signal et du bruit.
(A suivre...)
3.5
Les équations moyennées en temps et en espace
Les équations moyennées sur la section ont été obtenues au paragraphe 3.3. Certains régimes
d’écoulement comme l’écoulement à poches de gaz et à bouchons de liquide sont très variables
et, en valeur instantanée, des quantités comme le frottement pariétal fluctue de façon très
importante. En effet, ce dernier change de signe en écoulement vertical ascendant entre le
passage du bouchon de liquide et le passage de la poche de gaz. L’utilisation d’équations
simplement moyennées dans la section nécessiterait de fournir des relations de fermeture qui
résolvent temporellement ces détails de l’écoulement. Dans la plupart des applications, on ne
souhaite pas décrire avec autant de détail la structure de l’écoulement et seules des valeurs
moyennes sur toutes ces structures importent.
Les équations moyennées sur la section peuvent également être moyennées en temps. Il y a
deux façons différentes et équivalentes de les obtenir selon l’ordre dans lequel les deux moyennes
sont effectuées. En moyennant en temps les équations moyennées sur la section on obtient par
application de l’opérateur de moyenne (3.121),
∂
∂
∂
Ak < ρk ψk >2 +
Ak < ρk ψk wk >2 +
Ak < ez Jk >2 − Ak < ρk φk >2
∂t
∂z
∂z
Z
Z
dl
dl
=−
(ṁk ψk + nk Jk )
−
(nk Jk )
nk nkC
nk nkC
C(z,t)
Ck (z,t)
(3.141)
où la signification des différents symboles est donnée au tableau 3.1 (page 54). Toutefois, les
équations aux moyennes composites auraient pu être obtenues en appliquant l’opérateur de
moyenne spatial sur la section (3.105) aux équations moyennes sur un intervalle de temps (3.128).
En appliquant les formes limites du théorème de Gauss et de la règle de Leibniz on obtient,
∂
∂
∂
X
X
X
X
A<
| αk ρk ψk >
| 2+
A<
| αk ρk ψk wk >
| 2+
A<
| αk ez Jk >
| 2 − A<
| αk ρk φk >
| 2
∂t
∂z
∂zZ
1 X ṁk ψk + Jk nk
dl
X
= −A<
|
>
| 2−
αk nk Jk
(3.142)
S
T
|vi nk |
nk nkC
C1 C2
disc.∈[T ]
Les équations (3.141) et (3.5) sont équivalentes. Leur membre de gauche est identique en
vertu de la commutativité des opérateurs de moyenne que l’on rappelle ici,
X
Rk2 < fk >2 = <
| αk fk >
| 2=
1
T
Z
dt
[T ]
1
A
Z
fk Xk dS.
(3.143)
A
On montre également que les termes d’interaction à l’interface sont identiques (paragraphe
A.8.1),
Z
C(z,t)
(ṁk ψk + nk Jk )
dl
1
= A<
|
nk nkC
T
X
disc.∈[T ]
ṁk ψk + Jk nk
>
| 2.
|vi nk |
(3.144)
79
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
8
) E J Figure 3.11: Illustration de l’identité définissant l’aire interfaciale (3.149).
Les termes d’interactions à la paroi sont également identiques. La démonstration est analogue
à celle de la commutativité des opérateurs de moyenne (3.143),
Z
Z
dl
dl
X
(nk Jk )
=
αk nk Jk
=
S
nk nkC
nk nkC
Ck (z,t)
C1 C2
Z
Z
1
dl
dt
Xk nk Jk
S
T [T ]
n
k nkC
C1 C2
(3.145)
D’une façon plus générale, on montre que les termes d’interaction sur les interfaces commutent également pour les moyennes dans l’espace (paragraphe A.8.2). Ainsi pour tout vecteur
Bk ,
Z
V
1
T
Bk nk
dV =
|vi nk |
X
disc.∈[Tk ]
Z
Bk nk dS
(3.146)
Ai (t)
où Ai représente les interfaces contenues dans le volume d’intégration V . Cette identité possède
un cas particulier fondamental qui définit localement l’aire interfaciale. En effet pour Bk = nk ,
on obtient,
Z
V
1
T
X
disc.∈[Tk ]
1
dV =
|vi nk |
Z
dS = Ai (t)
(3.147)
Ai (t)
La figure 3.11 illustre cette identité. L’intégrale volumique de la quantité γ définie par,
γ=
1
T
1
,
|vi nk |
X
disc.∈[Tk ]
(3.148)
est égale à l’aire des interfaces contenues en moyenne dans le V ,
<
| γ>| 3 =
Ai (t)
= Γ3 .
V
(3.149)
De même l’identité des termes d’interaction pour le modèle moyenné dans la section se déduit
de l’identité déjà évoquée (3.144). Et dans le cas ou Bk = nk , on obtient,
<
| γ>| 2 =
Ai (t)
1
=
A
A
Z
A
dl
= Γ2 .
nk nkC
(3.150)
80
3.5.1
LES ÉQUATIONS DES ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Problématique de la fermeture des équations moyennées
L’identité (3.147) permet de donner une interprétation claire au terme d’interaction qui intervient dans les équations de bilan moyennées en temps et en espace,
1
A
Z
C(z,t)
(ṁk ψk + nk Jk )
dl
1
=<
|
nk nkC
T
X
disc.∈[T ]
ṁk ψk + Jk nk
>
| 2=
|vi nk |
Γ2 < ṁk ψk + Jk nk >2i = <
| γ ṁk ψk + Jk nk i >
| 2
où les deux moyennes sur les interfaces sont définies par,
Z
1
dl
Γ2 < ṁk ψk + Jk nk >2i =
(ṁk ψk + nk Jk )
,
A C(z,t)
nk nkC
(3.151)
(3.152)
et par,
γ ṁk ψk + Jk nk i =
1
T
X
disc.∈[T ]
ṁk ψk + Jk nk
|vi nk |
(3.153)
L’identité (3.151) fournit une interprétation des termes d’interaction en montrant qu’ils se
mettent sous la forme d’une aire interfaciale multipliée par une densité de flux moyennée sur
les interfaces. Cette forme générale suggère des relations de fermeture simples en écoulement
dispersé à bulles ou à gouttelettes. Cet aspect de la fermeture des modèles moyennés est traité
par l’exemple à l’annexe ??.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Section 4
Blocage de débit en écoulement diphasique
4.1
Introduction
Quelques dispositifs siège d’écoulements compressibles seront rapidement décrits. Les propriétés
principales décrivant les fluides mis en oeuvre seront ensuite évoquées, puis, les conditions
d’apparition des écoulements compressibles seront considérées.
On rappelle ensuite les équations régissant l’évolution d’un écoulement compressible monodimensionnel et l’interprétation du phénomène de blocage de débit, très caractéristique des
écoulements compressibles, sera ensuite abordée. Les solutions stationnaires dans quelques
cas particuliers seront détaillées. L’écoulement avec frottement dans une conduite de section
constante, l’écoulement de Fanno, sera étudié. On abordera également le cas de l’écoulement
sans frottement dans une conduite de section variable comme une tuyère. La phénoménologie
sera toutefois étudiée dans le cas plus général de l’écoulement avec frottement à l’aide de la
théorie des points critiques des équations différentielles ordinaires. Les chocs et leur description
physique seront très brièvement abordés à la fin de ces notes.
4.1.1
Occurrences industrielles des écoulements compressibles
Parmi les domaines industriels concernés par les écoulements compressibles on peut citer, au
premier rang, l’aérodynamique à grande vitesse. Ce domaine concerne les écoulements pour
lesquels le nombre de Mach de l’écoulement incident est au moins de l’ordre de 0,2.
v>v0
_ _ _ _
++ + + +
v<v0
(a) Mach : 0,2
M=1
M0<1
M>1
(b) Mach de 0,6 à 0,8
Figure 4.1: Ecoulements faiblement (a) et vraiment (b) compressibles autour de profils d’aile. Sur l’extrados du
profil, la limite sonique est atteinte et un choc peut se développer pour des conditions amont subsoniques. v0 est
la vitesse d’approche du fluide. M0 est le nombre de Mach correspondant.
Comme on le verra plus loin, dans ces conditions, l’erreur commise sur la pression en
considérant l’écoulement incompressible, rapportée à la pression dynamique de l’écoulement
incident, est de l’ordre du pourcent (figure 4.1(a)). Il faut distinguer cette première situation
de la seconde où le nombre de Mach incident est de l’ordre de 0,6 à 0,8 et où les phénomènes
typiques des écoulements compressibles comme des chocs apparaissent (figure 4.1(b)). Les
82
BLOCAGE DE DÉBIT
chocs peuvent être considéré en première approximation comme des discontinuités (??). Leur
épaisseur est très faible c’est-à-dire de l’ordre d’une centaine de nm.
Le nombre de Mach est défini par le rapport de la vitesse locale à la vitesse du son correspondant aux conditions considérées,
v
Ma = .
(4.1)
a
Pour un gaz parfait, la vitesse du son a ne dépend que de sa température,
p
a = γRT ,
(4.2)
où γ est le rapport des capacités thermiques massiques à pression et volume constant respectivement, γ = CP /CV , R est la constante massique des gaz parfaits et T est la température absolue.
Pour l’air à pression et température ambiante on a,
γ = 1, 4,
(4.3)
R = 287 J/kg/K,
(4.4)
a = 343 m/s, à T = 293 K.
(4.5)
Un TGV lancé à 260 km/h a un nombre de Mach de 0,21 environ ce qui permet encore de
considérer l’écoulement incompressible.
LO2
LH2
P0, T0
vS
Figure 4.2: Schéma très simplifié d’un moteur de fusée.
Les moteurs cryotechniques de fusée sont également le siège d’écoulements compressibles
(figure 4.2). Dans ces dispositifs, on cherche à convertir l’essentiel de l’énergie interne du fluide,
résultant de la combustion de l’hydrogène et de l’oxygène, en énergie cinétique. La poussée, F ,
en première approximation est donnée par,
F ≈ Ṁ vS
(4.6)
où Ṁ est le débit masse et vs est la vitesse de sortie des gaz. Dans ce dispositif, la vitesse
d’éjection est directement liée à la température des gaz dans la chambre de combustion,
vS2 ∝ T0 , et le débit masse à la pression dans la chambre, M ∝ P0 . La poussée est d’autant
plus grande, toutes choses étant égales par ailleurs, que la pression et la température dans la
chambre de combustion sont élevées.
D’une façon plus générale, toutes les machines de conversion d’énergie utilisant des gaz ou
des vapeurs de liquides comme les turbomachines sont le siège d’écoulements compressibles.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
4.1.2
83
Lois d’état des gaz
Pour décrire les évolutions thermodynamiques d’un gaz, il faut deux relations d’état. La première
lie, par exemple, la masse volumique, ρ, à deux autres variables thermodynamiques comme la
pression, p, et la température T ,
ρ = ρ(p, T ).
(4.7)
L’évaluation de l’énergie interne massique, e, du gaz nécessite aussi une autre relation d’état
dite calorique,
e = e(p, T ).
(4.8)
Pour l’air par exemple, tant que l’on ne dépasse pas une température de 1000K ou une
pression de 50 bar environ, le modèle des gaz parfaits convient tout à fait. Dans le cas contraire,
on utilise des équations plus réalistes comme l’équation de Van der Waals (?). Des tables ou des
formules explicites existent pour tous les gaz usuels (voir ?, par exemple ). Pour les gaz parfaits
on a,
p
= RT,
ρ
e = CV T,
(4.9)
(4.10)
ou bien en introduisant l’enthalpie massique, h,
h , e + p/ρ,
(4.11)
h = CP T.
(4.12)
Les capacités thermiques massiques des gaz parfaits sont liées à la constante des gaz parfaits
par les relations suivantes,
Rγ
,
γ−1
R
CV =
.
γ−1
CP =
4.1.3
(4.13)
(4.14)
Conditions d’apparition des écoulements compressibles
Considérons la vidange d’un réservoir contenant un gaz supposé incompressible dans un premier
temps. Appliquons le théorème de Bernoulli entre le réservoir où le fluide est au repos et la
conduite de sortie (figure 4.3),
P0
p
w
Figure 4.3: Vidange d’un réservoir dont la pression est P0 vers un environnement où la pression est P . w est la
vitesse à la sortie du réservoir.
1
P0 − P = ∆P = ρw2 .
2
(4.15)
La variation relative de pression peut être estimée par,
1 ρw2
1 w2
∆P
≈
=
= O(M 2 ).
P0
2 P0
2 RT
(4.16)
84
BLOCAGE DE DÉBIT
Ainsi, d’après la loi des gaz parfaits on a,
∆ρ
∆P
≈
≈ O(M 2 ).
ρ
P0
(4.17)
Pour un écoulement incompressible, on s’attend à ce que ∆ρ
ρ 1 et l’équation (4.17) nous
indique alors que le carré du nombre de Mach doit être petit devant 1. Une condition pratique
peut donc être proposée,
l’écoulement est incompressible lorsque M 2 1 ⇒ M 6 0, 1
(4.18)
Un calcul plus précis nous montrera que cette condition est assez restrictive et qu’en fait on
peut atteindre des nombres de Mach de l’ordre de 0,2 à 0,3 et toujours considérer l’écoulement
incompressible.
4.2
Equations de bilan moyennées dans la section
Les équations régissant l’écoulement monodimensionnel dans une conduite de section variable,
A(z), s’obtiennent classiquement en appliquant les principes de la physique à un volume matériel.
Un volume matériel, est une portion du domaine d’étude limitée par une surface se déplaçant
avec le fluide. Ces principes sont au nombre de trois.
• La conservation de la masse : la masse d’un volume matériel est constante.
• La relation fondamentale de la dynamique : la variation de quantité de mouvement d’un
volume de fluide matériel est égale à la somme des forces de volume et de surface appliquées.
• Le premier principe : la variation d’énergie totale d’un système matériel (interne et
cinétique) est égale à la puissance des forces extérieures appliquées et à la puissance thermique apportées au système.
Les systèmes sur lesquels on raisonne sont souvent différents et notamment fixes ou avec
un mouvement imposé. Pour établir l’expression des équations de bilan pour ces systèmes, on
utilise alors une règle de transformation comme le théorème de Gauss ou la règle de Leibniz
(?) ou une de ses formes particulières comme le théorème de transport de Reynolds (?).
L’application rigoureuse de ces outils permet d’établir, sans erreur possible, les équations de
bilan les plus variées pour des systèmes arbitrairement compliqués comme ceux comportant
plusieurs phases (?). Ces équations sont ensuite simplifiées en prenant en considération les
caractéristiques particulières des écoulements monodimensionnels. L’annexe .5 donne une liste
de formules utiles à l’établissement des équations.
Les écoulements monodimensionnels vérifient notamment les propositions suivantes.
• Dans chaque section, les variables dépendantes sont convenablement représentées par leur
valeur moyenne.
• On néglige l’effet des contraintes visqueuses normales devant l’effet de la pression comme
on négligera aussi la conduction longitudinale dans le fluide.
• La seule action des parois sur le fluide prise en compte est le frottement pariétal et on
néglige les forces de volume comme la gravité.
Ces hypothèses sont somme toutes classiques et les seules situations qui les violent
catégoriquement et interdisent totalement l’usage d’un modèle monodimensionnel sont les suivantes.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
85
P(z)
z
A(z)
Figure 4.4: Conduite de section variable siège d’un écoulement compressible.
• La section de passage du fluide varie brutalement comme dans un élargissement brusque.
A l’aval de l’élargissement, le profil de vitesse et éventuellement de pression n’est pas du
tout uniforme.
• L’écoulement décolle en raison d’une séparation visqueuse ou d’un choc oblique ou les deux,
par exemple, ce qui déforme le profil de vitesse. Cette situation apparaı̂t par exemple dans
un divergent trop ouvert ou lors d’une détente dans le vide.
Hormis ces conditions, les équations de bilan décrivant les écoulements monodimensionnels
compressibles sont les bilans de masse, de quantité de mouvement projetées sur l’axe de la
conduite et le bilan d’énergie totale. Elles s’écrivent (annexe .5),
∂
∂
Aρ +
Aρw = 0,
∂t
∂z
∂
∂p
∂
Aρw +
Aρw2 = −A
− Pτw ,
∂t
∂z
∂z
∂
w2
∂
w2
Aρ e +
+
Aρw h +
= Pqw ,
∂t
2
∂z
2
(4.19)
(4.20)
(4.21)
où, A est l’aire de la section droite de la conduite (figure 4.4), P est le périmètre de la
section, w est la vitesse moyenne dans la section, p est la pression moyenne, e est l’énergie
interne, h est l’enthalpie, τw est la contrainte de frottement pariétal et qw est la densité
de flux de chaleur apporté au fluide. Le système d’équations de bilan nécessite pour sa fermeture deux relations décrivant (i) le frottement pariétal τw et (ii) le flux de chaleur en paroi qw .
Le frottement pariétal est en général exprimé en fonction d’un coefficient de frottement
pariétal f . Ce dernier est lié à la contrainte pariétale par,
1
τw = f ρw2 ,
(4.22)
2
où le coefficient de frottement peut être calculé par la corrélation de Blasius pour des conduites
lisses ou par n’importe quelle autre relation de frottement appropriée (?, p. 426) comme la loi
de Colebrook. La corrélation de Blasius s’écrit,
f = 0, 079Re−0,25
(4.23)
où Re est le nombre de Reynolds de l’écoulement basé sur le diamètre hydraulique du conduit,
ρwDH
Re =
,
(4.24)
µ
où µ est la viscosité dynamique du gaz et le diamètre hydraulique est défini par,
4A
DH =
.
(4.25)
P
Bien que les écoulements compressibles avec transferts de chaleur soient d’un grand intérêt
pratique, on se limitera ici aux écoulements adiabatiques dans cette première approche. On
trouvera un traitement complet de ces premiers écoulements dans ?, Chap. 6 et ?, Chap. 7.
86
BLOCAGE DE DÉBIT
4.3
Physique des écoulements compressibles : le blocage de débit
La figure 4.5 décrit une expérience simple effectuée à Grenoble (?). Une tuyère convergente
divergente de 10 mm de diamètre environ est connectée à un réservoir contenant de l’air comprimé à 6 bar environ et à la température ambiante. La pression aval (Pback ) peut être réglée
par une vanne. Petit à petit, on ouvre la vanne et la pression aval commence à descendre.
Le débit de gaz transitant dans le système augmente rapidement (Table 4.1). Puis, dans cette
expérience, lorsque la pression aval diminue en dessous de 5 bar deux événements caractéristiques
apparaissent.
• Le profil de pression se ”gèle”, il reste inchangé au delà d’une certaine abscisse.
• Le débit de gaz n’augmente plus.
Dans ces conditions, on dit que l’écoulement est bloqué. On remarque alors qu’une grande
région de la tuyère est insensible aux variations de pression aval. On remarque également que
le profil de pression change brutalement d’allure lorsque la pression aval varie au voisinage de
5 bar. Pour des valeurs de la pression aval supérieure à 5 bar, la pression remonte dans le
divergent comme en écoulement incompressible, alors que pour une pression aval plus faible,
l’écoulement continue à accélérer dans le divergent et la pression diminue. On verra plus tard
que ces conditions d’écoulement sont supersoniques et que la bifurcation observée est associée
avec une transition du caractère de l’écoulement : subsonique d’abord vers le régime critique
comportant une région en régime supersonique.
1
2
3
4 5 67 8 9 10 11
12
13 1415 16 17 18 19 20
21
22
23
Non dimensional pressure P/P0
1.0
0.75
0.5
0.25
0.0
0.0
60A10E00.PRE
60A10M00.PRE
60B10M00.PRE
60A16M00.PRE
60A20M00.PRE
60A30M00.PRE
60A41M00.PRE
60A50M00.PRE
60A57M00.PRE
100.0
200.0
300.0
400.0
Abscissa (mm)
Figure 4.5: Ecoulement d’air dans une tuyère convergente divergente de 10 mm de diamètre au col. Pression
amont et température amont constantes et pression aval variable, conditions d’écoulement décrites au tableau 4.1.
L’analyse classique de ce phénomène repose sur l’analyse de la propagation des perturbations
de pression dans la conduite. Pour la mener à bien, on a l’habitude de transformer les équations
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Essai
60A10E00.PRE
60A10M00.PRE
60B10M00.PRE
60A16M00.PRE
60A20M00.PRE
60A30M00.PRE
60A41M00.PRE
60A50M00.PRE
60A57M00.PRE
MG
kg/h
363.9
364.3
362.9
364.6
364.5
364.1
364.4
361.3
246.6
ML
kg/h
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
P0
bar
5.967
5.901
5.939
5.940
5.939
5.943
5.937
5.944
5.984
TG
C
22.1
16.6
18.8
17.9
17.9
18.0
18.2
18.6
18.7
87
Pback
bar
0.973
1.127
1.135
1.650
1.986
3.023
4.088
5.022
5.749
Tableau 4.1: Conditions d’écoulement correspondant à la figure 4.5.
de bilan (4.19), (4.20) et (4.21). On développe le bilan de masse (4.19),
∂ρ
∂w
∂ρ
dA
+ρ
+w
= −ρw
.
∂t
∂z
∂z
dz
(4.26)
Puis, en soustrayant le bilan de masse (4.19) multiplié par w au bilan de quantité de mouvement (4.20) et on obtient,
∂w
1 ∂p
P
∂w
+w
=−
−
τw .
∂t
∂z
ρ ∂z Aρ
(4.27)
On élimine l’énergie interne dans le bilan d’énergie totale (4.21) au profit de l’enthalpie
(4.11). Puis on soustrait à la nouvelle équation le bilan de masse (4.19) multiplié par l’enthalpie
totale (h + w2 /2). On obtient ainsi le bilan d’entropie en soustrayant à l’équation obtenue le
bilan d’énergie mécanique (w fois l’équation 4.27),
∂h w ∂p
∂s
∂s
P
P
∂h 1 ∂p
−
+w
−
=T
+ wT
= + wτw +
qw ,
∂t
ρ ∂t
∂z
ρ ∂z
∂t
∂z
Aρ
Aρ
(4.28)
où on rappelle que l’entropie satisfait la relation thermodynamique,
1
T ds , dh − vdp = dh − dp,
ρ
(4.29)
où v est le volume massique. Cette équation montre que l’entropie de l’écoulement augmente
en raison du frottement et de l’apport de chaleur. En conséquence, un écoulement adiabatique
sans frottement est isentropique. L’isentropie de l’écoulement n’est qu’une conséquence des
équations de bilan associées à un certain nombre d’hypothèses. Selon les cas, l’hypothèse
isentropique, souvent invoquée à tord, est alors redondante ou incompatible avec les trois
équations de bilan primaires.
Dans le cas des gaz parfaits, on élimine l’enthalpie par,
h = CP T =
CP p
γ p
=
,
R ρ
γ−1 ρ
(4.30)
et on obtient l’équation suivante,
∂p
∂p γp
+w
−
∂t
∂z
ρ
∂ρ
∂ρ
+w
∂t
∂z
=
(γ − 1)P
(wτw + qw ),
A
(4.31)
qui dans le cas particulier des écoulements adiabatiques et sans frottement redonne la relation
isentropique bien connue,
∂
∂
∂
γp ∂
p
+w
p−
+w
ρ = 0 ⇒ γ = cste.
(4.32)
∂t
∂z
ρ ∂t
∂z
ρ
88
BLOCAGE DE DÉBIT
Finalement, en regroupant sous forme matricielle les équations de bilan de masse (4.26), de
quantité de mouvement (4.27) et d’entropie (4.31) on obtient,


 

  ∂ρ 
A0
∂ρ


w
ρ
0
−ρ


1
0 0
 ∂t  
A
∂z 
1  






Pτ
 0
  ∂w  

w
0
w
1 0   ∂w  + 
−
=


,

 −γp
 
ρ  
 
 

Aρ
∂t
∂z
−γpw
 ∂p 
 ∂p  
0 1

(γ − 1)P
0 w
ρ
(wτw + qw )
ρ
∂t
∂z
A
(4.33)
qu’on écrira aussi de façon condensée,
A
∂X
∂X
+B
=C
∂t
∂z
(4.34)
où les expressions de A, B, C et X s’obtiennent par identification avec (4.33). L’intégration
de ces équations nécessitent la donnée d’au moins une condition initiale et de conditions aux
limites. Supposons que ce problème soit résolu et que l’on dispose d’une solution stationnaire,
X 0 . Pour étudier la propagation de petites perturbations autour de cet état, on linéarise les
équations autour de X 0 en recherchant la solution sous la forme,
X = X 0 + X 1
(4.35)
où, est un petit paramètre sans dimension ( 1). En supposant que les échelles de temps et
d’espace des perturbations sont découplées de celles de l’écoulement de base, on considère notamment que les transferts sont gelés aux échelles de temps liés à la perturbation. L’application de
la méthode de perturbation (?) permet d’obtenir après séparation des ordres du développement
en les équations satisfaites par la solution de base, X 0 et la perturbation X 1 ,
A(X 0 )
∂X 0
∂X 0
+ B(X 0 )
= C(X 0 ),
∂t
∂z
(4.36)
∂X 1
∂X 1
+ B(X 0 )
= 0.
∂t
∂z
(4.37)
A(X 0 )
Sous forme matricielle, le système perturbé (4.37) s’écrit,
1
 0
 −γp
ρ


0 0

1 0  
 


0 1

∂ρ0
∂t
∂w0
∂t
∂p0
∂t


w
 
 
0
+
 
−γpw

ρ
ρ
0
1
w
ρ
0 w
  ∂ρ0
∂z
 
 
∂w0

 
  ∂z
∂p0
∂z



 = 0,


(4.38)
où les variables primées sont relatives à la perturbation. Recherchons les solutions de ce système
sous la forme d’ondes progressives,
c i(kx−ωt) ,
X 1 = Xe
(4.39)
c est son amplitude complexe. En
où ω est la pulsation de l’onde, k est son nombre d’onde et X
dérivant on obtient,
∂X 1
c i(kx−ωt) ,
= −iω Xe
∂t
∂X 1
c i(kx−ωt) .
= ik Xe
∂z
(4.40)
(4.41)
89
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
En reportant dans le système satisfait par la perturbation (4.38), on aboutit a une simple
relation algébrique linéaire,
c = 0,
(ikB − iωA)X
(4.42)
det(B − cA) = 0
(4.43)
qui n’admet de solution non trivialement nulle que pour les ondes dont la longueur d’onde,
λ = 2π/k, et la période, T = 2π/ω, satisfont la relation,
où par identification on a posé, c = ω/k. On remarque que c a la dimension d’une vitesse et
qu’elle est exactement la vitesse de propagation de l’onde (4.39). Tous calculs faits, on obtient,
w−c
ρ
0
1
γp
2
0
w
−
c
det(B − cA) =
= (w − c) (w − c) −
.
ρ
ρ
γp
− (w − c)
0
w−c
ρ
(4.44)
Le système perturbé admet donc trois ondes possibles se déplaçant aux vitesses caractéristiques, c, données par,
(
c = w q
√
(4.45)
c = w ± γp
ρ = w ± γRT
Les seules ondes progressives possibles se déplacent, soit à la vitesse du fluide w, soit à la
vitesse du son a relativement au fluide et dans chaque direction, vers l’amont et vers l’aval. La
vitesse du son, a, correspond donc bien à la vitesse de propagation des petites perturbations
dans un fluide au repos.
On représente habituellement les phénomènes de propagation dans le plan (z, t) où la propagation des ondes se représente par les courbes caractéristiques, d’équation,
dz
=c
dt
(4.46)
t
t
w-a w w+a
w-a
w w+a
w-a
z
(a) écoulement subsonique
w
w+a
w-a
w
w+a
z
(b) écoulement supersonique
Figure 4.6: Ecoulements, (a) subsonique, (b) supersonique, représentés dans le plan (z, t).
Lorsque l’écoulement a une vitesse en tout point inférieure à celle du son, l’écoulement
est subsonique. En tout point du domaine représenté à la figure 4.6(a), 2 caractéristiques
vont vers de l’aval et une seule va vers l’amont (c = w − a). La propagation des ondes de
pression peut s’effectuer librement de l’aval vers l’amont. L’écoulement peut donc répondre
90
BLOCAGE DE DÉBIT
à des sollicitations en pression venant de l’aval en adaptant sa vitesse amont aux nouvelles
conditions. En conséquence, le débit varie toujours à la suite d’une variation de pression aval.
En revanche, lorsque l’écoulement est supersonique comme à la figure 4.6(b), toutes les
caractéristiques sont tournées vers l’aval. Les perturbations engendrées en un point où ce
régime existe ne peuvent se propager que vers l’aval, elles sont entraı̂nées par le fluide. La
propagation de l’aval vers l’amont est impossible dans la partie de la tuyère où ce régime existe.
Ces résultats permettent d’interpréter correctement l’expérience présentée plus haut
(figure 4.5). Lorsque la pression aval commence à diminuer (de 6 à 5 bar), la baisse de pression
à l’aval se propage librement vers l’amont qui réagit en augmentant la vitesse amont du
fluide, donc le débit. Pendant ce processus, la vitesse augmente en tout point de la tuyère
est maximum dans la région du col. Pour une pression aval de l’ordre de 5 bar, la vitesse
atteint quelque part dans la tuyère, la vitesse du son. A cet endroit précis, nous avons une
caractéristique stationnaire (c = w − a = 0 à la figure 4.6(b)). La propagation de la pression
est alors bloquée en ce point et ne peut plus voyager au delà. Le débit devient constant et le
profil de pression se fige à l’amont de ce point.
Lorsque la pression aval continue à décroı̂tre, seule la partie la plus aval du profil de pression
évolue. Un autre phénomène apparaı̂t, un choc, qui permet d’effectuer une transition vers
l’écoulement subsonique. Malheureusement, dans l’expérience considérée, l’écoulement décolle
de la paroi, et le profil de pression ne peut pas être interprété dans le cadre de la théorie
unidimensionnelle (?).
4.4
Solutions stationnaires de l’écoulement adiabatique
Le cas particulier des écoulements stationnaires et adiabatiques (sans transferts de chaleur)
est sujet à un traitement analytique simple et complet que nous allons maintenant aborder.
Ce paragraphe est directement inspiré du travail de ? qui en proposent une analyse très
pédagogique et exhaustive.
Les écoulements permanents satisfont la restriction stationnaire des équations de bilan (4.34),
B
dX
= C.
dz
(4.47)
En absence de transferts de chaleur, le bilan de masse et d’énergie s’intègrent analytiquement : le débit masse est uniforme dans la tuyère et l’enthalpie totale est conservée (mais pas
l’entropie). L’écoulement est toujours régi par le système des trois équations différentielles ordinaires (4.47) qui peut maintenant être simplifié en prenant en compte le paramétrage de la
solution par le nombre de Mach, (?), la discussion des solutions peut alors être entreprise sur
une seule équation différentielle ordinaire,
0
4y(1 + γ−1
dy
Y (x, y)
2 y)(γf y − F )
=
=
,
dx
X(x, y)
F (1 − y)
(4.48)
où la seule variable indépendante, y = M 2 , est le carré du nombre de Mach et où le diamètre
hydraulique de la conduite est donné par,
DH = F (x).
(4.49)
L’établissement de l’équation (4.48) est détaillé à l’annexe .1. L’avantage de la représentation
(4.48) est de permettre une interprétation géométrique qui fournit l’allure et la topologie de toute
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
91
ses solutions sans qu’il soit effectivement nécessaire de les calculer. Ecrit sous forme autonome
(4.48) devient,


 dx = X(x, y)
du
(4.50)
dy


= Y (x, y)
du
où u est un paramètre d’avancement qui n’a pas de sens physique particulier et est défini par
la première équation (4.50). Les solutions de (4.48) s’interprètent comme les lignes de courant
du champ de vecteurs dont les composantes en coordonnées cartésiennes sont respectivement X
et Y . En conséquence, en tout point du plan (x, y), les solutions sont des courbes tangentes au
vecteur V (X, Y ).
4.4.1
Cas de la conduite de section constante
Lorsque la conduite a une section constante, l’analyse des solutions de (4.48) est aisée. En effet,
on a alors,
γ−1
2
X = F (1 − y) et Y = 4γf y 1 +
y .
(4.51)
2
X est positif en régime subsonique (y < 1) et négatif au dessus de la limite M = 1. Y garde
un signe constant (positif). Les tangentes aux solutions sont donc orientées de façon uniforme
dans chaque région (figure 4.7). En partant d’une condition d’entrée subsonique, le nombre
de Mach ne peut que croı̂tre jusqu’au moment où la courbe atteint la limite y = 1. X étant
nul, cette limite ne peut être atteinte qu’avec une tangente verticale (X = 0). Puis la courbe
rebrousse chemin car X change de signe, ce qui n’a pas de sens physique par ailleurs comme la
tangente verticale. En conséquence,
• il existe une longueur limite que l’écoulement ne peut dépasser, pour une vitesse (un
nombre de Mach) d’entrée subsonique donné.
• La vitesse du son ne peut être atteinte qu’à l’extrémité de la conduite. Le régime étant
subsonique partout ailleurs.
Figure 4.7: Topologie des solutions pour une écoulement adiabatique avec frottement dans une conduite de
section constante (écoulement de Fanno).
L’équation (4.48) est à variables séparées dans le cas particulier de l’écoulement adiabatique
avec frottement. Si on considère que le coefficient de frottement varie peu et qu’on l’assimile
à sa valeur moyenne (f¯), l’évolution de l’écoulement s’intègre analytiquement et on obtient
analytiquement la longueur maximum que l’écoulement peut parcourir pour un nombre de Mach
donné à l’entrée de la conduite (?, p. 167).
Lmax
1 − M2 γ + 1
(γ + 1)M 2
4f¯
=
+
ln
DH
γM 2
2γ
2 1 + γ−1 M 2
2
(4.52)
92
BLOCAGE DE DÉBIT
Le coefficient de pression moyen peut être approché par différentes corrélations. ?, section
5-4 en proposent plusieurs. L’ordre de grandeur de f est de toutes façons de quelques 10−3 .
Pour un calcul de première approche, on peut considérer, 4f¯ = 0, 01. D’ailleurs, avec cette
dernière valeur, pour un nombre de Mach d’entrée de 0,25 on trouve Lmax /D = 850. Les autres
équations d’évolution de d’écoulement s’intègrent également analytiquement (??) et la solution
est paramétrée par le nombre de Mach.
En considérant que le seul paramètre intervenant effectivement dans le problème est sans
L
dimension (4f¯D
), on observe que la solution est indépendante de f et on peut la tabuler simplement. Les expressions de la solution de l’écoulement de Fanno sont les suivantes,
T
γ+1
= ∗
T
2
2 1 + γ−1
M
2
(4.53)
v
u
w
u γ+1
=
M
t
∗
w
2 1 + γ−1 M 2
(4.54)
v
p
1u
u γ+1
=
t
∗
p
M 2 1 + γ−1 M 2
(4.55)
2
2
où les variables étoilées comme p∗ sont relatives à M = 1.
L’écoulement isotherme dans une conduite de section constante est un autre cas permettant
un traitement analytique. Les équations de bilans de masse et de quantité de mouvement sont
identiques à celles de l’écoulement de Fanno. On remplace l’équation d’énergie par l’hypothèse
T = T0 . C’est physiquement le cas où le coefficient de transfert de chaleur à la paroi est
suffisamment fort pour imposer au fluide la température des parois. L’écoulement isotherme
et l’écoulement de Fanno sont les deux cas limites relatifs au transport de gaz dans des conduites.
4.4.2
Cas de la conduite de section variable
Dans le cas de la conduite à section variable l’équation (4.48) décrit totalement l’écoulement.
Par identification, le champ de vecteur V (X, Y ) correspondant a pour coordonnées,
X = F (1 − y) et Y = 4y(1 +
γ−1
y)(γf y − F 0 ).
2
(4.56)
X change toujours de signe au passage de la droite y = 1. Toute solution traversant cette
courbe admet une tangente verticale. Quant à Y, il change de signe au passage de la courbe
d’équation y = F 0 (x)/γf . Pour un profil de tuyère convergente divergente donnée (figure 4.8),
c’est une courbe simple, nulle au col (xt ) et positive dans le divergent.
A gauche (au dessus) de cette courbe Y est positif, si bien les deux courbes X = 0 et Y = 0
séparent le plan en 4 secteurs où l’orientation solutions de (4.48) reste dans le même secteur.
Ainsi en partant de l’origine avec un écoulement amont subsonique deux types de solutions sont
possibles (figure 4.8).
• Soit le nombre de Mach augmente dans le convergent, atteint un maximum à l’aval du col
(en traversant la courbe Y = 0) puis décroı̂t à nouveau. C’est une solution subsonique
tout au long de la conduite. Pour la trouver numériquement on itère, comme pour une
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
93
Figure 4.8: Topologie des solutions pour une écoulement adiabatique avec frottement dans une conduite de
section variable d’après ?.
conduite de section constante pour trouver la vitesse amont qui satisfait la condition de
pression aval.
• Soit le nombre de Mach initial est tel quel la courbe solution rencontre d’abord la courbe
X = 0, alors la solution admet une tangente verticale puis rebrousse chemin en devenant
supersonique. Cette solution n’a pas de sens physique au delà de M = 1 et correspond à
une écoulement dans une conduite strictement convergente qui serait exactement tronquée
à l’abscisse correspondant à la tangente verticale. Topologiquement, c’est une solution
analogue au cas précédemment étudié de la conduite à section constante.
En presque tout les points de l’espace des phases (x, y), la tangente à la solution définie par
V (X, Y ) existe et il ne passe qu’une solution et une seule. Ce n’est pas forcément le cas des
points dits critiques où V étant nul la direction de la solution ne saurait être définie. Dans le
cas de notre écoulement, il y a au moins un point de cette nature. Il est à l’intersection des deux
courbes X = 0 et Y = 0. Pour les solutions passant par ce point, si elles existent, la direction
de la tangente est indéterminée. Ce point a pour coordonnées,
∗
x \ F 0 (x∗ ) = γf
.
(4.57)
y∗ = 1
Ce point se situe très légèrement à l’aval du col (F 0 (x∗ ) > 0). Etant données les faibles
valeurs de f ≈ 0,004 à 0,020, l’angle de divergence au point critique varie de 1/2 à 2 degrés. La
procédure mathématique levant l’indétermination au point critique est simple (?) et consiste
tout simplement à linéariser (4.48) autour du point critique (4.57). Les nouvelles coordonnées
relatives à ce point sont,
0
x = x − x∗
.
(4.58)
y0 = y − y∗
Le système linéarisé s’écrit,
Yx (x∗ , y ∗ )x0 + Yy (x∗ , y ∗ )y 0
dy 0
Y1
=
=
dx0
X1
Xx (x∗ , y ∗ )x0 + Xy (x∗ , y ∗ )y 0
(4.59)
Où l’indice 1 se rapporte à la partie linéaire. Si la solution passe par le point critique (x∗ , y ∗ ),
alors la pente de la solution λ = y 0 /x0 doit être égale à Y1 /X1 . La pente obéit alors à l’équation
caractéristique,
x0 Y1 − y 0 X1 = 0.
(4.60)
94
BLOCAGE DE DÉBIT
Tout calcul fait, on obtient l’équation de la pente en résolvant,
F (x∗ )λ2 + 2f γ(γ + 1)λ − 2(γ + 1)F ”(x∗ ) = 0.
(4.61)
La tuyère de la figure 4.8 possède une concavité positive, ainsi au moins au voisinage du col,
F ”(x∗ ) > 0. Le discriminant de (4.61) est toujours positif et le produit des racines est toujours
négatif.
∆ = 4γ 2 (γ + 1)2 f 2 + 8(γ + 1)F (x∗ )F ”(x∗ )
λ1 λ2 =
−2(γ + 1)F ”(x∗ )
F (x∗ )
(4.62)
(4.63)
Le point critique est donc de type point selle, par lequel il ne passe que deux courbes
solutions avec des pentes de signes opposés (λ1 et λ2 ). Les deux types de solutions, de la figure
4.8 sont donc limités par une troisième courbe qui part de l’amont, en régime subsonique,
traverse exactement le point critique avec une pente qui est la racine positive de (4.61) et admet
une branche supersonique dans le divergent. Cette courbe solution, le régime critique, est la
seule solution de (4.48) qui permet de traverser la tuyère en passant du régime subsonique au
régime supersonique.
Si l’on considère maintenant l’expérience évoquée plus haut (figure 4.5), on observe que pour
les faibles débits, le régime reste subsonique, jusqu’au moment où la solution s’approche du
point selle. A la limite, on obtiendrait une courbe subsonique à l’amont du col suivant la courbe
critique puis bifurquant en empruntant une trajectoire infiniment proche de la branche critique
à pente négative. Puis, pour un débit exactement égal au débit critique, la solution bifurque
soudainement vers la branche supersonique. Lorsque ce régime est atteint l’état de sortie est
imposé. L’écoulement ne dépend plus de l’aval. En particulier, on ne voit pas apparaı̂tre de
solution permettant d’atteindre un état intermédiaire entre les deux branches. Cette propriété
est générale pour la plus grande majorité des écoulements compressibles y compris diphasiques
pour lequel la théorie de ? se généralise facilement.
? fournissent, en particulier, une description exhaustive et pédagogique de l’analyse des
points critiques de modèle d’écoulements monodimensionnels (4.47). On y trouve notamment
les deux conditions que satisfait une solution traversant un point critique. La première est
identique à Y = 0 tandis que la seconde s’écrit,
det(B) = 0,
(4.64)
qui fournit la condition, w2 = γp/ρ = γRT , totalement identique à y = 1 (X = 0). De plus, elle
signifie pratiquement que l’on ne peut pas inverser B au point critique si bien que si l’on utilise
un algorithme d’avancement pour résoudre numériquement (4.47), on ne peut pas traverser le
point critique car les expressions permettant de calculer les dérivées y sont indéterminées.
En conséquence, le blocage de débit s’accompagne pour l’équation stationnaire par le passage
de la solution par un point critique. Pour le modèle instationnaire il se manifestait lors de
l’apparition d’une caractéristique stationnaire. Dans les deux cadres d’analyse, pour les fluides
parfaits mais avec frottement, on aboutit toujours à la même condition nécessaire du régime
bloqué,
p
w∗ = a = γRT
(4.65)
Le cas des écoulements sans frottement ni chauffage, les écoulements isentropiques, sont
sujets à des simplifications permettant un traitement analytique qui va être développé ici.
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
4.4.3
95
Ecoulement isentropique à section variable
L’écoulement sans frottement est décrit par (4.48) où l’on a bien sûr remplacé f par 0. Dans ces
conditions, on remarque d’une part que l’équation différentielle (4.48) est à variables séparée et
que, d’autre part, l’abscisse n’est plus le paramétrage naturel. C’est en fait l’aire de la section
droite A de la conduite qui devient la variable dépendante. En effet, on a,
(y − 1)dy
2F 0 dx
dA
=
=
,
γ−1
F
A
2y(1 + 2 y)
(4.66)
où l’on a considéré qu’on avait en général A ∝ D2 dans le cas d’une section cylindrique. Ainsi,
lorsque le frottement est négligé, l’évolution de l’écoulement ne dépend plus que de la section
droite de la conduite, A. En particulier, lorsque celle-ci est constante, l’écoulement demeure
invariable. Cette approximation, peut introduire des erreurs significatives bien que le frottement
soit très faible, comme le montre la figure 4.5 où l’expérience est relative à une tuyère dont
le col est long d’environ 10 diamètres. L’écoulement sans frottement est donc réversible. La
topologie des solutions est toutefois analogue à celles de l’écoulement avec frottement (figure
4.8) dont elle n’est qu’un cas particulier. Le point critique est maintenant situé exactement au
col (F 0 (x∗ ) = 0) et la vitesse du fluide y égale la vitesse du son a.
L’intégration de (4.66) entre 1 et y d’une part et entre A et A∗ d’autre part fournit la
relation entre l’aire de la section droite et le nombre de Mach local qui paramètre la solution
(calcul détaillé à l’annexe .3),
1
A
=
∗
A
M
2
γ+1
γ+1
γ − 1 2 2(γ−1)
1+
M
2
(4.67)
Les autres propriétés de l’écoulement s’obtiennent à l’aide des autres équations de bilan
(annexe .3). En particulier, le bilan d’énergie totale (4.21) donne pour un gaz parfait,
h0 = h +
w2
T0
γ−1 2
⇔
=1+
M ,
2
T
2
(4.68)
où l’indice 0 se rapporte aux conditions amont (le repos, w = 0). On a vu que dans le cas de
l’écoulement isentropique, on pouvait substituer un des bilans par la relation isentropique (4.32).
On obtient alors,
γ
p0
γ − 1 2 γ−1
= 1+
M
(4.69)
p
2
ρ0
=
ρ
ρw = p0
r
γ−1 2
1+
M
2
γ
RT0 1
γ−1
(4.70)
M
1+
γ−1
2
2 M
γ+1
2(γ−1)
(4.71)
On trouvera des tables de ces fonctions dans des ouvrages de base comme ? ou bien ?.
Ces tables permettent une résolution rapide des problèmes d’écoulement isentropique de fluides
compressibles et notamment l’inversion des formules isentropiques. Ces formules permettent
également de définir les états critiques, c’est-à-dire dans tous les cas que nous venons de voir,
l’état de l’écoulement au point ou la vitesse du son est atteinte (M = 1). Ces valeurs ne
dépendent que de la nature du gaz.
T∗
2
=
≈ 0, 8333
T0
γ+1
(4.72)
96
BLOCAGE DE DÉBIT
p∗
=
p0
2
γ+1
ρ∗
=
ρ0
2
γ+1
γ
γ−1
≈ 0, 5283
(4.73)
≈ 0, 6339
(4.74)
1
γ−1
Finalement le débit masse étant constant dans toute la conduite, en régime permanent, on
peut en déduire le débit massique maximum (bloqué) par unité d’aire de conduite,
s
γ+1
γ−1
p0
p0
2
ρwmax = √
γ
≈ 0, 6847 √
(4.75)
γ
+
1
RT0
RT0
La figure 4.5 montre bien que la bifurcation des deux branches subsonique et supersonique
du profil de pression s’effectue aux alentours d’un rapport de pression de 0,5 environ, ce qui
est la valeur théoriquement prévue. La formule (4.75) permet d’estimer le débit critique dans
la tuyère de la figure 4.5. En se référant au tableau 4.1 et en se concentrant sur la première
expérience (60A10E00), on obtient l’estimation suivante pour une tuyère de 10 mm au col,
Ṁ = A∗ (ρw)max = 0, 6847
π × 0, 012 5, 967 105
√
= 0, 110 kg/s = 397 kg/h
4
287 × 295, 3
(4.76)
La valeur mesurée, 364 kg/h, est de 9 % environ inférieure à la valeur isentropique. D’autres
expériences dans des tuyères de même diamètre mais plus courtes (?) donnent des valeurs
plus proches de la prédiction isentropique ce qui permet d’attribuer la différence à l’effet du
frottement. Nous reviendrons plus loin sur l’analyse de cette expérience.
Finalement, l’équation (4.69) permet une approche plus fine qu’à l’introduction des conditions du champ d’application des écoulements critiques. En considérant à nouveau le problème
de la vidange du réservoir (figure 4.3), la formule (4.69) en exprime maintenant la solution
complète. En la développant par rapport à M , considéré comme un petit paramètre, on obtient,
p0 − p
γM 2
M2
=
1+
+ ... .
(4.77)
p
2
4
En introduisant la pression dynamique, on obtient
ρw2
M2
p0 − p =
1+
+ ...
2
4
(4.78)
où le premier terme représente l’effet d’accélération incompressible et le second, M 2 /4, représente
la correction au premier ordre des effets de compressibilité. Pour ne pas commettre d’erreur sur
la pression supérieure à 1%, il convient donc d’avoir,
M2
< 0, 01 ⇔ M < 0, 2
4
4.5
(4.79)
Chocs normaux
Un dernier aspect des écoulements compressibles doit encore être abordé, c’est la notion de
choc normal. Les écoulements compressibles peuvent, dans certaines conditions, basculer
très rapidement du régime supersonique au régime subsonique dans une zone de l’espace
extrêmement limitée. Au cours de ce phénomène, l’ensemble des paramètres varient rapidement. Ce phénomène est liée au passage d’une onde de compression, une onde choc, qui dans
certains dispositifs comme les tuyères peut devenir stationnaire. La vitesse de propagation des
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
97
ondes de chocs dépend des conditions amont et si les conditions sont telles qu’une onde de
choc se propageant de l’aval vers l’amont atteint la vitesse du fluide elle peut alors se stabiliser.
Ce phénomène s’observe dans la partie divergente des tuyères de faible angle de divergence.
Typiquement dans un choc fort, le rapport de la pression aval sur la pression amont peut être
d’un facteur 5 tandis que la vitesse peut être divisée d’un facteur 3.
Les états amont et aval du choc sont liés par des relations très simples, les relations de
Rankine Hugoniot, que l’on peut établir en appliquant à l’onde de choc, considérée comme une
discontinuité stationnaire, les bilans de masse, de quantité de mouvement et d’énergie totale.
On obtient simplement,
ρ1 w1 = ρ2 w2
(4.80)
p1 + ρ1 w12 = p2 + ρ2 w22
(4.81)
h1 +
w12
w2
= h2 + 2
2
2
(4.82)
où l’état 1 est relatif à l’amont du choc et l’état 2 est relatif à l’aval. Un traitement algébrique
simple, ?, p. 236, ?, p. 304 que l’on trouve aussi, bien sûr, dans les textes plus anciens comme
?? permet d’exprimer le rapport de grandeurs amont et aval en fonction des nombres de Mach
amont et aval qui paramètrent l’écoulement. Ces calculs sont rappelés à l’annexe .4. Puis la
résolution des équations de saut permet de trouver la relation entre les nombres de Mach amont
et aval,
M22 =
M12 + 2/(γ − 1)
2γM12 /(γ − 1) − 1
(4.83)
Les autres relations sont les suivantes,
1+
T2
=
T1
1+
γ−1
2
2 M1
γ−1
2
2 M2
p2
1 + γM12
=
p1
1 + γM22
(4.84)
(4.85)
L’utilisation de ces formules et d’autres que l’on obtient en éliminant le nombre de Mach
amont ou aval est facilité par l’usage de tables de choc qui évitent la résolution numérique des
équations de Rankine Hugoniot.
Le calcul des propriétés de l’écoulement au travers des chocs est simple mais n’explique
pas pour autant leur origine ni le détail de leur structure. On montre en particulier que le
Mach amont d’un choc doit être supersonique. Dans le cas contraire la variation d’entropie
au passage du choc serait négative. Un choc n’est pas un phénomène réversible. Sa structure
interne dépend de la viscosité et de la conductibilité thermique du gaz. Elle peut être décrite
simplement en résolvant les équations de bilan auxquelles on réintègre l’effet des contraintes
visqueuses normales et du flux de chaleur lié à la conduction longitudinale (?). On obtient un
problème différentiel d’ordre plus élevé que le problème que nous avons traité jusqu’ici. Il peut
être résolu par une approche asymptotique, comme les couches limites, en raison de la faiblesse
de leur épaisseur. Les conditions de Rankine Hugoniot apparaissent alors comme les conditions
de raccordement des solutions internes et externes (?).
98
BLOCAGE DE DÉBIT
L’ordre de grandeur de l’épaisseur d’un choc s’obtient simplement en considérant que dans
le bilan de quantité de mouvement, c’est l’échelle de longueur, h, pour laquelle le terme
d’accélération et de diffusion sont du même ordre de grandeur.
µ
d2 u
du
≈u
2
dz
dz
(4.86)
L’échelle de vitesse au travers du choc est la vitesse du son, a, ce qui donne la relation dimensionnelle,
µ
(4.87)
h≈
ρa
Pour l’air à la pression atmosphérique, cette épaisseur est de quelques dizaines de
nanomètres, c’est-à-dire du même ordre de grandeur que le libre parcours moyen des molécules
constituant le gaz (?, Chap. 1).
Les chocs sont liés à l’existence de la viscosité et de la conduction dans un gaz. Ces
phénomènes sont négligés dans le modèle initial (4.19), (4.20) et (4.21). C’est pourquoi le choc
n’est pas une solution stationnaire du système (4.33) et qu’il n’apparaı̂t que lorsque la nature
réelle du gaz est prise en compte. La position du choc se détermine une fois connue la branche
supersonique de la solution dans le divergent. ? discutent de façon accessible et approfondie ce
paradoxe pour des écoulements compressibles plus généraux comme les écoulements diphasiques.
4.6
Application des modèles à une expérience
Il est possible de déterminer numériquement la solution complète de l’écoulement dans la tuyère
présentée à la figure 4.5. Pour l’obtenir, il faut intégrer les équations stationnaires (4.47) ce qui
nécessite de connaı̂tre les conditions aux limites. Dans une expérience de ce type, les conditions
connues à l’amont sont la pression et la température. La vitesse amont est inconnue et deux
cas sont alors possibles. Soit l’écoulement est subsonique, il suffit alors, par une méthode de
tir de déterminer la vitesse amont qui permet d’atteindre la pression de sortie qui est connue.
Soit l’écoulement est critique et il faut alors déterminer la vitesse amont qui permet d’arriver
quelque part dans la tuyère à la vitesse du son. Dans la pratique, on procède par dichotomie.
Pour une vitesse amont inférieure à celle que l’on recherche, la solution est subsonique sur
l’ensemble de la tuyère, la valeur recherchée est donc plus forte. Pour une valeur plus forte que
la valeur recherchée, la vitesse du son est atteinte avant la sortie et selon le paramétrage de
la solution, le calcul s’arrête ou la solution rebrousse son chemin vers l’amont : l’écoulement
est impossible pour ces conditions amont. C’est la procédure PIF (possible, impossible flow )
développée par Vromann (?)
On peut également mettre en oeuvre la méthode proposée par ? qui détermine le point
critique et les deux branches de la solution. Cette procédure a été en particulier utilisée par
? qui l’avait développée pour le cas plus général des écoulements diphasiques. La figure 4.9
montre le résultat du calcul correspondant à la première expérience du tableau 4.1.
On observe clairement l’effet du frottement dans le col long de la tuyère. La pression n’y est
pas du tout uniforme. Le calcul reproduit correctement les expériences à l’exception de la zone
située à l’entrée du col. L’écoulement y décolle très probablement et ce phénomène ne peut pas
être décrit par un modèle monodimensionnel. Les deux branches de la solution sont présentées
sur la figure 4.9 et on observe clairement que l’expérience suit la branche supersonique de
l’écoulement.
On peut également interpréter cette expérience à l’aide des modèles analytiques présentés
plus haut. La théorie classique des conduites de section constante alimentées par un convergent
99
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
TUYERE DIPHASIQUE, MODELE : GOUTTES 2-C EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE
Iterations sur le debit de gaz, 375.758 < Mg < 375.758 kg/h pour P23 = ******** kPa
Calcul Ml =
.0kg/h
Mg = 375.8kg/h
Po = 596.7kPa
Tlo = 20.6C
Exper. Ml =
.0kg/h
Mg = 363.9kg/h
Po = 596.7kPa
Tlo = 20.6C Tgo= 22.1C
1
2
3
4 5 67 8 9 10 11
12
13 1415 16 17 18
19
20
21
22
23
Non dimensional pressure P/P0
1.0
0.75
0.5
0.25
0.0
0.0
100.0
200.0
300.0
400.0
Abscissa (mm)
Figure 4.9: Comparaison de l’intégration numérique des équations avec une expérience. Conditions détaillées
dans légende de la figure et résultats détaillés au tableau 4.2.
consiste à considérer l’écoulement isentropique dans la partie convergente et adiabatique avec
frottement dans la portion à section constante. L’entrée du col est placé au voisinage de la
section marquée 6 sur la figure 4.9. La section d’entrée de la conduite étant bien plus grande
que la section du col, on peut considérer qu’il y règne la pression du réservoir.
La section critique se trouve environ à la fin du col de longueur, L, de 100 mm et d’un
diamètre, D, de 10 mm . On peut donc calculer la valeur du nombre de Mach à l’entrée du col qui
rend l’écoulement critique à la fin du col. En choisissant une valeur du coefficient de frottement
proche de la valeur recommandée (f = 0.003) et en utilisant la formule de la longueur maximale
en écoulement de Fanno (4.52), on détermine la valeur du nombre de Mach. Il faut utiliser des
valeurs tabulées de la fonction ou résoudre numériquement l’équation par rapport à M . Pour les
valeurs considérées ici on trouve M6 = 0, 756. Ensuite on détermine le rapport de pression critique par la formule du rapport de pression pour l’écoulement de Fanno et on obtient pp∗6 = 1, 373.
On peut ensuite déterminer la pression correspondante pour l’écoulement isentropique en
appliquant la formule du rapport de pression isentropique (4.69). On obtient ici pp06 = 1, 460.
On peut déterminer ensuite le débit dans la tuyère en utilisant la formule du débit isentropique
(4.71) et on obtient pour une pression amont, p0 = 5, 967 bar et une température amont de
22,1o C, un débit de 374,6 kg/h. Les rapports de pression permettent ensuite de déterminer
l’ensemble des pressions, p6 et p∗ . On peut reproduire ce calcul pour différentes valeurs du
coefficient de frottement et comparer les valeurs obtenues à celles de l’expérience. On observe
en analysant le tableau 4.3 que la pression à l’entrée du col est bien reproduite pour une valeur
du frottement f ≈ 0, 004 tandis que le débit est mieux représenté par f ≈ 0, 005. Ces valeurs
sont un peu fortes et compensent la non prise en compte de la dissipation supplémentaire liée à
la singularité, que représente l’entrée du col, par les modèles monodimensionnels.
100
BLOCAGE DE DÉBIT
Position
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
z
mm
0
50
90
122
131
136
140
149
158
168
177
200
223
232
240
250
260
270
285
300
340
380
430
A
mm2
1661,9
1661,9
1661,9
313,4
99,9
78,5
78,5
78,5
78,5
78,5
78,5
78,5
78,5
81,3
105,2
139,4
178,3
222,1
296,7
382,1
662,7
1020,1
1574,7
wG
m/s
9
9
9
48,1
168,9
251,4
252,6
255,2
258,1
261,6
265
276
294,7
367,6
464,1
517,1
549,9
572,8
597,2
614,4
642,6
658,5
670,4
T
oC
22,1
22,1
22,1
21
7,9
-9,3
-9,6
-10,2
-11
-11,9
-12,8
-15,7
-21
-45
-84,9
-110,8
-128,1
-141
-155,1
-165,5
-183,1
-193,4
-201,3
P
kPa
596,7
596,7
596,7
588,9
502,5
402,4
400,2
395
389,5
383
376,7
357,6
328
235
118,8
69,4
45,5
32
20,5
14,1
6,5
3,7
2,1
Pe xp
kPa
596,7
596,6
596,6
591
433,5
416,5
413
401,4
403,1
386,2
380,2
357,4
326,8
207,7
118,2
72,9
46,2
32,5
48,8
53,2
73,3
86,3
97,2
Tableau 4.2: Résultats du calcul numérique aux différentes prises de pression pour le calcul présenté à la figure
4.9 pour la branche supersonique.
p2
p0
∗
p
p2
0,000 1,000 1,000 1,893
0,001 0,844 1,214 1,593
0,002 0,792 1,304 1,512
0,003 0,756 1,373 1,460
0,004 0,727 1,432 1,422
0,005 0,704 1,483 1,392
0,006 0,684 1,530 1,368
Valeurs expérimentales
f
M2
p6
(bar)
3,152
3,746
3,946
4,087
4,196
4,287
4,362
4,165
p∗
(bar)
3,152
3,085
3,026
2,977
2,930
2,891
2,851
m
kg/h
396,8
388,1
380,9
374,6
368,6
363,6
358,9
363,9
Tableau 4.3: Evolution du profil de pression dans la tuyère en fonction de la valeur coefficient de frottement
pariétal
On peut déterminer le frottement moyen dans le col en considérant les valeurs de la pression
du réservoir et à l’entrée du col mesurées dans l’expérience (p0 =5,967 bar et p6 =4,165). On
détermine alors le nombre de Mach à l’entrée du col par la formule du rapport de pression
isentropique (4.69). On obtient ainsi M6 = 0, 735 qui est une valeur proche de celle trouvée
précédemment. La formule de la longueur maximum de Fanno (4.52) permet ensuite de calculer
le frottement. On obtient,
4f L
= 0, 148 =⇒ f = 0, 0037.
D
(4.88)
Cette valeur est cohérente avec la valeur restituant le débit dans la tuyère avec la première
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
101
méthode de calcul. Ce sont toutefois des valeurs un peu élevées en comparaison à celles prédites
par la corrélation de Blasius qui pour de l’air à une vitesse de 250 m/s pour les conditions de la
section 6 donnerait,
f = 0, 079Re−0,25 = 0, 0027.
(4.89)
Il faut toutefois mentionner que les résultats sont moins sensibles à la valeur du frottement aux
alentours d’une valeur de 0,004 que pour des valeurs plus faibles. Le tableau 4.3 le montre
clairement. La comparaison entre le modèle numérique et l’expérience montre également que
la région à l’entrée du col est imparfaitement décrite ce qui suggère encore l’existence d’effets
bidimensionnels dans cette zone.
102
BLOCAGE DE DÉBIT
.1
Etablissement de l’équation d’évolution
L’objet de cette annexe est d’établir l’équation d’évolution (4.48) qui permet l’analyse
géométrique des écoulements compressibles en conduite.
Les équations d’évolution de
l’écoulement sont le bilan de masse, de quantité de mouvement et d’énergie totale. Elles sont
répétées ici pour faciliter l’établissement. On a,
d
Aρv = 0,
dz
dv dp
41
ρv
+
=−
f ρv 2 ,
dz dz
D
2
d
1
h + v 2 = 0.
dz
2
(90)
(91)
(92)
Les gaz sont parfaits et on a également,
p = RρT,
(93)
γ
h = CP T = R
.
γ−1
(94)
Il s’agit délimiter toutes les variables au profit du nombre de Mach défini par,
v
,
a
(95)
γRT .
(96)
M=
où la vitesse du son est donnée par,
a=
.1.1
p
v fonction de M
L’enthalpie totale est constante (92), elle est donnée par,
1
1
Rγ
1
a2
1
h0 = h + v 2 = CP T + v 2 =
T + v2 =
+ v2.
2
2
γ−1
2
γ−1 2
(97)
En différenciant cette dernière relation on obtient,
da2
1
= − dv 2 .
γ−1
2
(98)
En différenciant logarithmiquement le carré du nombre de Mach (95), on obtient,
dM 2
dv 2 da2
=
− 2 .
M2
v2
a
(99)
En utilisant la relation précédente (98) pour éliminer la vitesse du son, on obtient la relation
entre v et M ,
dM 2
1γ−1
dv 2
γ−1 2
2 1
= dv
+
= 2 1+
M ,
(100)
M2
v 2 2 a2
v
2
d’où l’on obtient la relation cherchée,
"
#
γ−1
dv 2
dM 2
1
2
=
dM 2
=
−
γ−1
2
2
γ−1
v2
M
2
2
1+ 2 M
M 1+ 2 M
(101)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
.1.2
103
T et a fonction de M
En divisant la différentielle de l’enthalpie totale (98) par a2 , on obtient,
da2
γ − 1 v 2 dv 2
γ − 1 2 dv 2
=
−
=
−
M 2 ,
a2
2 a2 v 2
2
v
dont on élimine la vitesse par (101),
.1.3
(102)
da2
dT
γ−1
dM 2
=
=
−
2
a2
T
2 1 + γ−1
2 M
(103)
dρ2
dv 2 dA2
=
−
− 2 .
ρ2
v2
A
(104)
ρ fonction de M
Le bilan de masse (90) donne,
En utilisant l’expression de dv 2 en fonction de dM 2 trouvée précédemment (101), on obtient,
#
"
γ−1
dρ2
1
dA2
2
2
=
−
−
dM
−
(105)
2
ρ2
M 2 1 + γ−1
A2
2 M
.1.4
p fonction de M
La loi des gaz parfaits donne,
dp2
dρ2 dT 2
=
+ 2 .
p2
ρ2
T
En utilisant (105) et (103) on obtient,
"
#
γ−1
dp2
1
dA2
2
2
=
−
+
dM
−
γ−1
p2
M2 1 + 2 M2
A2
.1.5
(106)
(107)
Equation d’évolution
L’équation d’évolution se déduit de la dernière équation non encore utilisée : le bilan de quantité
de mouvement. En divisant l’équation (91) par ρv 2 , on obtient,
dp
1 dv 2
p dp
1 dv 2
a2 dp2
2f
1 dv 2
+ 2 =
+ 2
=
+
= − dz,
2
2
2
2 v
ρv
2 v
ρv p
2 v
2γv 2 p2
D
(108)
On élimine dp et dv par (107) et (101) et on obtient,
dM 2
M2 − 1
1 dA2
4f
−
= − dz.
γ−1
2
2
2
4
γM A
D
M (1 + 2 M ) γ
(109)
Or, A est fonction de z, on peut donc éliminer A par,
dA2
dA
D0 (z)
=
2
=
4
dz,
A2
A
D
(110)
M2 − 1
4 D0 − γf M 2
2
dM
=
dz,
2
D
M2
M 4 (1 + γ−1
2 M )
(111)
d’où l’on déduit,
ce qui en définitive donne l’équation cherchée,
2
2
0
4M 2 (1 + γ−1
dM 2
2 M )(γf M − D )
=
dz
D(1 − M 2 )
(112)
104
.2
BLOCAGE DE DÉBIT
Ecoulement de Fanno
L’écoulement de Fanno représente une écoulement dans une conduite à section constante en
présence de frottement. Les relations établies précédemment se simplifient car,
dA = 0, D0 = 0.
(113)
Toutes les relations établies à l’annexe .1 s’intègrent analytiquement. La vitesse s’obtient en
intégrant (101) entre un point quelconque et une référence simple qui sera M = 1. A ce point
la vitesse est égale à la vitesse du son locale.
#
Z v 2 Z M"
γ−1
dv
1
2
=
−
dM 2 ,
(114)
γ−1
2
2
2
v
M
∗
1+ 2 M
v
1
γ−1 2
γ+1
ln(v 2 ) − ln(v ∗2 ) = ln(M 2 ) − ln(1 +
M ) + ln(
),
(115)
2
2
d’où on obtient,
s
v
γ+1
=M
(116)
2)
v∗
2(1 + γ−1
M
2
La relation entre T et M s’obtient en intégrant (103),
Z T
Z M
dT
γ−1
dM 2
=
−
,
2
2 1 + γ−1
T∗ T
1
2 M
γ−1 2
γ+1
ln(T ) − ln(T ∗ ) = − ln(1 +
M ) + ln(
),
2
2
ce qui donne,
T
γ+1
=
∗
2
T
2(1 + γ−1
2 M )
La relation entre ρ et M s’obtient en intégrant (105),
#
Z A
Z ρ 2 Z M "
γ−1
dA2
dρ
1
2
2
dM
−
,
=
−
−
2
2
2
M 2 1 + γ−1
A∗ A
ρ∗ ρ
1
2 M
ln(ρ2 ) − ln(ρ∗2 ) = − ln(M 2 ) + ln(1 +
γ+1
γ−1 2
M ) − ln(
) − ln(A2 ) + ln(A∗2 ),
2
2
(117)
(118)
(119)
(120)
(121)
ce qui donne dans le cas général,
A∗
1
ρ
=
ρ∗
A M
s
2
2(1 + γ−1
2 M )
,
γ+1
(122)
où l’on note qu’évidemment Aρv = A∗ ρ∗ v ∗ . Dans le cas de l’écoulement de Fanno, A est constant
et on a donc,
s
2
2(1 + γ−1
ρ
1
2 M )
=
(123)
γ+1
ρ∗
M
Finalement, on obtient p en intégrant (107),
#
Z p 2 Z M"
Z A
γ−1
dp
1
dA2
2
2
=
−
−
dM
−
,
2
2
2
M 2 1 + γ−1
p∗ p
1
A∗ A
2 M
ln(p2 ) − ln(p∗2 ) = − ln(M 2 ) − ln(1 +
γ−1 2
γ+1
M ) + ln(
) − ln(A2 ) + ln(A∗2 ),
2
2
(124)
(125)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
105
d’où on déduit,
p
A∗ 1
=
p∗
A M
s
γ+1
,
2
2(1 + γ−1
2 M )
(126)
A étant constant pour l’écoulement de Fanno, on obtient,
s
p
1
γ+1
=
2
p∗
M 2(1 + γ−1
2 M )
(127)
L’équation d’évolution pour l’équation de Fanno s’écrit à partir de (109)
1 − M2
4γf
dM 2 =
dz.
γ−1
4
2
D
M (1 + 2 M )
En intégrant on obtient,
#
Z M"
Z z
γ+1 1
1
γ2 − 1
1
4γf
2
−
+ 2+
dM =
dz,
γ−1
2
2 M
M
4
D
1+ 2 M
M0
0
(128)
(129)
où M0 est le nombre de Mach à l’entrée. En effectuant l’intégration, on obtient,
γ−1
4f z
γ + 1 1 + 2 M2
1
= G(M ) − G(M0 ), G(M ) =
ln
−
.
2
D
2γ
M
γM 2
(130)
On déduit de ce résultat la longueur maximale de l’écoulement de Fanno, pour un nombre
de Mach d’entrée M ,
4f z ∗
1 − M2 γ + 1
(γ + 1)M 2
= G(1) − G(M ) =
+
ln
2
D
γM 2
2γ
2(1 + γ−1
2 M )
.3
(131)
Ecoulement isentropique à section variable
En absence de frottement et pour un écoulement à section variable, l’équation d’évolution
différentielle (109) se simplifie en,
#
"
γ+1
2
dA
1
M2 − 1
2
dM 2 = 2 = − 2 +
dM 2 .
(132)
γ−1
2)
2
A
M
M 2 (1 + γ−1
M
1
+
M
2
2
L’intégration de cette équation donne,
γ+1
γ−1 2
γ+1 γ+1
2
− ln(M ) +
ln 1 +
M
−
ln
= ln(A2 ) − ln(A∗2 ),
γ−1
2
γ−1
2
(133)
d’où l’on déduit,
A
1
=
∗
A
M
"
1+
γ−1
2
2 M
γ+1
2
#
γ+1
2(γ−1)
(134)
La température et la vitesse sont toujours données par (101) et (103) respectivement puisque
ces expression ne sont établies qu’à partir de la conservation de l’enthalpie totale. En intégrant
ces expression entre les conditions de réservoir (v = 0) et la section courante on a,
Z T
Z M
dT
γ−1
dM 2
,
(135)
=
−
2
2 1 + γ−1
T0 T
0
2 M
γ−1 2
ln(T ) − ln(T0 ) = − ln(1 +
M ),
(136)
2
106
BLOCAGE DE DÉBIT
ce qui donne,
T0
γ−1 2
=1+
M .
T
2
(137)
L’écoulement étant isentropique, on a directement,
p0
=
p
T0
T
ρ0
=
ρ
T0
T
γ
γ−1
γ
γ − 1 2 γ−1
= 1+
M
,
2
(138)
1
γ − 1 2 γ−1
= 1+
M
,
2
(139)
et,
1
γ−1
Pour obtenir le débit m = Aρv, on obtient d’après la définition du débit masse, en utilisant
la définition du nombre de Mach, la lois des gaz parfaits puis les relations isentropiques (137),
(133),
p
p
M γRT = Ap0
m = Aρv = A
RT
r
γ
p
M
RT0 p0
T0
T
1
2
,
(140)
d’où on obtient,
m
ρv =
= p0
A
.4
r
γ
RT0 M
1+
γ−1
2
2 M
(141)
γ+1
2(γ−1)
Conditions de choc
Pour un choc stationnaire, le bilan de masse de quantité de mouvement et d’énergie donnent,
ρ1 w1 = ρ2 w2
p1 +
ρ1 w12
w12
h1 +
2
= p2 +
= h2 +
(142)
ρ2 w22
w22
(143)
(144)
2
Les états amont et aval du choc doivent satisfaire l’ensemble de ces trois relations. Pour une
gaz parfait, h = CP T , le bilan d’énergie est réécrit sous la forme,
1+
T2
=
T1
1+
v12
2CP T1
v22
2CP T2
=
1+
1+
γ−1
2
2 M1
,
γ−1
2
2 M2
(145)
La relation des gaz parfaits et le bilan de masse donnent,
T2
p 2 ρ1
p2 v2
p2 M2 a2
p2 M2
=
=
=
=
T1
p 1 ρ2
p1 v1
p1 M1 a1
p1 M1
r
T2
,
T1
(146)
d’où on titre le rapport des pressions,
p2
M1
=
p1
M2
r
v
u
T2
M1 u
t1 +
=
T1
M2 1 +
γ−1
2
2 M1
.
γ−1
2
2 M2
(147)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
107
Le rapport de pression peut également être obtenu à partir du bilan de quantité de mouvement,
1+
p2
=
p1
1+
ρ1 v12
p1
ρ2 v22
p2
=
1 + γM12
.
1 + γM22
(148)
Les deux états doivent satisfaire simultanément les trois équations de bilan c’est-à-dire (147)
et (148). Ainsi on doit avoir,
q
q
v
u
γ−1
γ−1
2
2
γ−1
2
2
M
1
+
M
M
u
1
2 1 + 2 M2
M1 t 1 + 2 M 2
1 + γM1
1
2
=
=⇒
=
.
(149)
2
M2 1 + γ−1
1 + γM22
1 + γM12
1 + γM22
2 M1
On élève au carré et en regroupant les termes on obtient,
γ−1 4
γ−1
4
2
− M22 (1 + γM14 ) + M12 +
M1 = 0,
M2 γM1 −
2
2
(150)
qui comporte naturellement M1 = M2 comme racine évidente, l’autre racine est donc,
M22 =
.5
γ−1
2
2 M1
γM12 − γ−1
2
1+
(151)
Formulaire d’écoulements monophasiques
Bilan de masse
Z
d
dt
ρ dV = 0
(152)
ρv dV = Fv + Fs + · · ·
(153)
Vm (t)
Bilan de quantité de mouvement
Z
d
dt
Vm (t)
Premier principe, bilan d’énergie totale
Z
d
1
ρ e + v 2 dV = Ẇ + Q̇
dt
2
(154)
Vm (t)
Sa(t)/ f(x,y,z)=0
n
va
Va(t)
M(u,v)
Figure 10: Schéma du domaine pour la règle de Leibniz et le théorème de Gauss.
Vitesse géométrique (première forme)
∂M vA =
∂t u,v
(155)
108
BLOCAGE DE DÉBIT
Vitesse géométrique (deuxième forme)
vA · n = −
∂f
∂t
(156)
|∇f |
Règle de Leibniz
Z
d
dt
Z
f dV =
Va (t)
Z
∂f
dV +
∂t
Va (t)
f va · n dA
(157)
Aa (t)
va
n
dV=n.va(t1-t)dA
Sa(t)
Va(t)
Sa(t1)
Figure 11: Schéma d’un volume de contrôle pour la règle de Leibniz
Etablissement de la règle de Leibniz
d
dt
Z
= lim
t1 →t t1
1 

−t
Z
f (t1 ) dV −
V (t1 )
f (t1 ) dV −
V (t1 )
Z
f (t) dV +
V (t1 )
= lim
Z
1 

t1 →t t1 − t
f dV = lim
Va (t)


Z
t1 →t
V (t)
=
V (t)
Z
f (t) dV −
Z


f (t) dV 

(158)

f (t) dV 
(159)
f (t) dV
(160)
f (t)vA · n(t1 − t) dA
(161)
V (t1 )
V (t)
f (t1 ) − f (t)
1
dV + lim
t1 →t t1 − t
t1 − t
Z
Z
Z
V (t1 )\V (t)
1
∂f
dV + lim
t1 →t t1 − t
∂t
Z
A(t)
V (t)
Théorème de Gauss
Z
Z
∇ B dV =
Va (t)
B · n dA
(162)
Aa (t)
Volume matériel
vA · n = vf luide · n
(163)
Etablissement du bilan de masse
d
dt
Z
ρ dV = 0
(164)
Z
(165)
Vm (t)
Z
∂ρ
dV +
∂t
Vm (t)
Z
Vm (t)
∂ρ
dV +
∂t
Z
Vm (t)
∇ ρv dV =
ρv · n dA = 0
A(t)
Z
Vm (t)
∂ρ
+ ∇ ρv
∂t
dV = 0, ∀Vm (t)
(166)
109
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Bilan de masse local
∂ρ
+ ∇ ρv = 0
∂t
Bilan de quantité de mouvement global
Z
Z
d
ρv dV =
dt
Vm (t)
(167)
ρf dV +
Vm (t)
Z
T · n dA
(168)
A(t)
Bilan de quantité de mouvement local
∂ρv
+ ∇ (ρv ⊗ v) = ρf + ∇ T
∂t
Bilan d’énergie totale global
Z
Z
d
1
ρ e + v 2 dV =
dt
2
Vm (t)
ρf · v dV +
Vm (t)
Z
(169)
v · T · n dA −
A(t)
Z
q · n dA
(170)
A(t)
Bilan d’énergie local
∂
1
1
ρ e + v 2 + ∇ ρv e + v 2 = ρf · v + ∇ (T · v) − ∇ q
∂t
2
2
(171)
z
nC
A(z)
C(z)
n
Figure 12: Schéma pour les formes limites du théorème de Gauss et de la règle de Leibniz
Formes limites de la règle de Leibniz
Z
Z
d
f dA =
dt
A(z,t)
∂f
dA +
∂t
A(z,t)
Forme limite du théorème de Gauss
Z
Z
∂
∇ B dA =
∂z
A(z,t)
Z
f vA · n
dC
n · nC
(172)
C(z,t)
Bz dA +
A(z,t)
Z
B·n
dC
n · nC
(173)
C(z,t)
Moyenne dans la section
A<
| f>
| 2=
Z
A
f dA
(174)
110
BLOCAGE DE DÉBIT
Bilan de masse moyenné dans la section
Z ∂ρ
+ ∇ ρv dA = 0
∂t
(175)
A(z,t)
Z
d
dt
Z
ρ dA −
A(z,t)
dC
∂
ρvA · n
+
n · nC
∂z
C(z,t)
Z
ρvz dA +
A(z,t)
Z
ρv · n
dC
=0
n · nC
C(z,t)
∂
∂
A<
| ρ>
| 2+
A<
| ρvz >
| 2=0
∂t
∂z
(177)
Bilan de quantité de mouvement moyenné dans la section
Z Z
∂ρv
+ ∇ ρv ⊗ v dA =
(ρf + ∇ T) dA = 0
∂t
A(z,t)
Z
d
dt
ρvvz dA =
∇ pI dA =
Z
∂
ρf dA +
∂z
A
A(z,t)
Z
(178)
A(z,t)
Z
∂
ρv dA +
∂z
A(z,t)
(176)
Z
∂
∂z
A(z,t)
Z
Z
T · nz dA +
A
dC
n · nC
(179)
C(z,t)
T = −pI + V
Z
Z
dC
pI · nz dA +
pI · n
=
n · nC
A(z,t)
T·n
C(z,t)
(180)
∇p · I dA
(181)
A(z,t)
∂
∂
∂
A<
| ρv>
| 2+
A<
| ρvvz >
| 2 = A<
| ρf >
| 2 − A<
| ∇p>
| 2+
A<
| V · nz >
| 2 + C<
| V · n>
| C
∂t
∂z
∂z
(182)
∂
∂
∂p
∂
A<
| ρvz >
| 2+
A<
| ρvz2 >
| 2 = A<
| ρfz >
| 2 − A<
|
>
| 2+
A<
| nz · V · nz >
| 2 + C<
| n · V · nz >
| C
∂t
∂z
∂z
∂z
(183)
Bilan d’énergie moyenné dans la section
Z Z
∂
1
1
ρ e + v 2 + ∇ ρv e + v 2
dA =
∂t
2
2
A(z,t)
(ρf · v + ∇ (T · v) − ∇ q) dA = 0
A(z,t)
(184)
Z
d
dt
1
ρ e + v2
2
dA +
A(z,t)
Z
∂
ρf · v dA +
∂z
∂
∂z
1
ρvz e + v 2
2
dA =
A(z,t)
Z
∂
v · T · nz dA −
∂z
A
A
Z
Z
q · nz dA −
A
Z
q·n
dC
n · nC
(185)
C(z,t)
∂
1
∂
1
∂
A<
| ρ e + v2 >
| 2+
A<
| ρvz e + v 2 >
| 2 = A<
| ρf · v>
| 2−
A<
| pvz >
| 2
∂t
2
∂z
2
∂z
∂
∂
+ A<
| nz · V · v>
| 2−
A<
| qz >
| 2 − C<| q · n>
| C
(186)
∂z
∂z
p
h=e+
(187)
ρ
∂
1
∂
1
A<
| ρ e + v2 >
| 2+
A<
| ρvz h + v 2 >
| 2 = A<
| ρf · v>
| 2 − C<| q · n>
| C
(188)
∂t
2
∂z
2
Bilan de masse 1D
∂
∂
Aρ +
Aρv = 0
∂t
∂z
(189)
111
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Bilan de quantité de mouvement 1D
∂
∂
∂p
Aρv +
Aρv 2 = −A
− CτW
∂t
∂z
∂z
(190)
∂
1 2
∂
1 2
Aρ e + v +
Aρv h + v = CqW
∂t
2
∂z
2
(191)
Bilan d’énergie totale 1D
Bilan de masse 1D développé
∂ρ
∂v
∂ρ
ρv dA
+ρ
+v
=−
(192)
∂t
∂z
∂z
A dz
Bilan de quantité de mouvement 1D développé combiné au bilan de masse, [(190)v×(189)]/(Aρ)
∂v
1 ∂p C
∂v
+v
=−
− τW
∂t
∂z
ρ ∂z
A
(193)
Bilan d’énergie mécanique 1D, [v×(193)]
∂ 1 2
∂ 1 2
v ∂p Cv
v +v
v =−
−
τW
∂t 2
∂z 2
ρ ∂z
Aρ
(194)
Bilan d’énergie 1D combiné au bilan de masse, [(191)-(i + 12 v 2 )×(189)]/(Aρ)
∂
1
1 ∂p
∂
1
C
h + v2 −
+v
h + v2 =
qW
∂t
2
ρ ∂t
∂z
2
Aρ
(195)
Bilan d’enthalpie, [(195)-(194)]
∂h 1 ∂p
∂h v ∂p
Dh 1 Dp
Cv
C
−
+v
−
=
−
=
τW +
qW
∂t
ρ ∂t
∂z
ρ ∂z
Dt
ρ Dt
Aρ
Aρ
(196)
Dérivée convective
D
∂
∂
,
+v
Dt
∂t
∂z
(197)
1
T ds = dh − dp
ρ
(198)
Entropie
Bilan d’entropie
T
Ds
Cv
C
=
τW +
qW
Dt
Aρ
Aρ
(199)
Relations d’état gaz parfait
h = CP T =
γ p
1
=⇒ T ds =
γ−1 ρ
(γ − 1)ρ
dp −
γp
dρ
ρ
(200)
Bilan d’entropie en (p, ρ)
Dp γp Dρ
−
= (γ − 1)
Dt
ρ Dt
Cv
C
τW + q W
A
A
(201)
Système final
1
 0
 −γp
ρ


0 0

1 0  
 


0 1

∂ρ
∂t
∂v
∂t
∂p
∂t


v
 
 
0
+
 
−γpv

ρ
ρ
v
0
0
1
ρ
v
  ∂ρ
∂z
 
∂v
 

 
  ∂z
∂p
∂z


 
 
=
 
 

A0
−ρ
A
Pτ
−
Aρ
Pvτw
Pqw
(γ − 1)
+
A
A




,


(202)
112
.6
BLOCAGE DE DÉBIT
Pour en savoir plus
*** Le marque page est ici ***
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Annexe A
La règle de Leibniz et le théorème de Gauss
L’établissement des équations locales de la mécanique des fluides s’appuie sur deux théorèmes
mathématiques permettant d’une part, de transformer certaines intégrales de volumes en
intégrales de surface et, d’autre part, de dériver les intégrales dont le domaine d’intégration
évolue avec le temps. Cette annexe présente ces théorèmes et en propose une démonstration.
Les formes limites de ces règles adaptées à l’établissement des équations moyennées dans la
section ou sur un intervalle de temps sont également démontrées.
A.1
Flux et divergence
En suivant Aris (1962, p. 53), considérons le volume élémentaire parallélépipédique de diagonale
P Q représenté à la figure A.1. Les coordonnées du point P sont x1 , x2 , x3 dans le repère O1,
O2 ,O3 et le parallélépipède a pour dimensions selon chaque direction, dx1 , dx2 , dx3 . Soit d
la plus grande des trois dimensions du volume considéré. Le flux sortant d’un vecteur a sur le
parallélépipède de diagonale P Q a pour expression,
Z
n a dS,
(A.1)
S
où a est un vecteur quelconque, n est le vecteur unitaire normal à S et orienté vers l’extérieur.
Le flux (A.1) comporte une contribution nette par paire de faces parallèles du parallélépipède.
Considérons la contribution des faces orientées selon la direction O1 de vecteur de base e1 . Sur
chaque face de normale ±e1 , le vecteur a a pour valeur,
Face portant P, a(x1 , ξ2 , ξ3 )
(A.2)
Face portant Q, a(x1 + dx1 , ξ2 , ξ3 )
(A.3)
où l’on a,
x2 6 ξ2 6 x2 + dx2
x3 6 ξ3 6 x2 + dx3
(A.4)
La contribution des faces perpendiculaires à e1 a pour expression,
[a1 (x1 + dx1 , ξ2 , ξ3 ) − a1 (x1 , ξ2 , ξ3 )] dx2 dx3 ,
où en développant au premier ordre on obtient,
∂a1
2
dx1 − a1 (x1 , x2 , x3 ) + O(d ) dx2 dx3 .
a1 (x1 , x2 , x3 ) +
∂x1
(A.5)
(A.6)
En conséquence, cette contribution vaut, au premier ordre en d,
∂a1
dx1 dx2 dx3 + O(d4 ),
∂x1
(A.7)
114
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
!
Q
P
O
Figure A.1: Repère et volume de contrôle élémentaire pour l’interprétation de la relation entre flux d’un vecteur
et sa divergence. Le point P a pour coordonnées (x1 , x2 , x3 ), le point Q a pour coordonnées (x1 + dx1 , x2 + dx2 ,
x3 + dx3 ).
si bien qu’en sommant cette contribution et celle des deux autres paires de faces et, en notant
que l’élément de volume, dV = dx1 dx2 dx3 , on obtient,
Z
1
∂a1
∂a2
∂a3
n a dS =
+
+
+ O(d).
(A.8)
dV S
∂x1 ∂x2 ∂x3
En passant à la limite pour un volume infinitésimal, on obtient,
Z
1
lim
n a dS = ∇ a.
dV →0 dV S
(A.9)
L’interprétation géométrique de la divergence du vecteur a est donc le flux sortant du vecteur
a par unité de volume. En coordonnées cartésiennes et, en notation indicielle, on note la divergence d’un vecteur selon,
∇a=
∂a1
∂a2
∂a3
+
+
= ai,i
∂x1 ∂x2 ∂x3
(A.10)
où l’on somme implicitement sur les indices répétés (i = 1, 2, 3) et ou la virgule indique la
dérivation par rapport aux variables d’espace.
A.2
Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss est connu sous plusieurs noms comme le rappelle Aris (1962, p. 58) :
théorème de la divergence, théorème de Gauss-Ostrogradski. Selon cet auteur, son exposé le
plus connu serait dû à Green en 1828 dans son essai sur l’application de l’analyse mathématique
aux théories de l’électricité et du magnétisme. Il s’énonce pour tout vecteur a défini dans un
volume V , borné par une surface S et différentiable dans ce volume,
Z
∇ a dV =
V
Z
n a dS.
(A.11)
S
Aris (1962, p. 58) en propose deux démonstrations. Nous considérerons ici la première.
Découpons le volume V en une partition de volumes de dimensions quelconques et de taille
maximum, d,
V =
[
i
∆i , mes(∆i ) 6 d3 .
(A.12)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
115
L’intégrale de la divergence de a, s’écrit alors en raison de la relation entre divergence et flux
(A.8),
Z
XZ
XZ
∇ a dV =
∇ a dV =
n a dS + O(d4 ).
(A.13)
V
∆i
i
i
∂∆i
Puisque l’ensemble des ∆i forment une partition de V , chaque frontière de ces volumes,
∂∆i , appartient à deux volumes ∆i à l’exception de celles qui sont communes à S. Comme la
normale n est dirigée vers l’extérieur du volume ∆i , il est clair que les contributions des surfaces
communes à deux volumes ∆i se compensent exactement et que, seules contribuent à l’intégrale
de surface, les surfaces communes à S,
Z
XZ
X Z
n a dS =
n a dS =
n a dS
(A.14)
i
∂∆i
∂∆i ∈S
∂∆i
S
En passant à la limite, d → 0, on prouve le théorème de Gauss (A.11). On peut également
l’exprimer en explicitant les composantes de a,
Z
Z
∂
aj dV =
nj aj dS.
(A.15)
V ∂xj
S
Le théorème de Gauss est également valable pour tout tenseur M, il s’énonce,
Z
Z
∇ M dV =
n M dS,
V
(A.16)
S
qui est une égalité vectorielle(a) . En considérant la ième composante du vecteur n M,
[n M]i = nj Mji ,
et en lui appliquant (A.15), on a,
Z
V
∂
Mji dV =
∂xj
Z
nj Mji dS,
(A.17)
(A.18)
S
en notant que la ième composante du vecteur ∇ M est,
[∇ M]i =
∂
Mji ,
∂xj
(A.19)
on démontre le théorème de Gauss pour les tenseurs (A.16).
A.3
Règle de Leibniz
La règle de Leibniz est une généralisation en 3D du théorème de la dérivation sous le signe
somme d’une intégrale simple dépendante d’un paramètre (Candel, 1990),
Z b(λ)
Z b(λ)
d
∂f
f (x, λ) dx =
dx + b0 (λ)f (b) − a0 (λ)f (a).
(A.20)
dλ a(λ)
a(λ) ∂λ
La règle de Leibniz s’énonce, pour toute fonction f définie sur un volume V , limité par la
surface S où elle est suffisamment régulière,
Z
Z
Z
d
∂f
f dV =
dV +
f vS n dS
(A.21)
dt V (t)
V (t) ∂t
S(t)
(a)
Pour un vecteur, le sens du produit scalaire est sans importance. Pour un tenseur, le produit par n doit se
faire du coté où l’opérateur différentiel est appliqué. En mécanique, les tenseurs sont souvent symétriques et le
sens du produit est alors indifférent
116
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
où vS est la vitesse d’un point attaché à la surface S et n est la normale à S dirigée vers
l’extérieur de V . Lorsque le volume V et la surface S se déplace avec le fluide, on les qualifie
de matériels et, on les note respectivement respectivement, Vm , et Sm . Le système fermé de la
thermodynamique est un exemple de volume matériel. Le cas particulier de la règle de Leibniz
appliqué à un volume matériel s’appelle le théorème de transport de Reynolds (Aris, 1962, p.
84),
Z
Z
Z
d
∂f
f dV =
dV +
f v n dS
(A.22)
dt Vm (t)
Vm (t) ∂t
Sm (t)
où v est la vitesse du fluide. La démonstration de ces deux théorèmes est identique et est donnée
par Aris (1962, P. 85). Elle nécessite de définir le mouvement de tout point x de V à partir de
sa position à l’instant t = 0, que l’on appellera ξ,
e(ξ, t).
x=x
(A.23)
On supposera que la transformation (A.23) effectue à chaque instant une bijection de V0 , la
position initiale de V , sur V . On définit la vitesse de déplacement d’un point attaché à V ou à
S par,
dx
∂e
x
u=
=
.
(A.24)
dt
∂t ξ
Si le mouvement considéré est celui du fluide lui-même, on a alors u = v. Pour toute fonction
f (x, t), on peut changer de variables par la transformation (A.23) et définir,
fe(ξ, t) = f (e
x(ξ, t), t).
(A.25)
Par le théorème du changement de variables dans une intégrale triple (voir par exemple Aris,
1962, p. 50), on a la relation suivante,
Z
Z
f (x, t) dV =
fe(ξ, t)J dV0 ,
(A.26)
V (t)
V0
où J est le jacobien de la transformation (A.23). Le jacobien détermine la dilatation de l’élément
de volume dans la transformation et on a,
∂x ∂x ∂x
dV =
,
,
dξ1 dξ2 dξ3 = JdV0 ,
(A.27)
∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3
où (a, b, c) = a (b × c) est le produit mixte des trois vecteurs considérés. En dérivant (A.26)
par rapport au temps, en considérant que V0 ne dépend pas du temps, on obtient,
!
Z
Z
d
∂ Je
∂ fe
f (x, t) dV =
J +f
dV0 ,
(A.28)
dt V (t)
∂t
∂t
V0
où la dérivée partielle de fe par rapport au temps représente la dérivée de f calculée en suivant
le mouvement de V , qu’on appelle la dérivée convective de f , et que l’on note,
df
∂ fe
∂f ∂e
xi ∂f
∂f
=
=
+
=
+ u ∇f.
dt
∂t
∂xi ∂t
∂t
∂t
En introduisant la dérivée convective, on a
Z
Z d
df
dJ
f dV =
J +f
dV0
dt V (t)
dt
dt
V0
(A.29)
(A.30)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Le jacobien défini par (A.27) est le déterminant suivant,
∂x
1 ∂x1 ∂x1 ∂ξ1
∂ξ2
∂ξ3 ∂(x1 , x2 , x3 ) ∂x
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂x2 2
J=
= ∂ξ12 ∂x
= ijk
∂ξ
∂ξ
2
3
∂x3 ∂x3 ∂x3 ∂(ξ1 , ξ2 , ξ3 )
∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂ξ
∂ξ
∂ξ
1
2
117
(A.31)
3
où l’on a introduit la notation ijk ,
ijk


si les valeurs de deux indices sont identiques
0,
= +1, si ijk représente une permutation circulaire de 123


−1, si ijk représente une permutation circulaire de 321
(A.32)
Pour calculer la dérivée convective du jacobien, il faut déterminer la dérivée convective de
chacun de ces éléments,
∂ ∂e
xi
∂
∂e
xi
∂e
ui
d ∂xi
=
=
=
,
(A.33)
dt ∂ξj
∂t ∂ξj
∂ξj ∂t
∂ξj
puisque t et ξj sont des variables indépendantes pour x
ei . En considérant le changement de
variables (A.23) on a,
d ∂xi
∂
∂
∂
∂ui ∂xl
=
u
ei (ξ, t) =
u
ei (ξ(x, t), t) =
ui (x, t) =
dt ∂ξj
∂ξj
∂ξj
∂ξj
∂xl ∂ξj
(A.34)
où l’on rappelle que l’on somme sur l’indice répété, l, en l’occurrence. La dérivée convective du
jacobien est donnée par dérivation de (A.31),
dJ
d ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂x1 d ∂x2 ∂x3
∂x1 ∂x2 d ∂x3
= ijk
+ ijk
+ ijk
.
(A.35)
dt
dt ∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂ξi dt ∂ξj ∂ξk
∂ξi ∂ξj dt ∂ξk
Considérons le premier terme de la somme. En utilisant (A.34) et en développant la somme
sur l’indice l, on a,
d ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂u1 ∂xl ∂x2 ∂x3
ijk
= ijk
=
dt ∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂xl ∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂u1
∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u1
∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂u1
∂x3 ∂x2 ∂x3
ijk
+
ijk
+
ijk
.
(A.36)
∂x1
∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂x2
∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂x3
∂ξi ∂ξj ∂ξk
Seul le premier terme de la somme est non nul, les deux derniers représentant des
déterminants comprenant deux lignes identiques. On a donc alors,
d ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂u1
ijk
=
J.
(A.37)
dt ∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂x1
En pratiquant de manière analogue sur les deux derniers termes de (A.35), on montre que,
dJ
∂u1 ∂u2 ∂u3
=
+
+
J = J∇ u.
(A.38)
dt
∂x1 ∂x2 ∂x3
En substituant dans (A.30) et en appliquant le changement de variable dans l’intégrale triple
(A.26) en sens inverse, on obtient finalement,
Z
Z Z
d
df
df
f dV =
J + f J∇ u dV0 =
+ f ∇ u dV.
(A.39)
dt V (t)
dt
dt
V0
V (t)
118
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
v Sd t
A (t+ d t)
n
n
V (t)
A (t)
Figure A.2: Schéma permettant l’interprétation géométrique de la règle de Leibniz.
En utilisant l’expression (A.29) de la dérivée convective, on obtient,
Z
Z
Z
d
∂f
∂f
f dV =
+ u ∇f + f ∇ u dV =
+ ∇ (f u) dV.
dt V (t)
∂t
∂t
V (t)
V (t)
(A.40)
En appliquant le théorème de Gauss (A.11), on démontre la règle de Leibniz (A.21),
Z
Z
Z
∂f
∂f
+ ∇ (f u) dV =
dV +
f n u dS.
(A.41)
∂t
V (t)
V (t) ∂t
S(t)
La règle de Leibniz s’interprète facilement de façon géométrique en considérant la définition
de la dérivée et en s’aidant de la figure A.2. En effet,


Z
Z
Z
d
1 

f dV = lim
f (x, t + dt) dV −
f (x, t) dV  .
(A.42)

dt→0 dt
dt
V (t)
V (t+dt)
V (t)
En pratiquant comme Candel (1990), en considérant la différence d’intégrales entre crochets,
on a,
Z
Z
f (x, t + dt) dV −
f (x, t) dV =
V (t+dt)
Z
f (x, t + dt) dV −
V (t+dt)
Z
f (x, t + dt) dV +
V (t)
Z
V (t)
f (x, t + dt) dV −
V (t)
V (t)
f (x, t) dV.
(A.43)
V (t)
En considérant les deux premières intégrales, on a
Z
Z
f (x, t + dt) dV −
f (x, t + dt) dV =
V (t+dt)
Z
Z
(f (x, t + dt)) dV.
(A.44)
V (t+dt)−V (t)
Sur le domaine V (t + dt) − V (t), (voir figure A.2) en introduisant, λ, la coordonnée dans la
direction du vecteur unitaire eλ , porté par vS et en considérant alors que l’élément de volume
dV = eλ n dλ dS, on a,
Z
Z
Z vs dt
(f (x, t + dt)) dV =
dS
f (x + λeλ , t + dt) eλ n dλ =
0
V (t+dt)−V (t)
Z
dS
Z
S(t)
1
f (x + µvS dt, t + dt) vS dt n dµ =
Z
0
dS
Z
1
(f (x, t) + O(dt)) vS dt n dµ =
0
S(t)
S(t)
Z
1
dµdt
Z
(f (x, t) + O(dt)) vS n dS = dt
Z
0
S(t)
S(t)
f (x, t)vS n dS + O(dt2 ) (A.45)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
119
où l’on a introduit µ = λvs dt et développé f (x+µvS dt, t+dt) à l’ordre 0 en dt. En conséquence,
Z
Z
Z
f (x, t + dt) dV −
f (x, t + dt) dV = dt f (x, t)vS n dS + O(dt2 ).
(A.46)
V (t+dt)
V (t)
S(t)
En considérant les deux dernières intégrales de (A.43), on obtient en développant au premier
ordre en temps,
Z
Z
f (x, t + dt) dV −
f (x, t) dV =
V (t)
Z V (t)
Z
∂f
∂f
2
f (x, t) +
(x, t) dt + O(dt ) − f (x, t) dV = dt
(x, t) dV + O(dt2 ).
∂t
∂t
V (t)
(A.47)
V (t)
En substituant (A.46) et (A.47) dans (A.43) on obtient finalement,
Z
Z
Z
Z
∂f
(x, t) dV + O(dt2 ),
f (x, t + dt) dV −
f (x, t) dV = dt f (x, t)vS n dS + dt
∂t
V (t+dt)
V (t)
S(t)
V (t)
(A.48)
d’où l’on déduit la règle de Leibniz (A.21) en passant à la limite dt → 0 dans (A.42)
A.4
Forme limite du théorème de Gauss pour une section de conduite
L’établissement des équations moyennées sur une section de conduite nécessite d’établir la
forme limite du théorème de Gauss sur une conduite de section non uniforme et variable
dans le temps S(z, t) (voir par exemple Delhaye et al. , 1981, Ch. 7). La démonstration
est donnée dans le cas plus général d’une conduite de forme arbitraire et de section circulaire animée de mouvements arbitraires par Coutris (1993). Coutris (1993) ne donne pas
explicitement la démonstration pour une section de forme arbitraire mais indique que l’identité
obtenue est également vraie pour une conduite de section quelconque. Ce point de détail est
vérifié par ?, annexe A et nous suivrons le cheminement de la démonstration de ce dernier auteur.
La forme limite du théorème de Gauss s’énonce pour un vecteur B arbitraire,
Z
∂
∇ B dS =
∂z
S(z,t)
Z
Bz dS +
S(z,t)
Z
C(z,t)
B nΣ
dl,
nC nΣ
(A.49)
où nΣ est la normale unitaire extérieure à la surface latérale de la conduite, Σ, nC est la
normale à la courbe plane C(z, t) qui est le périmètre de la section S(z, t) et l est l’abscisse
curviligne le long de C (voir figure A.3).
Considérons le tronçon de conduite V (z1 , z2 , t) représenté à la figure A.3 compris entre les
deux sections S(z1 , t) et S(z2 , t) et la surface latérale Σ où z1 et z2 sont choisis arbitrairement.
Appliquons le théorème de Gauss (A.11) au vecteur B sur le domaine V (z1 , z2 , t). On a,
Z
Z
Z
Z
∇ B dV =
B n1 dS +
B n2 dS +
B nΣ dS.
(A.50)
V (z1 ,z2 ,t)
S(z1 ,t)
S(z2 ,t)
Σ
Un point M ∈ S a pour coordonnées,
S : M = zez + xex + yey ,
(A.51)
120
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
e
n
n
e
C
5
5
C
z
1
x
e
y
V ( z 1,z 2,t)
z
z
z
2
S ( z 2,t)
S ( z 1,t)
Figure A.3: Tronçon de conduite considéré pour l’établissement des formes limites du théorème de Gauss et de
la règle de Leibniz pour une conduite rectiligne.
et en conséquence l’élément de volume de V et de surface sur S sont liés par la relation simple
suivante,
dV = dx dy dz = dS dz.
(A.52)
Le membre de gauche de (A.50) se transforme donc naturellement en une intégrale double selon,
!
Z
Z z2 Z
∇ B dV =
∇ B dS dz.
(A.53)
V (z1 ,z2 ,t)
z1
S(z,t)
Le reste de la démonstration consiste à transformer le membre de droite de (A.50) sous une
forme analogue à celle de l’équation (A.53) c’est-à-dire en une intégrale sur z d’une fonction
définie éventuellement par une intégrale fonction de z.
Ainsi les deux premiers termes du membre de droite de (A.50) se transforment aisément en
considérant que sur S1 et S2 on a respectivement,
B n1 = −B ez = −Bz ,
(A.54)
B n2 = B ez = Bz .
(A.55)
En conséquence, on a
Z
B n1 dS +
Z
S(z1 ,t)
−
Z
S(z1 ,t)
Bz dS +
Z
Bz dS =
S(z2 ,t)
S(z2 ,t)
Z
z2
z1
∂
∂z
Z
B n2 dS =
!
Bz dS
dz.
(A.56)
S(z,t)
Le dernier terme du membre de droite de (A.50) peut se transformer en utilisant le changement de variables dans les intégrales de flux (voir par exemple Aris, 1962, p.48)
Z
Z
∂P
∂P
B nΣ dS = B ×
du1 du2 ,
(A.57)
∂u1 ∂u2
Σ
où P est un point appartenant à la surface latérale de la conduite Σ et u1 , u2 représente un
paramétrage admissible de Σ. En choisissant l et z comme paramètres descriptifs de la surface
Σ, un point P de C ou de Σ a pour coordonnées,
S : P = zez + x(z, l, t)ex + y(z, l, t)ey ,
(A.58)
où l est l’abscisse curviligne le long de C et est orientée positivement de ex à ey . Le vecteur
unitaire tangent à C appartenant à S est donc,
∂P
= x0l ex + yl0 ey ,
∂l
(A.59)
121
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
et le vecteur normal à C appartenant à S et orienté vers l’extérieur est,
nC = yl0 ex − x0l ey
(A.60)
Le vecteur normal à Σ qui apparaı̂t dans (A.57) et orienté vers l’extérieur de Σ est donc,
∂P ∂P
×
,
∂l
∂z
NΣ =
(A.61)
et on a ,
∂P
= ez + x0z ex + yz0 ey ,
∂z
(A.62)
NΣ = yl0 ex − x0l ey + (x0l yz0 − x0z yl0 )ez .
(A.63)
ce qui conduit à,
En reportant ce résultat dans (A.57) on obtient,
Z
Z
Z z2 Z
0
0
0 0
0 0
B NΣ dl dz =
yl Bx − xl By + (xl yz − xz yl )Bz dl dz.
B nΣ dS =
Σ
Σ
z1
(A.64)
C
En considérant maintenant l’expression de nC (A.60) et celle de NΣ (A.63), on obtient,
02
nC · NΣ = (x02
l + yl ) = 1.
(A.65)
En considérant (A.64) et en remarquant que,
B · nΣ
B · NΣ
=
= yl0 Bx − x0l By + (x0l yz0 − x0z yl0 )Bz ,
nC · nΣ
nC · NΣ
(A.66)
on montre que,
Z
Σ
B nΣ dS =
Z
z2
z1
Z
C
B · nΣ
dl dz.
nC · nΣ
(A.67)
En substituant (A.53), (A.56) et (A.67) dans le théorème de Gauss appliqué au volume
V (z1 , z2 , t) (A.50), on montre que quelque soit le choix de z1 et z2 ,
!
!
Z z2 Z
Z z2
Z
Z z 2 Z
B · nΣ
∂
Bz dS dz +
∇ B dS dz =
dl dz, (A.68)
∂z S(z,t)
z1
S(z,t)
z1
z1
C nC · nΣ
ce qui démontre la forme limite du théorème de Gauss pour une section de conduite de forme
arbitraire (A.49).
A.5
Forme limite de la règle de Leibniz pour une section de conduite
L’établissement des équations moyennées sur une section de conduite nécessite d’établir la
forme limite de la règle de Leibniz pour une conduite de section non uniforme et variable dans
le temps S(z, t) (voir par exemple Delhaye et al. , 1981, Ch. 7). La démonstration est donnée
dans le cas plus général d’une conduite de forme arbitraire et de section circulaire animée de
mouvements arbitraires par Coutris (1993). Coutris (1993) indique que la démonstration repose
sur les mêmes étapes que la forme limite du théorème de Gauss. Nous suivrons le cheminement
de la démonstration de ce dernier auteur.
122
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
La forme limite de la règle de Leibniz s’énonce pour une fonction f arbitraire,
Z
Z
Z
d
∂f
f vΣ nΣ
f dS =
dS +
dl
dt S(z,t)
S(z,t) ∂t
C(z,t) nC nΣ
(A.69)
où vΣ est la vitesse d’un point attaché à la surface latérale Σ et les autres symboles ont la même
signification que pour la forme limite du théorème de Gauss (A.49). La démonstration débute
par l’application de la règle de Leibniz (A.21) sur le tronçon de conduite V (z1 , z2 , t) représenté
à la figure A.3,
Z
Z
Z
d
∂f
f dV =
dV +
f vΣ nΣ dS,
(A.70)
dt V (z1 ,z2 ,t)
V (z1 ,z2 ,t) ∂t
Σ
où on a remarqué que les surfaces S(z1 , t) et S(z2 , t) ne contribuent pas puisqu’elles sont fixes.
En considérant que l’élément de volume de V est toujours lié à l’élément de surface de S par
(A.52), on a pou le membre de gauche de (A.70),
!
!
Z
Z
Z
Z z2
Z
d
d z2
d
f dV =
f dS dz =
f ds dz
(A.71)
dt V (z1 ,z2 ,t)
dt z1
dt S(z,t)
S(z,t)
z1
puisque z1 et z2 sont fixés. De même pour le premier terme du membre de droite de (A.70), on
a,
!
Z z2 Z
Z
∂f
∂f
dV =
dS dz.
(A.72)
z1
S(z,t) ∂t
V (z1 ,z2 ,t) ∂t
Un point attaché à la surface latérale Σ a une vitesse de déplacement vΣ que l’on obtient à
partir du paramétrage de Σ donné par (A.58),
∂P
vΣ =
= x0t ex + yt0 ey ,
(A.73)
∂t z,l
En conséquence, en considérant l’expression de la normale à Σ, NΣ , donnée par (A.63), on
obtient,
vΣ NΣ = x0t yl0 − yt0 x0l ,
(A.74)
et en conséquence en utilisant la règle du changement de variable dans les intégrales de flux
(A.57) on obtient d’une façon analogue à l’équation (A.64),
Z
Z
Z z2 Z
0 0
0 0
vΣ nΣ dS =
vΣ NΣ dl dz =
xt yl − yt xl dl dz.
(A.75)
Σ
Σ
z1
C
Comme on a encore,
vΣ · nΣ
vΣ · NΣ
=
= x0t yl0 − yt0 x0l ,
nC · nΣ
nC · NΣ
(A.76)
on montre que,
Z
Σ
f vΣ nΣ dS =
Z
z2
z1
Z
C
f vΣ · nΣ
dl dz.
nC · nΣ
(A.77)
Ainsi en substituant (A.71), (A.72) et (A.77) dans (A.70), on montre que quelque soit le
choix de z1 et z2 on a,
!
!
Z z2
Z
Z z2 Z
Z z 2 Z
d
∂f
f vΣ · nΣ
f ds dz =
dS dz +
dl dz,
(A.78)
dt S(z,t)
z1
z1
S(z,t) ∂t
z1
C nC · nΣ
ce qui démontre la forme limite de la règle de Leibniz (A.69).
123
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
[T k]
fk
+
+
+
+
+
J
t
t1
t-T /2
t2k
t2k+
t2n
1
t+ T /2
T
Figure A.4: Représentation d’une fonction définie sur un intervalle de temps. T est le temps d’intégration de
la fonction f (x, t), [T ] est l’intervalle de temps de largeur T centré sur le temps de prise de moyenne, t, [Tk ] est
l’ensemble des intervalles de temps où la phase k est présente au point considéré et on note t2k les instants où le
point considéré entre dans la phase k et t2k+1 les instants où il en sort.
A.6
Forme limite de la règle de Leibniz pour des fonctions continues par
intervalles de temps
L’établissement des équations moyennées sur un intervalle de temps T , nécessite d’établir la
forme limite de la règle de Leibniz pour des fonctions définies sur un ensemble d’intervalles de
temps. Ce paragraphe reproduit la démonstration donnée par Delhaye & Achard (1976). La
forme limite considérée s’énonce pour toute fonction f continue et dérivable sur un ensemble
d’intervalles de temps par,
Z
[Tk ]
∂f
∂
dt =
∂t
∂t
Z
f dt −
[Tk ]
X
disc.∈[T ]
f
vi nk
|vi nk |
(A.79)
où T est le temps d’intégration d’une fonction dépendant du temps, [Tk ] est l’ensemble des
intervalles de temps où la phase k est présente au point considéré et la sommation est relative
à tous les instants appartenant à [T ] où le point considéré entre ou sort de la phase k.
La démonstration de cette identité débute par l’analyse du membre de gauche. On commence
par supposer que la fonction est définie au début et à la fin de l’intervalle d’intégration. En
s’aidant des notations définies dans la légende de la figure A.4, on observe que,
Z
[Tk ]
∂f
dt =
∂t
Z
t1
t−T /2
∂f
dt + · · ·
∂t
Z
t2k+1
t2k
∂f
dt + · · · +
∂t
Z
t+T /2
t2n
∂f
dt.
∂t
Chaque contribution à la somme du membre de gauche s’intègre pour donner,
Z
∂f
dt = f (t1 ) − f (t − T /2) + · · · f (t2k+1 ) − f (t2k ) + · · · + f (t + T /2) − f (t2n ).
[Tk ] ∂t
(A.80)
(A.81)
Lorsque le point considéré entre dans la phase k à l’instant t2k l’interface s’approche de x
à l’instant considéré en conséquence, la vitesse de l’interface est orientée vers l’extérieur de la
phase k et se situe du même coté de l’interface que nk , en conséquence,
vi nk > 0 à t2k ,
(A.82)
124
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
où on rappelle que vi nk est la vitesse géométrique de déplacement de l’interface. D’une façon
analogue, lorsque le point considéré sort dans la phase k à l’instant t2k+1 l’interface s’éloigne de
x à l’instant considéré et la vitesse de l’interface est orientée en conséquence vers la phase k, la
vitesse de l’interface et nk sont situés de part et d’autre de l’interface, en conséquence,
vi nk < 0 à t2k+1 .
(A.83)
Ces considérations permettent de transformer (A.81) pour obtenir,
Z
X
∂f
vi nk
dt = f (t + T /2) − f (t − T /2) −
f
∂t
|v
i nk |
[Tk ]
(A.84)
disc.∈[T ]
où la sommation s’effectue sur l’ensemble des instants où le point considéré entre et sort de
la phase k, c’est-à-dire sur tous les instants où f est discontinue. Calculons ensuite l’intégrale
apparaissant dans le membre de droite de l’équation (A.79),
Z
f dt =
Z
[Tk ]
t1
f dt + · · ·
t−T /2
Z
t2k+1
f dt + · · · +
t2k
t+T /2
Z
f dt.
(A.85)
t2n
On observe que seules la première et la dernière intégrale possède une borne supérieure dépendant
du temps. En appliquant le théorème de dérivation sous le signe somme (A.20), il vient,
Z
∂
f dt = f (t + T /2) − f (t − T /2),
(A.86)
∂t [Tk ]
étant donné que la fonction f dépend, certes du temps, mais pas de l’instant, t, où l’on calcule
la moyenne. En conséquence, en reportant cette relation dans (A.84) on obtient la forme limite
de la règle de Leibniz recherchée.
Supposons maintenant, qu’à l’instant initial de début d’intégration, t − T /2, ou à l’instant
final t + T /2, le point x n’appartienne pas à la phase k. On observe alors que sa contribution
dans (A.84) et (A.86) disparaı̂t simultanément, si bien que la forme limite démontrée (A.79)
reste également vraie.
A.7
Forme limite du théorème de Gauss pour des fonctions continues par
intervalles de temps
L’établissement des équations moyennées sur un intervalle de temps T , nécessite d’établir la
forme limite du théorème de Gauss pour des fonctions définies sur un ensemble d’intervalles de
temps. Ce paragraphe reproduit la démonstration donnée par Delhaye & Achard (1976). La
forme limite considérée s’énonce pour tout vecteur B continu et différentiable sur un ensemble
d’intervalles de temps par,
Z
∇ B dt = ∇ [Tk ]
Z
B dt +
[Tk ]
X
disc.∈[T ]
B nk
|vi nk |
(A.87)
La démonstration de cette identité suit un cheminement analogue à celle de la forme limite
de la règle de Leibniz (A.79). Commençons par considérer que la phase k est présente au point
x au début et à la fin de l’intervalle d’intégration (voir figure A.4). Considérons l’intégrale
suivante,
Z
[Tk ]
B dt =
Z
t1
t−T /2
B dt + · · ·
Z
t2k+1
t2k
B dt + · · · +
Z
t+T /2
t2n
B dt.
(A.88)
125
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
où l’on remarque que les instants où la phase k quitte ou arrive au point x, dépendent directement
des coordonnées xi de ce point,
tk = tk (x),
(A.89)
et où on rappelle que la divergence d’un vecteur est donnée en coordonnées cartésiennes par,
∇B=
∂Bx ∂By
∂Bz
+
+
∂x
∂y
∂z
(A.90)
En appliquant successivement le théorème de dérivation sous le signe somme (A.20) avec la
variable xi à la ième composante de (A.88) et en sommant les résultats obtenus on a,
Z
Z t1
Z t2k+1
Z t+T /2
∇
B dt =
∇ B dt + · · ·
∇ B dt + · · · +
∇ B dt +
[Tk ]
t−T /2
t2k
t2n
+∇t1 B(t1 ) + · · · + ∇t2k+1 B(t2k+1 ) − ∇t2k B(t2k ) + · · · − ∇t2n B(t2n ).
(A.91)
En utilisant le raisonnement développé pour la forme limite de la règle de Leibniz (A.82) et
(A.83), on obtient,
Z
Z
X
vi nk
∇
B dt =
∇ B dt −
∇tk B
.
(A.92)
|vi nk |
[Tk ]
[Tk ]
disc.∈[T ]
Lorsque surface géométrique représentant l’interface est décrite implicitement par une fonction f ,
f (x, y, z, t) = 0,
(A.93)
on rappelle que la vitesse géométrique de déplacement de l’interface (2.8) est donnée par,
vi n = −
∂f
∂t
|∇f |
.
(A.94)
où le vecteur unitaire normal à la surface est donné par,
n=
∇f
.
|∇f |
(A.95)
La donnée de la surface sous forme implicite (A.93) permet de calculer implicitement l’instant
t(x, y, z) où le point x appartient à la surface. En utilisant le théorème de dérivation des fonctions
implicites, on en déduit la variation de t avec la position. Par exemple pour la variation selon x
on a,
∂f
∂t
∂x
= − ∂f
.
∂x
(A.96)
∂t
En pratiquant de même pour chacune des deux directions restantes on obtient,
∇t(x) = −
∇f
∂f
∂t
(A.97)
En éliminant ∂f
∂t dans cette dernière expression en utilisant la définition de la vitesse
d’interface (A.94) et la valeur absolue de ∇f qui apparaı̂t en utilisant la définition de la normale
(A.95), on obtient,
n
nk
∇t(x) =
=
.
(A.98)
vi n
vi nk
En reportant ce résultat dans (A.92), on démontre la forme limite du théorème de Gauss
(A.87).
On observe que les instants initial et final d’intégration n’interviennent pas directement dans
le calcul de sommation sur l’ensemble des discontinuités de B (A.92), si bien que le résultat est
toujours valable que les instants initial et final appartiennent à la phase k ou non.
126
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
A.8
Commutativité des termes d’interaction à l’interface
Ce paragraphe reproduit la démonstration originale de la commutativité des moyennes spatiales et temporelles dans l’expression des termes d’interaction. Cette démonstration est due
à Delhaye & Achard (1976). Le premier paragraphe s’intéresse au cas de la moyenne sur la
section et de la moyenne temporelle tandis que le second est relatif à la moyenne volumique et
à la moyenne temporelle.
A.8.1
Cas de la moyenne sur une section de conduite
Lorsque l’on moyenne sur la section les équation locales moyennées en temps ou bien lorsque l’on
moyenne en temps les équations moyennées sur la section on obtient deux expressions différentes
des termes d’interaction qui sont équivalentes,
Z
(ṁk ψk + nk Jk )
C(z,t)
dl
1
= A<
|
nk nkC
T
X
disc.∈[T ]
ṁk ψk + Jk nk
>
| 2.
|vi nk |
(A.99)
On peut montrer que ces termes sont identiques si on démontre l’identité suivante, pour tout
vecteur Bk défini dans la phase k,
Z
(Bk nk )
C(z,t)
dl
1
= A<
|
nk nkC
T
X
disc.∈[T ]
Bk nk
>
| 2.
|vi nk |
(A.100)
L’objet de ce paragraphe est de fournir une démonstration de cette relation. La démonstration n’est pas très directe, toutefois elle fournit le résultat recherché. Le premier temps
consiste à intégrer sur la section de la conduite supposée fixe, A, la forme limite du théorème
de Gauss pour les fonctions continues par intervalles (A.87). Ainsi pour tout vecteur Bk défini
dans la phase k, on a,
Z
Z
Z
Z
X B nk
dS
∇ Bk dt =
dS ∇ Bk dt + A<
|
>
| 2.
(A.101)
|vi nk |
A
[Tk ]
A
[Tk ]
disc.∈[T ]
En introduisant la notation relative à la valeur moyenne sur la section, on obtient,
X
X
A<
| αk T ∇ Bk >
| 2 = A<
| ∇ (αk T Bk )>
| 2 + A<
|
X
disc.∈[T ]
B nk
>
| 2.
|vi nk |
(A.102)
En utilisant la forme limite du théorème de Gauss pour la section (A.49) que l’on utilise
pour transformer le premier terme du membre de droite, on obtient,
A<
| ∇
X
(αk T Bk )>
| 2
2 Z
X
∂
dl
X
X
= T A<
| αk Bk ez >
| 2+T
αk Bk nk
.
∂z
nk nkC
Ck
(A.103)
k=1
En reportant cette relation dans la précédente on obtient,
∂
X
X
A<
| αk T ∇ Bk >
| 2 = T A<
| αk Bk ez >
| 2
∂z
Z
X B nk
dl
X
+A<
|
>
| 2+T
αk Bk nk
.
|vi nk |
nk nkC
C1 ∪C2
(A.104)
disc.∈[T ]
Cette relation constitue le premier temps de la démonstration. Le second consiste à intégrer
sur un intervalle de temps [T ] la forme limite du théorème de Gauss pour une section de conduite
(A.49), appliqué à la section de la conduite baignée par la phase k, Ak . On notera que le
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
127
périmètre de la section Ak est limité en partie par l’interface C et la fraction de la paroi mouillée
par la phase k, Ck . C ∪ Ck forme une partition du périmètre de Ak .
Z
Z
Z
Z
∂
dt
∇ Bk dS =
dt
Bk ez dS
∂z Ak
[T ]
Ak
[T ]
Z
Z
Z
Z
dl
dl
+
dt
Bk nk
+
dt
Bk nk
.
(A.105)
nk nkC
nk nkC
[T ]
C
[T ]
Ck
En introduisant les notations relatives aux opérateurs de moyenne on obtient,
∂
T ARk2 < ∇ Bk >2 = T ARk2 < Bk ez >2
∂z
Z
Z
dl
dl
+T
Bk nk
+T
Bk nk
.
n
n
n
k
kC
k nkC
C
Ck
(A.106)
Une dernière manipulation du dernier terme est encore nécessaire. On peut pour ce terme
faire commuter la moyenne temporelle et spatiale en introduisant la fonction caractéristique de
phase Xk ,
Z
Z
dl
dl
T
Bk nk
=T
Xk Bk nk
=
nk nkC
nk nkC
Ck
C1 ∪C2
Z
Z
dl
dl
T
Xk Bk nk
=T
αk Bk nk
n
n
n
k
kC
k nkC
C1 ∪C2
C1 ∪C2
(A.107)
où on a noté que le périmètre de la conduite, C1 ∪ C2 , ne dépend pas du temps. En reportant
cette expression dans (A.106), on obtient,
∂
T ARk2 < ∇ Bk >2 = T ARk2 < Bk ez >2
∂z
Z
Z
dl
dl
+T
Bk nk
+T
αk Bk nk
.
n
n
n
k
kC
k nkC
C
C1 ∪C2
(A.108)
Finalement, en rapprochant les équations (A.104) et (A.108), on observe que chacune des
ces relations est composée de quatre termes. Les deux premiers sont égaux deux à deux en vertu
de la commutativité des opérateurs de moyenne et que le quatrième est identique dans chaque
expression. En conséquence ce résultat démontre la relation (A.100) exprimant la commutativité
des moyennes temporelle et sur la section dans l’expression du terme d’interaction à l’interface.
A.8.2
Cas de la moyenne sur un volume
La définition de l’aire interfaciale locale nécessite la démonstration d’une identité exprimant la
commutativité des opérations de moyennes volumique et temporelle dans l’expression des termes
d’interaction aux interfaces. Ces termes apparaissent de plus explicitement dans les modèles où
l’on effectue une moyenne sur un volume (voir par exemple Bergles et al. , 1981, éq. 2.125)
Z
(ṁk ψk + nk Jk ) dS = V <
|
Ai (t)
1
T
X
disc.∈[T ]
ṁk ψk + Jk nk
>
| 3.
|vi nk |
(A.109)
Comme au paragraphe précédent, il suffit de démontrer l’identité suivante pour s’assurer de
l’identité des termes d’interaction (A.109),
Z
Ai (t)
(Bk nk ) dS = V <
|
1
T
X
disc.∈[T ]
Bk nk
>
| 3.
|vi nk |
(A.110)
128
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
8
) E J Figure A.5: Représentation du volume V pour la démonstration de la commutativité des intégration spatiale et
temporelle (A.110).
La démonstration est analogue à celle du paragraphe précédent. On intègre sur le volume V
représenté à la figure A.5 la forme limite du théorème de Gauss pour les fonctions définies sur
un intervalle de temps (A.87)
Z
Z
Z
Z
X B nk
dV
∇ Bk dt =
dV ∇ Bk dt + V <
|
>
| 3.
(A.111)
|vi nk |
V
[Tk ]
V
[Tk ]
disc.∈[T ]
On applique le théorème de Gauss à l’intégrale de la divergence et en notant que V est fixe
et en introduisant la fonction indicatrice de phase,
Z
Z
Z
Z
X B nk
dV
Xk ∇ Bk dt =
dS n Bk dt + V <
|
>
| 3.
(A.112)
|vi nk |
V
[T ]
∂V
[Tk ]
disc.∈[T ]
où ∂V est la surface entourant le volume V et n est le vecteur unitaire normal à ∂V et dirigé
vers l’extérieur. En inversant l’ordre d’intégration sur le premier terme et en introduisant la
valeur moyenne temporelle dans le second, on obtient,
Z
Z
Z
X B nk
X
dt
Xk ∇ Bk dV =
n (αk T Bk ) dS + V <
|
>
| 3.
(A.113)
|vi nk |
[T ]
V
∂V
disc.∈[T ]
En éliminant la fonction indicatrice de phase du premier membre, on termine le premier
temps de la démonstration.
Z
Z
Z
X B nk
X
dt
∇ Bk dV =
n (αk T Bk ) dS + V <
|
>
| 3.
(A.114)
|vi nk |
[T ]
Vk
∂V
disc.∈[T ]
Le premier membre de cette équation se transforme, en appliquant le théorème de Gauss au
volume Vk représentant la fraction du volume V occupé par la phase k,
Z
Z
Z
Z
dt
∇ Bk dV =
dt
nk Bk dS
(A.115)
[T ]
Vk
[T ]
∂Vk
où comme le montre la figure A.5, la surface ∂Vk limitant le volume Vk est constituée par les
interfaces appartenant à V soit Ai et la fraction de ∂V mouillée par la phase k que l’on note
[∂V ]k . En conséquence l’intégrale de flux dans (A.115) comporte deux contributions distinctes,
Z
[T ]
dt
Z
Vk
∇ Bk dV = T
Z
Ai
nk Bk dS +
Z
[T ]
dt
Z
[∂V ]k
nk Bk dS
(A.116)
129
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
En introduisant la fonction indicatrice de phase sur le dernier terme, ce qui permet d’échanger
l’ordre d’intégration on obtient,
Z
Z
Z
Z
dt
nk Bk dS =
dt
Xk nk Bk dS =
[T ]
[∂V ]k
[T ]
[∂V ]
Z
Z
Z
Z
Z
X
dS
Xk nk Bk dt =
dS
nk Bk dt =
αk T nk Bk dS.
(A.117)
[∂V ]
[T ]
[∂V ]
[Tk ]
[∂V ]
En reportant ce résultat dans (A.116),
Z
[T ]
dt
Z
Vk
∇ Bk dV = T
Z
Ai
nk Bk dS +
Z
X
n (αk T Bk ) dS.
(A.118)
[∂V ]
En rapprochant les deux expressions (A.114) et (A.118), on observe que l’on calcule de
deux façons différentes la même quantité et que chaque membre de droite comporte un terme
identique. En conséquence, l’identité (A.110) est démontrée.
130
REGLES DE LEIBNIZ ET THEOREME DE GAUSS
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Annexe B
Symétrie du tenseur des contraintes
Lorsqu’un fluide est dit non polaire (Aris, 1962, p. 102), les seuls couples appliqués résultent
du moment des forces de contact et de volume. Le bilan de quantité de mouvement angulaire
s’exprime alors selon (2.41). On montre alors en utilisant le bilan de masse et de quantité de
mouvement sous forme locale que le bilan de quantité de mouvement angulaire n’apporte pas
d’autre information que la symétrie du tenseur des contraintes. En conséquence, si le tenseur
des contraintes est symétrique, le bilan de quantité de mouvement angulaire est une conséquence
du bilan de masse et de quantité de mouvement.
B.1
Théorème de transport et bilan de masse
Le théorème de transport de Reynolds sous la forme (A.39) s’écrit pour tout volume matériel
Vm (t),
Z
Z
d
df
f dV =
+ f ∇ v dV.
(B.1)
dt Vm (t)
dt
Vm (t)
Pour toute fonction f et où l’on a pris en compte que le mouvement considéré est celui du fluide
puisque le volume est matériel (u = v). Le principe de conservation de la masse appliqué au
volume matériel (2.34) s’écrit en utilisant le théorème de transport de Reynolds (B.1),
Z
Z
d
dρ
ρ dV =
+ ρ∇ v dV = 0.
(B.2)
dt Vm (t)
dt
Vm (t)
Comme cette équation s’applique à un volume Vm (t) arbitraire, l’expression sous le signe
somme doit être identiquement nulle. En conséquence,
dρ
+ ρ∇ v = 0
dt
Ainsi, pour toute quantité massique F , le théorème de transport de Reynolds donne,
Z
Z
d
d
ρF dV =
ρF + ρF ∇ v dV.
dt Vm (t)
Vm (t) dt
En développant la dérivée du produit et en regroupant les termes restants on a,
Z
Z
d
dF
dρ
ρF dV =
ρ
+F
+ ρ∇ v
dV.
dt Vm (t)
dt
dt
Vm (t)
En utilisant le bilan de masse local (B.3) on obtient,
Z
Z
dF
d
ρF dV =
ρ
dV.
dt Vm (t)
Vm (t) dt
(B.3)
(B.4)
(B.5)
(B.6)
132
SYMÉTRIE DU TENSEUR DES CONTRAINTES
B.2
Théorème de transport et bilan de quantité de mouvement linéaire
Le principe fondamentale de la dynamique appliqué à un volume matériel (2.40) s’écrit,
Z
Z
Z
d
ρv dV =
n T dS +
ρF dV.
(B.7)
dt Vm (t)
Sm (t)
Vm (t)
En appliquant le théorème de Gauss à l’intégrale de surface et en transformant la dérivée de
l’intégrale de volume par (B.6), on obtient pour tout volume matériel considéré,
Z
Z
Z
dv
ρ
dV −
∇ T dS −
ρF dV = 0,
(B.8)
Vm (t) dt
Vm (t)
Vm (t)
et en conséquence comme pour l’établissement du bilan de masse (B.3), l’expression sous le signe
somme doit être identiquement nulle,
ρ
dv
− ∇ T − ρF = 0,
dt
(B.9)
ce qui est la forme convective du bilan de quantité de mouvement linéaire.
B.3
Bilan de quantité de mouvement angulaire
Le bilan de quantité de mouvement angulaire appliqué à un volume matériel s’écrit pour un
fluide non polaire ne subissant pas de couples appliqués directement au fluide (Aris, 1962, p.
102)
Z
Z
Z
d
ρr × v dV =
r × (n T) dS +
r × ρF dV
(B.10)
dt Vm (t)
Sm (t)
Vm (t)
où r est le vecteur position. En appliquant l’identité déduite du théorème de transport de
Reynolds et du bilan de masse (B.6), on obtient pour le membre de gauche :
Z
Z
d
d
ρr × v dV =
ρ (r × v) dV.
(B.11)
dt Vm (t)
Vm (t) dt
Or, puisque v × v = 0
d
dr
dv
dv
(r × v) =
×v+r×
=r×
.
dt
dt
dt
dt
(B.12)
La ième composante de r × (n T) s’écrit :
[r × (n T)]i = ijk xj Tpk np ,
(B.13)
et elle est de la forme ap np . L’intégrale des moments des contraintes dans (B.10) est donc une
intégrale de flux que l’on peut transformer par le théorème de Gauss :
Z
Z
∂
(xj Tpk ) dV.
(B.14)
ijk xj Tpk np dS =
ijk
∂xp
Sm (t)
Vm (t)
En développant le produit, il vient
ijk
Or
∂xj
∂xk
∂Tpk
∂xj
∂
(xj Tpk ) = ijk
Tpk + ijk xj
.
∂xp
∂xp
∂xp
(B.15)
= δjk , où il est rappelé que
(
1 si i = j
δij =
0 si i 6= j
(B.16)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
133
où δij est le symbole de Kronecker. L’expression (B.15) se simplifie en
ijk
∂Tpk
∂
(xj Tpk ) = ijk Tjk + ijk xj
= [T× + r × ∇ T]i .
∂xp
∂xp
(B.17)
Finalement, en regroupant les différentes contributions (B.11) compte tenu de (B.12) et
(B.17), le bilan de quantité de mouvement angulaire (B.10) s’écrit
Z
Z
dv
r× ρ
− ∇ T − ρF dV =
T× dV.
(B.18)
dt
Vm (t)
Vm (t)
Le membre de gauche étant identiquement nul en raison du bilan de quantité de mouvement
linéaire (B.9), le membre de droite est aussi nul. Comme ce dernier l’est quel que soit le volume
Vm (t) considéré,
T× = 0.
(B.19)
Les composantes du vecteur T× sont égales à ijk Tjk soit respectivement (T23 − T32 ), (T31 −
T13 ) et (T12 − T21 ) et puisqu’elles sont nulles on a,
Tij = Tji ,
ce qui prouve que le tenseur des contraintes est symétrique.
(B.20)
134
SYMÉTRIE DU TENSEUR DES CONTRAINTES
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Annexe C
Propriétés thermodynamiques de l’eau à l’état saturant
C.1
Propriétés thermodynamiques
Les propriétés thermodynamiques de l’eau et de certains fluides courants sont disponibles
dans de nombreuses tables comme celles de Irvine & Liley (1984), Schmidt (1982) ou
de Haar et al. (1984). On peut également interroger en ligne le site du National Institute of Standards and Technology (NIST) qui fournit également des données de référence
(http://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/).
Les formulations cohérentes d’un point de vue thermodynamique reposent sur la modélisation
de l’énergie ou de l’enthalpie libre. En effet toutes les propriétés thermodynamiques à l’état
saturant et dans chaque phase s’en déduisent par dérivation. Les tables qui suivent ont été
calculées selon la méthode de Haar et al. (1984) car la formulation de ces auteurs décrit
également les états métastables du liquide et de la vapeur. On a choisi la formulation de ces
auteurs car elles est basée sur la modélisation de l’énergie libre F (T, V ) par une formule unique.
D’autres auteurs comme Schmidt (1982) préfèrent découper le plan thermodynamique en
plusieurs zones, ce qui peut induire de légers problèmes de continuité au passage des frontières
entre les zones.
Les tables qui suivent décrivent les propriétés physiques de l’eau et de sa vapeur le long de
la courbe de saturation, c’est-à-dire les conditions où les deux phases coexistent. Les unités des
différentes quantités sont les suivantes,
• pression : bar
• température : o C
• masse volumique : kg/m3
• enthalpie : kJ/kg
• entropie : kJ/kg/o C
136
PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DE L’EAU À L’ÉTAT SATURANT
Tsat
oC
p
(bar)
ρL
(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
hL
(kJ/kg)
hV
(kJ/kg)
sL
(kJ/kg/K)
sV
(kJ/kg/K)
0,01
1
2
3
4
0,0061173
0,0065716
0,0070605
0,0075813
0,0081359
999,78
999,85
999,90
999,93
999,95
0,004855
0,005196
0,005563
0,005952
0,006364
0,00
4,18
8,40
12,61
16,82
2500,5
2502,4
2504,2
2506,0
2507,9
0,00000
0,01528
0,03064
0,04592
0,06112
9,1541
9,1277
9,1013
9,0752
9,0492
5
6
7
8
9
0,0087260
0,0093537
0,0100209
0,0107297
0,0114825
999,94
999,93
999,89
999,84
999,77
0,006802
0,007265
0,007756
0,008275
0,008824
21,02
25,22
29,42
33,61
37,80
2509,7
2511,6
2513,4
2515,2
2517,1
0,07626
0,09132
0,10632
0,12126
0,13614
9,0236
8,9981
8,9729
8,9479
8,9232
10
11
12
13
14
0,012281
0,013129
0,014027
0,014979
0,015988
999,69
999,60
999,49
999,37
999,24
0,009405
0,010019
0,010668
0,011353
0,012075
41,99
46,18
50,36
54,55
58,73
2518,9
2520,7
2522,6
2524,4
2526,2
0,15096
0,16573
0,18043
0,19509
0,20969
8,8986
8,8743
8,8502
8,8263
8,8027
15
16
17
18
19
0,017056
0,018186
0,019380
0,020644
0,021979
999,09
998,93
998,76
998,58
998,39
0,012837
0,013641
0,014488
0,015380
0,016319
62,92
67,10
71,28
75,47
79,65
2528,0
2529,9
2531,7
2533,5
2535,4
0,22423
0,23873
0,25317
0,26756
0,28191
8,7792
8,7560
8,7330
8,7101
8,6875
20
21
22
23
24
0,023388
0,024877
0,026447
0,028104
0,029850
998,19
997,97
997,75
997,52
997,27
0,017308
0,018348
0,019441
0,020590
0,021797
83,84
88,02
92,20
96,39
100,57
2537,2
2539,0
2540,8
2542,6
2544,5
0,29620
0,31045
0,32465
0,33880
0,35290
8,6651
8,6428
8,6208
8,5990
8,5773
25
26
27
28
29
0,031691
0,033629
0,035670
0,037819
0,040078
997,02
996,76
996,48
996,20
995,91
0,023065
0,024393
0,025789
0,027253
0,028788
104,75
108,94
113,12
117,30
121,49
2546,3
2548,1
2549,9
2551,7
2553,5
0,36695
0,38096
0,39492
0,40884
0,42270
8,5558
8,5346
8,5135
8,4926
8,4719
30
31
32
33
34
0,042455
0,044953
0,047578
0,050335
0,053229
995,61
995,30
994,99
994,66
994,33
0,030397
0,032082
0,033847
0,035694
0,037627
125,67
129,85
134,04
138,22
142,41
2555,3
2557,2
2559,0
2560,8
2562,6
0,43653
0,45030
0,46403
0,47772
0,49136
8,4513
8,4309
8,4107
8,3907
8,3708
35
36
37
38
39
0,056267
0,059454
0,062795
0,066298
0,069969
993,99
993,64
993,28
992,92
992,55
0,039648
0,041762
0,043971
0,046279
0,048690
146,59
150,77
154,95
159,14
163,32
2564,4
2566,2
2568,0
2569,8
2571,6
0,50496
0,51851
0,53202
0,54548
0,55890
8,3511
8,3316
8,3122
8,2930
8,2739
40
41
42
43
44
0,073814
0,077840
0,082054
0,086464
0,091076
992,17
991,78
991,39
990,99
990,58
0,05121
0,05383
0,05657
0,05943
0,06241
167,50
171,69
175,87
180,05
184,23
2573,4
2575,2
2576,9
2578,7
2580,5
0,57228
0,58562
0,59891
0,61216
0,62536
8,2550
8,2363
8,2177
8,1993
8,1810
45
46
47
48
49
0,095898
0,100938
0,106205
0,111706
0,117449
990,17
989,74
989,32
988,88
988,44
0,06552
0,06875
0,07212
0,07563
0,07928
188,42
192,60
196,78
200,96
205,15
2582,3
2584,1
2585,9
2587,6
2589,4
0,63853
0,65165
0,66473
0,67778
0,69078
8,1629
8,1449
8,1271
8,1094
8,0919
50
51
52
53
54
0,12345
0,12970
0,13623
0,14303
0,15012
987,99
987,54
987,08
986,61
986,13
0,08308
0,08703
0,09114
0,09541
0,09985
209,33
213,51
217,69
221,87
226,06
2591,2
2593,0
2594,7
2596,5
2598,3
0,70374
0,71666
0,72954
0,74238
0,75518
8,0745
8,0572
8,0401
8,0231
8,0063
Tsat
oC
p
(bar)
ρL
(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
hL
(kJ/kg)
hV
(kJ/kg)
sL
(kJ/kg/K)
sV
(kJ/kg/K)
137
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Tsat
oC
p
(bar)
ρL
(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
hL
(kJ/kg)
hV
(kJ/kg)
sL
(kJ/kg/K)
sV
(kJ/kg/K)
55
56
57
58
59
0,15752
0,16522
0,17324
0,18159
0,19028
985,65
985,17
984,68
984,18
983,67
0,10447
0,10926
0,11423
0,11939
0,12475
230,24
234,42
238,60
242,79
246,97
2600,0
2601,8
2603,5
2605,3
2607,0
0,76794
0,78067
0,79335
0,80600
0,81861
7,9896
7,9730
7,9565
7,9402
7,9240
60
61
62
63
64
0,19932
0,20873
0,21851
0,22868
0,23925
983,16
982,65
982,13
981,60
981,07
0,13031
0,13607
0,14205
0,14824
0,15466
251,15
255,34
259,52
263,71
267,89
2608,8
2610,5
2612,3
2614,0
2615,8
0,83118
0,84372
0,85622
0,86868
0,88111
7,9080
7,8920
7,8762
7,8605
7,8449
65
66
67
68
69
0,25023
0,26163
0,27347
0,28576
0,29852
980,53
979,98
979,43
978,88
978,32
0,16131
0,16819
0,17532
0,18270
0,19034
272,08
276,26
280,45
284,63
288,82
2617,5
2619,2
2620,9
2622,7
2624,4
0,89350
0,90586
0,91818
0,93047
0,94272
7,8295
7,8141
7,7989
7,7838
7,7688
70
71
72
73
74
0,31176
0,32549
0,33972
0,35448
0,36978
977,75
977,18
976,60
976,02
975,43
0,19824
0,20641
0,21486
0,22359
0,23262
293,01
297,20
301,39
305,58
309,77
2626,1
2627,8
2629,5
2631,2
2632,9
0,95494
0,96712
0,97927
0,99139
1,00347
7,7540
7,7392
7,7245
7,7100
7,6956
75
76
77
78
79
0,38563
0,40205
0,41905
0,43665
0,45488
974,84
974,24
973,64
973,03
972,41
0,24195
0,25159
0,26154
0,27182
0,28242
313,96
318,15
322,34
326,54
330,73
2634,6
2636,3
2638,0
2639,7
2641,4
1,01552
1,02754
1,03953
1,05148
1,06340
7,6812
7,6670
7,6529
7,6389
7,6250
80
81
82
83
84
0,47373
0,49324
0,51342
0,53428
0,55585
971,79
971,17
970,54
969,91
969,27
0,29337
0,30467
0,31632
0,32834
0,34073
334,93
339,12
343,32
347,52
351,72
2643,1
2644,7
2646,4
2648,1
2649,8
1,07530
1,08716
1,09898
1,11078
1,12255
7,6111
7,5974
7,5838
7,5703
7,5569
85
86
87
88
89
0,57815
0,60119
0,62499
0,64958
0,67496
968,62
967,98
967,32
966,66
966,00
0,35351
0,36667
0,38024
0,39422
0,40862
355,92
360,12
364,32
368,52
372,73
2651,4
2653,1
2654,7
2656,4
2658,0
1,13429
1,14599
1,15767
1,16932
1,18094
7,5436
7,5303
7,5172
7,5042
7,4912
90
91
92
93
94
0,70117
0,72823
0,75614
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7,2498
Tsat
oC
p
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(kg/m3 )
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hV
(kJ/kg)
sL
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sV
(kJ/kg/K)
138
PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DE L’EAU À L’ÉTAT SATURANT
Tsat
oC
p
(bar)
ρL
(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
hL
(kJ/kg)
hV
(kJ/kg)
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sV
(kJ/kg/K)
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(kJ/kg/K)
139
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Tsat
oC
p
(bar)
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(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
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(kJ/kg)
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165
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oC
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(kJ/kg/K)
140
PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DE L’EAU À L’ÉTAT SATURANT
Tsat
oC
p
(bar)
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(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
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sL
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sV
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220
221
222
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Tsat
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141
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Tsat
oC
p
(bar)
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55,44
56,38
57,34
58,32
1401,23
1407,10
1412,99
1418,91
1424,86
2727,1
2724,6
2722,1
2719,6
2716,9
3,34911
3,35882
3,36856
3,37832
3,38812
5,6228
5,6143
5,6058
5,5973
5,5887
315
316
317
318
319
105,51
106,94
108,38
109,84
111,31
679,46
677,09
674,69
672,28
669,83
59,31
60,33
61,37
62,42
63,50
1430,84
1436,86
1442,91
1448,99
1455,10
2714,2
2711,5
2708,7
2705,8
2702,8
3,39795
3,40781
3,41770
3,42763
3,43760
5,5800
5,5713
5,5625
5,5537
5,5447
320
321
322
323
324
112,79
114,30
115,81
117,34
118,89
667,36
664,86
662,34
659,78
657,19
64,60
65,73
66,87
68,05
69,24
1461,26
1467,44
1473,67
1479,93
1486,24
2699,8
2696,7
2693,6
2690,3
2687,0
3,44761
3,45765
3,46774
3,47786
3,48804
5,5357
5,5266
5,5175
5,5082
5,4989
325
326
327
328
329
120,46
122,04
123,64
125,25
126,88
654,58
651,93
649,25
646,53
643,78
70,46
71,71
72,99
74,30
75,63
1492,58
1498,97
1505,41
1511,88
1518,41
2683,6
2680,1
2676,6
2672,9
2669,2
3,49826
3,50852
3,51884
3,52921
3,53964
5,4895
5,4799
5,4703
5,4606
5,4508
Tsat
oC
p
(bar)
ρL
(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
hL
(kJ/kg)
hV
(kJ/kg)
sL
(kJ/kg/K)
sV
(kJ/kg/K)
142
PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DE L’EAU À L’ÉTAT SATURANT
Tsat
oC
p
(bar)
ρL
(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
hL
(kJ/kg)
hV
(kJ/kg)
sL
(kJ/kg/K)
sV
(kJ/kg/K)
330
331
332
333
334
128,53
130,19
131,87
133,57
135,28
641,0
638,2
635,3
632,4
629,4
77,00
78,40
79,83
81,30
82,80
1525,0
1531,6
1538,3
1545,0
1551,8
2665,4
2661,5
2657,5
2653,4
2649,1
3,5501
3,5607
3,5713
3,5819
3,5927
5,4409
5,4309
5,4207
5,4104
5,4000
335
336
337
338
339
137,01
138,76
140,53
142,32
144,12
626,5
623,4
620,3
617,2
614,0
84,34
85,92
87,54
89,21
90,92
1558,6
1565,6
1572,5
1579,6
1586,7
2644,8
2640,4
2635,8
2631,1
2626,3
3,6035
3,6144
3,6253
3,6364
3,6475
5,3895
5,3788
5,3680
5,3571
5,3459
340
341
342
343
344
145,94
147,78
149,64
151,52
153,42
610,8
607,5
604,1
600,7
597,2
92,68
94,48
96,34
98,26
100,23
1593,8
1601,1
1608,4
1615,8
1623,3
2621,4
2616,3
2611,1
2605,8
2600,3
3,6587
3,6701
3,6815
3,6930
3,7047
5,3347
5,3232
5,3115
5,2997
5,2877
345
346
347
348
349
155,33
157,27
159,22
161,20
163,20
593,7
590,0
586,3
582,5
578,7
102,26
104,36
106,53
108,77
111,08
1630,9
1638,6
1646,4
1654,3
1662,3
2594,6
2588,8
2582,7
2576,5
2570,1
3,7164
3,7283
3,7404
3,7526
3,7649
5,2754
5,2629
5,2502
5,2372
5,2240
350
351
352
353
354
165,21
167,25
169,31
171,39
173,49
574,7
570,6
566,5
562,2
557,8
113,48
115,97
118,55
121,23
124,03
1670,4
1678,7
1687,1
1695,7
1704,4
2563,5
2556,6
2549,5
2542,2
2534,6
3,7774
3,7901
3,8030
3,8160
3,8294
5,2105
5,1966
5,1825
5,1680
5,1531
355
356
357
358
359
175,61
177,75
179,92
182,11
184,32
553,2
548,6
543,7
538,7
533,5
126,94
129,98
133,16
136,50
140,01
1713,3
1722,4
1731,6
1741,2
1750,9
2526,7
2518,4
2509,9
2500,9
2491,6
3,8429
3,8567
3,8708
3,8853
3,9001
5,1378
5,1220
5,1058
5,0891
5,0717
360
361
362
363
364
186,55
188,81
191,10
193,40
195,74
528,1
522,5
516,6
510,5
504,0
143,71
147,62
151,77
156,19
160,92
1760,9
1771,3
1782,0
1793,0
1804,6
2481,8
2471,5
2460,7
2449,2
2437,1
3,9153
3,9309
3,9470
3,9638
3,9811
5,0538
5,0351
5,0156
4,9952
4,9738
365,0
365,5
366,0
366,5
367,0
198,10
199,28
200,48
201,68
202,89
497,1
493,5
489,7
485,9
481,9
166,02
168,73
171,56
174,52
177,63
1816,6
1822,8
1829,2
1835,8
1842,6
2424,1
2417,2
2410,1
2402,7
2395,0
3,9993
4,0087
4,0183
4,0282
4,0385
4,9512
4,9394
4,9271
4,9144
4,9013
367,5
368,0
368,5
369,0
369,5
204,11
205,33
206,56
207,80
209,05
477,7
473,3
468,7
463,9
458,8
180,90
184,36
188,02
191,94
196,14
1849,7
1856,9
1864,5
1872,4
1880,7
2386,9
2378,4
2369,5
2360,0
2349,9
4,0490
4,0600
4,0714
4,0833
4,0958
4,8876
4,8733
4,8583
4,8426
4,8258
370,0
370,5
371,0
371,5
372,0
210,30
211,56
212,83
214,11
215,39
453,4
447,5
441,0
433,9
425,8
200,68
205,65
211,16
217,36
224,55
1889,5
1898,8
1908,9
1920,0
1932,4
2339,0
2327,3
2314,4
2299,9
2283,4
4,1090
4,1231
4,1384
4,1551
4,1738
4,8080
4,7888
4,7678
4,7444
4,7179
372,5
373,0
373,5
373,976
216,69
217,99
219,31
220,55
416,1
403,8
385,0
322,0
233,2
244,7
259,0
322,0
1946,8
1964,8
1991,6
2085,8
2263,7
2238,1
2207,4
2085,8
4,1957
4,2230
4,2640
4,4090
4,6865
4,6461
4,5977
4,4091
Tsat
oC
p
(bar)
ρL
(kg/m3 )
ρV
(kg/m3 )
hL
(kJ/kg)
hV
(kJ/kg)
sL
(kJ/kg/K)
sV
(kJ/kg/K)
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
C.2
143
Propriétés de transport
Les propriétés de transport de l’eau et de certains fluides courants sont disponibles dans de
nombreuses tables comme celles de Irvine & Liley (1984), Schmidt (1982) ou de Haar et al.
(1984). Ces auteurs fournissent également des formules qui permettent de calculer les propriétés
désirées. On trouve également les propriétés de transport sur le site du NIST.
Dans les tables qui suivent, on fournit pour l’eau et sa vapeur, aux conditions de saturation
les quantités suivantes calculées par les expressions données par Haar et al. (1984),
• la tension de surface entre l’eau liquide et sa vapeur en mPa m,
• la viscosité dynamique en µPa s,
• la capacité thermique massique à pression constante en kJ/kg/K,
• la conductivité thermique en mW/m/K et
• le nombre de Prandt défini par
Pr =
µCp
ν
=
k
α
où ν et α sont respectivement la viscosité cinématique et la diffusivité thermique.
(C.1)
144
PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DE L’EAU À L’ÉTAT SATURANT
Tsat
(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
(J/kg/K)
kL
(mW/m/K)
P rL
µV
(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
(mW/m/K)
P rV
0,01
1
2
3
4
75,65
75,51
75,37
75,23
75,09
1791
1732
1675
1620
1569
4229
4221
4215
4209
4204
561,0
562,9
564,8
566,7
568,6
13,50
12,99
12,50
12,03
11,60
9,22
9,24
9,26
9,29
9,31
1868
1868
1869
1869
1870
17,07
17,12
17,18
17,23
17,28
1,008
1,008
1,008
1,008
1,007
5
6
7
8
9
74,95
74,80
74,66
74,51
74,37
1520
1473
1429
1387
1346
4200
4197
4194
4192
4190
570,5
572,4
574,3
576,2
578,1
11,19
10,80
10,43
10,09
9,757
9,34
9,36
9,38
9,41
9,44
1871
1871
1872
1872
1873
17,34
17,39
17,45
17,51
17,56
1,007
1,007
1,007
1,007
1,006
10
11
12
13
14
74,22
74,08
73,93
73,79
73,64
1308
1271
1236
1202
1170
4188
4187
4186
4185
4185
580,0
581,9
583,8
585,6
587,5
9,443
9,145
8,862
8,592
8,334
9,46
9,49
9,51
9,54
9,56
1874
1875
1875
1876
1877
17,62
17,68
17,74
17,80
17,86
1,006
1,006
1,006
1,006
1,005
15
16
17
18
19
73,49
73,34
73,19
73,04
72,89
1139
1110
1081
1054
1028
4184
4184
4184
4183
4183
589,3
591,2
593,0
594,8
596,6
8,088
7,853
7,628
7,413
7,207
9,59
9,62
9,65
9,67
9,70
1878
1879
1879
1880
1881
17,92
17,98
18,04
18,10
18,16
1,005
1,005
1,005
1,005
1,005
20
21
22
23
24
72,74
72,59
72,44
72,28
72,13
1003
979
955
933
912
4183
4183
4183
4183
4183
598,4
600,2
602,0
603,7
605,4
7,010
6,821
6,640
6,466
6,299
9,73
9,75
9,78
9,81
9,84
1882
1883
1884
1885
1886
18,23
18,29
18,35
18,42
18,48
1,004
1,004
1,004
1,004
1,004
25
26
27
28
29
71,98
71,82
71,67
71,51
71,35
891
871
852
833
815
4183
4183
4183
4183
4183
607,1
608,8
610,5
612,2
613,8
6,138
5,984
5,835
5,693
5,555
9,87
9,89
9,92
9,95
9,98
1887
1888
1889
1890
1891
18,55
18,62
18,68
18,75
18,82
1,004
1,003
1,003
1,003
1,003
30
31
32
33
34
71,20
71,04
70,88
70,72
70,57
798
781
765
749
734
4183
4183
4183
4183
4183
615,4
617,0
618,6
620,2
621,7
5,423
5,295
5,172
5,054
4,940
10,01
10,04
10,07
10,10
10,13
1892
1893
1894
1896
1897
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1,001
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1,000
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σ
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µL
(µPa s)
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kL
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(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
(mW/m/K)
P rV
145
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
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(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
(J/kg/K)
kL
(mW/m/K)
P rL
µV
(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
(mW/m/K)
P rV
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56
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2030
2034
2037
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1,000
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1,000
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1,001
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1,001
1,001
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(µPa s)
CpV
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kV
(mW/m/K)
P rV
146
PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DE L’EAU À L’ÉTAT SATURANT
Tsat
(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
(J/kg/K)
kL
(mW/m/K)
P rL
µV
(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
(mW/m/K)
P rV
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(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
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kL
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CpV
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kV
(mW/m/K)
P rV
147
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Tsat
(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
(J/kg/K)
kL
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P rL
µV
(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
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P rV
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1,160
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(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
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kL
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CpV
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kV
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P rV
148
PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DE L’EAU À L’ÉTAT SATURANT
Tsat
(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
(J/kg/K)
kL
(mW/m/K)
P rL
µV
(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
(mW/m/K)
P rV
220
221
222
223
224
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1,437
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1,452
1,460
Tsat
(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
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kL
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µV
(µPa s)
CpV
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kV
(mW/m/K)
P rV
149
ECOULEMENTS ET TRANSFERTS THERMIQUES
Tsat
(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
(J/kg/K)
kL
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P rL
µV
(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
(mW/m/K)
P rV
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2,068
2,087
2,106
2,127
2,147
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(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
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kL
(mW/m/K)
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(µPa s)
CpV
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kV
(mW/m/K)
P rV
150
PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DE L’EAU À L’ÉTAT SATURANT
Tsat
(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
(J/kg/K)
kL
(mW/m/K)
P rL
µV
(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
(mW/m/K)
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331
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5,23
5,03
4,84
70,3
69,9
69,4
69,0
68,5
8238
8376
8522
8678
8844
468,5
466,4
464,3
462,2
460,2
1,236
1,255
1,274
1,295
1,317
22,52
22,62
22,73
22,84
22,96
11861
12177
12511
12865
13241
110,1
112,0
114,1
116,3
118,5
2,427
2,459
2,492
2,527
2,564
345
346
347
348
349
4,64
4,44
4,25
4,06
3,86
68,1
67,6
67,2
66,7
66,2
9021
9210
9414
9633
9869
458,1
456,0
453,9
451,8
449,7
1,341
1,366
1,393
1,422
1,453
23,07
23,19
23,32
23,45
23,58
13642
14069
14526
15016
15543
120,9
123,4
126,0
128,8
131,7
2,604
2,645
2,688
2,735
2,784
350
351
352
353
354
3,68
3,49
3,30
3,12
2,93
65,7
65,2
64,7
64,2
63,7
10126
10404
10707
11039
11405
447,7
445,6
443,5
441,4
439,3
1,486
1,523
1,562
1,605
1,652
23,72
23,87
24,02
24,18
24,35
16111
16725
17390
18115
18908
134,7
138,0
141,4
145,0
148,9
2,837
2,894
2,955
3,021
3,092
355
356
357
358
359
2,75
2,58
2,40
2,23
2,05
63,1
62,6
62,0
61,4
60,8
11808
12256
12757
13319
13957
437,3
435,2
433,2
431,2
429,3
1,704
1,762
1,825
1,897
1,977
24,52
24,70
24,89
25,10
25,31
19778
20739
21804
22992
24328
153,0
157,4
162,1
167,2
172,6
3,170
3,255
3,348
3,452
3,567
360
361
362
363
364
1,89
1,72
1,56
1,40
1,24
60,2
59,5
58,9
58,2
57,5
14684
15522
16498
17648
19024
427,5
425,7
424,1
422,6
421,3
2,068
2,171
2,291
2,430
2,595
25,54
25,78
26,04
26,32
26,62
25839
27564
29554
31876
34629
178,5
184,9
192,0
199,7
208,3
3,696
3,842
4,009
4,201
4,426
365
365,5
366
366,5
367
1,09
1,01
0,94
0,87
0,80
56,7
56,3
55,9
55,5
55,0
20701
21684
22788
24037
25461
420,4
420,1
419,9
419,8
420,0
2,792
2,907
3,034
3,176
3,337
26,95
27,13
27,31
27,51
27,71
37961
39912
42103
44584
47422
217,9
223,3
229,0
235,2
241,9
4,694
4,849
5,022
5,215
5,434
367,5
368
368,5
369
369,5
0,72
0,66
0,59
0,52
0,46
54,6
54,1
53,6
53,1
52,6
27104
29021
31292
34031
37407
420,4
421,1
422,1
423,7
425,9
3,520
3,730
3,975
4,266
4,617
27,93
28,16
28,41
28,68
28,97
50701
54536
59085
64577
71356
249,2
257,3
266,3
276,4
288,0
5,683
5,969
6,304
6,700
7,177
370
370,5
371
371,5
372
0,39
0,33
0,28
0,22
0,17
52,0
51,4
50,7
50,0
49,1
41682
47290
54975
66180
84050
429,1
433,5
439,7
449,0
463,7
5,051
5,604
6,338
7,362
8,902
29,29
29,64
30,03
30,48
31,00
79963
91289
106901
129805
166597
301,6
317,7
337,7
363,3
398,2
7,77
8,52
9,51
10,89
12,97
372,5
373
373,5
373,976
0,12
0,07
0,03
0,00
48,1
46,9
45,0
39,0
116982
196949
594514
∞
489,7
549,7
935,2
∞
11,496
16,794
28,596
∞
31,65
32,52
33,65
39,00
235236
410707
946352
∞
449,9
539,7
789,9
∞
16,55
24,75
40,31
∞
Tsat
(o C)
σ
(mPa m)
µL
(µPa s)
CpL
(J/kg/K)
kL
(mW/m/K)
P rL
µV
(µPa s)
CpV
(J/kg/K)
kV
(mW/m/K)
P rV
SOMMAIRE DU COURS DE TRANSFERTS DE CHALEUR
Sommaire
1 Eléments de thermodynamique
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Définitions des variables de composition . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Masse volumique et concentration . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Fractions massiques et molaires . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Les deux principes de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Objet de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Le premier principe : équivalence de la chaleur et du travail
1.3.3 Le second principe : sens dévolution des systèmes . . . . .
1.4 Système ouvert, système fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Les potentiels thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Critère de stabilité thermodynamique des mélanges de fluides . . .
1.7 Conditions d’équilibre thermodynamique d’un fluide, et sa stabilité
1.7.1 Cas d’un système monophasique . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Cas d’un système diphasique . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Les variables d’état et les potentiels thermodynamiques . . . . . .
1.9 Equilibre liquide vapeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Equilibre chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Quelques relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 La relation de Gibbs-Duhem . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Variables extensives, molaires et massiques . . . . . . . . .
1.12 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
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. . . . . . .
mécanique
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5
5
6
7
8
9
9
10
10
11
14
14
18
18
18
18
18
18
18
18
20
22
2 Equations de bilan monophasiques
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le théorème de Gauss et la règle de Leibniz . . . . . .
2.2.1 La vitesse géométrique d’une surface . . . . . .
2.2.2 Le théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 La règle de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Les bilan globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Vitesse et vitesses moyennes . . . . . . . . . . .
2.3.2 Le bilan de masse . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Le bilan des espèces . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Le bilan de quantité de mouvement . . . . . . .
2.3.5 Le bilan de moment de quantité de mouvement
2.3.6 Le bilan d’énergie totale . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Le second principe et le bilan d’entropie . . . .
2.4 Les équations locales primaires . . . . . . . . . . . . .
2.5 Les différentes formes des équations locales . . . . . .
2.5.1 La forme dite des flux totaux . . . . . . . . . .
2.5.2 La forme dite convective . . . . . . . . . . . . .
2.6 Les équations locales secondaires . . . . . . . . . . . .
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23
23
23
23
26
26
27
27
29
29
30
30
31
32
32
33
34
34
35
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152
2.7
2.8
2.9
SOMMAIRE DU COURS DE TRANSFERTS DE CHALEUR
2.6.1 Les équations primaires sous forme convective . . . . . . . . . .
2.6.2 Les équations secondaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fermeture des équations locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Application de la thermodynamique à la mécanique des milieux
2.7.2 Flux et sources d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Interprétation des sources d’entropie : forces et flux généralisés
Quelques remarques sur les résultats généraux . . . . . . . . . . . . . .
Synthèse des résultats importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Les équations des écoulements diphasiques
3.1 Etablissement des équations locales et instantanées . . . . . . . . .
3.1.1 Le bilan de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Le bilan de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Le bilan d’énergie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Le bilan d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Forme générale des bilans globaux et les équations locales .
3.2 Les équations locales et les relations de saut aux interfaces . . . . .
3.2.1 Equations locales primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Equations locales secondaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Relations de saut primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Relations de saut secondaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Exemples d’utilisation des relations de saut . . . . . . . . .
3.3 Les équations instantanées moyennées sur la section d’une conduite
3.3.1 Définition des opérateurs de moyenne spatiaux . . . . . . .
3.3.2 Les outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Equations instantanées moyennées dans la section . . . . .
3.4 Les équations locales moyennées sur un intervalle de temps . . . .
3.4.1 Définition des opérateurs de moyenne . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Les outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Equations locales moyennées sur un intervalle de temps . .
3.4.4 La décomposition de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Les équations moyennées en temps et en espace . . . . . . . . . . .
3.5.1 Problématique de la fermeture des équations moyennées . .
4 Blocage de débit en écoulement diphasique
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Occurrences industrielles des écoulements compressibles
4.1.2 Lois d’état des gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Conditions d’apparition des écoulements compressibles .
4.2 Equations de bilan moyennées dans la section . . . . . . . . . .
4.3 Physique des écoulements compressibles : le blocage de débit .
4.4 Solutions stationnaires de l’écoulement adiabatique . . . . . . .
4.4.1 Cas de la conduite de section constante . . . . . . . . .
4.4.2 Cas de la conduite de section variable . . . . . . . . . .
4.4.3 Ecoulement isentropique à section variable . . . . . . . .
4.5 Chocs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Application des modèles à une expérience . . . . . . . . . . . .
.1
Etablissement de l’équation d’évolution . . . . . . . . . . . . .
.1.1
v fonction de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.1.2
T et a fonction de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.1.3
ρ fonction de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.1.4
p fonction de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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continus .
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35
36
38
39
40
41
49
50
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51
52
52
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65
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70
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81
81
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83
84
86
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91
92
95
96
98
102
102
103
103
103
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153
SOMMAIRE DU COURS DE TRANSFERTS DE CHALEUR
.2
.3
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.6
.1.5
Equation d’évolution . . . . . . . .
Ecoulement de Fanno . . . . . . . . . . .
Ecoulement isentropique à section variable
Conditions de choc . . . . . . . . . . . . .
Formulaire d’écoulements monophasiques
Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . .
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A La règle de Leibniz et le théorème de Gauss
A.1 Flux et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Règle de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Forme limite du théorème de Gauss pour une section de conduite
A.5 Forme limite de la règle de Leibniz pour une section de conduite
A.6 Forme limite de la règle de Leibniz pour des fonctions continues
de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Forme limite du théorème de Gauss pour des fonctions continues
de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8 Commutativité des termes d’interaction à l’interface . . . . . . .
A.8.1 Cas de la moyenne sur une section de conduite . . . . . .
A.8.2 Cas de la moyenne sur un volume . . . . . . . . . . . . .
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par intervalles
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par intervalles
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103
104
105
106
107
112
113
113
114
115
119
121
123
124
126
126
127
B Symétrie du tenseur des contraintes
131
B.1 Théorème de transport et bilan de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.2 Théorème de transport et bilan de quantité de mouvement linéaire . . . . . . . . 132
B.3 Bilan de quantité de mouvement angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C Propriétés thermodynamiques de l’eau à l’état saturant
135
C.1 Propriétés thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C.2 Propriétés de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Sommaire
151
Nomenclature
157
Références
160
Index
161
154
SOMMAIRE DU COURS DE TRANSFERTS DE CHALEUR
NOMENCLATURE
Nomenclature
Lettres latines
C
périmètre de la section S
c
concentration (mol/m3 ), voir équation (1.4), page 7
h
b J/kg, voir équation (1.33), page 13
enthalpie massique, h = H,
l
abscisse curviligne le long d’une courbe
m
masse (kg)
n
quantité de matière (mol)
p
pression, pression partielle (Pa), voir équation (1.12), page 9
q 000
puissance volumique des sources de chaleur autre que celles d’origine chimique, W/m3
R
constante des gaz parfaits, voir équation (1.11), page 9
R
taux de production volumique molaire, mol/m3 /s, voir équation (2.39), page 30
r
taux de production volumique massique, kg/m3 /s, voir équation (2.35), page 29
S
section de conduite
s
entropie par unité de masse
Sm (t) surface limitant un volume matériel. En tout point la vitesse d’un point attaché est égale
à la vitesse du fluide
T
température (K), éventuellement en o C si précisé
T
temps d’intégration d’une fonction dépendant du temps
Tk
[Tk ], ensemble des intervalles de temps où la phase k est présente au point considéré
U
énergie interne d’un système, J
u
b , J/kg/K
énergie interne par unité de masse, u = U
v
volume massique, Vb , m3 /kg
Vm (t) volume matériel
x
fraction molaire, pour un liquide et un solide, sans dimension, voir équation (1.8), page 8
y
fraction molaire, pour un gaz, sans dimension, voir équation (1.8), page 8
Vecteurs
156
NOMENCLATURE
a
vecteur quelconque
g
force de volume
n
vecteur unitaire normal à la surface d’un domaine et orienté vers son extérieur
nΣ
normale unitaire extérieure à la surface latérale de la conduite, Σ
nC
normale à la courbe plane C(z, t) qui est le périmètre de la section S(z, t)
q
flux de chaleur, W/m2
r
position
vΣ
vitesse d’un point attaché à la surface latérale Σ
vS
vitesse d’un point attaché à la surface S, voir équation (2.1)
J
densité de flux diffusion, flux de diffusion molaire
j
densité de flux diffusion, flux de diffusion massique
N
densité de flux molaire
VDα
vitesse de diffusion molaire de l’espèce α
vDα
vitesse de diffusion massique de l’espèce α
V
vitesse moyenne molaire
v
densité de flux de masse
v
vitesse moyenne barycentrique
vS n vitesse géométrique de déplacement de la surface S, voir équation (2.7)
Lettres cursives
A
affinité chimique d’une réaction, voir équation (2.84), page 43
M
masse molaire, voir équation (1.2), page 7
N
Nombre d’Avogadro, voir équation (1.1), page 7
Lettres grecques
δij
symbole de Kronecker, voir équation (B.15)
ijk
symbole de permutation, voir équation (A.31)
µ
viscosité dynamique, voir équation (2.80)
ω
fraction massique, sans dimension, voir équation (1.7), page 8
ρ
masse volumique (kg/m3 ), voir équation (1.3), page 7
Σ
surface latérale d’une conduite
σ
sources volumiques d’entropie autre que celles liées au sources de chaleur q 000
ζ
viscosité de volume, voir équation (2.80)
NOMENCLATURE
Indices, exposants, décorations
α
b
e
relatif à un constituant d’un mélange à N constituants
variable massique
variable molaire
A
relatif à un constituant d’un mélange à 2 constituants
B
relatif à un constituant d’un mélange à 2 constituants
Opérateurs
:
produit doublement contracté
produit scalaire, produit contracté d’un tenseur par un vecteur
Tenseurs
T
tenseur des contraintes
I
tenseur unité, Iij = δij
M
tenseur quelconque
V
tenseur des contraintes visqueuses
157
158
NOMENCLATURE
RÉFÉRENCES
Références
AFNOR. 1979. Grandeurs et unités. Le système international d’unités, les symboles de grandeurs
et d’unités. Association française de normalisation.
Annequin, R., & Boutigny, J. 1973. Cours de sciences physiques : thermodynamique. Vuibert.
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Bergles, A.E, Collier, J. G., Delhaye, J. M., Hewitt, G. F., & Mayinger, F. 1981. Two-phase
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Claudel, B. 1996. Propriétés thermodynamiques des fluides. Techniques de l’ingénieur, B(8020),
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Corriou, J.-P. 1984. Thermodynamique chimique-définitions et relations fondamentales. Techniques de l’ingénieur, J(1025), 1–29. Dec 1984.
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transport properties and computer programs for vapor and liquid state of water in SI units.
Hemisphere and McGraw-Hill.
160
RÉFÉRENCES
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Jamet, D. 2003. Thermodynamique et transitions de phase. Tech. rept. SMTH/LDTA/2003-043.
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Landau, L., & Lifchitz, E. 1971. Mécanique des fluides. MIR.
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Perry, R. H., & Green, D. W. (eds). 1999. Perry’s chemical engineers’ handbook. McGraw-Hill.
Electronic version.
Schmidt, E. 1982. Properties of water and steam in SI-Units. third, enlarged edn. SpringerVerlag.
Welty, J. R., Wicks, C. E., & Wilson, R. E. 1976. Fundamental of momentum, heat and mass
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Welty, J. R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., & Rorrer, G. L. 2001. Fundamental of momentum,
heat and mass transfer. Fourth edn. John Wiley & Sons.
Zahra, A.-M., & Mathieu, J.-C. 1989. Thermodynamique des processus irréversibles. Techniques
de l’ingénieur, A(228), 1–25.
INDEX
162
INDEX
Index
A
Q
action de masse, loi d’ 43
Avogadro (nombre d’) 7
quantité de matière 7
C
Reynolds
théorème de 26
théorème de transport 54
concentration 7
D
R
dérivée convective 35, 54
diffusion
flux 28, 29
loi de Fick 28, 29
Dufour, effet 48
S
E
V
équation
primaire monophasique 35
équilibre
local 31
thermodynamique 41
F
fraction massique 8
fraction molaire 8
G
Gauss
forme limite du théorème
conduite circulaire 57
temporelle 62
théorème de 26, 52
gaz parfait 9
Gibbs-Duhem 19
L
Leibniz
forme limite de la règle
conduite circulaire 59
temporelle 61
règle de 26, 53
M
masse molaire 7
masse volumique 7
P
pression partielle 9
Soret, effet 47
T
tenseur visqueux 36
vitesse de déplacement 23
vitesse géométrique 23
volume massique 35