séance 5 29/11/2005

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Correction d’erreurs
• Propriété: Pour corriger x erreurs il suffit que la distance
de Hamming h ≥ 2x + 1
• Le code erroné doit rester plus proche du code original
que de tout autre
• Exemple de code correcteur
– m = 2 ; r = 3 ; M = {00111, 01100, 10000, 11011}
– h = 3, on corrige une erreur
• Problème :
– Quelle est la valeur minimale de r permettant de corriger les
erreurs simples dans des trames de m bits de données et r de
contrôle ?
–2
r >= m+r+1 (m+r erreurs possibles sur m ou r ou pas erreur)
– Exemple : m =4, r = 3
Code correcteur de Hamming
• N = m + r bits rangés de la façon suivante:
– x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
– r1 r2 m1 r3 m2 m3 m4 r4 m5 (puissance de 2: r)
–1 = 1
– 2 = 2
–3 = 1+ 2
– 4 = 4
– 5 = 1+ 4
– 6 = 2+ 4
– 7 = 1+ 2 +4
– 8 = 8
– 9 = 1 + 8
• Valable pour un nombre quelconque de bits de donnée.
• Nombre de bits de contrôle minimal pour n bits de données
• À destination on recalcule les bits de contrôle. La somme des numéros
des bits de contrôle erronés donne le numéro du bit qui porte l’erreur.
•Voir TD
• Utilisé pour les erreurs disque dur
x1 ⊕x3 ⊕x5 ⊕x7 ⊕x9= 0
x2 ⊕x3 ⊕x6 ⊕x7 =0
x4 ⊕x5 ⊕x6 ⊕x7 =0
x8 ⊕x9 = 0

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Synthèse
combinatoire
But
• Apprendre à synthétiser des circuits
combinatoires a partir de tables de vérité,
fonctions booléennes, tableaux de Karnaugh
• Combinatoire: la sortie du circuit ne dépend
que de ses entrées et non de son passé

3
Représentation algébrique d’une
fonction booléenne
• f fonction booléenne:
–B
n⇒B
–x ⇒f(x)
– Si f renvoie indifféremment 0 ou 1 on dit que f est
Φ-booléenne
– La fonction f* duale de f est telle que ∀x, f*(x) =
• La représentation algébrique d’une fonction
booléenne peut s’exprimer à l’aide des 3
opérateurs de base ET OU NON
)(xf
Représentation d’une fonction
booléenne
•Monôme booléen: produit de p variables booléennes
apparaissant chacune une seule fois sous forme directe
ou complémentée
– Exemples: xy,xy, zxy sont des monômes booléen
alors que x +y est un monal booléen
•Forme polynomiale: somme de monômes booléens
– Exemple f(x, y, z) = xy +xy +zxy
•Forme polynale: produit de monaux booléens
– Exemple f(x, y, z) = (x +y) .(x +y ) .(z +x +y)

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Propriétés de l’algèbre de Boole
•∀(x,y,z)∈B3
–Commutativité: x + y = y + x et x.y = y.x
–Associativité: (x+y)+z= x+ (y+z) et x.(y.z)=(x.y).z
–Distributivité: x.(y+z)=(x.y)+(x.z)
et x+(y.z)= (x+y).(x+z) (moins évident)
–Élément neutre: x+0 = x et x.1 = x
–Complémentation: x+x = 1 et x.x = 0
–Idempotence: x+x = x et x.x = x
–Éléments absorbants: x+1 = 1 et x.0 = 0
Propriétés de l’algèbre de Boole
•∀(x,y,z)∈B3
–Absorptions: x + xy = x et x. (x+y)=x
– Involution: x = x
– Théorèmes d’Augustus de Morgan:
•x+y = x y = NOR(x,y)
•x.y = x +y = NAND(x,y)
• Vérification avec les TV

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Forme canonique d’une fonction
Booléenne
• 1ere FC ou forme systématique de Lagrange
– 1ere forme Th. de Shannon:∀i,
f(x1,…, xn) =xi f(x1,…xi-1,0,xi+1,…, xn) +
xi f(x1,…xi-1,1,xi+1,…, xn)
– Appliqué itérativement n fois :
f(x1,…, xn) = (xi ou xi)
• Exemple: f(A,B)=A f(0,B) +A f (1,B)
– f(A,B)=A [ f(0,0)B+ f (0,1) B] + A [ f(1,0)B+ f (1,1) B]
– f(AB)= f(0,0)AB + f(0,1)AB+ f(1,0)AB + f(1,1)AB
∑∏
n
2n
Forme canonique d’une fonction
Booléenne
• 2eme FC ou seconde forme systématique de Lagrange
– 2eme forme Th. de Shannon:∀i,
f(x1,…, xn) = [xi +f(x
1,…xi-1,1,xi+1,…, xn)] .
[xi +f(x
1,…xi-1,0,xi+1,…, xn)]
– Appliqué itérativement n fois :
f(x1,…, xn) = (xi ou xi)
• Exemple: f(A,B)=[A + f(1,B)] . [ A + f (0,B)]
f(A,B)={A + [B + f(1,1) ].[ B+ f (1,0)]} . [A +…]
f(AB)=[f(1,1)+A+B].[f(1,0)+A+B].[f(0,1)+A+B].[f(0,0)+A+B]
par distributivité x+yz = (x+y)(x+z)
∑
∏