Algèbre booléenne

Algèbre Booléenne
page 1 / 4
Al gèbr e B ool éenne
1. Utilisation.
L'Algèbre Booléenne permet de traiter et de manipuler des variables du type logique, c'est à dire des
variables binaires qui prennent pour valeur 0 ou 1.
Les variables binaires sont utilisées pour décrire des systèmes pour lesquels les variables définissant leur
état (variables d'état) ne connaissent que deux états différents.
Exemples : Une ampoule est allumée ou éteinte. Une porte est ouverte ou fermée.
Un objet est présent, ou absent. Un interrupteur est ouvert ou fermé.
• Dans notre cas, l'algèbre booléenne va servir pour :
1. Le codage : conversion analogique/numérique (CAN) – les systèmes de numération (codes à barres).
Nous verrons principalement l'aspect automatique à contrario de l'aspect informatique, même si les
outils sont similaires.
2. La logique combinatoire : permet de décrire l'état d'un système automatisé lorsque celui ci ne
dépend que de l'état des entrées.
3. La logique séquentielle : permet de décrire l'état d'un système automatisé lorsque celui-ci dépend de
l'état des entrées et aussi de la séquence précédente. Outil utilisé (GRAFCET).
2. Opérateurs logiques élémentaires et leurs représentations.
Pour chaque opération booléenne présentée ci-dessous, il existe plusieurs schématisations et
représentations possibles, ainsi que plusieurs solutions techniques permettant leur réalisation concrète.
Les différentes "représentations" des opérateurs logiques :
♣ Équation logique ou booléenne.
♣ Le symbole logique (logigramme)
♣ La tableau de vérité – le tableau de Karnaugh.
♣ Schéma logique à contact (électrique).
Opérateurs logiques élémentaires.
Algèbre Booléenne.doc
Algèbre Booléenne
page 2 / 4
Opérateurs logiques complémentaires.
♣ OU exclusif
♣ NAND et NOR
3. Relations fondamentales de l’algèbre de logique.
OU
ET
Algèbre Booléenne.doc
Algèbre Booléenne
page 3 / 4
4. Autres outils de définition d'une variable en fonction des autres.
4.1 Table de vérité.
Par exemple, à partir d'une table de vérité, il est possible de déterminer l'équation
Booléenne donnant A en fonction de a, b et c.
a.b.c
•
Il s'agit alors de remplir les tables en considérant toutes les combinaisons possibles.
000
- 0 si la sortie correspondante est à l'état inactif.
001
- 1 si la sortie correspondante est à l'état actif.
010
- X si la combinaison d'entrée est impossible. Alors, on pourra ensuite choisir
judicieusement X = 1 ou X = 0 pour que l'équation soit la plus simple possible.
011
- si pour une même combinaison d'entrée une des sorties peut être égale à 1et à 0
100
alors le système n'est pas combinatoire.
101
•
Réalisation de l'équation brut à partir de la table de vérité : utilisation des opérateurs
110
OU, ET et NON.
111
•
Il s'agit ensuite de simplifier l'équation au maximum, afin d'économiser les
composants logiques, en utilisant les relations fondamentales de l'algèbre booléenne.
A
0
1
1
X
0
1
X
0
4.2 Tableau de Karnau gh.
Le tableau de Karnaugh permet d’écrire l’équation logique directement simplifiée.
Construction.
♣ C’est un tableau à double entrée.
♣ Les variables d’entrées doivent être écrites en code binaire réfléchi ou code Gray (voir codage).
Utilisation.

♣ On utilise implicitement la relation a + a = 1
♣ Il suffit de remarquer que le passage d’une case à sa case adjacente entraîne le changement d’état
d’une seule variable d’entrée. Donc, si deux 1 se trouvent dans deux cases adjacentes, on peut
simplifier l’équation en éliminant la variable qui change d’état grâce à l’expression ci-dessus.
♣ Il est possible de faire la même chose avec des 0 : attention voir exemples.
n
♣ Ces regroupements peuvent se faire par 2, 4, 8, 2
Algèbre Booléenne.doc
Algèbre Booléenne
page 4 / 4
5. Quelques considérations techniques.
Les différentes solutions techniques pour réaliser des systèmes logiques combinatoires :
Solutions pneumatiques, électriques (relais), électronique (petits composants), informatique (logiciels).
Utilisation :
♣ En pneumatique, on utilise les éléments universel ET, OU, OUI et NON.
♣ En électronique, on utilise les éléments NAND ou OR :
Il faut donc être capable de réaliser les fonctions NON, ET, OU à partir des cellules NAND ou NOR
Les portes NOR fonctionnent en logique positive (de 0 V à 12 V)
Les portes NAND fonctionnent en logique négatives (de –12 V à 0 V).
Il est donc recommandé, dans un circuit de ne pas mélanger des NAND et des NOR.
Algèbre Booléenne.doc