Algèbre booléenne

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Algèbre B ooléenne
1. Utilisation.
L'Algèbre Booléenne permet de traiter et de manipuler des variables du type logique, c'est à dire des
variables binaires qui prennent pour valeur 0 ou 1.
Les variables binaires sont utilisées pour décrire des systèmes pour lesquels les variables définissant leur
état (variables d'état) ne connaissent que deux états différents.
Exemples : Une ampoule est allumée ou éteinte. Une porte est ouverte ou fermée.
Un objet est présent, ou absent. Un interrupteur est ouvert ou fermé.
• Dans notre cas, l'algèbre booléenne va servir pour :
1. Le codage : conversion analogique/numérique (CAN) – les systèmes de numération (codes à barres).
Nous verrons principalement l'aspect automatique à contrario de l'aspect informatique, même si les
outils sont similaires.
2. La logique combinatoire : permet de décrire l'état d'un système automatisé lorsque celui ci ne
dépend que de l'état des entrées.
3. La logique séquentielle : permet de décrire l'état d'un système automatisé lorsque celui-ci dépend de
l'état des entrées et aussi de la séquence précédente. Outil utilisé (GRAFCET).
2. Opérateurs logiques élémentaires et leurs représentations.
Pour chaque opération booléenne présentée ci-dessous, il existe plusieurs schématisations et
représentations possibles, ainsi que plusieurs solutions techniques permettant leur réalisation concrète.
Les différentes "représentations" des opérateurs logiques :
♣ Équation logique ou booléenne.
♣ La tableau de vérité – le tableau de Karnaugh.
♣ Le symbole logique (logigramme)
♣ Schéma logique à contact (électrique).
Opérateurs logiques élémentaires.

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OU
ET
Opérateurs logiques complémentaires.
♣ OU exclusif
♣ NAND et NOR
3. Relations fondamentales de l’algèbre de logique.

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4. Autres outils de définition d'une variable en fonction des autres.
4.1 Table de vérité.
Par exemple, à partir d'une table de vérité, il est possible de déterminer l'équation
Booléenne donnant A en fonction de a, b et c.
• Il s'agit alors de remplir les tables en considérant toutes les combinaisons possibles.
- 0 si la sortie correspondante est à l'état inactif.
- 1 si la sortie correspondante est à l'état actif.
- X si la combinaison d'entrée est impossible. Alors, on pourra ensuite choisir
judicieusement X = 1 ou X = 0 pour que l'équation soit la plus simple possible.
- si pour une même combinaison d'entrée une des sorties peut être égale à 1 et à 0
alors le système n'est pas combinatoire.
• Réalisation de l'équation brut à partir de la table de vérité : utilisation des opérateurs
OU, ET et NON.
• Il s'agit ensuite de simplifier l'équation au maximum, afin d'économiser les
composants logiques, en utilisant les relations fondamentales de l'algèbre booléenne.
4.2 Tableau de Karnaugh.
Le tableau de Karnaugh permet d’écrire l’équation logique directement simplifiée.
Construction.
♣
C’est un tableau à double entrée.
♣
Les variables d’entrées doivent être écrites en code binaire réfléchi ou code Gray (voir codage).
Utilisation.
♣
On utilise implicitement la relation a + 
a = 1
♣
Il suffit de remarquer que le passage d’une case à sa case adjacente entraîne le changement d’état
d’une seule variable d’entrée. Donc, si deux 1 se trouvent dans deux cases adjacentes, on peut
simplifier l’équation en éliminant la variable qui change d’état grâce à l’expression ci-dessus.
♣
Il est possible de faire la même chose avec des 0 : attention voir exemples.
♣
Ces regroupements peuvent se faire par 2, 4, 8, 2n
a.b.c
A
000
0
001
1
010
1
011
X
100
0
101
1
110
X
111
0

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5. Quelques considérations techniques.
Les différentes solutions techniques pour réaliser des systèmes logiques combinatoires :
Solutions pneumatiques, électriques (relais), électronique (petits composants), informatique (logiciels).
Utilisation :
♣ En pneumatique, on utilise les éléments universel ET, OU, OUI et NON.
♣ En électronique, on utilise les éléments NAND ou OR :
Il faut donc être capable de réaliser les fonctions NON, ET, OU à partir des cellules NAND ou NOR
Les portes NOR fonctionnent en logique positive (de 0 V à 12 V)
Les portes NAND fonctionnent en logique négatives (de –12 V à 0 V).
Il est donc recommandé, dans un circuit de ne pas mélanger des NAND et des NOR.