Introduction Les Méthodes d`analyses modales

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Introduction
Ce document décrit les méthodes d'analyse dynamique appliquées dans Robot. On trouvera les modalités
théoriques et plusieurs exemples dans les annexes. Cette rubrique n'a aucune prétention éducative et n'entend pas
expliciter l'interface de Robot. Elle énumère les principes sur lesquels reposent ce programme.
La plupart des méthodes dynamique de Robot reposent les résultats d'analyses modales. Il faut bien comprendre
que les méthodes d'analyse modale dépendent du type de solveur retenu. Pour le solveur Skyline, on dispose des
méthodes suivantes : Itération dans le sous-espace par blocs (BLSI), Itération sur sous-espace (SI), Lanczos et
Réduction de base. Pour le solveur direct, on dispose des méthodes suivantes : Itération dans le sous-espace par
blocs (BLSI), Lanczos et Réduction de base. Pour le solveur itératif, les méthodes suivantes sont disponibles :
Lanczos modifiée (mode Pseudo - voir 3.5 et annexes 3A et 3B), gradient de Ritz (PCG_Ritz) et le gradient
conjugué préconditionné (PCG).
Le solveur direct (SPDS) constitue l'une des variantes de l'élimination de Gauss. Ce solveur est vivement indiqué
pour l'analyse de problèmes moyens à grands (de 10 000 à 200 000 équations) et constitue une alternative valable
au solveur itératif.
Les Méthodes d'analyses modales
L'analyse modale se compose de deux approches de base. L'analyse de problème à valeurs propres
k = 1,2,…,N (3.1)
est obtenue par la définition de valeurs propres wk et de vecteurs propres . C'est la première approche bien
connue des ingénieurs. La seconde approximation repose sur la génération des vecteurs de base
(3.2)
et sur la recherche des approximations de Ritz , (k=1,2,..., N). Elle repose sur la méthode des vecteurs de
Ritz, proposée par E.L. Wilson [1, 3] et appliquée à SAP2000. Cette approche s'applique pour l'analyse sismique
et constitue une méthode puissante en cas de difficulté majeure à obtenir des pourcentages de masse suffisants
(voir 3.5).
On utilise les méthodes Itération dans le sous-espace par blocs (BLSI), Itération sur sous-espace (SI), Lanczos à
orthogonalisation sélective et Réduction de base (voir Annexe 3A) en cas de sélection de solveurs directs
(Skyline ou SPDS). La méthode d'itération sur sous-espace est généralement lente. On recommande donc les
méthodes BLSI ou Lanczos pour l'analyse de problèmes moyens et surtout très grands, si de très nombreuses
valeurs propres sont concernées. La Réduction de base, utilisée par un ingénieur expérimenté, donnera de bons
résultats. Elle requiert des informations supplémentaires sur les noeuds et les directions de base.
Gradient conjugué préconditionné (PCG)

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Cette méthode est utilisée en première approche, si le solveur itératif a été retenu. Elle donne de bons résultats si
très peu de modes propres sont extraites (jusqu'à 5). On l'utilise plus souvent pour l'analyse du vent que pour
l'analyse sismique. On utilise la PCG pour l'estimation du mode propre le plus bas sur les systèmes importants.
Pour une présentation de la deuxième méthode (obtenue par analyse pseudo-mode), voir 3.5.
Itération en blocs (BLSI)
Cette méthode [1,3] est plus générale que la Méthode Lanczos, car elle accepte tous les types de matrices de
masses (voir 3.2) et peut analyser des structures de façon individuelle. Les itérations dans un bloc de taille
constante avec exclusion immédiate de vecteurs convergents et addition de nouveaux vecteurs initiaux permet
d'accélérer les calculs par rapport à la méthode d'itération dans le sous-espace habituelle [1 à 3]. La méthode
BLSI, comme la Lanczos, peut s'appliquer pour extraire un grand nombre de valeurs propres (jusqu'à 100 ou
200).
Itération dans le sous-espace (SI)
On peut utiliser cette méthode pour analyser tous les types de matrices de masse [4] ou de structures séparées.
Cela dit, si de nombreux modes sont requis (plus de 10), cette méthode reste très lente, surtout appliquée à des
systèmes très importants.
La puissance de la méthode Lanczos [12,16,17] permet d'obtenir un grand nombre de couples propres (de 20 à
500, voire plus). Bien qu'on l'appliquera de préférence à des systèmes importants, elle induit certaines
restrictions :
• Il est impossible d'analyser des structures séparées.
• Les matrices de masses sont intégrées aux rotations ou de types homogènes
• Il est impossible d'ignorer la densité de la matière (il suffit alors d'affecter une faible densité fictive pour
contourner ces limites).
Réduction de base
Cette méthode [5] est connue sous le nom de méthode évoluée de Rayleigh-Ritz [4] ou de Bubnov-Galerkin pour
systèmes discrets. Cet algorithme permet d'obtenir des valeurs approximatives des premiers couples propres, si
toutefois certains paramètres les concernant sont connus. La méthode demande la définition des degrés de liberté
de type « maître » (MDOF - master degree of freedom) afin d’obtenir un système réduit. La procédure de
création du modèle réduit peut donc être contrôlée. Il s'agit d'un outil puissant destiné aux ingénieurs
expérimentés dans l'analyse dynamique de structures et habitués à certains types de structures au comportement
connu. Cette méthode permet d'exclure les degrés de liberté (DOF) indésirables du modèle en réduction, et
ramène le problème complexe initial (aux degrés de liberté nombreux) à une forme réduite. Ceci est possible
avec beaucoup moins de degrés de liberté (DOF). L'expérience en matière d'analyse structurelle dynamique
montre que les utilisateurs rencontrent certains problèmes quand les méthodes de réduction automatique (BLSI,
SI et Lanczos) génèrent des calculs très complexes. Par exemple, les vibrations de barres isolées peuvent
provoquer de sérieux problèmes, la recherche de couples propres se faisant automatiquement sans sélection
préalable. Ceci s'applique à la majorité des cas de structures réelles. Dans le cas contraire, ces vibrations
localisées seront contrariées par certaines contraintes non prises en compte dans l'analyse des éléments finis, ou
leur participation sera insignifiante dans le déplacement global du système. En général, pour ces vibrations
localisées, le pourcentage des masses participantes est très faible. Utiliser des méthodes exactes pour ce cas
risque d'engendre les difficultés expliquées plus haut. La mise en oeuvre de la méthode approximative de
réduction de base peut simplifier les calculs.

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Gradient conjugué préconditionné (PCG)
Cette méthode [9-13] est disponible pour les solveurs itératifs. Cette méthode est recommandée pour l'extraction
d'un petit nombre de couples propres sur des systèmes importants. Le Pseudo-mode (voir 3.5) et les méthodes
Lanczos ou PCG_Ritz sont conseillés s'il faut déterminer un grand nombre de modes pendant l'exécution de
l'analyse sismique ou spectracle et qu'un solveur itératif a été retenu.
Réduction de Ritz (PCG_Ritz)
Cette méthode [8] est disponible pour les solveurs itératifs en pseudo-mode. Elle permet d'obtenir une résolution
approximative des termes des vecteurs de Ritz. Cette méthode permet des analyses sismiques et spectrales très
rapide sur les systèmes de taille moyenne (de 10 000 à 100 000 équations).
Méthode de Lanczos modifiée
Cette méthode complète la méthode de Lanczos en cas d'application d'un solveur itératif. Son fonctionnement
s'apparente à la méthode Lanczos en pseudo-mode. Différente de la méthode Lanczos pour solveurs directs, elle
ne requiert aucune factorisation de matrice de rigidité. Ce sont alors les principes de la méthode de gradient
préconditionné qui s'appliquent. De toutes les méthodes dynamiques associées aux solveurs itératifs, cette
méthode est la plus fiable, bien qu'elle ne soit pas la plus rapide.
Les détails de toutes les méthodes dynamiques sont présentés dans l'annexe 3A.
Types de matrices des masses
Une structure peut recevoir des matrices simplifiées sans rotations, simplifiées avec rotations ou homogènes.
Les matrices simplifiées sans rotations et avec rotations sont les matrices de masses diagonales. Ces types de
matrices de masses exigent très peu de calculs.
La matrice de masses homogènes s'affiche si le système étudié possède des paramètres répartis. Selon une idée
très répandue, une matrice de masses homogène décrit plus fidèlement les propriétés d'inertie d'une structure
qu'une matrice simplifiée. Or il s'avère que bien souvent, une matrice de masses simplifiée offre une
approximation satisfaisante, les paramètres d'inertie étant évidemment établis avec moins de précision que les
paramètres de rigidité. L'énergie cinétique est en fait intégrée aux déplacements structurels, tandis que l'énergie
potentielle est exprimée par la dérivée spatiale des déplacements. On sait bien que l'erreur d'approximation
augmente considérablement à chaque différenciation [4]. Pour les objets continus (solides, coques, dalles), il est
donc possible d'établir une approximation des paramètres de masse moins précise que les paramètres de rigidité
pour un même maillage.
Généralement, on retient les polynômes d'Hermite en tant que fonctions de forme des barres. Il s'agit d'une
solution précise pour la plupart des problèmes statiques et des problèmes dynamiques, si la matrice des masses
est de type simplifiée. Toutefois, des solutions exactes pour les problèmes dynamiques liés à une barre aux
masses réparties appartiennent à la classe des fonctions de Krylov (combinaison spécifique de fonctions
hyperboliques et trigonométriques). Elle permet de présenter les paramètres de rigidité en approximation quand
les polynômes d'Hermite sont utilisés parallèlement à une matrice de masses homogènes. Elle n'a pas été conçue
pour la mise en oeuvre d'un autre type de fonction de forme pour les problèmes statiques et dynamiques. Dans la
plupart des cas, il n'est donc pas forcément avantageux de compliquer le modèle dynamique en faisant intervenir

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des paramètres de masse, la solution d'approximation avec des masses homogènes étant choisie à la place de la
solution exacte pour un modèle approximatif (masses simples).
De plus, les masses d'éléments structurels (longerons, poteaux, etc.) sont généralement négligeables par rapport
aux masses des murs et des toit (charge permanente), qui sont prises en compte au moment de la conversion des
charges permanentes en masses. Ces masses non structurelles réduisent généralement les effets de la répartition
des masses des éléments.
Dans la plupart des cas pratiques, la matrice des masses simplifiée offre un degré d'approximation satisfaisant
pour les propriétés d'inertie de la structure. Il convient de noter qu'une matrice de masses homogène requiert des
calculs importants si l'analyse porte sur un problème de taille importante. Il faudra justifier de l'implémentation
d'une matrice de masses homogènes avant de choisir un tel type de matrice en vue de l'analyse.
On part du principe que la matrice des masses est Homogène si les liaisons rigides font partie du modèle de
calcul.
En cas d'application d'un solveur direct ou itératif, le calcul du produit matrice-vecteur s'effectue selon la
technique "élément par élément" (EPE) est utilisée pour le calcul du produit matrice-vecteur. La matrice des
masses homogènes ne pouvant pas être constituée, toutes les opérations se déroulent uniquement au niveau
élémentaire. Dans le cas du solveur Skyline, une matrice des masses homogène est constituée et sauvegardée de
la même façon qu'une matrice de rigidité. Pour les systèmes de petite taille (3 000 équations et moins), la
technique Skyline est plus rapide, bien que sensiblement plus longue quand le système s'étoffe.
Il est possible d'utiliser des masses ajoutées et de convertir des charges statiques en masses.
Si les méthodes Lanczos, PCG_Ritz ou Lanczos modifiée (solveur itératif) sont sélectionnées, seules les matrices
Simplifiée avec rotation et Homogène sont disponibles.
Limites hautes
Il est possible de calculer toutes les valeurs propres et les modes propres inférieurs à une valeur définie par
l'utilisateur. Cette valeur est alors considérée comme la "limite haute". Quand cette option est activée, Robot
recherche ω1, ω2, …, ωn ≤ ω*, où ω* est la limite haute. L'algorithme fonctionne en deux étapes. La première
comprend un contrôle de séquence selon Sturm, débouchant sur la définition du nombre de valeurs propres (n),
par nature inférieure à la limite haute. La seconde voit la génération de n couples propres, chacun d'entre eux
étant inférieur à la limite haute.
Les méthodes Lanczos et BLSI sont recommandées pour les types d'analyse utilisant les limites hautes, puisqu'il
est nécessaire d'obtenir un nombre important de couples propres.
Le critère de masses participantes (voir 3.4) est ignoré quand la limite haute intervient.
Par exemple, des problèmes peuvent survenir avec la norme sismique française PS-92, car elle impose que toutes
les fréquences inférieures à 33 Hz soient prises en compte.
Masses participantes
Les masses participantes pour chaque mode (k=1,2,..., n) est défini comme

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où , est le coefficient de masses participantes pour le mode propre K, Idir est le vecteur de
translation unitaire selon la direction (dir = X, Y, Z), est la masse totale selon la direction dir,
est le k-ième mode propre, .
Le pourcentage des masses participantes pour la direction dir est égale à M%dir . Il définit la
contribution de tous les modes impliqués dans le mouvement d'une structure dans la direction étudiée.
Si vous avez choisi l'Analyse modale et que les masses participantes pour un nombre maximal de noeuds (défini)
sont inférieures à la valeur requise, un message vous indique que le pourcentage de masses participantes ne
convient pas, et ce sans incidence ni correction sur les calculs.
Il convient de choisir l'analyse sismique ou le pseudo-mode pour procéder à la recherche automatique du
pourcentage de masses participantes requis. Pour des explications détaillées, voir 3.5.
Les modes d'analyse
Cette section présente les modes d'analyse suivants : Modale, Sismique et Pseudo-dynamique.
Certaines normes sismiques (UBC-97 ou la norme française PS-92) imposent que la somme des masses de
chaque direction (ou seulement pour les directions horizontales) soit supérieure à 90 %. Des problèmes risquent
de survenir au moment où la somme des masses requise est obtenue. Le résultat peut s'expliquer par un très
grande nombre de faibles contributions provenant des modes les plus bas. Ceci s'explique généralement par le
caractère local des modes les plus bas. Les modes Sismique et Pseudo-mode sont présentés pour tenter de régler
de tels problèmes complexes. L'efficacité de ces approximations sera présentée dans l'Annexe 3C. La méthode
Lanczos pour solveurs directs est disponible pour ces deux modes. Les méthodes Lanczos modifiée et PCG_Ritz
sont disponibles pour le pseudo-mode quand le solveur itératif a été choisi.
Modale
Il s'agit d'une approximation bien connue qui figurait déjà dans les précédentes versions de Robot.
Les méthodes BLSI, SI, Lanczos et Réduction de base pour les solveurs directs et la méthode PCG pour solveur
itératif sont disponibles.
Voici les critères de convergence des solveurs directs. L'itération s'arrête quand , où i = 1,
2,..., N; k - étant le nombre d'itérations, N - le nombre de modes (choix de l'utilisateur). La méthode de réduction
de base ne fait l'objet d'aucun contrôle de convergence. Bien que proche de la méthode de Ritz, il ne s'agit pas
d'une approximation itérative. Il faut augmenter le nombre de degrés de liberté "maîtres" pour améliorer la
précision des résultats.
Voici quelques critères de convergence pour la méthode PCG (solveur itératif) :