Introduction Les Méthodes d`analyses modales

Introduction
Ce document décrit les méthodes d'analyse dynamique appliquées dans Robot. On trouvera les modalités
théoriques et plusieurs exemples dans les annexes. Cette rubrique n'a aucune prétention éducative et n'entend pas
expliciter l'interface de Robot. Elle énumère les principes sur lesquels reposent ce programme.
La plupart des méthodes dynamique de Robot reposent les résultats d'analyses modales. Il faut bien comprendre
que les méthodes d'analyse modale dépendent du type de solveur retenu. Pour le solveur Skyline, on dispose des
méthodes suivantes : Itération dans le sous-espace par blocs (BLSI), Itération sur sous-espace (SI), Lanczos et
Réduction de base. Pour le solveur direct, on dispose des méthodes suivantes : Itération dans le sous-espace par
blocs (BLSI), Lanczos et Réduction de base. Pour le solveur itératif, les méthodes suivantes sont disponibles :
Lanczos modifiée (mode Pseudo - voir 3.5 et annexes 3A et 3B), gradient de Ritz (PCG_Ritz) et le gradient
conjugué préconditionné (PCG).
Le solveur direct (SPDS) constitue l'une des variantes de l'élimination de Gauss. Ce solveur est vivement indiqué
pour l'analyse de problèmes moyens à grands (de 10 000 à 200 000 équations) et constitue une alternative valable
au solveur itératif.
Les Méthodes d'analyses modales
L'analyse modale se compose de deux approches de base. L'analyse de problème à valeurs propres
k = 1,2,…,N (3.1)
est obtenue par la définition de valeurs propres wk et de vecteurs propres
. C'est la première approche bien
connue des ingénieurs. La seconde approximation repose sur la génération des vecteurs de base
(3.2)
et sur la recherche des approximations de Ritz
,
(k=1,2,..., N). Elle repose sur la méthode des vecteurs de
Ritz, proposée par E.L. Wilson [1, 3] et appliquée à SAP2000. Cette approche s'applique pour l'analyse sismique
et constitue une méthode puissante en cas de difficulté majeure à obtenir des pourcentages de masse suffisants
(voir 3.5).
On utilise les méthodes Itération dans le sous-espace par blocs (BLSI), Itération sur sous-espace (SI), Lanczos à
orthogonalisation sélective et Réduction de base (voir Annexe 3A) en cas de sélection de solveurs directs
(Skyline ou SPDS). La méthode d'itération sur sous-espace est généralement lente. On recommande donc les
méthodes BLSI ou Lanczos pour l'analyse de problèmes moyens et surtout très grands, si de très nombreuses
valeurs propres sont concernées. La Réduction de base, utilisée par un ingénieur expérimenté, donnera de bons
résultats. Elle requiert des informations supplémentaires sur les noeuds et les directions de base.
Gradient conjugué préconditionné (PCG)
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Cette méthode est utilisée en première approche, si le solveur itératif a été retenu. Elle donne de bons résultats si
très peu de modes propres sont extraites (jusqu'à 5). On l'utilise plus souvent pour l'analyse du vent que pour
l'analyse sismique. On utilise la PCG pour l'estimation du mode propre le plus bas sur les systèmes importants.
Pour une présentation de la deuxième méthode (obtenue par analyse pseudo-mode), voir 3.5.
Itération en blocs (BLSI)
Cette méthode [1,3] est plus générale que la Méthode Lanczos, car elle accepte tous les types de matrices de
masses (voir 3.2) et peut analyser des structures de façon individuelle. Les itérations dans un bloc de taille
constante avec exclusion immédiate de vecteurs convergents et addition de nouveaux vecteurs initiaux permet
d'accélérer les calculs par rapport à la méthode d'itération dans le sous-espace habituelle [1 à 3]. La méthode
BLSI, comme la Lanczos, peut s'appliquer pour extraire un grand nombre de valeurs propres (jusqu'à 100 ou
200).
Itération dans le sous-espace (SI)
On peut utiliser cette méthode pour analyser tous les types de matrices de masse [4] ou de structures séparées.
Cela dit, si de nombreux modes sont requis (plus de 10), cette méthode reste très lente, surtout appliquée à des
systèmes très importants.
La puissance de la méthode Lanczos [12,16,17] permet d'obtenir un grand nombre de couples propres (de 20 à
500, voire plus). Bien qu'on l'appliquera de préférence à des systèmes importants, elle induit certaines
restrictions :
•
•
•
Il est impossible d'analyser des structures séparées.
Les matrices de masses sont intégrées aux rotations ou de types homogènes
Il est impossible d'ignorer la densité de la matière (il suffit alors d'affecter une faible densité fictive pour
contourner ces limites).
Réduction de base
Cette méthode [5] est connue sous le nom de méthode évoluée de Rayleigh-Ritz [4] ou de Bubnov-Galerkin pour
systèmes discrets. Cet algorithme permet d'obtenir des valeurs approximatives des premiers couples propres, si
toutefois certains paramètres les concernant sont connus. La méthode demande la définition des degrés de liberté
de type « maître » (MDOF - master degree of freedom) afin d’obtenir un système réduit. La procédure de
création du modèle réduit peut donc être contrôlée. Il s'agit d'un outil puissant destiné aux ingénieurs
expérimentés dans l'analyse dynamique de structures et habitués à certains types de structures au comportement
connu. Cette méthode permet d'exclure les degrés de liberté (DOF) indésirables du modèle en réduction, et
ramène le problème complexe initial (aux degrés de liberté nombreux) à une forme réduite. Ceci est possible
avec beaucoup moins de degrés de liberté (DOF). L'expérience en matière d'analyse structurelle dynamique
montre que les utilisateurs rencontrent certains problèmes quand les méthodes de réduction automatique (BLSI,
SI et Lanczos) génèrent des calculs très complexes. Par exemple, les vibrations de barres isolées peuvent
provoquer de sérieux problèmes, la recherche de couples propres se faisant automatiquement sans sélection
préalable. Ceci s'applique à la majorité des cas de structures réelles. Dans le cas contraire, ces vibrations
localisées seront contrariées par certaines contraintes non prises en compte dans l'analyse des éléments finis, ou
leur participation sera insignifiante dans le déplacement global du système. En général, pour ces vibrations
localisées, le pourcentage des masses participantes est très faible. Utiliser des méthodes exactes pour ce cas
risque d'engendre les difficultés expliquées plus haut. La mise en oeuvre de la méthode approximative de
réduction de base peut simplifier les calculs.
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Gradient conjugué préconditionné (PCG)
Cette méthode [9-13] est disponible pour les solveurs itératifs. Cette méthode est recommandée pour l'extraction
d'un petit nombre de couples propres sur des systèmes importants. Le Pseudo-mode (voir 3.5) et les méthodes
Lanczos ou PCG_Ritz sont conseillés s'il faut déterminer un grand nombre de modes pendant l'exécution de
l'analyse sismique ou spectracle et qu'un solveur itératif a été retenu.
Réduction de Ritz (PCG_Ritz)
Cette méthode [8] est disponible pour les solveurs itératifs en pseudo-mode. Elle permet d'obtenir une résolution
approximative des termes des vecteurs de Ritz. Cette méthode permet des analyses sismiques et spectrales très
rapide sur les systèmes de taille moyenne (de 10 000 à 100 000 équations).
Méthode de Lanczos modifiée
Cette méthode complète la méthode de Lanczos en cas d'application d'un solveur itératif. Son fonctionnement
s'apparente à la méthode Lanczos en pseudo-mode. Différente de la méthode Lanczos pour solveurs directs, elle
ne requiert aucune factorisation de matrice de rigidité. Ce sont alors les principes de la méthode de gradient
préconditionné qui s'appliquent. De toutes les méthodes dynamiques associées aux solveurs itératifs, cette
méthode est la plus fiable, bien qu'elle ne soit pas la plus rapide.
Les détails de toutes les méthodes dynamiques sont présentés dans l'annexe 3A.
Types de matrices des masses
Une structure peut recevoir des matrices simplifiées sans rotations, simplifiées avec rotations ou homogènes.
Les matrices simplifiées sans rotations et avec rotations sont les matrices de masses diagonales. Ces types de
matrices de masses exigent très peu de calculs.
La matrice de masses homogènes s'affiche si le système étudié possède des paramètres répartis. Selon une idée
très répandue, une matrice de masses homogène décrit plus fidèlement les propriétés d'inertie d'une structure
qu'une matrice simplifiée. Or il s'avère que bien souvent, une matrice de masses simplifiée offre une
approximation satisfaisante, les paramètres d'inertie étant évidemment établis avec moins de précision que les
paramètres de rigidité. L'énergie cinétique est en fait intégrée aux déplacements structurels, tandis que l'énergie
potentielle est exprimée par la dérivée spatiale des déplacements. On sait bien que l'erreur d'approximation
augmente considérablement à chaque différenciation [4]. Pour les objets continus (solides, coques, dalles), il est
donc possible d'établir une approximation des paramètres de masse moins précise que les paramètres de rigidité
pour un même maillage.
Généralement, on retient les polynômes d'Hermite en tant que fonctions de forme des barres. Il s'agit d'une
solution précise pour la plupart des problèmes statiques et des problèmes dynamiques, si la matrice des masses
est de type simplifiée. Toutefois, des solutions exactes pour les problèmes dynamiques liés à une barre aux
masses réparties appartiennent à la classe des fonctions de Krylov (combinaison spécifique de fonctions
hyperboliques et trigonométriques). Elle permet de présenter les paramètres de rigidité en approximation quand
les polynômes d'Hermite sont utilisés parallèlement à une matrice de masses homogènes. Elle n'a pas été conçue
pour la mise en oeuvre d'un autre type de fonction de forme pour les problèmes statiques et dynamiques. Dans la
plupart des cas, il n'est donc pas forcément avantageux de compliquer le modèle dynamique en faisant intervenir
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des paramètres de masse, la solution d'approximation avec des masses homogènes étant choisie à la place de la
solution exacte pour un modèle approximatif (masses simples).
De plus, les masses d'éléments structurels (longerons, poteaux, etc.) sont généralement négligeables par rapport
aux masses des murs et des toit (charge permanente), qui sont prises en compte au moment de la conversion des
charges permanentes en masses. Ces masses non structurelles réduisent généralement les effets de la répartition
des masses des éléments.
Dans la plupart des cas pratiques, la matrice des masses simplifiée offre un degré d'approximation satisfaisant
pour les propriétés d'inertie de la structure. Il convient de noter qu'une matrice de masses homogène requiert des
calculs importants si l'analyse porte sur un problème de taille importante. Il faudra justifier de l'implémentation
d'une matrice de masses homogènes avant de choisir un tel type de matrice en vue de l'analyse.
On part du principe que la matrice des masses est Homogène si les liaisons rigides font partie du modèle de
calcul.
En cas d'application d'un solveur direct ou itératif, le calcul du produit matrice-vecteur s'effectue selon la
technique "élément par élément" (EPE) est utilisée pour le calcul du produit matrice-vecteur. La matrice des
masses homogènes ne pouvant pas être constituée, toutes les opérations se déroulent uniquement au niveau
élémentaire. Dans le cas du solveur Skyline, une matrice des masses homogène est constituée et sauvegardée de
la même façon qu'une matrice de rigidité. Pour les systèmes de petite taille (3 000 équations et moins), la
technique Skyline est plus rapide, bien que sensiblement plus longue quand le système s'étoffe.
Il est possible d'utiliser des masses ajoutées et de convertir des charges statiques en masses.
Si les méthodes Lanczos, PCG_Ritz ou Lanczos modifiée (solveur itératif) sont sélectionnées, seules les matrices
Simplifiée avec rotation et Homogène sont disponibles.
Limites hautes
Il est possible de calculer toutes les valeurs propres et les modes propres inférieurs à une valeur définie par
l'utilisateur. Cette valeur est alors considérée comme la "limite haute". Quand cette option est activée, Robot
recherche ω1, ω2, …, ωn ≤ ω*, où ω* est la limite haute. L'algorithme fonctionne en deux étapes. La première
comprend un contrôle de séquence selon Sturm, débouchant sur la définition du nombre de valeurs propres (n),
par nature inférieure à la limite haute. La seconde voit la génération de n couples propres, chacun d'entre eux
étant inférieur à la limite haute.
Les méthodes Lanczos et BLSI sont recommandées pour les types d'analyse utilisant les limites hautes, puisqu'il
est nécessaire d'obtenir un nombre important de couples propres.
Le critère de masses participantes (voir 3.4) est ignoré quand la limite haute intervient.
Par exemple, des problèmes peuvent survenir avec la norme sismique française PS-92, car elle impose que toutes
les fréquences inférieures à 33 Hz soient prises en compte.
Masses participantes
Les masses participantes pour chaque mode (k=1,2,..., n) est défini comme
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où
,
est le coefficient de masses participantes pour le mode propre K, Idir est le vecteur de
translation unitaire selon la direction (dir = X, Y, Z),
est la masse totale selon la direction dir,
est le k-ième mode propre,
.
Le pourcentage des masses participantes pour la direction dir est égale à M%dir
. Il définit la
contribution de tous les modes impliqués dans le mouvement d'une structure dans la direction étudiée.
Si vous avez choisi l'Analyse modale et que les masses participantes pour un nombre maximal de noeuds (défini)
sont inférieures à la valeur requise, un message vous indique que le pourcentage de masses participantes ne
convient pas, et ce sans incidence ni correction sur les calculs.
Il convient de choisir l'analyse sismique ou le pseudo-mode pour procéder à la recherche automatique du
pourcentage de masses participantes requis. Pour des explications détaillées, voir 3.5.
Les modes d'analyse
Cette section présente les modes d'analyse suivants : Modale, Sismique et Pseudo-dynamique.
Certaines normes sismiques (UBC-97 ou la norme française PS-92) imposent que la somme des masses de
chaque direction (ou seulement pour les directions horizontales) soit supérieure à 90 %. Des problèmes risquent
de survenir au moment où la somme des masses requise est obtenue. Le résultat peut s'expliquer par un très
grande nombre de faibles contributions provenant des modes les plus bas. Ceci s'explique généralement par le
caractère local des modes les plus bas. Les modes Sismique et Pseudo-mode sont présentés pour tenter de régler
de tels problèmes complexes. L'efficacité de ces approximations sera présentée dans l'Annexe 3C. La méthode
Lanczos pour solveurs directs est disponible pour ces deux modes. Les méthodes Lanczos modifiée et PCG_Ritz
sont disponibles pour le pseudo-mode quand le solveur itératif a été choisi.
Modale
Il s'agit d'une approximation bien connue qui figurait déjà dans les précédentes versions de Robot.
Les méthodes BLSI, SI, Lanczos et Réduction de base pour les solveurs directs et la méthode PCG pour solveur
itératif sont disponibles.
Voici les critères de convergence des solveurs directs. L'itération s'arrête quand
, où i = 1,
2,..., N; k - étant le nombre d'itérations, N - le nombre de modes (choix de l'utilisateur). La méthode de réduction
de base ne fait l'objet d'aucun contrôle de convergence. Bien que proche de la méthode de Ritz, il ne s'agit pas
d'une approximation itérative. Il faut augmenter le nombre de degrés de liberté "maîtres" pour améliorer la
précision des résultats.
Voici quelques critères de convergence pour la méthode PCG (solveur itératif) :
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Voir Annexe 3A pour des explications détaillées.
La valeur Limites hautes est la valeur minimale de période, de fréquence et de pulsation. Si ce paramètre est
différent de 0, tous les couples propres compris entre 0 et la limite haute seront calculés les uns après les autres.
Mass% est le pourcentage des masses participantes (somme des masses pour tous les modes calculés et pour
chaque direction).
Le contrôle Sturm est une vérification des couples propres ignorés compris entre 0 et le paramètre de
basculement
.
. Il compte les éléments négatifs présents sur la diagonale de la matrice décomposée
Cette procédure est très coûteuse sur les problèmes de grande taille. Notons que les analyses sismique et
spectrale admettent des spectres de valeurs propres discontinus. La continuité du spectre ne sert qu'à valider un
pourcentage des masses correct dans chaque direction. Si cette condition est remplie, l'intégrité de la base est
garantie. L'implémentation de la méthode BLSI permet de procéder à la vérification partielle de la continuité du
spectre des valeurs propres, sans qu'une vérification de Sturm soit nécessaire. Pour en savoir plus, voir la
description de la méthode BLSI.
Nombre
modes
de
Limites hautes
% Masses
Comportement du programme
La vérification de Sturm est cochée. Les fréquences ignorées pour les N
premiers modes sont manquantes. Le mode est disponible pour les solveurs
directs quand les méthodes BLSI, SI ou Lanczos sont appliquées. Il n'est
pas disponible pour la méthode de réduction de base et pour toutes les
méthodes à solveurs itératifs. Définition des N premiers modes propres
séquentiels. Exécution de la vérification de Sturm. Si des fréquences
ignorées sont détectées, un message vous indique le nombre de fréquences
ignorées. Plusieurs choix possibles :
0
0
(inactif)
(inactif)
N
Oui - Le processus d'itération se poursuit, le nombre de couples propres
ignorés est déterminé. Une nouvelle vérification de Sturm s'éxécute.
Non - Les couples propres convergents sont enregistrés en tant que résultat
final. Les calculs passent au cas suivant.
Annuler - Les itérations se poursuivent. Toutes les fréquences ignorées sont
établies. L'avertissement est ignoré.
La vérification de Sturm n'est pas cochée. La vérification de Sturm n'est pas
exécutée.
Le mode est disponible uniquement pour les solveurs directs et les
méthodes BLSI, SI et Lanczos. Il n'est pas disponible pour la méthode de
réduction de base et pour toutes les méthodes à solveurs itératifs.
N
ω*
Inactif
Limite
active)
(car
haute La vérification de Sturm est exécutée au début des calculs. On obtient le
nombre de fréquences N1 compris entre zéro et la limite haute :
0 < ω1 < ω2 < … < ωN1 < ω*
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•
Si (N1 > N), vous recevez un message relatif au nombre de
fréquences N1. Plusieurs choix possibles :
Oui : Calcul de 0 < ω1 < ω2 < … < ωN1 < ω*
Non : Fin des calculs.
•
Si (N1 < = N) : Calcul de 0 < ω1 < ω2 < … < ωN1 < ω* sans le
moindre avertissement.
Dans les deux cas, il est possible de dériver un nombre de couples propres
supérieur à N1, mais ceux-ci seront enregistrés sous forme de résultats
seulement si : 0 < ω1 < ω2 < … < ωN1 < ω*.
N
Tous les couples propres convergents supérieurs à ω* seront perdus.
Disponibles pour toutes les méthodes de solveurs directs. Le mode n'est pas
Actives : 0 <
Inactif (% Masses étant
disponible pour le solveur itératif. Si la valeur % Masses n'est pas
% Masses < =
actif)
satisfaisante, l'utilisateur reçoit un message. Aucune correction n'est opérée.
100%
Dans le cas contraire, les calculs s'effectuent, similaires au premier cas.
Mode sismique
Ce mode est réservé aux solveurs Skyline ou directs.
En analyse sismique et spectrale, l'utilisation de couples propres en ordre séquentiel n'a aucune importance. En
effet, seules les couples propres ayant un rôle considérable dans la réponse sismique doivent être pris en compte
(leur coefficient de masses participantes étant important). La vérification de Sturm n'est donc pas effectuée.
La méthode de Lanczos garantit généralement la convergence d'un nombre de couples propres très supérieur à N,
dans l'ordre séquentiel croissant. Quand les valeurs propres ignorées doivent être rétablies, il est nécessaire que le
nombre de fréquences convergentes soit très supérieur aux N premières fréquences souhaitées. Par exemple, bien
souvent, la méthode Lanczos donne les fréquences convergentes suivantes.
Quand l'utilisateur demande les couples propres en ordre séquentiel, il n'obtient que les 10 premiers. Les 4
derniers couples propres sont tout simplement "jetés", tout comme les contributions respectives des masses. Ce
qui distingue le mode Sismique proposé, c'est qu'il prend en compte tous les couples propres convergents, et pas
seulement les premiers. Il garantit des sommes des masses plus importantes que le mode Modal.
Méthodes d’analyse disponibles : Méthode Lanczos.
Les limites hautes sont ignorées.
Le calcul des masses participantes est la moyenne de M%x, M%y, M%z pour les systèmes 3D, et une valeur
minimale de M%x, M%z pour les systèmes 2D (M%x, M%y, M%z représentent -respectivement- la somme des
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7
masses pour les directions x, y et z). Cette stratégie s'explique par le fait qu'il est souvent bien difficile de garantir
un niveau de masses participantes suffisant pour la direction verticale. Vous pouvez vérifier le pourcentage de
masses participantes pour chaque direction dans le résultat final.
Nombre Limites
de modes hautes
% Masses Comportement du programme
Inactives
N
Inactives
(0)
Calculer les N couples propres non-séquentiels. La vérification de Sturm n'est pas exécutée. Le
nombre de couples propres convergents est égal à N.
N est ignoré. Les calculs se poursuivent jusqu'à ce que le pourcentage de masses soit au moins égal
au pourcentage souhaité, jusqu'à ce que le logiciel propose à l'utilisateur d'arrêter les calculs, ou
jusqu'à ce que le nombre de couples propres convergents atteigne la valeur maximale possible. Cette
valeur est définie en interne. Elle est fixée à 100 dans la version actuelle.
Actives :
N
Tous les 20 pas (Lanczos), le nombre de couples propres convergents et le pourcentage de masses
participantes sont mis à jour. Un message vous indique le pourcentage de masses obtenu. Plusieurs
choix possibles :
Inactives 0
<
%
Masses < = Oui : Vous lancez le calcul de 20 pas Lanczos supplémentaires avant de revoir ce même message, si
le pourcentage de masse n'est pas atteint (le nombre de couples propres convergents ne dépasse pas
100%
la valeur maximale possible).
Non : Les couples propres convergents sont enregistrés comme résultats finaux et sont transmis au
cas suivant.
Annuler : Ignorer tous les prochains messages et poursuivre les calculs.
Pseudo-mode
Ce mode est disponible pour les solveurs directs et itératifs. Il est recommandé seulement en analyse sismique et
spectrale quand les modes Modal et Sismique s'avèrent trop lents. Les modes Modal et Sismique utilisent des
modes propres comme vecteurs de base pour présenter la réponse sismique. On peut requérir un très grande
nombre de modes propres pour garantit une somme de masses suffisante pour certains systèmes délicats. Le
pseudo-mode rejette cette idée et génère les approximations de Ritz correspondantes aux couples propres
inférieurs, au moyen de vecteurs de Lanczos (pour les solveurs directs) ou de la Réduction de Ritz [8] et de la
méthode de Lanczos modifiée pour les solveurs itératifs. Ce mode opératoire est plus efficace dans la plupart des
cas, car le nombre de vecteurs de base nécessaires est moins important qu'en mode Modal. Ceci a été démontré
par E.L.Wilson [1-3]. Le pseudo-mode est identique aux vecteurs de Ritz proposés en [1 à 3] et appliqués dans
SAP2000. Précisons que la norme française PS-92 admet l'application d'approximations de caractère scientifique
pour l'addition de systèmes de vecteurs de base aux modes propres existants, ce afin d'augmenter la somme des
masses. Pour une présentation détaillée du pseudo-mode et de son efficacité, voir les Annexes 3B et 3C.
Les limites hautes sont ignorées.
Le calcul des masses participantes est définie comme la moyenne de M%x, M%y, M%z pour les systèmes 3D, et
comme valeur minimale de M%x, M%z pour les systèmes 2D (M%x, M%y, M%z représentent -respectivementla somme des masses les directions x, y et z). Cette stratégie s'explique par le fait qu'il est souvent bien difficile
de garantir un niveau de masses participantes suffisant pour la direction verticale. Vous pouvez vérifier le
pourcentage de masses participantes pour chaque direction dans le résultat final.
Nombre de Limites
modes
hautes
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% Masses
Comportement du programme
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Disponible pour les solveurs directs et itératifs.
Inactives
N
Inactives
(0)
Génère N vecteurs de base pour définir le sous-espace de travail. Enregistre N vecteurs de base
pour utilisation en analyse sismique et spectrale.
Ce choix est particulièrement indiqué.
Disponible uniquement pour les solveurs directs
Actives :
N
Inactives
Génère N vecteurs de base pour définir le sous-espace de travail. Enregistre ces vecteurs de
base, suffisants pour obtenir le pourcentage de masses indiqué. Le nombre de vecteurs de base
0 < % Masses enregistrés est inférieur à N,
< = 100%
si % Masses < 100 %
Analyse spectrale
On applique la méthode Spectre de réponse en analyse sismique et spectrale. Elle consiste à décomposer une
structure de plusieurs degrés de liberté (MDOF) pour en faire un système d'oscillateurs à un seul degré de liberté
(SDOF). La réponse pour chacun de ces oscillateurs et la sommation statistique des réponses extrêmes pour
chaque oscillateur se calculent au moyen des méthodes SRSS, CQC, 10 % et de la double somme [3, 21].
Ce système d'oscillateurs SDOF est défini par les modes propres (en mode Sismique ou Modal). Ce système
d'oscillateurs SDOF est défini par les vecteurs de base de pseudo-mode (en Pseudo-mode, voir 3.5).
L'introduction du pseudo-mode requiert une nouvelle approximation de l'évaluation de la réponse pour chaque
mode. Voici l'approximation classique :
( 3.1.1 )
où K, M - rigidité et matrices des masses, Γ - facteur de masses participantes, Sa - accélération spectrale, T période, i - nombre de mode, k - échelle du spectre, dir - indice de direction du mouvement sismique (dir = X, Y,
Z), x - vecteur de déplacement pour la réaction maximale du mode-i.
Posons maintenant ceci (voir Annexe B) :
( 3.1.2 )
où indique un vecteur de base (il n'est pas nécessaire que soit une approximation exacte de - le vecteur
propre exact de
ωi - l'approximation de la valeur propre exacte Ωi. Il est possible de démontrer
que (3.1.1) propose la même solution
que (3.1.2), si
(ωi = Ωi). Toutefois, (3.1.2) ne s'applique pas
seulement pour les solveurs directs, mais aussi pour les solveurs itératifs. La procédure de résolution
correspondant à la matrice de rigidité (K) n'est pas obligatoire. Cette méthode est plus rapide que (3.1.1) et offre
plus de sûreté dans le contrôle des résultats (somme des forces - somme des réactions).
La formule ci-dessous découle de (3.1.1)
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( 3.1.3 )
Le vecteur de réponse modale
décrit la réponse extrême de la correspondance de l'oscillateur SDOF. Il faut
consacrer l'étape suivante à la définition de la réponse finale de la structure MDOF au moyen de moyennes
statistiques entre les modes et entre les directions sismiques.
Les précédentes versions de Robot permettent d'affecter plusieurs directions sismiques statistiquement
indépendantes, avec leurs propres coefficients d'homothétie dans un cas de charge. On obtient la moyenne
statistique des directions par le calcul de la somme des valeurs absolues et de la racine carrée de la somme des
combinaisons carrés à l'intérieur de chaque mode. Les options correspondantes figurent dans Préférences du
projet.
L'option "Somme des valeurs absolues" propose :
( 3.1.4 )
L'option "Racine carrée de la somme des carrés" calcule la moyenne du
.
des directions sismiques comme
( 3.1.5 )
Il est possible de montrer que chaque composant de
correspondants de
,
est la combinaison SRSS des composants
où i =1,2,...,N indique le numéro du mode ou du pseudo-mode.
On applique la combinaison CQC ou SRSS entre les modes (ou pseudo-modes) pour obtenir la réponse finale de
la structure MDOF étudiée, après obtention des vecteurs de réponse modale moyens
, où i =1,2,..., N.
Les vecteurs de réponse modale moyens
, où i =1,2,...,N sont les mêmes pour "Somme des valeurs absolues"
et pour "Racine carré de la somme des carrés", si la direction sismique individuelle a été définie pour le cas de
charge étudié (par exemple, Kx=Kz=0, Ky=1).
A partir de la version 12.2, Robot enregistre la procédure de calcul de la moyenne entre les directions sismiques,
bien qu'il permette dans l'absolu d'exécuter l'approximation la plus efficace. Il est recommandé de définir une
seule direction sismique pour chaque cas de charge, puis d'appliquer soit la combinaison SRSS entre les
directions (conformément à la norme américaine) ou les combinaisons dites de "Newmark" (conformément à la
norme sismique française PS-92 et à la norme Eurocode-8).
Étudions maintenant les nouvelles possibilités à l'aide d'un exemple typique.
Dans cet exemple (un mouvement sismique simple par cas de charge), on a, pour les valeurs typiques des
coefficients d'homothétie :
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Kx=1; Ky=Kz=0 pour dir = X (cas de charge S_X)
Kx=0; Ky=1; Kz=0 pour dir = Y (cas de charge S_Y)
Kx=Ky=0; Kz=0.7 pour dir = Z (cas de charge S_Z - on pose une intensité de mouvement vertical équivalente à
2/3 de l'intensité du mouvement horizontal)
Trois cas de charges sont définis pour chaque mouvement sismique statistiquement indépendant. La réponse
modale pour chaque cas sera identique à (3.1.2) (I = 1,2,..., n; dir = X, Y, Z).
Il faut ensuite définir le facteur moyen de tous les modes, pour chaque sens de mouvement sismique :
où
- est l'un des facteurs (déplacement, force, contrainte, etc...), pour le i-ème mode dû au mouvement
sismique dans la direction dir, qui correspond à la réponse modale
(obtenues à partir de (3.1.2)).
Rdir est le résultat de la combinaison SRSS ou CQC sur tous les modes (pseudo-modes) étudiés.
On procède ensuite à la moyenne des sens sismiques actifs, selon l'option choisie.
Soit par combinaison SRSS :
Les options d'analyse spectrale admettent la définition d'un spectre arbitraire de sens sismique.
Analyse sismique
On applique la méthode Spectre de réponse en analyse sismique et spectrale. L'analyse sismique est exécutée sur
la base de l'analyse spectrale (voir 3.6). Cependant, les accélérations spectrales Sa = Sa(Ti) sont générées pour
correspondre à une norme sismique sélectionnée, au lieu d'être affectées par l'utilisateur (comme c'est le cas pour
l'analyse spectrale).
La norme sismique UBC-97 est disponible dans Robot à partir de la version 12.0. L'analyse Spectre de réponse
s'effectue conformément aux sections 1631.5.1 - 1631.5.3 de l'Uniform Buidling Code de 1997. Il est possible de
respecter les dispositions de la section 1631.5.4 ("Elastic Response Parameters may be reduced …") au moyen
des mécanismes combinatoires de Robot. Les termes de cisaillement Vx, Vy, Vz, les termes de moment de
renversement Mx, My et Mz, le moment de torsion Mz (on suppose que l'axe OZ est vertical) figurent tous dans
le tableau "Réactions" à la ligne "somme des forces", pour chaque réponse modale et pour les combinaisons
SRSS et CQC entre les modes.
Les normes sismiques suivantes sont disponibles dans le programme :
Vu sur technica.fr
11
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
UBC97
PS 69 R. 82
AFPS
PS 92
RPA 88
DM 16.1.96
EC 8
IBC 2000
P100-92
Norme turque
Normes chinoises
Norme argentine
EAK 2000.
Filtres de sélection
Seuls les modes dotés d'un coefficient de masses participantes relativement élevé contribuent de façon
significative à la réponse sismique d'une structure. Il suffit donc de prendre en compte uniquement ces modes.
Les autres modes, dotés d'un coefficient de masses participantes peu élevé, peuvent être ignorés pendant l'analyse
sismique. Le nombre de modes dérivée est souvent beaucoup plus élevé que le nombre obtenu par évaluation des
masses participantes. Si seuls les modes dotés de coefficients de masses participantes élevées sont retenus, il est
possible d'économiser de l'espace sur le disque et du temps de calcul.
On peut utiliser deux méthodes (au choix).
•
•
Créer une liste de modes acceptés pour chaque sens sismique (cas sismique) sur la base de résultats
obtenus précédemment dans l'analyse modale
Affecter une masse limite pour le pourcentage des masses - modal - (tous les modes dont le pourcentage
de masses participantes est inférieur à cette limite ne seront pas pris en compte).
La première méthode est la plus efficace, bien qu'elle nécessite une analyse modale préalable. La seconde
méthode permet d'appliquer des filtres en analyse spectrale et sismique. Attention, elle occupe plus d'espace sur
le disque et sollicite davantage les ressources de l'ordinateur.
Voici un autre exemple. Voici, ci-dessous, les résultats de l'analyse modale, dans le tableau 3.1, dans lequel les
cas sismiques sont définis comme suit : Dir_X (Kx=1; Ky=Kz=0), Dir_Y (Kx=0; Ky=1; Kz=0) et Dir_Z
(Kx=Ky=0; Kz=1)
Tableau 1
N° mode Masse particip. UX (%) Masse particip. UY (%) Masse particip. UZ (%) Période
1
0,05
12,01
0,004
0,803
2
67,43
0,06
0,005
0,705
3
0,002
0,08
0,07
0,686
4
0,001
0,008
0,009
0,650
5
25,4
0,07
2,06
0,590
6
0,09
68,5
5,05
0,540
7
0,08
10,3
0,06
0,490
8
0,07
0,06
0,56
0,460
9
0,05
0,07
30,56
0,420
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12
10
11
0,08
0,06
0,06
0,01
0,25
26,7
0,380
0,270
Supposons que nous prenions en compte tous les modes ayant une coefficient de masses participantes supérieur à
1 %. Les valeurs de masses participantes correspondantes sont données dans le tableau. On remarque que si les
sens sismiques sont affectés en tant que (1 0 0) pour le cas Seism_X, les modes au coefficient de masses
participantes importants pour les directions UY, UZ ne participent pas du tout à la réponse sismique (voir 3.6) :
où dir = X, Y, Z - sens du mouvement sismique ;
masses participantes ; Sa(Ti) - accélération spectrale ;
-réponse maximale pour le mode-i ;
- coefficient de
- vecteur propre i ou vecteur de base (si pseudo-mode).
Le multiplicateur scalaire sur le côté droit de la formule ci-dessous
définit la contribution du
mode-i dans la réponse sismique de la direction dir. Dans ce cas, où Ky = Kz = 0, la contribution des modes 2 et
5 est considérable. Les autres modes ne participent pas à la réponse sismique. Ceci s'explique par le
multiplicateur Kdir (dir = Y, Z), égal à 0, et aux faibles valeurs des masses participantes pour la direction dir=X.
On peut montrer (de la même manière), que pour le cas Dir_Y, il suffit de prendre en compte les modes 1, 6 et 7,
et les modes 5, 6, 9 et 11 pour Dir_Z.
Ainsi, en appliquant des filtres, le programme risque de ne prendre en compte que les modes appropriés - 2 pour
Dir_X, 3 pour Dir_Y et 4 pour Dir_Z. Ceci se produit sans diminution notable des contributions des masses. Il
convient de remarquer que sans les filtres, il faudrait appliquer les 11 pour chaque cas.
Cette approche permet de réduire le temps de calcul pour les problèmes dynamique de grande taille (ainsi que
l'espace disque utilisé et la quantité de données à traiter), sans réduction notable de la précision du résultat par
rapport à la méthode traditionnelle (quand les filtres de sélection ne sont pas utilisés).
Par exemple, le problème de grande taille PJG203 contient 34 266 équations (bande passante de 990 après
optimisation). Le modèle d'éléments finis correspondant est présenté dans l'Annexe 3D - voir Fig. A1. Le calcul
des 25 couples propres et de la matrice des masses homogène n'était pas encore effectué. Le temps de calcul est
d'environ 50 heures sur un Pentium PRO (64 Mo de RAM, 200 MHz). L'espace disque requis dépasse 1 Go. Sans
oublier un problème survenu au niveau du module de dimensionnement des aciers, provoqué par l'insuffisance de
l'espace disque. (le calcul des combinaisons SRSS et CQC imposait le stockage des données de 25 modes, à
multiplier par 3 cas sismiques comprenant de multiples degrés de liberté pour tous les facteurs - déplacements,
forces internes, contraintes). L'application de filtres sélectifs permet au programme de résoudre ce problème.
Analyse harmonique
Soit la définition suivante de réaction constante d'une structure à l'action d'une charge simple / harmonique :
F(t) = F sin( ωt)
où w est la pulsation de la charge d'excitation. Soit le comportement d'une structure tel que :
(K - ω2 M) X = F,
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13
où X est l'amplitude du vecteur de déplacement.
Analyse temporelle
La méthode de décomposition modale (superposition) est prise en charge par Robot. Elle repose sur la
représentation d'un mouvement de structure en tant que superposition du mouvement de modes non conjuguées.
La méthode demande donc de déterminer les valeurs et les vecteurs propres. La méthode Lanczos est
recommandée dans ce contexte. La méthode de décomposition modale utilise les équations réduites non
conjuguées. Cette méthode est indiquée pour analyser la réponse dynamique de structures soumises à des charges
dynamiques prolongées (par exemple, les charges non constantes provoquées par des engins de chantier ou des
mouvemens sismiques). Pour des précisions mathématiques et les particularités de l'application, voir [3,4,6].
L'analyse temporelle (sans amortissement) peut être exprimée par la formule suivante :
(3.11.1)
où Ng - Nombre de "groupes de charges", φk(t) - données temporelles du k-ième groupe de charges.
(3.11.2)
où
- i-ème coordonnée normale correspondante et mode (vecteur propre ou vecteur Ritz). Le
remplacement de (3.11.2) par (3.11.1) et l'ajout de termes d'amortissement entraîne les équations modales nonconjuguées suivantes [3,4,6] :
(3.11.3)
où
, ξi - paramètre modal d'amortissement (généralement ξi = de 0,05 à 0,2 ; une valeur ξi = 1
indique un amortissement critique ; limite entre mouvement d'oscillation et mouvement apériodique), ωi fréquence de vibration naturelle (pulsation), i=1,2,..., N
Chaque équation fait l'objet d'une résolution numérique. On applique la méthode de second ordre avec sélection
automatique de l'étape d'intégration. Le vecteur de déplacement obtenu aux points temporels définis t = t1, t2, …,
t5 est obtenu par substitution de qi (t5) dans (3.11.2).
La méthode de décomposition modale peut s'appliquer pour l'analyse de la réponse sismique. L'équation de
mouvement devient alors,
(et les équations modales résultantes non conjuguées) :
(3.11.5)
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14
où
est le coefficient de masses participantes pour le i-ème mode et le sens du mouvement
sismique dir. Chaque mode doit être normalisé comme suit :
. Enfin, tous les résultats
(déplacements, vitesses, accélérations, forces internes, réactions, etc.) sont enregistrés uniquement pour les points
temporels définis t = t1, t2, …, t5. Les performances du post-processeur permettent d'analyser les résultats de
l'analyse temporelle dans des diagrammes ou dans des tableaux. Le mode diagramme affiche les facteurs
sélectionnés (déplacement, accélération, vitesse, réactions, forces de cisaillement, moments de courbure et
autres) pour les degrés de liberté (DOF) choisis et présente la déformation de la structure au point temporel
sélectionné. Le mode tableau permet non seulement de voir les correspondances de valeurs, mais aussi de
rechercher automatiquement les valeurs maximale et minimale dans les facteurs de réponse sur tous les points
temporels stockés.
Analyse modale tenant compte des forces statiques
On tient compte des petites vibrations linéaires par rapport à l'état d'équilibre statique induit par une charge
statique donnée. Les forces statiques sont réputées pour leur influence sur les fréquences de vibrations naturelles.
Normalement, l'analyse modale ne tient pas compte de cette influence. Mais la prise en compte des forces
statiques dans l'analyse modale est bien possible.
Des équations complètes non-linéaires décrivent le mouvement de l'état d'équilibre relativement statique d'un
système, induit par les charges statiques données.
(3.12.1)
où M, K - les matrices de masse et de rigidité, L(x(t)) - opérateur non-linéaire, x(t), b - vecteur de déplacement et
vecteur de charge. La procédure de linéarisation se déroule comme suit :
(3.12.2)
où xst est une partie de la solution commune décrivant l'état d'équilibre statique et xd (t) est un vecteur de petits
déplacements dynamiques. On peut assimiler l'opérateur non-linéaire à une décomposition de Taylor
(3.12.3)
où
est la matrice de contrainte-rigidité, une matrice jacobienne tenant compte de l'action des
forces statiques. On a donc :
La première expression est issu de la linéarisation de petits déplacements dynamiques (remarque :
). La seconde décrit l'état d'équilibre statique non-linéaire. On peut donc présenter un léger
mouvement dynamique par rapport à l'état d'équilibre statique comme suit :
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15
(3.12.5)
Remplaçons xd (t) = Φ ei ω t. (3.12.5) provoque un problème de valeur propre
(3.12.6)
où ωi - valeur propre; Φi - vecteur propre.
Les calculs se font en deux étapes :
1. Analyse linéaire (3.12.7) ou non-linéaire (3.12.8) de l'état contraint statique provoqué par une charge
statique déterminée
K xst = b (3.12.7)
K xst + L(xst ) = b, (3.11.8)
où xst - vecteur inconnu d'état statique, b - vecteur de forces statiques déterminées (vecteur de charge
statique), K - matrice de rigidité, L (xst, b) - opérateur non-linéaire. Le vecteur de charge statique b peut
résulter de la combinaison de plusieurs charges statiques. Notons ici que l'approche linéaire ne respecte
pas complètement l'équation d'équilibre non-linéaire (3.11.8). Le vecteur xst de l'état d'équilibre statique
est donc le résultat d'une solution approximative, et la matrice contrainte-rigidité Ks(xst) contient une
erreur. Si la structure étudiée est suffisamment rigide et qu'elle laisse apparaître des effets non-linéaires
faibles, cette approximation semble alors correcte. Dans le cas contraire, il est nécessaire de résoudre le
problème statique non-linéaire (3.11.8) (cette technique ne figure pas dans le manuel). Naturellement,
l'approche linéaire (3.2.17) est plus rapide que la non-linéaire (3.11.8). Pour l'approche linéaire, on a :
Ks(xst ) = G (xst )= G, où G est une matrice de rigidité géométrique.
2. Analyse de valeurs propres (3.12.6)
On sait que les valeurs positives de ωi (ωi > 0) représentent les états d'équilibre stable, et les valeurs
négatives (ωi < 0), les états d'équilibre instable. Une valeur égale à zéro (ωi =0) correspond à l'absence de
stabilité (flambement).
La perte du caractère définitif de la matrice K + Ks(xst signifie que la charge statique dépasse sa valeur
critique (flambement). Un message s'affiche alors. La convergence sera perdue pendant l'exécution du
problème statique non-linéaire (3.11.8). Il est conseillé d'interrompre les calculs tant qu'on doute de leur
pertinence.
Seule l'approche non-linéaire est disponible pour les structures contenant un câble et des éléments en
tension-compression.
Voyons l'exemple de la figure suivante.
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16
Fig. 3.11.1
Soit N - charge statique. L'expression suivante décrit le comportement d'un tel système :
( 3.11.9 )
où : w - déplacement de courbure, ρ - densité du matériau, F - aire de coupe transversale.
On détermine la solution comme suit :
( 3.11.10 )
Après remplacement de (3.11.10) par (3.11.9), on obtient :
, ( 3.11.11 )
où
- charge de flambement, ω0 - valeur propre pour N = 0 (résultat de l'analyse modale
classique). Enfin,
( 3.11.12 )
où ω - valeur propre pour le système soumis à une charge statique N. Ce résultat est visible en Fig. 3.11.2 :
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17
Fig. 3.11.2
La dépendance ω = ω (λ), où l est un paramètre de charge, pour une structure réelle apparaît souvent plus
complexe que sous la forme (3.11.12) (voir [1,22]).
Annexe 3A
Méthodes de résolution de valeurs propres
Il convient d'avoir à l'esprit que la méthode universelle de résolution d'un problème propre n'existe pas.
, i=1,2,…,n ( A1 )
où K est la matrice de rigidité, M la matrice des masses,
le mode propre et ωi la pulsation. Pour la plupart des
problèmes, une telle méthode est moins gourmande que d'autres en ressources (temps de calcul, stockage sur le
disque dur). Cela dit, elle tient compte des différentes situations si d'autres tâches sont exécutées. Le choix d'une
autre méthode est donc recommandé. La présente version de Robot couvre plusieurs méthodes de résolution de
problème de valeurs propres généralisé (A1). Chacune a ses avantages et ses inconvénients. Voici, ci-dessous,
quelques recommandations pour choisir la bonne méthode d'analyse. Nous espérons que, dans la majorité des
cas, elles vous donneront les résultats escomptés.
La méthode d'Itération sur sous-espace (SI) étant expliquée dans [4], elle ne sera donc pas décrite ici.
Lanczos
La méthode Lanczos [12,16,17] est une approche puissante et fiable utilisée pour la résolution de problèmes de
valeurs propres importants (A1). Elle est disponible quand les solveurs Skyline ou directs sont sélectionnés.
Cette approche trouve les N premières valeurs et premiers modes propres requis avec un maximum de précision.
Plus on obtient de couples propres requis, plus la méthode Lanczos est avantageuse. L'approche implique
toutefois quelques limites.
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18
La matrice tri-diagonale T ne doit pas être décomposée. Il est impossible d'analyser une structure contenant plus
de deux sous-structures non reliées. Pour ce genre de cas, chaque sous-structure est à étudier séparément, ou il
faut faire appel à une autre approche (par exemple, une itération BLSI ou les méthodes de réduction de base).
La matrice des masses M sera Simplifiée avec rotations ou Homogène.
Une densité ne peut être nulle.
La méthode Lanczos utilise la réduction en matrice à trois diagonales T
, ( A2 )
où Qj = {q1, q2, … , qj} est la matrice rectangulaire Neq x j, Neq est le nombre d’équations, j est le nombre de «
pas » de Lanczos, et qj le j-ème vecteur de Lanczos. L'expression
( A3 )
génère le vecteur Lanczos suivant (qj + 1) et définit la ligne courante de la matrice T.
On obtient alors le problème de valeurs propres suivant :
, k=1,2,…,j ( A4 )
est la j-ème approximation vers ωk, k=1,2,…,n, n étant le nombre de couples propres
requis. L'algorithme poursuit les calculs (pour augmenter j, le nombre de pas de Lanczos), jusqu'à ce que la
précision souhaitée soit obtenue pour toutes les valeurs propres requises.
La procédure d'orthogonalisation sélective prend en charge le niveau d'orthogonalité requis entre les vecteurs
Lanczos qj, ce qui garantit la fiabilité et la stabilité numérique des calculs. Nous emploierons des méthodes
économiques pour fournir une orthogonalisation sélective et réduire le problème de valeurs propres réduit (A4)
par des itérations QR doubles avec inversions.
Les vecteurs propres sources sont déterminés par la formule suivante
( A5 )
Les détails sont présentées dans [12,16,17].
Méthode de réduction de la base
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19
Cette méthode [4, 5] est connue sous le nom de méthode de Rayleigh-Ritz améliorée [4]. Pour une telle méthode,
on introduit une variante : la méthode de Bubnov-Galerkin. Cet algorithme permet d'obtenir des valeurs
approximatives des premiers couples propres, si toutefois certains paramètres les concernant sont connus. La
méthode demande la définition des degrés de liberté de type « maître » (MDOF - master degree of freedom) afin
d’obtenir un système réduit. La procédure de création du modèle réduit peut donc être contrôlée. Il s'agit d'un
outil puissant destiné aux ingénieurs expérimentés dans l'analyse dynamique de structures et habitués à certains
types de structures au comportement connu. Cette méthode permet d'exclure les degrés de liberté (DOF)
indésirables du modèle en réduction, et ramène le problème complexe initial (aux degrés de liberté nombreux) à
une forme réduite. Ceci est possible avec beaucoup moins de degrés de liberté (DOF). L'expérience en matière
d'analyse structurelle dynamique montre que les utilisateurs rencontrent certains problèmes quand les méthodes
de réduction automatique (BLSI, SI et Lanczos) génèrent des calculs très complexes. Par exemple, les vibrations
de barres isolées peuvent provoquer de sérieux problèmes, la recherche de couples propres se faisant
automatiquement sans sélection préalable. Ceci s'applique à la majorité des cas de structures réelles. Dans le cas
contraire, ces vibrations localisées seront contrariées par certaines contraintes non prises en compte dans
l'analyse des éléments finis, ou leur participation sera insignifiante dans le déplacement global du système. En
général, pour ces vibrations localisées, le pourcentage des masses participantes est très faible. Utiliser des
méthodes exactes pour ce cas risque d'engendre les difficultés expliquées plus haut. La mise en oeuvre de la
méthode approximative de réduction de base peut simplifier les calculs.
Cette méthode présente toutefois quelques inconvénients.
L'utilisateur doit affecter les MDOF : les noeuds "maîtres" et les directions principales. On admet que seuls les
déplacements peuvent être pris comme degrés de liberté de type « maître » (ceci ne s'applique pas aux rotations).
L'algorithme s'applique à tout type de matrice des masses. On estime toutefois que le type de matrice des masses
Simplifiée sans rotations est le plus bénéfique en termes de temps de calcul.
•
La case Vérification de Sturm n'est pas disponible. Il n'existe qu'une seule façon de vérifier la
convergence. Augmentez le nombre de MDOF (affectez d'autres noeuds "maîtres" et d'autres directions
principales), procédez à une nouvelle résolution du problème, puis comparez les valeurs propres.
Une telle méthode transforme le problème source de valeurs propres pour modèle d'éléments finis
(A6)
(A1) en problème de valeurs propres pour modèle en réduction
(A7)
où {f} est la matrice d'influence, {m} est la matrice des masses générale pour un modèle en réduction,
(A8)
où n est le nombre de degrés de liberté d'un modèle en réduction. La base de telles transformations est une
solution statique obtenue pour les états unitaires étudiés. Les forces nodales unitaires s'appliquent donc à chaque
Vu sur technica.fr
20
noeud "maître", dans la direction principale sélectionnée. Un problème statique de grande échelle est résolu pour
n côtés droits :
i = 1, 2, …, n (A9)
où Ti est le vecteur de charge correspondant à i, la charge unitaire. L'utilisateur doit affecter les noeuds "maîtres"
et les directions principales. Toutes les opérations demandées seront réalisées par le programme.
On résout le problème réduit de valeurs propres par la méthode de Jacobi, ce qui donne les fréquences
approximatives ωi, les modes
, i=1,2,..., n. Cette approche est présentée en détail dans la partie [5].
Méthode d'itération dans le sous-espace par blocs
La méthode BLSI (itération dans le sous-espace par blocs) permet de résoudre un problème généralisé de valeurs
propres (A1). Elle est disponible pour les solveurs Skyline et directs. Cette méthode est puissante et fiable. Elle
est fortement conseillé en cas d'apparition d'un système à grande échelle, et quand il est nécessaire d'obtenir un
grand nombre de couples propres (plus de 10). La méthode BLSI s'applique pour analyser des structures
séparées. Tous les types de matrices des masses sont disponibles pendant l'analyse modale (Simplifiée sans
rotations, Simplifiée avec rotations et Homogène). L'aire d'application de cette approche est limitée par le mode
modal. Le mode Sismique et le Pseudo-mode restent disponibles si la méthode Lanczos a été choisie.
Le contrôle séquentiel de Sturm est opéré pour détecter les valeurs propres ignorées. BLSI contrôle la continuité
des valeurs propres convergentes. Des valeurs propres convergentes discontinues indiquent la présence de
valeurs propres ignorées. La continuité des valeurs propres convergentes ne signifie pas pour autant qu'il manque
des valeurs propres. Les résultats des nombreux calculs indiquent toutefois que dans la plupart des cas, les
vérifications de Sturm ne détectent pas les valeurs propres ignorées, alors que la méthode BLSI assure la
continuité de la convergence. L'avantage de cette méthode est d'éviter la fastidieuse vérification de Sturm quand
il n'est pas nécessaire de s'assurer de la présence des valeurs propres ignorées. Dès qu'une discontinuité de
valeurs propres convergentes est détectée, le message suivant s'affiche (voir Fig. A1).
Le principal objectif de la méthode BLSI [1-3] est de réaliser plusieurs itérations vectorielles simultanées dans le
sous-espace étudié. Chaque vecteur convergent est supprimé du sous-espace de travail (bloc) et remplacé par un
nouveau vecteur initial. L'orthogonalité des vecteurs convergents est vérifiée à chaque pas d'itération.
On conseille l'application de la procédure d'accélération du décalage [1,4] pendant l'analyse modale si la
convergence s'avère trop lente.
, ( A10 )
où Kσ= K - σ M, σ - valeur de décalage. En début d'analyse, on pose σ = 0. La valeur de décalage est mise à jour
automatiquement, si de nouvelles valeurs propres convergentes n'apparaissent pas du fait du nombre de pas
d'itération. Prenons par exemple un nombre de pas de contrôle égal à 5. Après 4 itérations, 5 valeurs propres
convergentes apparaissent. La valeur de décalage est toujours σ = 0. Au prochain pas d'itération, 3 valeurs
propres convergent. La valeur de décalage est toujours σ = 0. Ensuite, au cours des 5 pas d'itération, aucune
convergence de modes propres ne se réalise. L'algorithme détecte à nouveau la "convergence lente", pose σ = ω8
2
, met à jour Kσ = K - σ M et factorise la matrice décalée actualisée Kσ. Puis, après 2 pas d'itération, 2 modes
propres convergent. La valeur de décalage reste ω8 2. Puis, pendant les 5 pas d'itération suivants, aucune
convergence de valeurs propres ne survient. L'algorithme détecte à nouveau la "convergence lente", pose ω10 2 ,
met à jour Kσ = K - σ M et factorise la matrice décalée actualisée Kσ.
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21
Fig. A1 La discontinuité de valeurs propres convergentes est détectée pendant l'exécution de la méthode BLSI.
Plusieurs choix possibles :
•
•
•
Oui : Les calculs se poursuivent jusqu'à la prochaine valeur propre convergente. La vérification suivante
est alors réalisée.
Non : Les résultats sont enregistrés et les calculs passent au cas suivant.
Annuler : Les calculs se poursuivent aussi longtemps que la continuité totale des valeurs propres
convergentes est vérifiée. Le message est alors ignoré.
Ceci ne constitue pas l'ensemble des recommandations. Vous pouvez décider d'appliquer ou de ne pas appliquer
les accélérations de décalage. Attention : l'application du décalage approprié est un puissant outil d'accélération
de la convergence. Dans le cas contraire, chaque factorisation de la matrice actualisée Kσ peut s'avérer
fastidieuse, surtout pour les systèmes à grande échelle. La décision finale en matière d'application du décalage
repose sur l'expérience et l'intuition de l'utilisateur.
L'exemple qui suit illustre les avantages de l'application du décalage. Le modèle de calcul est indiqué en Fig. A2.
On a 50 modes propres extraits par la méthode BLSI. Le solveur Skyline est sélectionné. Une tolérance de 1,0e09 est retenue. On voit que la convergence à partir du mode 38 est si lente qu'aucun résultat n'a encore été obtenu
au bout de 20 minutes de calculs. Après activation de l'accélération du décalage (l'actualisation du décalage a été
accepté pour chacun des 5 pas d'itération - avant conversion) le temps de calcul est encore de 50 secondes. On
pourrait ainsi multiplier les exemples de réduction du nombre d'itérations du fait de l'application du décalage,
mais il faut retenir que ceci allonge les calculs. Nous recommandons d'activer l'accélération des décalages quand,
les décalages étant désactivés, une approche classique provoque un grand nombre d'itérations pendant
l'application de la méthode BLSI.
Vu sur technica.fr
22
Fig.A2 Ossature spatiale
Méthode de Lanczos modifiée
Il s'agit d'une variante de la méthode Lanczos en pseudo-mode, à l'usage des solveurs itératifs. La méthode
Lanczos classique impose la factorisation de la matrice de rigidité (voir A3). En présence d'un système à grande
échelle, la factorisation de la matrice de rigidité reste très longue. Pour les systèmes importants (plus de 100 000
équations), la factorisation de la matrice de rigidité réclame non seulement beaucoup de calculs, mais la solution
d'un système d'équations de matrices correctement factorisées s'avère également très coûteuse.
La méthode de Lanczos modifiée repose sur l'approche itérative. Elle évite le stockage, l'assemblage et la
factorisation d'une matrice de rigidité très étendue. L'évaluation d'un seul vecteur de Lanczos nécessite à peu près
autant de calculs que la résolution d'un problème statique comprenant un seul côté droit. Quant au pseudo-mode,
la méthode réduit le nombre de vecteurs de Lanczos par rapport au mode Modal appliqué en cas d'exécution de la
méthode de Lanczos modifiée.
On applique le solveur itératif AEBEIS (voir [7.8]) pour générer des vecteurs de Lanczos. La technique FIC
(Factorisation incomplète de Cholesky) est conseillée pour les préconditionnements multi-niveaux [7,8,18-20] ou
simple niveau. Elle garantit la rapidité des opérations pendant le calcul d'un produit matrice-vecteur et la
résolution rapide de préconditionnements. Attention, la tolérance retenue pour le solveur itératif (Préférences du
projet > Analyse de structure > Paramètres) détermine la précision de l'évaluation des vecteurs de Lanczos. En
principe, une valeur de 1,0e-04 est suffisante. Plus le nombre de modes est important, plus les vecteurs de Ritz
bas seront proches des modes propres correspondants, et plus la somme des masses modales sera complète.
Méthode du Gradient conjugué préconditionné (PCG)
On recommande la méthode PCG [9-13] pour définir un petit nombre de modes propres dans le mode Modal en
cas d'application d'un solveur itératif. Elle peut servir à affecter une charge de vent ou pour vérifier quelques
Vu sur technica.fr
23
modes bas obtenus par la méthode PCG_Ritz. Tous les types de préconditionnement (Outils > Préférences >
Itératif > Paramètres) définis pour l'analyse statique sont disponibles. Tous les types de matrice des masses
(Homogène, Simplifiée avec rotations, Simplifiée sans rotations) sont disponibles.
La méthode du gradient conjugué préconditionné repose sur la minimisation directe du quotient de Rayleigh
(A11)
au moyen d'une approche du gradient où : K - numéro d'itération, λk - approximation correspondante d'une valeur
propre. L'approche du gradient recherche la valeur du paramètre αk qui extrait la valeur minimale de λk de
(A11) :
(A12)
où pk est un vecteur de direction conjugué. La recherche de la valeur de αk [voir 9-13] donne :
On applique le préconditionnement B pour accélérer la convergence
B zk+1 = rk+1 -> zk+1 (A13)
La direction du gradient est définie comme suit :
(A14)
La nouvelle direction conjuguée est définie comme suit :
(A15)
où
Les itérations continuent jusqu'à ce que
(A16)
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24
où tol est la tolérance désirée. En général, tol = 1,0e-02 assure une précision très satisfaisante à l'usage des
ingénieurs. Il convient de garder à l'esprit que le rapport de convergence (A16) est calculé en norme très forte
(voir rubrique couvrant la précision des calculs). La tolérance indiquée ci-dessus autorise une précision de
valeurs propres d'au moins 1,0e-04.
En cas de convergence d'un premier couple propre, celui-ci est stocké en tant que résultat final. Les calculs des
premières itérations visant à obtenir le couple propre suivant débutent alors. On utilise la procédure
d'orthogonalisation des vecteurs propres définis précédemment à chaque pas d'itération, pour éviter le
doublement des couples propres. On applique cette procédure jusqu'à l'obtention de tous les couples propres
souhaités.
La méthode d'accélération de convergence la plus efficace pour PCG commence par un bon préconditionnement.
Tous les types de préconditionnement liés aux solveurs itératifs sont disponibles pour la méthode PCG. Il est
fortement conseillé d'appliquer le préconditionnement multi-niveaux [18-20] ou le préconditionnement simple
avec lissage par FIC [9 à 12] en cas d'utilisation d'un solveur AEBEIS [7.8].
Méthode de Ritz-Gradient (PCG_Ritz)
La méthode PCG_Ritz [8] permet de définir rapidement un ensemble de vecteurs de Ritz en pseudo-mode, quand
un solveur itératif est sélectionné. Cette approche est souvent efficace en analyse sismique ou spectrale de
structures de taille moyenne (de 10 000 à 60 000 équations).
Elle repose sur la génération d'un système orthogonal de vecteurs de base. On applique la méthode du gradient
avec préconditionnement multi-niveaux sur la base d'une technique "élément par élément" pour réduire le
quotient de Rayleigh à chaque étape de la préparation des vecteurs de base. Elle garantit l'évolution du vecteur de
base obtenu vers le mode propre le plus bas sans agrégation ni décomposition d'une matrice de rigidité étendue.
Une telle méthode est souvent très efficace pour l'analyse en réponse dynamique par rapport la méthode classique
de superposition modale, surtout en analyse de réponse sismique. La méthode proposée permet d'appliquer des
types arbitraires d'éléments finis dus à l'approche par agrégation, et propose une solution rapide et réduit les
exigences en termes de stockage sur disque par rapport à la technique "élément par élément". Cette méthode est
particulièrement efficace pour les matrices de masses cohérentes.
Soit le problème de valeur propre suivant :
Kφ - λM φ = 0 (A17)
où K, M représente les matrices de rigidité et des masses, φ est le vecteur propre et λ, la valeur propre. La
procédure d'évolution de l'ensemble de vecteurs de base x0, x1, …, xn, vers le mode propre le plus bas fera
l'objet d'une description. On applique la méthode du gradient préconditionné pour réduire le quotient de Rayleigh
(A18)
où 0 ≤ k ≤ n, k étant le numéro du pas d'évolution, n+1 est le nombre de vecteurs de base définissant la taille du
sous-espace appartenant à (x0, x1, …, xn); n + 1 << N, où N représente le nombre de degrés de liberté du
problème étudié (A17). Bien souvent, le problème de valeurs propres étudié est mal conditionné. L'évolution du
vecteur de base obtenu xk vers le mode propre le plus bas est alors très lente. On applique l'opérateur de
préconditionnement B pour corriger ce phénomène. L'expression B zk = rk -> zk indique la résolution d'un
système d'équation de vecteurs en correspondance zk, où B est un opérateur de préconditionnement et rk = Kx k λk M xk est un vecteur résiduel correspondant.
Vu sur technica.fr
25
Les vecteurs de base remplissent les critères d'orthogonalité suivants :
(A19)
Le problème source de valeurs propres de grande échelle (A17) est ramené au problème de valeurs propres de
sous-espace
(A20)
Les matrices de projection du sous-espace sont définis comme suit : {kij} = {Kxi, xj} et {mij} = {Mxi, xj} = U, où
U est une matrice unitaire.
Les vecteurs de Ritz v1, v2, …, vn+1 pour les vecteurs de base dérivés x0, x1, …, xn et approximations de
fréquences correspondantes ω1, ω2, …, ωn+1 sont utilisés pour la superposition de la réponse dynamique
structurelle.
La procédure d'évolution des vecteurs de base xk, k = 0, 1,..., n vers le mode propre le plus bas est très proche de
l'étape correspondante dans la méthode d'itération du gradient préconditionné utilisée pour résoudre le problème
de valeurs propres. La convergence des méthodes d'itération préconditionnées est connue pour dépendre
fortement des propriétés de l'opérateur préconditionné B. Cet opérateur doit être défini à l'avance, car il facilite la
résolution de B zk+1 = rk+1 et remplit la condition C ( B-1 K) -> 1 de la meilleure façon possible.
La dernière condition posée par la méthode de Ritz-gradient assure une bonne approximation des modes propres
inférieurs.
Cette méthode est proposée uniquement pour l'approche itérative à plusieurs niveaux, qui offre un
préconditionnement satisfaisant. On utilise les techniques de préconditionnement EPE (élément par élément) et
FIC. La qualité des vecteurs de Ritz générés de cette manière est très variable, selon les propriétés de l'opérateur
de préconditionnement B (voir A13 et [8]). Puisque l'approximation des modes de vibration inférieurs donnée par
le modèle grossier est satisfaisante, les vecteurs de Ritz de niveau plus fin constituent une bonne approximation
des vecteurs propres correspondants (voir [8]). La qualité des résultats obtenus par une telle méthode dépend
donc énormément de capacité du modèle grossier à conserver la similarité par rapport au modèle d'éléments finis
MEF (appelé niveau fin). Un seul niveau d'agrégation assure généralement une bonne approximation. À partir de
deux niveaux d'agrégation, la qualité des résultats n'est pas garantie. C'est la principale limite de l'application de
cette méthode dans l'analyse d'un système étendu de plus de 60 000 équations.
Si la matrice de préconditionnement B = K (le niveau grossier est identique au niveau fin), on passe alors de la
méthode de Ritz-gradient à la méthode Lanczos (voir [8]). Des explications mathématiques figurent en partie [8].
Analyse modale - Précision des calculs
Le problème de valeurs propres généralisé est défini comme suit :
Kφ - λM φ = 0 (A17)
où K, M désignent respectivement les matrices de rigidité et des masses, {φ, λ} - couples propres (mode de
vibration naturel et valeur propre). Deux types de vecteurs résiduels sont définis :
Vu sur technica.fr
26
où {φ, λ} sont des couples propres réellement calculés contenant des erreurs de calcul. La première expression
définit un vecteur résiduel en termes de forces. La seconde le définit en termes de déplacements.
On utilise quatre critères pour estimer les erreurs de calculs de vecteurs propres.
•
•
•
•
. Ce critère est très strict. Généralement, si ε ≤ 0,01, les quatre premiers chiffres de la valeur
propre sont définis avec exactitude. On l'applique uniquement pour la PCG, si un solveur itératif a été
retenu.
e = (r, φ). Ce critère est un peu moins strict que le précédent. On le retient dans le cadre de la méthode de
Lanczos modifiée, si le solveur itératif a été choisi.
. Ce critère est qualifié de souple car la convergence des déplacements en une situation
d'éléments finis donnée est souvent plus rapide que la convergence des forces internes. On l'utilise pour
les méthodes BLSI, SI et Lanczos dans le cas de sélection d'un solveur Skyline ou direct.
-, où λk, λk-1 sont deux valeurs propres successives pour les (k)-ème et (k-1)-ème pas de
l’itération, et tol est la tolérance définie dans la boîte de dialogue Paramètres de l’Analyse Modale. On
l'utilise comme critère intermédiaire pendant l'exécution des méthodes BLSI, SI et Lanczos (avec
solveurs Skyline ou direct) dans le mode modal. Ce critère, très rapide, n'est cependant pas d'une fiabilité
absolue. Utiliser (4) permet de réduire considérablement le temps de calcul pour les méthodes BLSI, SI et
Lanczos, surtout pour les systèmes importants. À l'issue d'une analyse de valeur propre, le critère (3)
s'applique en tant que vérification finale de la précision. L'utilisateur doit se reporter à la colonne
"Précision" du tableau où figure la valeur
. En cas de précision insuffisante, il faut
recommencer l'analyse de valeur propre avec une tolérance accrue pour les valeurs propres tol..
Le tableau suivant récapitule les points mentionnés ci-dessus. Le symbole n.c. indique que la vérification de
convergence correspondante n'est pas réalisée. Les résultats de la vérification finale sont obtenues une fois (une
seule) et figurent dans la colonne "Précision" du tableau. Le contrôle de convergence en cours de calcul est
réalisé à plusieurs reprises.
Solveurs directs
BLSI,
Type de critère
SI,
Méthode
Lanczos
Pendant
les
calculs
Vérification
finale
Solveur itératif
Méthode de réduction deMéthode
la base
modifiée
de
Lanczos
PCG_RitzPCG
de
n.c.
n.c.
n.c.
n.c.
e = (r, j)
n.c.
Il convient d'indiquer que la méthode Lanczos pour le mode sismique génère un contrôle de convergence
à travers chacun des 20 pas de Lanczos. La méthode de réduction de la base et la méthode PCG_Ritz
sont des méthodes de Ritz. Comme il ne s'agit pas de l'approche itérative, sa précision n'est pas vérifiée.
Vu sur technica.fr
27
S'il s'avère que la précision de certains modes après calcul est insuffisante, les éléments suivants sont
nécessaires :
Solveurs directs
BLSI,
Solveur itératif
SI,
Méthode
deMéthode
réduction de la base modifiée
Méthode Lanczos
Mode modal
de
Lanczos
PCG_Ritz
PCG
-
Augmentez
le
nombre de modes.
Augmentez le nombre
de modes.
Diminuez
le
Diminuez la toléranceAugmentez
le
Diminuez la tolérance
nombre de niveaux
dans la boîte denombre de noeuds et
dans la boîte de
Diminuez la toléranced'agrégation.
dialogue
Paramètresde directions de
dialogue
Paramètres
dans la boîte de
d'analyse modale
base.
d'analyse modale
dialogue Paramètres duAugmentez
le
solfeur itératif
nombre
d’itérations
internes.
Annexe 3B
L'approche du pseudo-mode
Les équations de mouvement de la source pour les charges sismiques deviennent alors :
(B1)
K, M, les matrices de rigidité et des masses ;
I dir (vecteur unitaire de direction) - φ(t) - comportement temporel de l'accélération du sol
On recherche la solution ainsi :
(B2)
où qi sont les vecteurs de base de taille Neq - nombre d'équations du modèle source des éléments finis.
Ces vecteurs doivent répondre aux critères suivantes :
•
•
•
conditions aux limites cinématiques et statiques.
indépendance linéaire
complétude de la base.
On peut adopter soit les vecteurs de Lanczos ou tous vecteurs obtenus pour les forces nodales ponctuelles
unitaires (méthode de réduction de base pour solveurs directs ou méthode Ritz-gradient ou PCG_Ritz).
Vu sur technica.fr
28
On a alors la projection dans le sous-espace suivant :
Notons que β est de taille N, la matrice Q est de taille NeqxN.
Les équations sub-spatiales (B3) seront résolues par décomposition des vecteurs propres (dans le sous-espace tel
que Q = {q1, q2, …, qN}).
Notons que la décomposition (4) est une expression exacte, le sous-script K admettant des valeurs comprises de 1
à N sur l'intégralité du sous-espace Q.
Le changement de (B4) en (B3) aboutit à un ensemble d'équations non couplé
Soient :
(B6)
(B5) devient alors :
(B7)
où k=1,2,..., N.
Appliquons la méthode Spectre de réponse aux équations non couplées (B7)
(B8)
où
spectrale.
Vu sur technica.fr
indiquent la réponse maximale pour le mode sub-spatial K et la fonction d'accélération
29
Changeons (B8) en (B4) puis en (B2) :
(B9)
Notons que pour N - > Neq :
ωk -> Ωk
Où Ωk,
sont le couple propre exact du problème propre des éléments finis source.
(B10)
et
où
est le facteur de participation des masses pour le mode propre k.
Conclusions
1. L'approche proposée ne nécessite pas les "bonnes" approximations
, ωk -> Ωk. Il se peut que
, ωk se rapprochent de
, Ωk avec une précision arbitraire.
2. L'approche proposée n'est pas pire que la méthode de décomposition modale bien connue (superposition).
Ces deux méthodes constituent des cas particuliers de la méthode de projection commune et convergent
vers la solution "exacte" quand N - > Neq. (Cette affirmation n'est pas exactement valable pour la
méthode Spectre de réponse, car elle est de nature statistique et sa convergence vers la solution exacte se
produit quand N - > ∞. Il est évident que N > Neq risque de provoquer un conflit, le nombre de vecteurs
de base ne pouvant pas dépasser Neq. Il est donc possible d'obtenir différentes solutions pour les vecteurs
de base quand N = Neq. Il s'agit d'une particularité de la méthode Spectre de réponse. Pour les méthodes
autres que Spectre de réponse, la convergence complète se produit quand N = Neq. La convergence pour
le cas de la méthode Spectre de réponse n'a qu'une valeur statistique, car elle constitue une approche
statistique visant à obtenir une résolution moyenne si le comportement temporel a été perdu. C'est pour
cela que le terme "solution exacte" est à utiliser avec précaution).
3. Quelle est le meilleur type de base : vecteur de Ritz ou vecteurs propres ? On doit pouvoir trouver une
base qui offrirait une meilleure convergence vers la solution "exacte" (N = Neq) en utilisant le plus petit
nombre de fonctions de base N. Cette question sera résolue par l'examen d'exemples pratiques.
En général, la première partie de couples
, ωk donnent de bonnes approximations pour les couples
propres correspondants
, Ωk (il est possible de déterminer la précision de chaque couple dans la
colonne "Précision" de la liste de sortie). Seule la dernière partie de couples , ωk associe de mauvaises
approximations aux couples propres exacts et peut être considéré comme "Pseudo-mode" (conformément
à la norme sismique française PS-92).
4. L'utilisation de l'intégralité du sous-espace Q = {q1, q2, …, qN} garantit l'augmentation rapide des
masses participantes. En mode Modal et Sismique, seule une partie de ce sous-espace est utilisé.
Annexe 3C
Vu sur technica.fr
30
Exemples d'application des modes Sismique et Pseudo-mode.
La variété des types de problèmes sismiques et spectraux où le pourcentage des masses est insuffisant (70 % à
90 %) est évidente. Ces "bons problèmes" peuvent être résolus à l'aide de méthodes bien connues.
•
•
En affectant un nombre arbitraire de N modes.
En calculant les N premiers modes séquentiels en passant en mode Modal.
Toutefois, pour les problèmes difficiles, cette approche peut s'avérer inaccessible. Prenons, par exemple, les
problèmes Coreal ou Musée. Il s'agit de modèles d'éléments finis préparés par des ingénieurs français. On
présente un pourcentage de masses pour plusieurs séries de modes propres définis. On utilise le mode Modal
(méthode Lanczos).
Historique de convergence du problème Coreal
Nombre de modes convergents % Masses
44
<1%
62
12 %
75
38 %
89
60 %
116
74 %
154
77 %
179
80 %
Historique de convergence du problème Musée
Nombre de modes convergents % Masses
41
20 %
106
40 %
119
42 %
Par exemple, 80 % signifie que pour deux directions données, les sommes des masses sont au moins égales à la
valeur donnée. Le mode Modal génère des modes propres, pendant que l'on atteint soit le pourcentage des masses
indiqué, ou la limite supérieure indiquée comme nombre maximal de modes. On obtient la solution finale de la
méthode Spectre de réponse sous la forme d'une superposition statistique de vecteurs propres.
Dans les deux problèmes étudiés, le nombre de degrés de liberté est inférieur à 2 000. On dit de tels problèmes
qu'ils sont "petits" (en raison du nombre de degrés de liberté). Pour les problèmes moyens à grands, il est
possible que les modes Modal et Sismique ne puissent pas s'appliquer dans la pratique, en raison de longueur
interminable des calculs. Pour de tels cas, on recommande l'application du Pseudo-mode. Voici, ci-dessous, le
comportement temporel de la convergence des problèmes Coreal et Musée.
"Historique de convergence" du problème Coreal
Nombre de vecteurs de base % Masses
10
58 %
20
67 %
40
70 %
80
80 %
Vu sur technica.fr
31
"Historique de convergence" du problème Musée
Nombre de vecteurs de base % Masses
10
60 %
20
66 %
40
71 %
RemarqueIl faut définir de 130 à 150 vecteurs de Lanczos pour obtenir 80 vecteurs propres pour le mode modal.
Les temps de calcul en pseudo-mode est de 3 à 5 fois plus courts.
La convergence des résultats en pseudo-mode est illustrée dans le problème suivant. Le tableau ci-dessous
présente le résultat des valeurs min./max. de la combinaison CQC pour les modes Modal et Pseudo.
Mode
UX (cm) UY (cm)
UZ (cm) % masse.
Modale
5,52002e-00 5. 88293e-00 5,83013e-00 81 %
Pseudo, Nvect. = 10 5,58710e-00 5. 89055e-00 5,00224e-00 80 %
Pseudo, Nvect. = 20 5,52937e-00 5,88870e-00 6,08661e-00 91 %
Nvect - Nombre de vecteurs de base.
Annexe 3D
Application de méthodes d'analyse modale pour résoudre des systèmes étendus
Exemple 1
Comparaison des temps de calcul pour les méthodes BLSI et Lanczos. On considère des nombres de modes
propres distincts.
Solveur appliqué : solveur direct. Type de matrice des masses : Simplifiée avec rotations.
Vu sur technica.fr
32
Fig. D1. Cas d'un hôtel. Nombre de noeuds : 6 359 - Nombre d'éléments : 7 264 - Nombre d'équations : 37 806.
Tableau D1. Comparatif des résultats
BLSI
Lanczos
f (Hz)
Précision F (Hz)
Précision
2,794e-001 1,082e-006 2,794e-001 5,680e-015
1,388e+000 1,389e-004 1,388e+000 2,199e-013
1,520e+000 7,847e-004 1,520e+000 8,193e-012
1,644e+000 2,469e-004 1,644e+000 4,497e-013
1,747e+000 2,691e-004 1,747e+000 5,455e-014
1,776e+000 3,092e-004 1,776e+000 9,127e-013
1,806e+000 3,153e-004 1,806e+000 6,621e-013
1,818e+000 6,383e-004 1,818e+000 3,656e-012
2,622e+000 1,565e-003 2,343e+000 2,047e-011
2,634e+000 1,383e-003 2,622e+000 1,223e-005
La vérification de Sturm n'étant pas lancée, on a un couple propre ignoré entre les 8ème et 9ème modes, si BLSI est
appliqué.
Tableau D2. Durée de l'extraction du mode (en secondes)
Méthode 10 modes 50 modes 100 modes
BLSI
735
6 029
23 572
Lanczos 1 472
12 637 25 271
Factorisation de la matrice : 841 sec.
Vu sur technica.fr
33
L'association de méthodes avancées (BLSI, Lanczos) et d'un solveur direct puissant permet une factorisation
matricielle rapide et d'extraire un grand nombre de modes propres. Les calculs ont été réalisés sur un ordinateur
P350 (256 Mo de RAM).
Exemple 2
Application de différentes méthodes pour la résolution du problème PJG203. Le modèle contient des liaisons
rigides impliquant l'utilisation d'une matrice de masses homogène. 25 pseudo-modes ont été extraits.
Fig. D2. Problème PJG203. Nombre de noeuds : 5 945 - Nombre d'éléments : 11 471 - Nombre de liaisons
rigides : 22 - Nombre de noeuds compatibles : 302 - Nombre d'équations : 34 266.
Tableau D3. Temps de calcul, espace occupé sur le disque, dix premières fréquences et précision correspondante
de différentes méthodes.
Méthode
Temps Disque
Fréquences
Précision
(sec.)
dur (Mo) (Hz)
1,175e+000 8,043e-015
1,337e+000 1,025e-013
1,454e+000 1,031e-013
Skyline
61 633
597
2,445e+000 1,712e-006
2,445e+000 5,566e-006
2,628e+000 6,331e-008
2,829e+000 3,538e-001
Vu sur technica.fr
34
3,033e+000 3,052e-005
3,209e+000 9,086e-005
3,595e+000 4,498e-003
1,175e+000 3,522e-012
1,337e+000 2,689e-011
1,454e+000 1,159e-010
2,445e+000 1,735e-006
2,445e+000 5,639e-006
Direct
4 435
99
2,628e+000 6,419e-008
2,825e+000 3,520e-001
3,033e+000 3,034e-005
3,209e+000 9,938e-005
3,595e+000 4,386e-003
1,175e+000 3,719e-004
1,337e+000 3,891e-004
1,454e+000 6,601e-004
2,445e+000 1,454e-003
Modif.
Lanczos
2,445e+000 1,875e-003
3 459
24
2,628e+000 2,946e-003
2,791e+000 3,364e-003
3,033e+000 3,923e-003
3,209e+000 2,175e-002
3,595e+000 1,580e-001
1,266e+000
PCG_Ritz 1 521
24
1,350e+000
1,467e+000
Vu sur technica.fr
n.c. - PCG_Ritz n'est pas une méthode itérative. Il s'agit d'une
méthode Ritz. Par conséquent, on obtient des pseudo-modes au
lieu de modes propres "exacts".
35
2,445e+000
2,446e+000
2,446e+000
2,805e+000
3,035e+000
3,381e+000
3,566e+000
Les paramètres suivants ont été retenus pour la méthode Lanczos modifiée : solveur itératif AEBEIS (à plusieurs
niveaux); Préconditionnement FIC; 2 niveaux d'agrégation; 4 itérations internes; tol. = 1.0e-04 - précision de
génération de vecteurs de Lanczos.
Les paramètres suivants ont été retenus pour la méthode PCG_Ritz : solveur itératif AEBEIS à plusieurs
niveaux ; Préconditionnement FIC ; 1 niveau d'agrégation ; 4 itérations internes.
Les fréquences convergentes sont indiquées en rouge. Si la précision (voir Annexe 3A) d'une norme relative de
vecteur résiduel pour un mode donné est inférieure à 5,0e-02, une telle norme peut être considérée comme
totalement convergente pour la vecteur propre correspondant. Les fréquences indiquées en rouge sont donc
considérées comme les valeurs exactes d'un modèle discret donné. L'estimation de l'erreur de la méthode
PCG_Ritz figure dans le tableau D4. On peut conclure de ce qui précède que les résultats obtenus par la méthode
PCG_Ritz permettent aux ingénieurs d'obtenir une approximation suffisamment bonne, et que cette approche est
exploitable pour l'étude du comportement sismique.
Les méthodes avancées permettent de réduire considérablement le temps de calcul et l'espace occupé sur le
disque, sans que l'exactitude en souffre réellement.
Tableau D4. Erreur d'évaluation de la méthode PCG_Ritz
Fréquence "exacte" Résultats PCG_Ritz Erreur (%)
1,175e+000
1,266e+000
7,7
1,337e+000
1,350e+000
1.0
1,454e+000
1,467e+000
0,9
2,445e+000
2,445e+000
0,0
2,445e+000
2,446e+000
0,0
2,628e+000
2,446e+000
7,0
2,791e+000
2,805e+000
0,5
3,033e+000
3,035e+000
0,1
3,209e+000
3,381e+000
5,4
3,595e+000
3,566e+000
0,8
Les calculs ont été effectués sur un ordinateur PC-450 (128 Mo de RAM).
Exemple 3
Vu sur technica.fr
36
Soit une fine dalle carrée avec matrice de masses homogène sur une arête. Soient une coque à 4 noeuds et un
maillage 128x128 (nombre d'équations Neq : 99072). Les 40 pseudo-modes sont extraits.
Le Tableau 5 compare les temps de calcul et l'occupation du disque pour les méthodes Lanczos (Skyline et
direct), Lanczos modifiée (solveur itératif) et Ritz-gradient (PCG_Ritz).
Tableau D5. Temps de calcul et espace occupé sur le disque pour plusieurs méthodes.
Méthode
Temps (sec.) Disque dur (Mo)
Lanczos (solveur Skyline)
141 559
7 367
Lanczos (solveur direct)
15 615
157
Lanczos modifiée (solveur itératif) 18 978
0
PSG_Ritz
9 651
192
Les calculs ont été effectués sur un ordinateur PC-450 (128 Mo de RAM).
Les dix premières fréquences obtenues par Lanczos (Skyline ou direct), Lanczos modifée (solveur itératif,
préconditionnement FIC, 3 niveaux d'agrégation, 8 itérations internes, tolérance de 1,0e-03 pour la génération de
vecteurs de Lanczos) sont identiques. La précision des calculs étant très élevée, on peut considérer ces valeurs
comme exactes pour le modèle discret donné. C'est valeurs servent de références pour l'estimation de l'erreur
pour les fréquences obtenues par la méthode PCG_Ritz. L'approche à plusieurs niveaux avec préconditionnement
FIC (1 niveau d'agrégation, 4 itérations internes) a été sélectionnée conjointement à l'application de la méthode
PCG_Ritz. Les résultats correspondants figurent dans le tableau D6.
Tableau D6. Comparaison des fréquences pour les méthodes PCG_Ritz et Lanczos
Fréquences par Lanczos (Hz) Précision Fréquences par PCG_Ritz (Hz) Erreur (%)
3,722e+000
5,918e-014 3,725e+000
0,08
9,112e+000
4,474e-014 9,115e+000
0,03
2,282e+001
2,424e-012 2,284e+001
0,09
2,915e+001
5,866e-013 2,915e+001
0,00
3,315e+001
1,795e-013 3,318e+001
0,09
5,801e+001
2,373e-011 5,803e+001
0,03
6,565e+001
3,028e-011 6,571e+001
0,09
6,873e+001
6,907e-014 6,875e+001
0,03
7,602e+001
1,549e-012 7,609e+001
0,09
9,949e+001
3,302e-013 9,953e+001
0,04
Exemple 4
Soit un bâtiment de grande taille (voir Fig. D3)
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37
Fig. D3 Bâtiment de grande taille Nombre de noeuds : 26 126 - Nombre d'éléments : 30 272
Nombre d’équations : 155 920.
On a choisi l'analyse statique linéaire (un seul cas de charge) et l'extraction de 10 modes propres. La tolérance
retenu pour le solveur itératif est égale à 1,0e-04. On associe le solveur Skyline à la méthode Lanczos. On
associe le solveur direct aux méthodes Lanczos et BLSI. On associe la méthode Lanczos modifiée au solveur
itératif (méthode à plusieurs niveaux, avec 3 niveaux d'agrégation, 4 itérations internes et préconditionnement
FIC). La matrice des masses est de type Simplifiée avec rotations.
Tableau D7. Temps de calcul et espace occupé sur le disque pour plusieurs méthodes.
Espace
(Mo)
Méthode
Skyline
AEBEIS
Direct
Lanczos)
NS direct
(méthode
Statique
disque linéaire
Extraction de 10 modes propres Durée
(sec.)
(sec.)
5 702
52
(cdr seuls) (s)
136 065
65 052
2 442
25 793
203 878
28 355
773
10 253
24 500
35 762
773
10 253
11 534
22 604
totale
(méthode BLSI)
Les calculs ont été effectués sur un ordinateur PC-450 (128 Mo de RAM).
Conclusions
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38
L'association de méthodes avancées BLSI ou Lanczos et d'un solveur direct ou d'un solveur itératif performant
AEBEIS avec préconditionnement FIC constitue de puissants outils pour résoudre des problèmes de valeurs
propres ou des problèmes statiques linéaires importants. Ils réduisent considérablement le temps de calcul et
l'espace occupé sur le disque, en comparaison du solveur Skyline conventionnel. La méthode PCG_Ritz est une
approche rapide permettant d'estimer le comportement sismique de la structure donnée. Quand un seul niveau
d'agrégation est accepté, les résultats correspondants, obtenue par la méthode PCG_Ritz sont proches de ceux
obtenus par les méthodes Lanczos ou BLSI.
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39