Energie dans un champ radial

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 1 : ENERGIE DANS UN CHAMP RADIAL
I) Terminologie générale et définition :
1) Configurations et états d’un système :
On considère un système (S) dont on étudie l'évolution, au cours du temps, dans un
référentiel (R).
La donnée des positions des différentes parties du système (S) par rapport à (R), constitue
une "photo instantanée" du système, c'est une configuration du système. La seule donnée
d'une configuration ne permet pas de prévoir l'évolution future du système.
Si en plus des positions des différentes parties du système on se donne leurs vitesses, on
définit un état du système.
On distinguera donc une configuration et un état du système (S).
2) Définition :
L'énergie potentielle EP est définie pour une configuration du système étudié.
On doit choisir une configuration particulière pour définir l'origine des énergies potentielles,
pour cette configuration, on posera EP = 0.
L'énergie potentielle d'un système dans une configuration donnée, est égale au travail que
devrait fournir un opérateur extérieur pour faire passer le système, d'une façon quasistatique, de la configuration choisie pour définir l'origine des énergies potentielles à la
configuration donnée.
II) Rappels sur le champ de gravitation :
1) Loi d'attraction universelle (loi de Newton) :
- On considère deux objets ponctuels (A) et (B), de masses mA et mB et placés en des points
A et B à une distance r l'un de l'autre.
→
L'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force attractive FA →B et l'objet (B) exerce sur l'objet (A)
→
une force attractive FB → A . Ces deux forces sont appelées forces gravitationnelles.
→
→
→
→
D'après le principe d'interaction : FA →B = − FB → A et FA →B et FB → A sont colinéaires.
La mesure commune des deux forces gravitationnelles est donnée par l'expression :
m .m
FA →B = FB→ A = K. A 2 B
r
2
K est la constante de gravitation universelle : K = 6,67259.10−11 N.m .kg−2
→
- Désignons par uAB le vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B.
→
La force FA →B qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B) s'écrit :
→
FA →B = − K.
mA.mB →
. uAB
r2
- On considère un objet "étendu" sphérique (S) et homogène ou constitué de couches
sphériques concentriques et homogènes (cas de la plupart des astres).
Nous admettrons que (S) est équivalent, au point de vue des forces de gravitation qu'il
exerce ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son centre.
En pratique, un objet pourra être considéré comme quasi-ponctuel s’il est observé à une
grande distance.
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2) Champ de gravitation :
Amenons, par la pensée, en un point P de l'espace un objet quasi-ponctuel de masse m.
→
Si cet objet-test est soumis à une force gravitationnelle F nous dirons qu'il existe en P un
→
champ de gravitation G(P) . Ce champ gravitationnel est produit par différentes masses
réparties dans l'espace et appelées sources du champ. Le champ caractérise les propriétés
gravitationnelles de l'espace liées à la présence des sources.
→
→
→
→
Le vecteur champ de gravitation G(P) est défini par : G(P) = (1/m).F
→
ou F = m. G(P)
→
La mesure G(P) de G(P) s'exprime en N.kg−1 ou en m.s−2.
On considère un objet à symétrie sphérique de masse M dont le centre est en un point O.
→
Plaçons en un point P un objet-test de masse m. La force gravitationnelle F subit par l'objettest est donnée par la loi de Newton :
→
→
→
→
FO →P = − K. m.2M .u OP = m.(− K. M2 . u OP ) = m. G(P)
r
r
D’où l'expression du champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O :
→
→
G(P) = − K. M2 . u OP
r
Le champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O a pour :
- direction : celle de la droite (OP),
- sens : de P vers O,
- valeur : G(P) = K.M/r2 où G s'exprime m.s−2, M en kg, r en m et K en m3.kg−1.s−2.
On appelle ligne de champ une courbe admettant comme tangente en chaque point la droite
de même direction que celle du champ.
Les lignes de champ du champ de gravitation, créé par un objet à symétrie sphérique centré
en un point O, sont les droites passant par O : on parle de champ radial.
III) Energie dans un champ de gravitation radial :
1) Rappel de la définition du travail d'une force :
On considère un objet quelconque et un point M de cet objet sur
→
lequel s'exerce une force F (qui n’est pas forcément la seule force à
s’exercer sur l’objet). L’objet se déplace très lentement.
Au cours du mouvement, le point d'application M passe de la position
A à la position B.
a) Travail élémentaire :
→
Dans un premier temps, on considère un tout petit déplacement δl du point d'application
→
M de F . Au cours de ce petit déplacement, on peut considérer la force comme constante.
→
Par définition le travail élémentaire de F au cours du petit déplacement est :
→
→
→
→
δW = F . δl
C'est un produit scalaire, F et δl ne sont pas toujours parallèles. On peut faire apparaître
→
→
→
→
→
→
→
→
l'angle entre F et δl :δW = F . δl .cos( F , δl ) = F.δl.cos( F , δl )
Remarques : Le travail δW est un scalaire (produit scalaire).
→
→
* Si la force est orthogonale au déplacement (cos( F , δl ) = 0) le travail est nul.
→
→
→
→
* Si l'angle entre F et δl est inférieur à π/2, δW est positif, le travail est dit moteur.
* Si l'angle entre F et δl est supérieur à π/2, δW est négatif, le travail est dit résistant.
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b) Travail d'une force sur un déplacement fini :
→
Le travail effectué par la force F au cours du déplacement de son point d'application de A
en B suivant un trajet (C) est, par définition, égal à la somme des travaux élémentaires
→
→
→
W (F) = Σ δW = Σ F . δl
calculés le long de (C) :
A →B
→
A→B
A→ B
En général, si la force F varie au cours du déplacement et si le trajet de M est
quelconque, cette somme est en général difficile à exprimer mathématiquement.
2) Travail fourni par un opérateur :
Pour déplacer un objet de masse m, de centre de gravité G, de façon quasi-statique,
l'opérateur doit exercer, une force égale et opposée à la force de gravitation :
→
→
→
Fopérateur = − Fgravitation = K. m.2M . uOG
r
Remarques : - Le travail effectué par cet opérateur est un travail fictif (travail virtuel).
- Ce travail virtuel doit être effectué de façon quasi-statique (l'objet est
considéré comme en état d'équilibre à chaque instant) : on ne cherche pas à
communiquer une accélération à cet objet.
On peut écrire symboliquement le travail que doit fournir l'opérateur pour faire passer l'objet
de façon quasi-statique, d'une configuration dans laquelle l'objet se trouve à une distance r1
du centre O d'un astre de masse M, à une configuration dans laquelle l'objet se trouverait à
une distance r2 de O :
→
→
→
→
W (opérateur ) = Σ δW = Σ Fopérateur . δr = Σ K. m.2M . uOG . δr
r1 → r2
r1 → r2
r1 → r2
r
r1 → r2
On montre (et nous admettrons) que ce travail peut s'écrire :
W (opérateur ) = − K.m.M.( 1 − 1 )
r2
r1
r1 → r2
3) Energie potentielle et potentiel de gravitation :
a) Energie potentielle :
Dans le cas d'un champ radial, pour définir l'origine des énergies potentielles, on a
coutume de choisir la configuration dans laquelle l'objet de masse m est située à l'infini :
r1 = ∞. Dans ce cas : 1/r1 = 0 et l'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un
objet de masse m situé à la distance r du centre d'un astre est alors :
EPg(r) = − K. m.M
r
b) Potentielle de gravitation :
On peut définir le potentiel de gravitation par :
E (r )
= − K. M
VPg(r) = Pg
m
r
On appelle équipotentielle une surface dont tous les
points sont au même potentiel.
En tous points de l’espace où règne un champ, les
lignes de champ sont orthogonales aux surfaces
équipotentielles.
Les équipotentielles de gravitation, créées par un
objet à symétrie sphérique centré en un point O, sont
les sphères de centre O.
Remarques : Le potentiel de gravitation est une propriété
scalaire de l'espace qui s'exprime en J.kg-1.
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4) Energie mécanique d'un satellite en orbite circulaire autour d'un astre :
a) Energie cinétique :
On considère un satellite de masse
m, en orbite circulaire de rayon r,
autour d'un astre de masse M.
→
→
La force de gravitation est F = m. a
→
→
où a comme F est dirigé suivant
une radiale.
dv
v2
Donc a = aN =
et aT =
= 0, on
dt
r
te
en déduit que v = c .
La loi fondamentale peut se mettre sous la forme : F = m.aN
v2
D’où K. M.2m = m.
et on déduit la relation : v2 = K. M
r
r
r
L'énergie cinétique du satellite a donc pour expression :
EC = 1 .m.v2 = K .M.m
2
2.r
b) Energie mécanique :
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
L'énergie mécanique d'un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon r, autour d'un
astre de masse M est donnée par :
Em = EC + EPg = K .M.m − K .M.m = − K .M.m
2.r
r
2.r
Remarques : Etant donné le choix de la configuration pour laquelle l'énergie potentielle est
nulle, on constate que l'énergie mécanique prend une valeur négative et
s'annule lorsque r = ∞.
5) Vitesse de libération :
Considérons un vaisseau spatial de masse m posé sur le sol d'une planète de masse M et
de rayon R. Dans cette situation, l'engin ne possède pas d'énergie cinétique par rapport à la
planète, et son énergie mécanique est égale à son énergie potentielle de gravitation : EM(au
sol) = EP(au sol).
Pour libérer le vaisseau spatial de l'attraction de l'astre, il faut, au moins, l'envoyer à "l'infini"
et qu'il y arrive avec une vitesse nulle.
Remarques : la force de gravitation varie comme l’inverse du carré de la distance à l’astre
(en1/r2), on peut donc considérer que cette force devient négligeable quand la
distance r est suffisamment grande.
En admettant la conservation de l'énergie mécanique (on néglige les pertes d'énergie par
frottement dans l'atmosphère de l'astre), il faut communiquer, une énergie cinétique EC au
vaisseau spatial au sol pour que sa nouvelle énergie mécanique, au sol, soit nulle ! En effet :
EM(au sol) = EC(au sol) + EPg(au sol) = EM(à l'∞) = EC(à l'∞ = 0) + EPg(à l'∞ = 0) = 0
1 .m.v 2 − K. m.M = 0
Soit
l
2
R
On en déduit la vitesse de libération : vl = 2.K .M
R
Remarques : En fait, cette vitesse est communiquée progressivement grâce à une fusée.
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IV) Rappels sur le champ électrique :
1) La loi de Coulomb :
On considère deux objets ponctuels (A) et (B), portant des charges qA et qB, et placés aux
points A et B, à une distance r l'un de l'autre.
→
L'expérience montre que l'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force F A / B , et l'objet (B) exerce
→
sur l'objet (A) une force FB / A .
→
Soit u AB le vecteur unitaire de la droite AB, orienté de A vers B, on a :
→
F A / B = k.
→
q A .qB →
q .q →
1
. u AB =
. A 2 B . uAB = − FB / A
2
4.π.ε0
r
r
→
- si les charges qA et qB sont de même signe (qA.qB > 0, en rouge sur la figure) F A / B a même
→
sens que u AB : la charge placée en A
repousse celle placée en B.
- si qA et qB sont de signes contraires
→
→
(qA.qB < 0, en vert sur la figure) F A / B est de sens contraire de u AB : la charge placée en A
attire celle placée en B.
2) Champ électrique créé par une charge ponctuelle :
Amenons en un point P de l'espace la petite boule d'un pendule électrostatique portant une
→
charge électrique qP. Si cet objet-test est soumis à une force électrique F , nous dirons qu'il
→
existe en P un champ électrique représenté par le vecteur E(P) .
→
Le champ électrique E(P) est produit par différentes charges électriques réparties dans
l'espace et appelées les sources du champ. Le vecteur champ électrique en un point P est
→
→
→
→
défini par :
E(P) = 1 . F ou F = qP. E(P)
qP
→
→
→
→
Si qP > 0 F et E(P) ont même sens et si qP < 0 F et E(P) ont des sens opposés.
qP charge électrique de l'objet-test (en C); F valeur de la force électrique (en N), E(P) valeur
du champ électrique (en V.m−1).
On considère une charge q quasi-ponctuelle placée en O. Plaçons en P une charge-test qP.
D'après la loi de Coulomb, la charge qP subit une force :
→
→
q.q →
1
. 2 P . uOP = qP. E(P)
FO / P =
4.π.ε0 r
→
q →
1
D'où
. 2 . uOP
E(P) =
4.π.ε0 r
→
Où uOP représente le vecteur unitaire de direction
OP et orienté de O vers
P.
→
Le champ électrique E(P) en P a pour :
- direction :
celle de la droite (OP).
- sens :
de O vers P.
- valeur :
E(P) =
q
1
. 2
4.π.ε0 r
q est la charge (en C), r la distance OP (en m), ε0 la permittivité diélectrique du vide (en
F.m−1) et E(P) la valeur du champ (en V.m−1).
Les lignes de champ sont radiales et si q > 0 les lignes de champ sont "sortantes" (cas de
figure) si q < 0 les lignes de champ sont "rentrantes".
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V) Energie électrique dans un champ radial :
1) Travail fourni par un opérateur :
On montre (et nous admettrons) que le travail que doit fournir un opérateur pour faire passer
une charge q, de façon quasi-statique, d'une configuration dans laquelle cette charge se
trouve à une distance r1 d'une charge source Q, à une configuration dans laquelle charge q
se trouverait à une distance r2 de la charge Q immobile, est :
q.Q
.( 1 − 1 )
W (opérateur ) =
r2
r1
4
.
π
.
ε
r1 → r2
0
2) Energie potentielle et potentiel électrique :
a) Energie potentielle :
Dans le cas d'un champ radial, pour définir l'origine des énergies potentielles, on a
coutume de choisir la configuration dans laquelle la charge q est située à l'infini : r1 = ∞
Dans ce cas : 1/r1 = 0 et :
L'expression de l'énergie potentielle électrostatique d'une charge q située à la distance r
d'une charge Q est alors :
EPé(r) =
q.Q
4.π.ε0 .r
b) Potentiel électrique :
On peut définir le potentiel électrique par :
EPé (r )
Q
=
q
4.π.ε0 .r
Les équipotentielles électriques créées par une charge
ponctuelle située en un point O, sont les sphères de
centre O.
Remarques : Les surfaces équipotentielles électriques
sont bien orthogonales en tous points
aux lignes de champ électrique.
Remarques : Le potentiel électrique est une propriété
scalaire de l'espace et s'exprime en J.C−1.
V(r) =
3) Modèle de l'atome d'hydrogène :
a) Energie cinétique :
On considère un atome d'hydrogène simplifié constitué d'un proton fixe, de masse mp, et
de charge qp = + e, autour duquel gravite, sur une orbite circulaire de rayon r, un électron
de masse me, et de charge qe = − e.
→
→
→
La force électrique attractive à laquelle est soumis l'électron est F = me. a où a comme
→
la force F est dirigée suivant une radiale (le mouvement étant circulaire).
dv
v2
Donc a = aN =
et aT =
= 0, on en déduit que v = cte.
dt
r
La loi fondamentale peut se mettre sous la forme : F = me.aN
1
2
2
v2
D’où
. e2 = me.
et on déduit la relation : me.v2 = e
4.π.r.ε0
r
4.π.ε0 r
L'énergie cinétique de l'électron a donc pour expression :
2
EC = 1 .me.v2 = e
8.π.r.ε0
2
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b) Energie mécanique :
L'énergie potentielle de l'électron dans l'atome d'hydrogène simplifié est donnée par :
2
q.Q
EPé(r) =
=− e
4.π.ε0 .r
4.π.ε0 .r
Donc l'énergie mécanique de l'électron dans l'atome d'hydrogène simplifié est :
2
2
2
− e
=− e
Em = EC + EPé = e
8.π.r.ε0
4.π.ε0 .r
8.π.r.ε0
Remarques : Etant donné le choix de la configuration pour laquelle l'énergie potentielle est
nulle, on constate que l'énergie mécanique prend une valeur négative et
s'annule lorsque r = ∞.
c) Lien avec la mécanique quantique :
La mécanique quantique nous dit que les niveaux d'énergie électroniques (valeurs
quantifiées de l'énergie) de l'atome d'hydrogène sont donnés par la relation :
2,176.10 −18
En = −
n2
Où n est le nombre quantique principal et où En est exprimé en J.
Dans son état fondamental l'atome d'hydrogène est caractérisé par un nombre quantique
principal égal à 1, d'où : Ef = − 2,176.10−18 J
On peut calculer un rayon classique de l'atome d'hydrogène, en égalant l'énergie
mécanique "classique" Em et l'énergie "quantique" de l'état fondamental Ef de l'atome :
e2
= 2,176.10−18 J
8.π.r.ε0
Avec e ≈ 1,6.10-19 C et 1/(4.π.ε0) ≈ 9.109 S.I., on trouve :
r ≈ 5,3.10−11 m = 53 pm
Ce qui constitue un très bon ordre de grandeur !!
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Energie dans un champ radial
A RETENIR
I) Terminologie générale et définition :
La donnée des positions des différentes parties d'un système (S) par rapport à un référentiel
(R), constitue une configuration du système (S).
Si en plus des positions des différentes parties du système (S), on se donne leurs vitesses, on
définit un état du système.
L'énergie potentielle EP d'un système (S) dans une configuration donnée, est égale au travail
(virtuel) que devrait fournir un opérateur extérieur pour faire passer le système, d'une façon
quasi-statique, de la configuration choisie pour définir l'origine des énergies potentielles à la
configuration donnée.
II) Champ de gravitation :
1) Loi d'attraction universelle (loi de Newton) :
→
→
La force FA →B qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B) s'écrit : FA →B = − K.
mA.mB →
. uAB
r2
2) Champ de gravitation :
L'expression du champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O est :
→
→
G(P) = − K. M2 . u OP
r
Le champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O a pour :
- direction : celle de la droite (OP),
- sens : de P vers O,
2
3
- valeur : G(P) = K.M/r où G s'exprime m.s−2, M en kg, r en m et K en m .kg−2.s−2.
Les lignes de champ du champ gravitationnel créé par un objet à symétrie sphérique centre
en un point O sont les droites passant par O : on parle de champ radial.
III) Energie dans un champ de gravitation radial :
1) Rappel de la définition du travail d'une force :
a) Travail élémentaire :
→
→
Le travail élémentaire de F au cours du petit déplacement δl est :
→
→
→
→
δW = F . δl = F.δl.cos( F , δl )
→
→
* Si la force est orthogonale au déplacement (cos( F , δl ) = 0) le travail est nul.
→
→
* Si l'angle entre F et δl est inférieur à π/2, δW est positif, le travail est dit moteur.
→
→
* Si l'angle entre F et δl est supérieur à π/2, δW est négatif, le travail est dit résistant.
b) Travail d'une force sur un déplacement fini :
→
Le travail effectué par la force F au cours du déplacement de son point d'application de A
→
→
→
en B suivant un trajet (C) est : W (F) = Σ δW = Σ F . δl
→
A →B
A→B
A→ B
En général, si la force F varie au cours du déplacement et si le trajet de M est
quelconque, cette somme est en général difficile à exprimer mathématiquement.
2) Travail fourni par un opérateur :
W (opérateur ) = − K.m.M.( 1 − 1 )
r2
r1
r1 → r2
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3) Energie potentielle et potentiel de gravitation :
a) Energie potentielle :
EPg(r) = − K. m.M
r
Dans le cas d'un champ radial :
b) Potentielle de gravitation :
On peut définir le potentiel de gravitation par VPg(r) =
EPg (r )
= − K. M
m
r
4) Energie mécanique d'un satellite en orbite circulaire autour d'un astre :
a) Energie cinétique :
Un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon r, autour d'un astre de masse M a
EC = K .M.m
2.r
pour énergie cinétique :
b) Energie mécanique :
L'énergie mécanique d'un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon r, autour d'un
astre de masse M est donnée par :
Em = EC + EPg = K .M.m − K .M.m = − K .M.m
2.r
r
2.r
4) Vitesse de libération :
Vitesse de libération :
vl =
2.K .M
R
IV) Energie électrique dans un champ radial :
1) Travail fourni par un opérateur :
W (opérateur ) =
r1 → r2
q.Q
.( 1 − 1 )
r1
4.π.ε0 r2
2) Energie potentielle et potentiel électrique :
a) Energie potentielle :
Dans le cas d'un champ radial :
EPé(r) =
q.Q
4.π.ε0 .r
b) Potentielle électrique :
On peut définir le potentiel électrique par V(r) = =
EPé (r )
Q
=
q
4.π.ε0 .r
3) Modèle de l'atome d'hydrogène :
a) Energie cinétique :
2
Pour l'atome d'hydrogène simplifié : EC = 1 .me.v2 = e
2
8.π.r.ε0
b) Energie mécanique :
2
q.Q
=− e
4.π.ε0 .r
4.π.ε0 .r
2
Em = EC + EPé = − e
8.π.r.ε0
EPé(r) =
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POUR S'ENTRAÎNER
Vitesse de libération.
L'énergie potentielle du système Terre-objet de masse m, placé à l'altitude z, est :
m.g0 .R 2T
Ep = −
RT + z
RT = 6380 km est le rayon terrestre; g0 = 9,81 m.s−2 est l'intensité de la pesanteur à la surface
de la Terre.
a) Vérifier que l'état de référence est celui où la masse m est infiniment éloignée de la Terre.
b) Jusqu'à quelle altitude montera un véhicule spatial de masse m s'il quitte la Terre avec une
vitesse de mesure v0 ?
c) quelle doit être la vitesse minimale, appelée vitesse de libération, avec laquelle il faut lancer
le véhicule spatial à partir du sol pour qu'il échappe à l'attraction terrestre ?
Données numériques : m = 100 kg
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