Energie dans un champ radial

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
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Chapitre n° 1 : ENERGIE DANS UN CHAMP RADIAL
I) Terminologie générale et définition
1)
:
Configurations et états d’un système
On considère un système (S) dont on étudie l'évolution, au cours du temps, dans un
référentiel (R).
:
La donnée des positions des différentes parties du système (S) par rapport à (R), constitue
une "photo instantanée" du système, c'est une configuration du système. La seule donnée
d'une configuration ne permet pas de prévoir l'évolution future du système.
Si en plus des positions des différentes parties du système on se donne leurs vitesses, on
définit un état du système.
On distinguera donc une configuration et un état du système (S).
2) Définition
L'énergie potentielle EP est définie pour une configuration du système étudié.
:
On doit choisir une configuration particulière pour définir l'origine des énergies potentielles,
pour cette configuration, on posera EP = 0.
L'énergie potentielle d'un système dans une configuration donnée, est égale au travail que
devrait fournir un opérateur extérieur pour faire passer le système, d'une façon quasi-
statique, de la configuration choisie pour définir l'origine des énergies potentielles à la
configuration donnée.
II) Rappels sur le champ de gravitation
1)
:
Loi d'attraction universelle (loi de Newton)
- On considère deux objets ponctuels (A) et (B), de masses mA et mB et placés en des points
A et B à une distance r l'un de l'autre.
:
L'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force attractive
→
→BA
F
et l'objet (B) exerce sur l'objet (A)
une force attractive
→
→AB
F
. Ces deux forces sont appelées forces gravitationnelles.
D'après le principe d'interaction :
→
→BA
F
= −
→
→AB
F
et
→
→BA
F
et
→
→AB
F
sont colinéaires.
La mesure commune des deux forces gravitationnelles est donnée par l'expression :
FA B→ = FB A→ = K.
2BA
rm.m
K est la constante de gravitation universelle : K = 6,67259.10−11 N.m2.kg−2
- Désignons par
→
AB
u
le vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B.
La force
→
→BA
F
qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B) s'écrit :
→
→BA
F
= − K.
2BA
rm.m
.
→
AB
u
- On considère un objet "étendu" sphérique (S) et homogène ou constitué de couches
sphériques concentriques et homogènes (cas de la plupart des astres).
Nous admettrons que (S) est équivalent, au point de vue des forces de gravitation qu'il
exerce ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son centre.
En pratique, un objet pourra être considéré comme quasi-ponctuel s’il est observé à une
grande distance.

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2) Champ de gravitation
Amenons, par la pensée, en un point P de l'espace un objet quasi-ponctuel de masse m.
:
Si cet objet-test est soumis à une force gravitationnelle
F
→
nous dirons qu'il existe en P un
champ de gravitation
G P( )
→
. Ce champ gravitationnel est produit par différentes masses
réparties dans l'espace et appelées sources du champ. Le champ caractérise les propriétés
gravitationnelles de l'espace liées à la présence des sources.
Le vecteur champ de gravitation
G P( )
→
est défini par :
G P( )
→
= (1/m).
F
→ ou
F
→ = m.
G P( )
→
La mesure G(P) de
G P( )
→
s'exprime en N.kg−1 ou en m.s−2.
On considère un objet à symétrie sphérique de masse M dont le centre est en un point O.
Plaçons en un point P un objet-test de masse m. La force gravitationnelle
F
→
subit par l'objet-
test est donnée par la loi de Newton :
→
→PO
F
= − K.
2
rM.m
.
u
OP
→
= m.(− K.2
r
M
.
→
PO
u
) = m.
G P( )
→
D’où l'expression du champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O :
G P( )
→ = − K.2
r
M.
→
PO
u
Le champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O a pour :
- direction : celle de la droite (OP),
- sens : de P vers O,
- valeur : G(P) = K.M/r2 où G s'exprime m.s−2, M en kg, r en m et K en m3.kg−1.s−2.
On appelle ligne de champ une courbe admettant comme tangente en chaque point la droite
de même direction que celle du champ.
Les lignes de champ du champ de gravitation, créé par un objet à symétrie sphérique centré
en un point O, sont les droites passant par O : on parle de champ radial
.
III) Energie dans un champ de gravitation radial
1)
:
Rappel de la définition du travail d'une force
On considère un objet quelconque et un point M de cet objet sur
lequel s'exerce une force
:
→
F
(qui n’est pas forcément la seule force à
s’exercer sur l’objet). L’objet se déplace très lentement.
Au cours du mouvement, le point d'application M passe de la position
A à la position B.
a) Travail élémentaire :
Dans un premier temps, on considère un tout petit déplacement
→
δl
du point d'application
M de
→
F
. Au cours de ce petit déplacement, on peut considérer la force comme constante.
Par définition le travail élémentaire de
→
F
au cours du petit déplacement est :
δW =
→
F
.
→
δl
C'est un produit scalaire,
→
F
et
→
δl
ne sont pas toujours parallèles. On peut faire apparaître
l'angle entre
→
F
et
→
δ l
:δW =
→
F
.
→
δl
.cos(
→
F
,
→
δl
) = F.δl.cos(
→
F
,
→
δl
)
Remarques : Le travail δW est un scalaire (produit scalaire).
* Si la force est orthogonale au déplacement (cos(
→
F
,
→
δl
) = 0) le travail est nul.
* Si l'angle entre
→
F
et
→
δl
est inférieur à π/2, δW est positif, le travail est dit moteur.
* Si l'angle entre
→
F
et
→
δ
l
est supérieur à π/2, δW est négatif, le travail est dit résistant.

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b) Travail d'une force sur un déplacement fini :
Le travail effectué par la force
→
F
au cours du déplacement de son point d'application de A
en B suivant un trajet (C) est, par définition, égal à la somme des travaux élémentaires
calculés le long de (C) :
→
→BA )F(W
= BA→
ΣδW =
Σ
A B→
→
F
.
→
δ l
En général, si la force
→
F
varie au cours du déplacement et si le trajet de M est
quelconque, cette somme est en général difficile à exprimer mathématiquement.
2) Travail fourni par un opérateur
Pour déplacer un objet de masse m, de centre de gravité G, de façon quasi-statique,
l'opérateur doit exercer, une force égale et opposée à la force de gravitation :
:
→
opérateur
F
= −
→
ngravitatio
F
= K.
2
rM.m
.
→
OG
u
Remarques : - Le travail effectué par cet opérateur est un travail fictif (travail virtuel).
- Ce travail virtuel doit être effectué de façon quasi-statique (l'objet est
considéré comme en état d'équilibre à chaque instant) : on ne cherche pas à
communiquer une accélération à cet objet.
On peut écrire symboliquement le travail que doit fournir l'opérateur pour faire passer l'objet
de façon quasi-statique, d'une configuration dans laquelle l'objet se trouve à une distance r1
du centre O d'un astre de masse M, à une configuration dans laquelle l'objet se trouverait à
une distance r2 de O :
21 rr )opérateur(W →
=
21
rr →
Σ
δW =
21
rr →
Σ
→
opérateur
F
.
→
δ
r
=
21
rr →
Σ
K.
2
rM.m
.
→
OG
u
.
→
δ
r
On montre (et nous admettrons) que ce travail peut s'écrire :
21 rr )opérateur(W →
= − K.m.M.(
2
r
1
−
1
r
1
)
3) Energie potentielle et potentiel de gravitation
a) Energie potentielle :
:
Dans le cas d'un champ radial, pour définir l'origine des énergies potentielles, on a
coutume de choisir la configuration dans laquelle l'objet de masse m est située à l'infini :
r1 = ∞. Dans ce cas : 1/r1 = 0 et l'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un
objet de masse m situé à la distance r du centre d'un astre est alors :
EPg(r) = − K.
rM.m
b) Potentielle de gravitation :
On peut définir le potentiel de gravitation par :
VPg(r) =
m)r(EPg
= − K.
r
M
On appelle équipotentielle une surface dont tous les
points sont au même potentiel.
En tous points de l’espace où règne un champ, les
lignes de champ sont orthogonales aux surfaces
équipotentielles.
Les équipotentielles de gravitation, créées par un
objet à symétrie sphérique centré en un point O, sont
les sphères de centre O.
Remarques : Le potentiel de gravitation est une propriété
scalaire de l'espace qui s'exprime en J.kg-1.

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4) Energie mécanique d'un satellite en orbite circulaire autour d'un astre
a) Energie cinétique :
:
On considère un satellite de masse
m, en orbite circulaire de rayon r,
autour d'un astre de masse M.
La force de gravitation est
F
→ = m.
a
→
où
a
→ comme
F
→ est dirigé suivant
une radiale.
Donc a = aN =
r
v2
et aT =
dv
dt
= 0, on
en déduit que v = cte.
La loi fondamentale peut se mettre sous la forme : F = m.aN
D’où K.
2
rm.M
= m.
r
v2
et on déduit la relation : v2 = K.
r
M
L'énergie cinétique du satellite a donc pour expression :
EC =
2
1
.m.v2 =
r.2 m.M.K
b) Energie mécanique :
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
L'énergie mécanique d'un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon r, autour d'un
astre de masse M est donnée par :
Em = EC + EPg =
r.2 m.M.K
−
rm.M.K
= −
r.2 m.M.K
Remarques : Etant donné le choix de la configuration pour laquelle l'énergie potentielle est
nulle, on constate que l'énergie mécanique prend une valeur négative et
s'annule lorsque r = ∞.
5) Vitesse de libération
Considérons un vaisseau spatial de masse m posé sur le sol d'une planète de masse M et
de rayon R. Dans cette situation, l'engin ne possède pas d'énergie cinétique par rapport à la
planète, et son énergie mécanique est égale à son énergie potentielle de gravitation : EM(au
sol) = EP(au sol).
:
Pour libérer le vaisseau spatial de l'attraction de l'astre, il faut, au moins, l'envoyer à "l'infini"
et qu'il y arrive avec une vitesse nulle.
Remarques : la force de gravitation varie comme l’inverse du carré de la distance à l’astre
(en1/r2), on peut donc considérer que cette force devient négligeable quand la
distance r est suffisamment grande.
En admettant la conservation de l'énergie mécanique (on néglige les pertes d'énergie par
frottement dans l'atmosphère de l'astre), il faut communiquer, une énergie cinétique EC au
vaisseau spatial au sol pour que sa nouvelle énergie mécanique, au sol, soit nulle ! En effet :
EM(au sol) = EC(au sol) + EPg(au sol) = EM(à l'∞) = EC(à l'∞ = 0) + EPg(à l'∞ = 0) = 0
Soit
2
1.m.vl
2 − K.
R
M.m
= 0
On en déduit la vitesse de libération : vl =
RM..2K
Remarques : En fait, cette vitesse est communiquée progressivement grâce à une fusée.

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IV) Rappels sur le champ électrique
1)
:
La loi de Coulomb
On considère deux objets ponctuels (A) et (B), portant des charges qA et qB, et placés aux
points A et B, à une distance r l'un de l'autre.
:
L'expérience montre que l'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force
→
B/A
F
, et l'objet (B) exerce
sur l'objet (A) une force
→
A/B
F
.
Soit
→
AB
u
le vecteur unitaire de la droite AB, orienté de A vers B, on a :
→
B/A
F
= k.
2BA
rq.q
.
→
AB
u
=
0
..4 1 επ
.
2BA
rq.q
.
→
AB
u
= −
→
A/B
F
- si les charges qA et qB sont de même signe (qA.qB > 0, en rouge sur la figure)
→
B/A
F a même
sens que
→
AB
u
: la charge placée en A
repousse celle placée en B.
- si qA et qB sont de signes contraires
(qA.qB < 0, en vert sur la figure)
→
B/A
F
est de sens contraire de
→
AB
u
: la charge placée en A
attire celle placée en B.
2) Champ électrique créé par une charge ponctuelle
Amenons en un point P de l'espace la petite boule d'un pendule électrostatique portant une
charge électrique qP. Si cet objet-test est soumis à une force électrique
:
→
F
, nous dirons qu'il
existe en P un champ électrique représenté par le vecteur
→)P(E
.
Le champ électrique
→)P(E
est produit par différentes charges électriques réparties dans
l'espace et appelées les sources du champ. Le vecteur champ électrique en un point P est
défini par :
→)P(E
=
P
q
1
.
→
F
ou
→
F
= qP.
→)P(E
Si qP > 0 →
F
et →)P(E ont même sens et si qP < 0 →
F
et
→)P(E
ont des sens opposés.
qP charge électrique de l'objet-test (en C); F valeur de la force électrique (en N), E(P) valeur
du champ électrique (en V.m−1).
On considère une charge q quasi-ponctuelle placée en O. Plaçons en P une charge-test qP.
D'après la loi de Coulomb, la charge qP subit une force :
→
P/O
F
=
0
..4 1 επ
.
2P
rq.q
.
→
OP
u
= qP.
→)P(E
D'où
→)P(E
=
0
..4 1 επ
.
2
rq
.
→
OP
u
Où
→
OP
u
représente le vecteur unitaire de direction
OP et orienté de O vers P.
Le champ électrique
→)P(E
en P a pour :
- direction : celle de la droite (OP).
- sens : de O vers P.
- valeur : E(P) =
0
..4 1 επ
.
2
rq
q est la charge (en C), r la distance OP (en m), ε0 la permittivité diélectrique du vide (en
F.m−1) et E(P) la valeur du champ (en V.m−1).
Les lignes de champ sont radiales et si q > 0 les lignes de champ sont "sortantes" (cas de
figure) si q < 0 les lignes de champ sont "rentrantes".