Chapitre 4.9 –La conservation du moment cinétique

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 4.9 –La conservation du moment cinétique
Moment cinétique d’une particule selon l’axe z
Le moment cinétique z Ld’une particule mesure la
quantité de mouvement dans le plan xy qui est en rotation
autour d’un point de référence. Le module du moment
cinétique z Lest égal à la distance rdans le plan xy entre
le point de référence et la particule multiplié par la
quantité de mouvement
p
de la particule dans le plan xy
et multiplié par le sinus de l’angle entre ret
p
dans le
plan xy :
p
x
y
z
z
r
z
L
point de
référence
v
sinprLz et
mv
p
où z L: Moment cinétique de la particule selon l’axe z ( /smkg 2 )
r
: Distance dans le plan xy entre le point de référence et la particule (m)
p
: Module de la quantité de mouvement de la particule dans le plan xy (m/skg ou Ns )
: Angle dans le plan xy entre
r
et
p
: Sens de la rotation selon l’axe zdu moment cinétique
Lorsque l’angle 90 , le moment
cinétique z Lassociée à la quantité de
mouvement pest maximale :
Lorsque l’angle 0 , le moment
cinétique z Lassociée à la quantité de
mouvement pest nul :
p
x
y
z
z
r
90
z
L
point de
référence
v
p
x
y
z
z
r
0
0
z
L
point de
référence
v
Encore une fois, il est important de rappeler que
le moment cinétique z Lmesure uniquement la
quantité de mouvement pdans le plan xy à
tourner autour de l’axe zpassant par le point de
référence (voir schéma ci-contre) :
cos
ini
rr 
cos
ini
pp 
y
z
z
L
ou
ini
p
r
p
point de
référence
ini
r
axe z
x

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Moment cinétique d’un corps selon l’axe z
Le moment cinétique z Ld’un corps permet d’évaluer la
quantité d’inertie de rotation dans le plan xy en rotation
autour d’un point de référence. Le moment cinétique z L
d’un corps est égal à l’inertie de rotation Idu corps
mesurée par rapport à l’axe zpassant par le point de
référence multiplié par la vitesse angulaire z :
z
z
L
zx
y
zz IL
où z L: Moment cinétique de l’objet en rotation autour de l’axe z
passant par le point de référence ( /smkg 2 )
I
: Inertie de l’objet en rotation autour de l’axe zpassant par
le point de référence ( 2 mkg)
z
: Vitesse angulaire de rotation de l’objet autour de l’axe z (rad/s)
Preuve :
Développons à partir de la définition du
moment cinétique z Ld’une particule une
expression pour le moment cinétique faisant
intervenir la notion de l’inertie de rotation I
et de la vitesse angulaire z :
sinprLz
v z
L
//
v
r
x
Point
référence
y
z
sinmvrLz(Remplacer
mv
p
)
sinvrmLz(Réécriture)
//
vrmLz(Remplacer sin
// vv )
zz rrmL
(Remplacer z rv
// )
zz rmL
2
(Réécriture)
zz IL
■(Remplacer 2 mrI )

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La 2ième loi de Newton en rotation selon l’axe zavec le moment
cinétique
La 2ième loi de Newton en rotation selon l’axe zpeut être réécrite à l’aide de la définition du
moment cinétique z L. Sous cette forme, cette loi permet plus facilement de mette en
relation l’influence d’un moment de force z et la modification de son état de rotation
mesuré en moment cinétique z L:
dt
Ld z
z
où z : Moment de force appliquée ( mN )
z
dL : Variation du moment cinétique ( /smkg 2 )
dt : Temps écoulé durant la variation du moment cinétique (s)
Preuve :
À partir de la définition du moment cinétique d’une particule, appliquons la dérivée par
rapport au temps de chaque côté de l’équation afin de faire intervenir la notion de moment
de force z :
sinprLz sinpr
dt
d
L
dt
dz (Appliquer la dérivée
dt
d)
dt
dp
r
dt
Ld z
sin (Factoriser constante)
Fr
dt
Ld z
sin (2ième loi de Newton : dtdpF / )
z
z
dt
Ld
■(Moment de force : sinFr
z )
Principe de conservation du moment cinétique selon l’axe z
Le moment cinétique z Ld’un corps est conservé lorsque la somme
des moments de force z extérieure au système est égale à zéro. Ce
principe de conservation est comparable à la conservation de la
quantité de mouvement sauf qu’il est évalue en rotation par rapport à
un point de référence :
0
ext  z
constante
z
L
izfz LL
Une vrille en patinage
artistique est un bon
exemple de conservation
du moment cinétique

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 1 : La physique du patinage
artistique.Un patineur tourne sur lui-même
avec une de ses jambes et ses bras
perpendiculaire à son corps (schéma ci-
contre) : sa vitesse angulaire vaut 8 rad/s et
son moment d’inertie vaut 2 mkg6,3 . En
ramenant sa jambe à la verticale et en levant
ses bras au-dessus de sa tête (schéma ci-
contre), il diminue son moment d’inertie à Avant Après
2
mkg6,1 et sa vitesse angulaire augmente pour atteindre 18 rad/s. On désire analyser
cette manœuvre à l’aide du principe de conservation du moment cinétique et du principe
de conservation de l’énergie.
Évaluons le moment cinétique du patineur avant (i) et après (f) :
zz IL
86,3 iziiz IL
/smkg8,28 2
iz
L
186,1 fzffz IL
/smkg8,28 2
fz
L
Cette situation est physiquement acceptable, car il y a conservation du moment cinétique
en l’absence de moment de force extérieur :
fziz LL 
Évaluons l’énergie cinétique du patineur avant (i) et après (f) :
2
2
1
IK 
22 86,3
2
1
2
1 iii IK
J115
i
K
22 186,1
2
1
2
1 fff IK
J259
f
K
Dans cette situation, il n’y a pas conservation de l’énergie cinétique :
fi KK 
Évaluons à l’aide du principe de conservation de l’énergie le travail nc Weffectué sur le
patineur entre la situation avant et après : (
K
E
)
ncif WEE  nc
W 115259 (Remplacer valeurs num.)
J144
nc
W(Évaluer nc
W)
Le patineur effectue un travail de 144 J pour rapprocher ses bras et sa jambe près de lui ce
qui se transforme sous forme d’énergie cinétique. Ce travail est cohérent, car les forces des
bras et de la jambe du patineur sont orientées dans le sens de l’accélération centripète.

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Situation A : Un ballon qui roule à vitesse constante.Un ballon
homogène de masse m= 1,5 kg et de rayon R= 5 cm roule
horizontalement sur le sol sans glisser à une vitesse constante de 5
m/s. On désire évaluer le moment cinétique de translation du centre
de masse du ballon par rapport au point initial de contact au sol (a)
au début du mouvement et (b) 0,4 seconde après avoir lancé le
ballon. Vérifier qu’il y a conservation du moment cinétique.
(P.S. Garder plusieurs chiffres significatifs dans les calculs.)
Évaluons la quantité de mouvement du ballon :
mv
p
55,1p
m/skg5,7 p
Évaluons le moment cinétique selon l’axe zdu ballon initialement : ( m05,0 Rr )
sinprLz  90sin5,705,0
z
L
/smkg375,0 2
iz
L(a)
Évaluons la position du ballon à 0,4 s à l’aide de l’équation du MUA :
2
00
2
1tatvxx xx 
2
30
2
1
4,050 x
m2x
Évaluons la distance rentre la position du point de référence (position initiale au sol) et la
position finale du ballon :
22 xRr 
22 205,0 r
m000625,2r
Évaluons l’angle entre ret pà la position finale :
x
R
tan
000625,2 05,0
tan 
43165,1
Évaluons le moment cinétique selon l’axe zdu ballon à 0,4 s : ( m000625,2r)
sinprLz  43165,1sin5,7000625,2
z
L
/smkg3749,0 2
iz
L(b)
Il y a conservation du moment cinétique, car le moment de force extérieure total extz
exercé sur le ballon est nul puisque la gravité est annulé par la force normale et le
frottement est inexistant, car le ballon roule à vitesse constante. Ainsi, une trajectoire
rectiligne àvitesse constante respecte la conservation de moment cinétique :
izfz LL
r
x
R
v
**
CM