No3 - IECL

Université de Metz Année universitaire 2008-2009.
Département de Mathématiques
M1 Théorie des Nombres
Feuille de TD n˚3
Exercice 1
Montrer que tout sous groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps K est formé de racines de
l’unité et est cyclique.
Exercice 2
Soit Q⊂Kune extension quadratique ( i.e. une extension de degré 2 ).
1. Démontrer qu’il existe d∈ZZ,sans facteur carré, tel que K= Q(α)avec α2=d.
2. Soit Al’anneau des entiers de K; démontrer que le discriminant d(K)de Kest :
-d(K)=4dsi d6≡ 1( mod 4),
-d(K) = dsi d≡1( mod 4 ).
Exercice 3
Soit p∈ZZ un nombre premier, p > 2,u∈Cune racine primitive pième de l’unité, u6= 1, et
L= Q(u).
1. Démontrer qu’il existe une unique extension quadratique de Qcontenue dans L.
2. Calculer d(L); en déduire l’entier dsans facteur carré tel que K= Q(√d).
Exercice 4
Soient Q⊂Kune extension finie et Al’anneau des entiers de K. Si xi1≤i≤nest une Q-base
de Kformée d’éléments de Atelle que DK|Q(x1, ..., xn)soit un élément de ZZ sans facteur
carré, démontrer que xi1≤i≤nest une ZZ-base de A.
Applications :
1. Si K= Q(α)avec α3−α−4=0, démontrer que 1, α, α+α2
2est une ZZ- base de l’anneau
des entiers de K.
2. Soient K= Q(α)avec α3−α2−2α−8=0et Al’anneau des entiers de K.
- Déterminer [K: Q] et calculer DK|Q(1, α, α2).
- Si β=1
2(α+α2), démontrer que β∈Aet calculer DK|Q(1, α, β); en déduire une
ZZ-base de A.
- Démontrer qu’il n’existe pas d’élément xde Atel que (1, x, x2)soit une ZZ-base de A.

Exercice 5
Déterminer si l’extension K= Q(u)de Qest galoisienne dans les différents cas suivants :
(1) uest une racine de X3+X+ 1.
(2) uest une racine de X7−1.
(3) uest racine de X4+ 12X2+ 18
Exercice 6
Soit K= Q(α)où α=p4 + √7.
1. Démontrer que Q⊂Kest une extension galoisienne de degré 4.
2. Démontrer que les sous corps de Ksont les Q(√m)avec m= 2,7,14. En déduire que K=
Q(√2,√7).
Exercice 3
Soit K= Q(α)où α=ip2 + √2; on note A l’anneau des entiers de K.
1. Démontrer que Q⊂Kest une extension galoisienne de degré 4 et que l’unique sous-corps de
Kest Q(√2).
2. Démontrer que A=ZZ[α]et que Aest principal.
Exercice 7
Soit P(X) = X4+X3−6X2−X+ 1.
1. Soit α∈Cune racine de P. Montrer que
β=−1
α, γ =α−1 α+ 1, δ =−1 γ=1 + α 1−α
sont des racines de P. Montrer que α, β, γ et δsont les 4 racines de Pdans Cet qu’elles sont
toutes distinctes.
Soit θ=α−1
α.
2. Montrer que θ /∈Q.
3. Montrer que Pest irréductible sur Q.
4. Montrer que l’extension Q⊆Q(α)est galoisienne.
5. Déterminer le groupe de Galois de Q⊆Q(α)et vérifier qu’il est cyclique d’ordre 4.
6. Déterminer les corps intermédiaires de l’extension Q⊆Q(α).