No3 - IECL

Université de Metz
Département de Mathématiques
Année universitaire 2008-2009.
M1 Théorie des Nombres
Feuille de TD n˚3
Exercice 1
Montrer que tout sous groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps K est formé de racines de
l’unité et est cyclique.
Exercice 2
Soit Q ⊂ K une extension quadratique ( i.e. une extension de degré 2 ).
1. Démontrer qu’il existe d ∈ ZZ, sans facteur carré, tel que K = Q(α) avec α2 = d.
2. Soit A l’anneau des entiers de K ; démontrer que le discriminant d(K) de K est :
- d(K) = 4d si d 6≡ 1 ( mod 4),
- d(K) = d si d ≡ 1 ( mod 4 ).
Exercice 3
Soit p ∈ ZZ un nombre premier, p > 2, u ∈ C une racine primitive pième de l’unité, u 6= 1, et
L = Q(u).
1. Démontrer qu’il existe une unique extension quadratique de Q contenue dans L.
√
2. Calculer d(L); en déduire l’entier d sans facteur carré tel que K = Q( d).
Exercice 4
Soient Q ⊂ K une extension finie et A l’anneau des entiers de K. Si xi 1≤i≤n est une Q-base
de K formée d’éléments de
A telle que DK|Q (x1 , ..., xn ) soit un élément de ZZ sans facteur
carré, démontrer que xi 1≤i≤n est une ZZ-base de A.
Applications :
1. Si K = Q(α) avec α3 − α − 4 = 0, démontrer que
des entiers de K.
1, α,
α + α2 est une ZZ- base de l’anneau
2
2. Soient K = Q(α) avec α3 − α2 − 2α − 8 = 0 et A l’anneau des entiers de K.
- Déterminer [K : Q] et calculer DK|Q (1, α, α2 ).
- Si β = 12 (α + α2 ), démontrer que β ∈ A et calculer DK|Q (1, α, β) ; en déduire une
ZZ-base de A.
- Démontrer qu’il n’existe pas d’élément x de A tel que (1, x, x2 ) soit une ZZ-base de A.
Exercice 5
Déterminer si l’extension K = Q(u) de Q est galoisienne dans les différents cas suivants :
(1) u est une racine de X 3 + X + 1.
(2) u est une racine de X 7 − 1.
(3) u est racine de X 4 + 12X 2 + 18
Exercice 6
Soit K = Q(α) où α =
p
4+
√
7.
1. Démontrer que Q ⊂ K est une extension galoisienne de degré 4.
√
2. Démontrer
que les sous corps de K sont les Q( m) avec m = 2, 7, 14. En déduire que K =
√ √
Q( 2, 7).
Exercice 3
Soit K = Q(α) où α = i
p
√
2 + 2 ; on note A l’anneau des entiers de K.
1. Démontrer
√ que Q ⊂ K est une extension galoisienne de degré 4 et que l’unique sous-corps de
K est Q( 2).
2. Démontrer que A = ZZ[α] et que A est principal.
Exercice 7
Soit P (X) = X 4 + X 3 − 6X 2 − X + 1.
1. Soit α ∈ C une racine de P. Montrer que
1
β=− ,
α
γ=
α−1
,
α+1
δ=−
1
1+α
=
γ
1−α
sont des racines de P . Montrer que α, β, γ et δ sont les 4 racines de P dans C et qu’elles sont
toutes distinctes.
1
Soit θ = α − .
α
2. Montrer que θ ∈
/ Q.
3. Montrer que P est irréductible sur Q.
4. Montrer que l’extension Q ⊆ Q(α) est galoisienne.
5. Déterminer le groupe de Galois de Q ⊆ Q(α) et vérifier qu’il est cyclique d’ordre 4.
6. Déterminer les corps intermédiaires de l’extension Q ⊆ Q(α).