Exercice n°1 : lois d`associations

Physique PCSI 1
Série n°18
Thème : Mouvement d’une particule dans un champ newtonien.
2015-2016
Exercice n°1 : orbite circulaire d’un satellite artificiel
Un satellite artificiel est en orbite circulaire basse (altitude h
300 km ) autour de la Terre. Calculer la
période orbitale et la vitesse orbitale. Valeurs numériques : rayon terrestre RT
géocentrique kT
GMT
6 378 km ; constante
398, 6.103 km 3 .s -2 .
Exercice n°2 : orbite HEO d’un satellite artificiel
Une orbite HEO (Highly Eccentric Orbit) est telle que l’altitude au périgée vaut typiquement
hP
500 km et celle à l’apogée hA
40 000 km . Calculer le demi-grand axe a , l’excentricité e et la
période orbitale T . Données : RT
6 378 km ; kT
GMT
398, 6.103 km 3 .s -2 .
Exercice n°3 : orbite de la Terre
La Terre T décrit autour du Soleil S une orbite elliptique d’excentricité e
0, 0167 , de demi-grand
axe a 1, 50.1011 m et de période T 365, 25 j .
1/ On note P le périhélie et A l’aphélie. Calculer SP et SA .
2/ En supposant que la trajectoire est circulaire, calculer la vitesse orbitale v de la Terre.
3/ Pour la trajectoire réelle elliptique, exprimer les vitesses vA et vP de passage à l’aphélie et au
périhélie en fonction de v et e . Faire l’A.N.
Exercice n°4 : orbite de transfert
Un satellite artificiel terrestre est placé sur une orbite elliptique de périgée P et d’apogée A
respectivement situés à une distance rP OP et rA OA du centre de la Terre (cf. fig.1)
fig.1
1/ Exprimer le demi grand axe a de l’orbite en
fonction de rP et rA .
2/ Exprimer l’excentricité e de l’orbite en fonction
de rP et rA .
fig.2
3/ En exploitant la conservation de deux grandeurs physiques, exprimer la vitesse vP au périgée et la
vitesse vA à l’apogée en fonction de kT
GMT , rA et rP .
4/ On veut faire passer un satellite d’une orbite basse (circulaire de rayon r1
géosynchrone (circulaire de rayon r2
6800 km ) à une orbite
42300 km ) en utilisant une orbite de transfert de Hohmann :
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c’est la demi ellipse de foyer O , tangente en P au cercle de rayon r1 et tangente en A au cercle de
rayon r2 (cf. fig.2).
4.a/ Calculer numériquement l’accroissement de vitesse v1 (supposé instantané) à communiquer au
satellite lorsqu’il se trouve en P pour passer de l’orbite basse à l’orbite de transfert.
4.b/ Calculer numériquement l’accroissement de vitesse v2 (supposé instantané) à communiquer au
satellite lorsqu’il se trouve en A pour passer de l’orbite de transfert à l’orbite géosynchrone.
4.c/ Calculer la durée (minimale) de la phase de transfert. Application numérique.
Exercice n°5 : manœuvres orbitales (d’après Centrale Supélec MP 2002)
Un vaisseau spatial de masse m est initialement sur une orbite circulaire de rayon r0 autour d’un astre
à symétrie sphérique de centre O , de rayon R et de masse M . La vitesse sur cette orbite est V0 . La
constante de gravitation est notée G .
1/ On allume le moteur pendant un temps très court, de sorte que la vitesse varie mais pas la distance
au centre de l’astre. Évaluer la vitesse minimale V1 qu’il faut communiquer au vaisseau pour qu’il
échappe au champ gravitationnel de l’astre en fonction de G , M et r0 .
Le commandant de bord dispose en fait d’un « budget de vitesse » V égal à 4V0 ; cela signifie que la
quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en une ou plusieurs
fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations des vitesses n’excède pas 4V0 .
2/ Dans l’option 1, le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse
initiale à 5V0 . Évaluer sa vitesse finale (« à l’infini ») en fonction de V0 .
3.a/ Dans l’option 2, on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de V0 à V0 2 en un
temps très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction. Décrire la nouvelle
trajectoire : le demi-grand axe a , les distances rA du centre O à l’apogée et rP du centre O au
périgée, les normes des vitesses VA et VP à l’apogée et au périgée en fonction de r0 . Quelle condition
doit vérifier rP ?
3.b/ On utilise ensuite le reste du « budget vitesse » au passage au périgée pour augmenter au
maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminer la nouvelle
vitesse finale (« à l’infini ») en fonction de V0 .
4/ Comparer les deux options et commenter.
Exercice n°6 : expérience de Rutherford (*)
Une particule alpha (masse m , charge q
2e ) est émise à
l’infini avec une vitesse initiale v 0 v 0e x . Elle se dirige vers un
m,
noyau cible d’atome d’or fixe placé en O (masse M
charge Ze ). La distance b entre le support de la vitesse initiale
P
H
b
et la droite passant par O parallèle à v 0 est appelée paramètre
x
d’impact.
Soumise à la répulsion coulombienne, la particule alpha décrit une branche d’hyperbole (état libre). En
exploitant deux lois de conservation (énergie mécanique et moment cinétique), exprimer la distance
minimale d’approche rmin OP en fonction de 0 , Z , e , m , v0 et b .
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