Exercice n°1 : lois d`associations

Physique PCSI 1
Série n°18
2015-2016
Thème :
Mouvement d’une particule dans un champ newtonien.
1/2
Exercice n°1 : orbite circulaire d’un satellite artificiel
Un satellite artificiel est en orbite circulaire basse (altitude
300 kmh
) autour de la Terre. Calculer la
période orbitale et la vitesse orbitale. Valeurs numériques : rayon terrestre
6 378 km
T
R
; constante
géocentrique
3 3 -2
398, 6.10 km .s
TT
k GM
.
Exercice n°2 : orbite HEO d’un satellite artificiel
Une orbite HEO (Highly Eccentric Orbit) est telle que l’altitude au périgée vaut typiquement
500 km
P
h
et celle à l’apogée
40 000 km
A
h
. Calculer le demi-grand axe
a
, l’excentricité
e
et la
période orbitale
T
. Données :
6 378 km
T
R
;
3 3 -2
398, 6.10 km .s
TT
k GM
.
Exercice n°3 : orbite de la Terre
La Terre
T
décrit autour du Soleil
S
une orbite elliptique d’excentricité
0, 0167e
, de demi-grand
axe
11
1,50.10 ma
et de période
365,25 jT
.
1/ On note
P
le périhélie et
A
l’aphélie. Calculer
SP
et
SA
.
2/ En supposant que la trajectoire est circulaire, calculer la vitesse orbitale
v
de la Terre.
3/ Pour la trajectoire réelle elliptique, exprimer les vitesses
A
v
et
P
v
de passage à l’aphélie et au
périhélie en fonction de
v
et
e
. Faire l’A.N.
Exercice n°4 : orbite de transfert
Un satellite artificiel terrestre est placé sur une orbite elliptique de périgée
P
et d’apogée
A
respectivement situés à une distance
P
r OP
et
A
r OA
du centre de la Terre (cf. fig.1)
1/ Exprimer le demi grand axe
a
de l’orbite en
fonction de
P
r
et
A
r
.
2/ Exprimer l’excentricité
e
de l’orbite en fonction
de
P
r
et
A
r
.
3/ En exploitant la conservation de deux grandeurs physiques, exprimer la vitesse
P
v
au périgée et la
vitesse
A
v
à l’apogée en fonction de
TT
k GM
,
A
r
et
P
r
.
4/ On veut faire passer un satellite d’une orbite basse (circulaire de rayon
16800 kmr
) à une orbite
géosynchrone (circulaire de rayon
242300 kmr
) en utilisant une orbite de transfert de Hohmann :
fig.1
fig.2

2/2
c’est la demi ellipse de foyer
O
, tangente en
P
au cercle de rayon
1
r
et tangente en
A
au cercle de
rayon
2
r
(cf. fig.2).
4.a/ Calculer numériquement l’accroissement de vitesse
1
v
(supposé instantané) à communiquer au
satellite lorsqu’il se trouve en
P
pour passer de l’orbite basse à l’orbite de transfert.
4.b/ Calculer numériquement l’accroissement de vitesse
2
v
(supposé instantané) à communiquer au
satellite lorsqu’il se trouve en
A
pour passer de l’orbite de transfert à l’orbite géosynchrone.
4.c/ Calculer la durée (minimale) de la phase de transfert. Application numérique.
Exercice n°5 : manœuvres orbitales (d’après Centrale Supélec MP 2002)
Un vaisseau spatial de masse
m
est initialement sur une orbite circulaire de rayon
0
r
autour d’un astre
à symétrie sphérique de centre
O
, de rayon
R
et de masse
M
. La vitesse sur cette orbite est
0
V
. La
constante de gravitation est notée
G
.
1/ On allume le moteur pendant un temps très court, de sorte que la vitesse varie mais pas la distance
au centre de l’astre. Évaluer la vitesse minimale
1
V
qu’il faut communiquer au vaisseau pour qu’il
échappe au champ gravitationnel de l’astre en fonction de
G
,
M
et
0
r
.
Le commandant de bord dispose en fait d’un « budget de vitesse »
V
égal à
0
4V
; cela signifie que la
quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en une ou plusieurs
fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations des vitesses n’excède pas
0
4V
.
2/ Dans l’option 1, le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse
initiale à
0
5V
. Évaluer sa vitesse finale (« à l’infini ») en fonction de
0
V
.
3.a/ Dans l’option 2, on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de
0
V
à
02V
en un
temps très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction. Décrire la nouvelle
trajectoire : le demi-grand axe
a
, les distances
A
r
du centre
O
à l’apogée et
P
r
du centre
O
au
périgée, les normes des vitesses
A
V
et
P
V
à l’apogée et au périgée en fonction de
0
r
. Quelle condition
doit vérifier
P
r
?
3.b/ On utilise ensuite le reste du « budget vitesse » au passage au périgée pour augmenter au
maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminer la nouvelle
vitesse finale (« à l’infini ») en fonction de
0
V
.
4/ Comparer les deux options et commenter.
Exercice n°6 : expérience de Rutherford (*)
Une particule alpha (masse
m
, charge
2qe
) est émise à
l’infini avec une vitesse initiale
00x
v v e
. Elle se dirige vers un
noyau cible d’atome d’or fixe placé en
O
(masse
Mm
,
charge
Ze
). La distance
b
entre le support de la vitesse initiale
et la droite passant par
O
parallèle à
0
v
est appelée paramètre
d’impact.
Soumise à la répulsion coulombienne, la particule alpha décrit une branche d’hyperbole (état libre). En
exploitant deux lois de conservation (énergie mécanique et moment cinétique), exprimer la distance
minimale d’approche
min
r OP
en fonction de
0
,
Z
,
e
,
m
,
0
v
et
b
.
H
b
P
x