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c’est la demi ellipse de foyer
, tangente en
au cercle de rayon
et tangente en
au cercle de
rayon
(cf. fig.2).
4.a/ Calculer numériquement l’accroissement de vitesse
(supposé instantané) à communiquer au
satellite lorsqu’il se trouve en
pour passer de l’orbite basse à l’orbite de transfert.
4.b/ Calculer numériquement l’accroissement de vitesse
(supposé instantané) à communiquer au
satellite lorsqu’il se trouve en
pour passer de l’orbite de transfert à l’orbite géosynchrone.
4.c/ Calculer la durée (minimale) de la phase de transfert. Application numérique.
Exercice n°5 : manœuvres orbitales (d’après Centrale Supélec MP 2002)
Un vaisseau spatial de masse
est initialement sur une orbite circulaire de rayon
autour d’un astre
à symétrie sphérique de centre
, de rayon
et de masse
. La vitesse sur cette orbite est
. La
constante de gravitation est notée
.
1/ On allume le moteur pendant un temps très court, de sorte que la vitesse varie mais pas la distance
au centre de l’astre. Évaluer la vitesse minimale
qu’il faut communiquer au vaisseau pour qu’il
échappe au champ gravitationnel de l’astre en fonction de
,
et
.
Le commandant de bord dispose en fait d’un « budget de vitesse »
égal à
; cela signifie que la
quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en une ou plusieurs
fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations des vitesses n’excède pas
.
2/ Dans l’option 1, le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse
initiale à
. Évaluer sa vitesse finale (« à l’infini ») en fonction de
.
3.a/ Dans l’option 2, on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de
à
en un
temps très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction. Décrire la nouvelle
trajectoire : le demi-grand axe
, les distances
du centre
à l’apogée et
du centre
au
périgée, les normes des vitesses
et
à l’apogée et au périgée en fonction de
. Quelle condition
doit vérifier
?
3.b/ On utilise ensuite le reste du « budget vitesse » au passage au périgée pour augmenter au
maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminer la nouvelle
vitesse finale (« à l’infini ») en fonction de
.
4/ Comparer les deux options et commenter.
Exercice n°6 : expérience de Rutherford (*)
Une particule alpha (masse
, charge
) est émise à
l’infini avec une vitesse initiale
. Elle se dirige vers un
noyau cible d’atome d’or fixe placé en
(masse
,
charge
). La distance
entre le support de la vitesse initiale
et la droite passant par
parallèle à
est appelée paramètre
d’impact.
Soumise à la répulsion coulombienne, la particule alpha décrit une branche d’hyperbole (état libre). En
exploitant deux lois de conservation (énergie mécanique et moment cinétique), exprimer la distance
minimale d’approche
en fonction de
,
,
,
,
et
.